【北师大版八年级数学下册同步训练】第五章 分式与分式方程单元测试卷（含解析）

第五章分式与分式方程单元测试卷
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列各式是最简分式的是（ ）
A．48a B．a2ba C．xx?y D．b?ab2?a2
2．要使分式有意义，则x的取值应满足（ ）
A． B． C． D．
3．分式，，的最简公分母为（ ）
A． B．
C． D．
4．下列式子中,不属于分式的是
A． B． C． D．
5．已知x≠0，y≠0，对下列各个分式的约分，正确的是( )
A． B． C． D．
6．在函数中，自变量x的取值范围是
A．x>2 B．x≤2且x≠0 C．x<2 D．x>2且x≠0
7．下列各式从左到右的变形中，正确的是(　　)
A． B． C． D．
8．八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分件后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．己知汽车的速度是骑自行车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为x千米/小时，则所列方程正确的是( )
A． B． C． D．
9．将分式方程化为整式方程，正确的是（　　）
A．x﹣2=3 B．x+2=3 C．x﹣2=3（x﹣2） D．x+2=3（x﹣2）
10．如图是方程+1=的变形求解过程，其中“去括号”的步骤是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
二、填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）
11．若分式的值为0，则的值为______.
12．计算：a2a?3?9a?3=________.
13．若关于x的分式方程有增根，则k的值为__________.
14．方程=-1的根为________
15．为加快“最美毕节”环境建设，某园林公司增加了人力进行大型树木移植，现在平均每天比原计划多植树30棵，现在植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同，设现在平均每天植树x棵，则列出的方程为____________.
16．的最简公分母是_______________．
17．在分式中，最简分式有____个．
三、解答题（共6小题，满分42分，每题7分）
18．化简：（﹣） ÷ ，并解答：
（1）当x=3时，求原式的值；
（2）原式的值能等于﹣1吗？为什么？
19．先化简，再求值：，其中x从－2≤x≤1范围内选取一个合适的整数．
20．先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x=﹣2
21．计算：（1）2x+y?2x?y?；
（2）xx2?25?5x2+10x+25．
22．儿童节前，某玩具商店根据市场调查，用3000元购进一批儿童玩具，上市后很快脱销，接着又用5400元购进第二批这种玩具，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每套进价多了10元．
(1)求第一批玩具每套的进价是多少元？
(2)如果这两批玩具每套售价相同，且全部售完后总利润不低于25%，那么每套玩具售价至少是多少元？
23．解方程：（1）； （2）
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
根据最简分式的定义即可判断.
【详解】
A. 48a还有公因式4，不是最简分式；
B. a2ba还有公因式a，不是最简分式；
C. xx?y没有公因式，是最简分式；
D. b?ab2?a2=b?a（b+a）（b?a）还有公因式（b?a），不是最简分式；
故选C.
【点睛】
此题主要考查最简分式的定义，解题的关键是判断分子分母是否有公因式.
2．A
【解析】
【详解】
解：∵ 在实数范围内有意义，
∴.
∴
故选A.
3．D
【解析】
【分析】
根据进行判断即可.
【详解】
解：由题意可知:a+b、a2- b 2、b-a的最简公分母为(a-b)(a+b)=a2- b 2.
故本题正确答案为D.
【点睛】
本题主要考查最简公分母的定义.通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母, 这样的公分母叫做最简公分母.
4．C
【解析】
【分析】
根据分式的定义分析即可.
【详解】
A、B、D中的分母都含有字母，是分式；C中的分母含有圆周率π，π是常数，故C不是分式.
故选C.
【点睛】
本题主要考查分式的定义，判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．注意π不是字母，是常数，所以分母中含π的代数式不是分式，是整式．
5．C
【解析】
【分析】
根据分式的基本性质, 找到分式的分子, 分母的公因式, 进行约分, 对四个选项依次判断即可.
【详解】
解: A、错误, 应为；
B、错误, 应为；
C、正确;
D 、不能再约分, 错误.
故选C.
【点睛】
本题考查了分式的约分, 解题的关键是熟悉分式的基本性质, 分式的分子分母同乘或同除以一个不为0的数或因式, 分式仍成立.本题属于基础题.
6．B
【解析】
根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得:
2-x≥0且x≠0，解得x≤2且x≠0．故选B．
7．C
【解析】
【分析】
本题通过运用分式的基本性质进行变形，分式的分子分母同时乘以或者除以一个不为0 的整式，分式的值不变.
【详解】
A．的分子分母没有公因式，所以不能化简，等式的两边不相等，排除
B．根据分式的基本性质，只有当y≠0时，等式的两边才相等，排除
C．从等式的左边到右边，是分式的分子和分母都乘以a﹣b，此时的a﹣b是不等于0的，因为a﹣b在等式左边分式的分母位置，已经包含了不等于0的条件，符合分式的性质
D．，排除
故选：C．
【点睛】
本题考察了分式的基本性质：分式的分子分母同时乘以或者除以一个不为0的整式，分式的值不变.再就是分式符号的位置规律应该为：
8．C
【解析】
设骑车学生的速度为x千米/小时，依题意得：

故选C.
9．D
【解析】
去分母得：x+2=3（x-2），
故选D.
10．B
【解析】
【分析】
先对+1=去分母，去括号，再移项合并同类项，系数化为1即可得到答案.
【详解】
去分母，得3（x–1）+6=2（2x+1），
去括号，得3x–3+6=4x+2，
移项，得3x–4x=2+3–6，
合并同类项，得–x=–1，
系数化为1，得x=1，
即①为去分母，②为去括号，③为移项，④为合并同类项，
故选B．
【点睛】
本题考查分式方程的求解，解题的关键是掌握分式方程求解的基本步骤.
