【北师大版八年级数学下册同步训练】4.3 公式法同步训练（含解析）

4.3公式法同步训练
一、单选题
1．下列分解因式正确的是( )
A．． B．.
C．. D．.
2．把多项式分解因式，结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列各式不能用平方差公式进行因式分解的是( )
A．-x2+y2 B．-x2-y2 C．x2-y2 D．y2-x2
4．下列多项式中，能用公式法进行因式分解的是（　　）
A．x2-2xy+4y2 B．?x2-—y2 C．?x2+y2 D．x2+4xy-4y2
5．下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是(　　)
A． B． C． D．
6．已知424﹣1可以被60﹣70之间的某两个整数整除，则这两个数是(　　)
A．61，63 B．63，65 C．65，67 D．63，64
7．下列各多项式在有理数范围内，可用平方差公式分解因式的是（　　）
A．a2+4 B．a2-2 C．-a2+4 D．-a2-4
8．下列各式中，能用完全平方公式因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．因式分解：3a4﹣3b4＝______________．
10．因式分解x3-9x=__________．
11．因式分解=______．
12．因式分解:= __________.
13．若多项式能用完全平方公式因式分解，则m的值为______．
14．
如果+=2012， -=1，那么=_________.
三、解答题
15．分解因式：
(1)
(2)
16．（1）计算：（1﹣2a）2﹣（2a+1）（2a﹣1）
（2）分解因式：a3b﹣ab
17．已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2-6a-14b+58=0
（1）求a、b的值；
（2）求△ABC的周长的最小值．
18．学习了因式分解的知识后，老师提出了这样一个问题：设为整数，则的值一定能被20整除吗？若能，请说明理由？若不能，请举出一个反例，你能回答这个问题吗？
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
根据因式分解的方法即可依次判断.
【详解】
A. =，没有因式分解完全，故错误；
B. 是整式乘法运算，故错误；
C. 是因式分解，正确；
D. 不能因式分解，故错误；
故选C.
【点睛】
此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知因式分解的定义与方法.
2．C
【解析】
试题分析：首先进行提取公因式，然后利用平方差公式进行因式分解．原式=2（－4）=2（x+2）（x－2）．
考点：因式分解．
3．B
【解析】
【分析】
根据平方差公式的特点进行分析即可．
【详解】
A选项：-x2+y2，符合平方差公式特征，不合题意；B选项：-x2-y2，不符合平方差公式特征，符合题意；C选项：x2-y2，符合平方差公式特征，不合题意；D选项：y2-x2，符合平方差公式特征，不合题意；故选：B．
【点睛】
考查了运用平方差公式法分解因式，解题关键是掌握能够运用平方差公式分解因式的多项式特点．
4．C
【解析】
【分析】
题干中的公式指的是完全平方和公式，完全平方差公式，平方差公式.通过这三个公式逐一判断即可.
【详解】
A.x2-2xy+4y2无法分解因式，故选项错误.
B.?x2—y2 无法分解因式，故选项错误.
C.，用平方差公式分解，故选项正确.
D.x2+4xy-4y2无法分解因式，故选项错误.
故选：C.
【点睛】
此题主要考查了公式法分解因式，常用的公式有：， ，正确掌握乘法公式的基本形式是解题关键．
5．C
【解析】
【分析】
利用完全平方公式：，进而判断得出答案．
【详解】
解：A、，不能用完全平方公式进行因式分解；B、，不能用完全平方公式进行因式分解；C、，能用完全平方公式进行因式分解；D、，不能用完全平方公式进行因式分解；故选：C．
【点睛】
本题主要考查因式分解法，解题的关键是熟练运用完全平方公式.
6．B
【解析】
【分析】
首先我们把中，， ，再按照平方差公式多次进行因式分解，得到多个因式相乘的形式，然后找找符合条件的数即可.
【详解】
424﹣1=248﹣1=(224+1)(224﹣1)，
=(224+1)(212+1)(212﹣1)，
=(224+1)(212+1)(26+1)(26﹣1)；
∵26=64，
∴26﹣1=63，26+1=65，
∴这两个数是65、63．
故选：B．
【点睛】
本题考察了，利用因式分解中平方差公式解答实际问题，本题多次运用了平方差因式分解，需要注意的时每次分解都要检查是否分解彻底.
7．C
【解析】
【分析】
平方差公式为，则被分解的因式需要符合两个数的平方再作差的形式，即为的形式.而题干给出的是在有理数的范围内，则公式中要为有理数.
