【北师大版八年级数学下册同步训练】5.4 分式方程同步训练（含解析）

5.4分式方程同步训练
一、单选题
1．分式方程的解为（ ）
A． B． C． D．
2．某市为解决部分市民冬季集中取暖问题，需铺设一条长4000米的管道，为尽量减少施工对交通造成的影响，施工时“…”，设实际每天铺设管道x米，则可得方程＝20，根据此情景，题中用“…”表示的缺失的条件应补为（　　）
A．每天比原计划多铺设10米，结果延期20天完成
B．每天比原计划少铺设10米，结果延期20天完成
C．每天比原计划多铺设10米，结果提前20天完成
D．每天比原计划少铺设10米，结果提前20天完成
3．解分式方程时，去分母变形正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．某特快列车在最近一次的铁路大提速后，时速提高了30千米/小时，则该列车行驶350千米所用的时间比原来少用1小时，若该列车提速前的速度是千米/小时，下列所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．若分式的值为0，则x应满足的条件是( )
A．x = -1 B．x ≠ -1 C．x = ±1 D．x = 1
6．方程的解为（ ）.
A．； B．； C．； D．.
7．已知关于x的方程有增根，则k=（　　）
A．-1 B．1 C．-2 D．除-1以外的数
8．下列各式中是分式方程的是（ ）
A．1x B．x2+1=y C．x2+1=0 D．1x?1=2
二、填空题
9．方程的根是_____．
10．关于的方程如果有增根，那么增根一定是_____．
11．甲、乙两人做某种机器零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等，求甲、乙两人每小时各加工零件多少个？若设乙每小时做x个零件，根据题意，列出方程：________________.
12．关于的方程无解，则的值为________.
13．当x= 时，分式的值等于2．
14．用换元法解分式方程时，如果设，则原方程可化为关于的整式方程是__________．
15．方程的解为_____．
三、解答题
16．(1)因式分解:
(2)解方程:
17．某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进的乙种玩具的件数相同.
(1)求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元?
(2)商场计划购进甲、乙两种玩具共48件，购进这两种玩具的总资金超过960元但不超过1000元，求商场有哪几种具体的进货方案?最多可以购进乙种玩具多少件?
18．解方程：.
19．解分式方程
（1）
（2）
20．解下列分式方程：
(1)=1
(2).
21．为迎接省“义务教育均衡发展验收”，某广告公司承担了制作宣传牌任务，安排甲、乙两名工人制作，由于乙工人采用了新式工具，其工作效率比甲工人提高了20％，同样制作30个宣传牌，乙工人比甲工人节省了一天时间:
(1)求甲乙两名工人每天各制作多少个宣传牌?
(2)现在需要这两名工人合作完成44个宣传牌制作在务，应如何分配，才能让两名工人同时完成任务?
参考答案
1．A
【解析】
【分析】
根据分式方程的解法即可求解.
【详解】
根据分式方程的解法去分母得x(x-5)+2(x-1)=x(x-1)
化简得2x=-2,
解得x=-1，
故选A.
【点睛】
此题主要考查分式方程的求解，解题的关键是熟知分式方程的求解.
2．C
【解析】
【分析】
由给定的分式方程，可找出缺失的条件为：每天比原计划多铺设10米，结果提前20天完成．此题得解．
【详解】
解：∵利用工作时间列出方程： ，
∴缺失的条件为：每天比原计划多铺设10米，结果提前20天完成．
故选：C．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，由列出的分式方程找出题干缺失的条件是解题的关键．
3．D
【解析】
【分析】
先对分式方程乘以，即可得到答案.
【详解】
去分母得：，故选：D．
【点睛】
本题考查去分母，解题的关键是掌握通分.
4．C
【解析】
【分析】
等量关系为：原来走350千米所用的时间-提速后走350千米所用的时间=1，根据等量关系列式．
【详解】
解：原来走350千米所用的时间为，
，现在走350千米所用的时间为：，
所以可列方程为：，
故选C．
【点睛】
找到提速前和提速后所用时间的等量关系是解决本题的关键．
5．D
【解析】
【分析】
将分式方程转换成整式方程，一定要注意分母不为0
【详解】
由题意得：x2-1=0 且x+1≠0，解得：x=1，故选D
【点睛】
求解分式方程是本题的考点，解分式方程时应注意分母不为0
6．C
【解析】
【详解】
解：
，
∴，
∴；
将检验是方程的根，
∴方程的解为；
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了分式方程及其解法，解分式方程的步骤为：去分母，化为整式方程；移项、合并同类项；系数化为1；检验；结论，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键.
