人教版八年级数学下册17.1勾股定理同步练习含答案

17.1勾股定理
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.如图，字母B所代表的正方形的面积是( )

A. 12
B. 144
C. 13
D. 194

2.一个直角三角形，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是( )
A. 斜边长为25 B. 三角形的周长为25
C. 三角形的面积为12 D. 斜边长为5
3.下列结论中，错误的有( )
在中，已知两边长分别为3和4，则第三边的长为5；
的三边长分别为AB，BC，AC，若，则；
在中，若：：：5：6，则是直角三角形；
若三角形的三边长之比为3：4：5，则该三角形是直角三角形；

A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
4.如图，直线L上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为1和9，则b的面积为( )
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
5.已知直角三角形的两条边长分别是3和5，那么这个三角形的第三条边的长为( )
A. 4 B. 16 C. 16或 D. 4或
6.已知：如图所示，在中，，，，则AB的长为( )

A. 4 B. C. 5 D.











7.直角三角形中，两条直角边边长分别为12和5，则斜边长是( )
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13


8.如图，矩形纸片ABCD中，，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点O，若，则AB的长为( )
A. 6cm B. 7cm C. 8cm D. 9cm
9.如图，分别以的三边为斜边向外作等腰直角三角形，若斜边，则图中阴影部分的面积为( )
A. 4 B. 8 C. 10 D. 12
10.中，，，高，则BC的长为( )
A. 14 B. 4 C. 14或4 D. 以上都不对
二、填空题（本大题共7小题，共21.0分）
11.若直角三角形的两条边长为a，b，且满足，则该直角三角形的第三条边长为______ ．
12.已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则这个直角三角形斜边上的高为______．
13.如图，等腰中，，AD是底边上的高，若，，则______cm．


14.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、E的面积分别为2，5，1，则正方形D的面积是______ ．












15.如图，在中，，，，则 ______ ．
16.如图，点E在正方形ABCD内，且，，，则图中阴影部分的面积是______．
17.如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若，，那么正方形ABCD的面积为______．













三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

18.已知如图，四边形ABCD中，，，，，，求这个四边形的面积．










四、解答题（本大题共4小题，共32.0分）
19.如图，在中，D是BC边上一点，，，，，求AC的长．







20.如图，在中，，，，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E．
求：的长；
的长．










21.如图：正方形网格中每个小方格的边长为1，且点A、B、C均为格点．
（1）求的面积；
（2）通过计算判断的形状；
（3）求AB边上的高．





22.如图是“赵爽弦图”，其中、、和是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，根据这个图形的面积关系，可以证明勾股定理．设，，，取，．
（1）正方形EFGH的面积为______，四个直角三角形的面积和为______；
（2）求的值．










答案和解析
1.【答案】B

【解析】【分析】
本题主要考查了正方形的面积公式和勾股定理的应用主要搞清楚直角三角形的斜边和直角边字母B所代表的正方形的面积就是斜边的平方减去一直角边的平方，实际上是求另一直角边的平方，用勾股定理即可解答．
【解答】
解：如图，根据勾股定理我们可以得出：

，，，
，
因此B的面积是144．
故选B．
2.【答案】D

【解析】【分析】
本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．但本题也用到了三角形的面积公式和周长公式．先根据勾股定理求出斜边长，求出周长，再根据三角形面积公式求出面积，即可判断．
【解答】
解：根据勾股定理可知，直角三角形两直角边长分别为3和4，
则它的斜边长是，
周长是，
三角形的面积，
故说法正确的是D选项．
故选D．

3.【答案】C

【解析】解：在中，已知两边长分别为3和4，则第三边的长为5或，错误；
的三边长分别为AB，BC，AC，若，则，错误；
在中，若：：：5：6，则是直角三角形，正确；
若三角形的三边长之比为3：4：5，则该三角形是直角三角形，正确；
故选：C．
根据勾股定理和其逆定理进行判断即可．
此题考查勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理和其逆定理解答．
4.【答案】C

【解析】解：由于a、b、c都是正方形，所以，；

，即，
在和中，
，
≌，
，；
在中，由勾股定理得：，
即，
的面积为10，
故选：C．
运用正方形边长相等，再根据同角的余角相等可得，然后证明≌，再结合全等三角形的性质和勾股定理来求解即可．
此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，关键是证明≌．
5.【答案】D

【解析】【分析】
此题主要考查了利用勾股定理，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．此题要分两种情况：当3和5都是直角边时；当5是斜边长时；分别利用勾股定理计算出第三边长即可．
【解答】
解：当3和5都是直角边时，第三边长为：；
当5是斜边长时，第三边长为：．
故选D．
6.【答案】A

【解析】【分析】
此题考查了解直角三角形，以及勾股定理，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
过A作AD与BC垂直，在直角三角形ACD中，根据题意确定出，求出AD的长，再利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出AB的长即可．
【解答】
解：过A作，

在中，，，
，
在中，，，
，
故选A．
7.【答案】D

【解析】解：直角三角形中，两条直角边边长分别为12和5，
斜边长；
故选：D．
由勾股定理进行计算即可得出结果．
本题考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键．
8.【答案】C

【解析】【分析】
本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等根据折叠前后角相等可证，在直角三角形ADO中，运用勾股定理求得DO，再根据线段的和差关系求解即可．
【解答】
解：根据折叠前后角相等可知，
四边形ABCD是矩形，
，
，
，
，
在直角三角形ADO中，，
．
故选C．