【详解】
A.不符合的形式，排除
B.原式可化为，符合的形式，但出现了无理数，排除
C. 原式可化为，符合
D. 不能化为的形式，排除
故答案为C
【点睛】
本题考察了运用平方差公式法因式分解，对于平方差公式务必牢记.
8．D
【解析】
【分析】
根据完全平方公式的形式即可判断.
【详解】
D. =(2x)2-2×2x×3+32=(2x-3)2
故选D.
【点睛】
此题主要考查完全平方公式，解题的关键是熟知完全平方公式的定义.
9．3（a2+b2）（a+b）（a﹣b）．
【解析】
【分析】
先提取公因式，然后利用平方差公式因式分解即可.
【详解】
解：3a4﹣3b4
＝3（a2+b2）（a2﹣b2）
＝3（a2+b2）（a+b）（a﹣b）．
故答案为：3（a2+b2）（a+b）（a﹣b）．
【点睛】
此题考查的是因式分解，掌握提取公因式法和平方差公式因式分解是解决此题的关键.
10．x（x+3）（x-3）
【解析】
【分析】
先提取公因式x，再利用平方差公式进行分解．
【详解】
解：x3-9x，
=x（x2-9），
=x（x+3）（x-3）．
【点睛】
本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，本题要进行二次分解，分解因式要彻底．
11．．
【解析】
解：==，故答案为：．
12．(2x+1)(2x-1)
【解析】
=(2x+1)(2x-1).
13．7或-3
【解析】
【分析】
利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值．
【详解】
解：∵多项式能用完全平方公式因式分解，
∴2（m?2）＝±10，
解得：m＝7或?3，
故答案为：7或?3
【点睛】
此题考查了因式分解?运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
14．2012．
【解析】
【分析】
根据平方差公式进行因式分解，然后代入数值计算即可．
【详解】
解：∵m+n=2012，m-n=1，∴=（m+n）（m-n）=2012×1=2012．
故答案为：2012．
【点睛】
本题考查因式分解的应用，利用平方差公式分解因式，熟记平方差公式的结构特点是解题的关键．
15．（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）先提出公因式x，再利用平方差公式进行因式分解即可；
（2）先提出公因式3y，再利用完全平方公式进行因式分解即可.
【详解】
解：(1)
(2)
【点睛】
本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法及公式法是解题的关键.
16．（1）2﹣4a；（2）ab（a+1）（a﹣1）
【解析】
【分析】
（1）根据因式分解的方法﹣提公因式法分解因式即可；
（2）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【详解】
解：（1）（1﹣2a）2﹣（2a+1）（2a﹣1）＝（1﹣2a）（1﹣2a+2a+1）＝2（1﹣2a）＝2﹣4a；
（2）a3b﹣ab＝ab（a2﹣1）＝ab（a+1）（a﹣1）．
【点睛】
本题考查了因式分解的方法：提公因式和运用公式法，因式分解的关键是分解彻底.
17．（1）a=3，b=7；（2）△ABC周长的最小值为15．
【解析】
【分析】
（1）根据完全平方公式整理成非负数的和的形式，再根据非负数的性质列式求出a、b；（2）根据三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出第三边的取值范围，再求出第三边最小时的值，再求解即可．
【详解】
解：（1）∵a2+b2-6a-14b+58=（a2-6a+9）+（b2-14b+49）=（a-3）2+（b-7）2=0，∴a-3=0，b-7=0，解得a=3，b=7；
（2）∵a、b、c是△ABC的三边长，
∴b-a＜c＜a+b，
即4＜c＜10，
要使△ABC周长的最小只需使得边长c最小，
又∵c是正整数，
∴c的最小值是5，
∴△ABC周长的最小值为3+5+7=15．
故答案为：（1）a=3，b=7；（2）△ABC周长的最小值为15．
【点睛】
本题考查因式分解的实际运用，掌握完全平方公式，利用完全平方式的特点分解是解决问题的关键．也考查了三角形三边关系．
18．能，理由见解析.
【解析】
【分析】
利用平方差公式展开，即可得出一定能被20整除．
【详解】
解：的值一定能被20整除，理由如下：
=（n+7+n-3）（n+7-n+3）=20（n+2），∴的值一定能被20整除．
【点睛】
本题考查因式分解的应用，利用平方差公式将原式变形为20（n+2）是解题的关键．