7．C
【解析】
【分析】
增根使分式最简公分母为0的解．先左右两边同乘最简公分母x-1去分母，得到整式方程，令最简公分母x-1=0，得到x=1，然后代入整式方程算出未知字母的值．
【详解】
解：方程两边都乘以（x-1），得出k+1=-x，
因为原方程有增根，所以最简公分母x-1=0，得出x=1，
把x=1代入整式方程，得出k=-2.
故答案为C.
【点睛】
本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0，确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
8．D
【解析】
【分析】
根据分式方程的定义，即可得出答案.
【详解】
A不是方程，故此选项错误；B是方程，但不是分式方程，故此选项错误；C是一元一次方程，不是分式方程，故此选项错误；D是分式方程，故答案选择D.
【点睛】
本题考查的是分式方程的定义，分式方程的定义：①形如AB的式子；②其中A，B均为整式，且B中含有字母.
9．
【解析】
【分析】
按分式方程的解法，去分母化分式方程为整式方程求解即可．
【详解】
解:方程的两边都乘以，得
所以．
当时，，所以1不是原方程的根；
当时，，所以-1是原方程的根．
所以原方程的解为:．
故答案为:．
【点睛】
本题考查了分式方程的解法．题目比较简单，解分式方程易忘记检验而出错．解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
10．x=1．
【解析】
【分析】
增根即使分母为0时，x的值.
【详解】
令x-1=0，即得增根为1.
【点睛】
此题主要考察增根的定义.
11．
【解析】
【分析】
设甲每小时做个零件，则乙每小时做个零件，根据工作时间工作总量工作效率结合甲做90个零件所用的时间与乙做60个零件所用的时间相等，即可得出关于的分式方程，此题得解．
【详解】
解：设甲每小时做个零件，则乙每小时做个零件，
依题意，得：．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
12．-3．
【解析】
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．
【详解】
解：去分母得：2x-1=x+1+m，整理得：x=m+2，当m+2= -1，即m= -3时，方程无解．故答案为：-3．
【点睛】
本题考查分式方程的解，分式方程无解分为最简公分母为0的情况与分式方程转化为的整式方程无解的情况．
13．5
【解析】
根据题意得：，解得：=5
14．；
【解析】
【分析】
如果设，那么 ，原方程变为：y - -2=0，方程两边乘最简公分母y，可以把分式方程转化为整式方程．
【详解】
解：设，原方程变为y--2=0，方程两边都乘y得．故原方程可化为关于y的整式方程是．
故答案为：．
【点睛】
本题考查用换元法使分式方程简便．换元后再在方程两边乘最简公分母可以把分式方程转化为整式方程．应注意换元后的字母系数．
15．x=2
【解析】
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】
解：去分母得：x+2＝2x，
解得：x＝2，
经检验x＝2是分式方程的解，
故答案为：x＝2
【点睛】
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
16．（1）2xy（x+2）（x-2）；（2）x=11．
【解析】
【分析】
（1）先提取公因式2xy，再利用平方差公式分解可得；（2）方程两边都乘以（x+1）（x-3），化分式方程为整式方程，再解分式方程求出x的值，继而检验即可得．
【详解】
解：（1）原式=2xy（x2-4）=2xy（x+2）（x-2）；（2）去分母，得：2（x+1）=3（x-3），去括号，得：2x+2=3x-9，移项，得：2x-3x=-9-2，合并同类项，得：-x=-11，系数化为1，得：x=11，经检验：x=11是原分式方程的解，所以分式方程的解为x=11．
【点睛】
本题考查因式分解和解分式方程，解题的关键是熟练掌握因式分解和解分式方程的步骤．
17．（1）甲，乙两种玩具的进价分别是15元/件，25元/件；（2）共有4种方案．具体方案见解析；最多可以购进乙种玩具28件．
【解析】
【分析】
（1）设甲种玩具进价x元/件，则乙种玩具进价为（40-x）元/件，根据用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同可列方程求解．（2）设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具（48-y）件，根据购进这两种玩具的总资金超过960元但不超过1000元，可列出不等式组求解．
【详解】
（1）设甲种玩具进价x元/件，则乙种玩具进价为（40-x）元/件，根据题意，得，解得x=15，经检验x=15是原方程的解．∴40-x=25．答：甲，乙两种玩具的进价分别是15元/件，25元/件；（2）设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具（48-y）件，根据题意，得960＜15y+25（48-y）≤1000，解得20≤y＜24．∵y是整数，∴y取20，21，22，23，共有4种方案．方案一：购进甲种玩具20件，购进乙种玩具28件，方案二：购进甲种玩具21件，购进乙种玩具27件，方案三：购进甲种玩具22件，购进乙种玩具26件，方案四：购进甲种玩具23件，购进乙种玩具25件，
则最多可以购进乙种玩具28件．
答：（1）甲，乙两种玩具的进价分别是15元/件，25元/件；（2）共有4种方案．方案一：购进甲种玩具20件，购进乙种玩具28件，方案二：购进甲种玩具21件，购进乙种玩具27件，方案三：购进甲种玩具22件，购进乙种玩具26件，方案四：购进甲种玩具23件，购进乙种玩具25件，最多可以购进乙种玩具28件．
【点睛】
本题考查分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，第一问以件数做为等量关系列方程求解，第2问以购进这两种玩具的总资金数做为不等量关系列不等式组求解．
18．x=1.