9.【答案】B

【解析】解：在中，，，
，
，
同理；，，
在中，，，
，





．
故选：B．
根据勾股定理和等腰直角三角形的面积公式，可以证明：以直角三角形的两条直角边为斜边的等腰直角三角形的面积和等于以斜边为斜边的等腰直角三角形的面积．则阴影部分的面积即为以斜边为斜边的等腰直角三角形的面积的2倍．
本题考查了勾股定理的知识，难度适中，解题关键是运用勾股定理证明三个等腰直角三角形的面积之间的关系．
10.【答案】C

【解析】解：如图，锐角中，，，BC边上高，
在中，，由勾股定理得
，
则，
在中，，由勾股定理得
，
则，
故BC；
钝角中，，，BC边上高，
在中，，由勾股定理得
，
则，
在中，，由勾股定理得
，
则，
故BC的长为．
故选：C．
分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得BD，CD，再由图形求出BC，在锐角三角形中，，在钝角三角形中，．
本题考查了勾股定理，把三角形边的问题转化到直角三角形中用勾股定理解答．
11.【答案】5或

【解析】解：该直角三角形的第三条边长为x，
直角三角形的两条边长为a，b，且满足，
，．
若4是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理得：
，
；
若4是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理得：
，
；
第三边的长为5或．
故答案为：5或．
设该直角三角形的第三条边长为x，先根据非负数的性质求出a、b的值，再分4是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
12.【答案】或

【解析】解：分为两种情况：
当斜边长是4，一条直角边长是3时，
由勾股定理得，第三边长为：，
斜边上的高为；
当3和4都是直角边长时，
由勾股定理得：斜边长为，
斜边上的高为；
故答案为：或．
分为两种情况：斜边长是4，一条直角边是3，根据勾股定理求出另一条直角边的长，再由三角形面积即可得出结果；和4都是直角边长，根据勾股定理求出斜边，再由三角形面积即可得出结果．
本题考查的是勾股定理以及三角形面积的计算方法；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键，注意分类讨论．
13.【答案】4

【解析】【分析】
本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理．关键要熟知等腰三角形的三线合一可得．先根据等腰三角形的性质求出BD的长，再根据勾股定理解答即可．
【解答】
解：根据等腰三角形的三线合一可得：，
在直角中，
由勾股定理得：，
所以，．
故答案为4．
14.【答案】2

【解析】解：设中间两个正方形的面积分别为x、y，正方形D的面积为z，则由勾股定理得：
；
；
；
即正方形D的面积为：．
故答案为：2．
分别设中间两个正方形和正方形D的面积为x，y，z，由勾股定理即可得到结论．
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
15.【答案】

【解析】解：如图，过点C作于点D，

在中，，，
，
在中，，
，
则，
故答案为：．
作，由、知，由知，最后由勾股定理可得答案．
本题主要考查勾股定理、直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质和勾股定理是解题的关键．
16.【答案】139

【解析】解：在中，，，，由勾股定理得：，
正方形的面积是，
的面积是，
阴影部分的面积，
故答案为：139．
根据勾股定理求出AB，分别求出和正方形ABCD的面积，即可求出答案．
本题考查了正方形的性质，三角形的面积，勾股定理的应用，主要考查学生的计算能力和推理能力．
17.【答案】3

【解析】解：由勾股定理得，，
正方形ABCD的面积，
故答案为：3．
根据勾股定理求出BC，根据正方形的面积公式计算即可．
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么．
18.【答案】解：连接AC，如图所示：

，为直角三角形，
又，，
根据勾股定理得：，
又，，
，，
，
为直角三角形，，
则．

【解析】连接AC，在直角三角形ABC中，由AB及BC的长，利用勾股定理求出AC的长，再由AD及CD的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形ACD为直角三角形，根据四边形ABCD的面积直角三角形ABC的面积直角三角形ACD的面积，即可求出四边形的面积．
此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理定理及勾股定理逆定理是解本题的关键．
19.【答案】解：在中，，，，
，
为直角三角形，
，即．
在中，，
，，
，
．

【解析】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，得出是解题关键．直接利用勾股定理逆定理得出，进而利用勾股定理得出AC的长．
20.【答案】解：在中，，，，
；
垂直平分AB，
，
设，则，
，
解得：，
，
．

【解析】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
根据勾股定理即可得到结论；
设，则，根据勾股定理列方程，即可得到结论．
21.【答案】解：的面积；
由勾股定理得：，
，
，
，
是直角三角形，，
是直角三角形；
，，是直角三角形，
边上的高．

【解析】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．
由矩形的面积减去三个直角三角形的面积即可；
由勾股定理和勾股定理的逆定理即可得出结论；
由三角形的面积即可得出结果．
22.【答案】解：；96
由可知四个直角三角形的面积和为96，
，解得，
，
．

【解析】解：
，
，
，
，
四个直角三角形的面积和，
故答案为：4；96；

见答案
【分析】
由题意可知，可求得正方形EFGH的面积，利用四个直角三角形的面积和正方形ABCD的面积正方形EFGH的面积，可求得答案；
利用勾股定理可求得的值，利用四个直角三角形的面积可求得2ab，则可求得答案．
本题主要考查勾股定理的证明及应用，理解图形中四个三角形的面积和等于大正方形的面积与小正方形面积的差是解题的关键．

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