11．1.
【解析】
【分析】
根据分式的值为零的条件即可得出．
【详解】
解：∵分式的值为0，∴x-1=0且x≠0，∴x=1．故答案为1．
【点睛】
本题考查了分式的值为零的条件：当分式的分母不为零，分子为零时，分式的值为零．
12．a+3.
【解析】分析：
按同分母分式的减法法则计算即可.
详解：
原式=a2?9a?3=(a+3)(a?3)a?3=a+3.
故答案为：a+3.
点睛：熟记“同分母分式的减法法则”，并能用“平方差公式”分解因式是解答本题的关键.
13．或
【解析】
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到最简公分母为0求出的值，代入整式方程求出的值即可．
【详解】
解：
去分母得：，
整理得：
由分式方程有增根，得到，
解得：或，
把代入整式方程得：；
把代入整式方程得：，
则的值为或．
故答案为：或
【点睛】
此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
14．
【解析】
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】
解：去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解，
故答案为：
【点睛】
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
15．
【解析】
【分析】
设现在平均每天植树x棵，则原计划每天植树（x-30）棵，根据：现在植树400棵所需时间=原计划植树300棵所需时间，这一等量关系列出分式方程即可．
【详解】
解：设现在平均每天植树x棵，则原计划每天植树（x-30）棵，根据题意，可列方程：，
故答案为：.
【点睛】
此题考查了由实际问题列分式方程，关键在寻找相等关系，列出方程．
16．
【解析】
【分析】
确定最简公分母的方法是：
（1）取各分母系数的最小公倍数；
（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；
（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
【详解】
解：的分母分别是xy、4x3、6xyz，故最简公分母是．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了最简公分母的定义及求法．通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫做最简公分母．一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂．
17．1.
【解析】
【分析】
依次判断每个分式是否可化简即可判断.
【详解】
=，不是最简分式；为最简分式；=m-n，不是最简分式；=，不是最简分式；=-1，不是最简分式，故最简分式有1个.
【点睛】
此题主要考察最简分式的定义.
18．(1)2；(2)不能，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）通分后用分式加减法法则计算，再用除法法则变形，约分得到最简结果，把x=3代入计算即可求出值；
（2）令代数式等于，求出x的值，检验即可．
【详解】
（1）原式====，
当时，原式==2；
（2）如果，即，∴，而当时，除式，∴原代数式的值不能等于．
【点睛】
本题主要考查了分式化简求值.
19．，见解析
【解析】
【分析】
根据平方差公式和完全平方公式去把分子和分母消掉
化简，然后令x取值代入求出结果即可,
【详解】
原式＝
＝
＝.
，且.
当时，原式＝.
【点睛】
本题考查分式的化简求值，善于利用平方差公式和完全平方公式去解题.
20．2
【解析】
【分析】
（1）根据分式的运算法则即可求出答案．
【详解】
解：（1﹣）÷
=
=
= ，
当x=﹣2时，原式==2．
【点睛】
考查分式的运算以及分式方程的解法，解题的关键是熟练运用分式的运算法则以及分式方程的解法．
21．(1)?4yx2?y2(2) x2+25(x?5)(x+5)2
【解析】
【分析】
(1)原式通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果；（2）先把分母分解因式，确定最简公分母，然后通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果.
【详解】
（1）2x+y?2x?y?
=2(x?y)?2(x+y)(x+y)(x?y)
=?4yx2?y2
（2）xx2?25?5x2+10x+25
=x(x?5)(x+5)?5(x+5)2
=x(x+5)?5(x?5)(x?5)(x+5)2
=x2+25(x?5)(x+5)2．
【点睛】
本题考查异分母分式的减法。要先通分分，转化为同分母分式相减。解题关键是最简公分母的确定.
22．(1)第一批玩具每套的进价是50元；(2)每套售价至少是70元．
【解析】
【分析】
(1)设第一批玩具每套的进价是x元，则第一批进的件数是：，第二批进的件数是：，再根据等量关系：第二批进的件数＝第一批进的件数×1.5可得方程；
(2)设每套售价是y元，利润＝售价﹣进价，根据这两批玩具每套售价相同，且全部售完后总利润不低于25%，可列不等式求解．
【详解】
解：(1)设第一批玩具每套的进价是x元，
×1.5＝，
x＝50，
经检验x＝50是分式方程的解，符合题意．
答：第一批玩具每套的进价是50元；
(2)设每套售价是y元，
×1.5＝90(套)．
50y+90y﹣3000﹣5400≥(3000+5400)×25%，
y≥70，
答：如果这两批玩具每套售价相同，且全部售完后总利润不低于25%，那么每套售价至少是70元．
【点睛】
本题考分式方程的应用和查理解题意的能力，关键是根据价格做为等量关系列出方程，根据利润做为不等辆关系列出不等式求解．
23．(1)x＝9 ; (2)无解.
【解析】
【分析】
（1）先去分母，把分式方程化为整式方程，求出x的值，再把x的值代入最简公分母进行检验即可；
（2）先去分母，把分式方程化为整式方程，求出x的值，再把x的值代入最简公分母进行检验即可；
【详解】
（1）
方程两边同乘x(x－3)，得2x＝3x－9
解得x＝9
检验：x＝9时x(x－3)≠0，x＝9是原分式方程的解
所以原分式方程的解是x＝9
（2）
方程两边同乘(x－1) (x＋2)，得x(x＋2)－(x－1) (x＋2)＝3
化简，得 x＋2＝3
解得 x＝1
检验：x＝1时(x－1) (x＋2)＝0，x＝1不是分式方程的解，
所以，原分式方程无解
【点睛】
考查的是解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．