【解析】
【分析】
先将分式方程去分母化为一元一次方程，再解方程后检验是否为增根即可解题.
【详解】
方程两边都乘(2x-3)，得
x-5=4(2x-3)，
解得x=1.
检验：当x=1时，2x-3≠0.
∴原方程的根是x=1.
【点睛】
本题考查了解分式方程，解本题的关键是注意符号问题以及增根问题.
19．（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）分式方程两边同乘以x（x+2），去分母将分式方程转化为整式方程求解，结果要检验；
（2）分式方程两边同乘以（x-2）（x+2），去分母将分式方程转化为整式方程求解，结果要检验．
【详解】
解：（1）去分母得：2x+4=3x，解得：x=4，经检验x=4是分式方程的解；（2）去分母得：x（x+2）-1=（x+2）（x-2），解得：，经检验是分式方程的解．
【点睛】
本题考查解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
20．(1)x=3.5；(2)原方程无解．
【解析】
【分析】
解分式方程时首先去分母，找到(1)(2)中的最简公分母分别为2（x-3）和（x-1）（x+1），等式左右两边同时乘以最简公分母，然后去括号，移项，合并同类项，系数化为1，最后把结果代入最简公分母进行检验，若不等于0，则有解，若等于0，则无解.
【详解】
(1)原方程可变形为：
解：等式左右两边同时乘以最简公分母得2﹣1=2x﹣6
解得
把代入最简公分母
所以是原方式方程的解．
所以原分式方程的解为：
(2) 解：等式左右两边同时乘以最简公分母去分母 得5(x﹣1)+3(x+1)=6，
去括号，得5x﹣5+3x+3=6，
移项合并，得8x=8，
解得x=1
把代入最简公分母
所以原方程无解．
【点睛】
解分式方差时，需要注意找准最简公分母，再去分母化为整式方程，最后得到的解一定要代入最简公分母进行检验，若不等于0，则有解，若等于0，则无解.
21．(1)甲工人每天制作5个宣传牌，乙工人每天制作6个；(2)给甲分配制作20个，乙制作24个.
【解析】
【分析】
（1）设甲工人每天完成x个宣传牌，则乙工人每天完成1.2x个宣传牌，根据完成30个宣传牌工作，乙工人比甲工人节省了一天时间列出方程解答即可；（2）根据（1）中求得的数据，设甲完成a个宣传牌，则乙完成（44-a）个宣传牌，根据所用时间相等列出方程解答即可．
【详解】
解：(1)设甲工人每天制作x个宣传牌，则乙工人每天制(1+20%)x=1.2x个，由题意得
解得x=5
经检验x=5是原方程的解且符合题意
∴1.2x=6
答:甲工人每天制作5个宣传牌，乙工人每天制作6个.
(2) 设甲完成a个宣传牌，则乙完成（44-a）个宣传牌，由题意得： ，解得：a=20，44-a=24，答：给甲分配制作20个，乙制作24个 ，才能让两名工人同时完成任务．
故答案为：(1)甲工人每天制作5个宣传牌，乙工人每天制作6个；(2)给甲分配制作20个，乙制作24个.
【点睛】
本题考查分式方程的实际运用、一元一次方程的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键.