沪科版八年级数学下册《第17章 一元二次方程》单元测试卷（三）解析版

沪科版八年级数学下册《第17章一元二次方程》单元测试卷（三）及解析
一、选择题（本大题共10小题，共50分）
方程(m+2)x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则(????)
A. m=±2 B. m=2 C. m=?2 D. m≠±2
把方程x(x+2)=5(x?2)化成一般式，则a，b，c的值分别是(????)．
A. 1，?3，10 B. 1，7，?10 C. 1，?5，12 D. 1，3，2
如果关于x的一元二次方程k2x2?(2k+1)x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是(????)
A. k>?14 B. k>?14且k≠0 C. k等腰三角形的底和腰是方程x2?7x+12=0的两个根，则这个三角形的周长是(????)
A. 11 B. 10 C. 11或10 D. 不能确定
已知x1，x2是关于x的方程x2+ax?2b=0的两实数根，且x1+x2=?2，x1?x2=1，则ba的值是(????)
A. 14 B. ?14 C. 4 D. ?1
用配方法解一元二次方程x2?4x+2=0时，可配方得(????)
A. (x?2)2=6 B. (x+2)2=6 C. (x?2)2=2 D. (x+2)2=2
某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是(????)
A. 50(1+x)2=182 B. 50+50(1+x)+50(1+x)2=182C. 50(1+2x)=182 D. 50+50(1+x)+50(1+2x)2=182
若关于x的一元二次方程ax2+bx+5=0(a≠0)的解是x=1，则2015?a?b的值是(????)
A. 2017 B. 2018 C. 2019 D. 2020
关于x的方程(2?a)x2+5x?3=0有实数根，则整数a的最大值是(????)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
定义运算：a?b=a(1?b).若a，b是方程x2?x+14m=0(m<0)的两根，则b?b?a?a的值为(????)
A. 0 B. 1 C. 2 D. 与m有关
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
当k= ______ 时，方程x2+(k+1)x+k=0有一根是0．
设m，n分别为一元二次方程x2+2x?2018=0的两个实数根，则m2+3m+n=______．
已知a，b是方程x2?1840x+1997=0的两根，(a2?1841a+1997)(b2?1841b+1997)= ______ ．
一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是57，每个支干长出______ 个小分支．
三、解答题（本大题共7小题，共80分）
解方程(1)x2?4x?5=0 (2)3x(x?1)=2?2x．
试证明关于x的方程(a2?8a+20)x2+2ax+1=0无论a取何值，该方程都是一元二次方程．
龙华天虹商场以120元/件的价格购进一批上衣，以200元/件的价格出售，每周可售出100件．为了促销，该商场决定降价销售，尽快减少库存．经调查发现，这种上衣每降价5元/件，每周可多售出20件．另外，每周的房租等固定成本共3000元．该商场要想每周盈利8000元，应将每件上衣的售价降低多少元？
求证：代数式3x2?6x+9的值恒为正数．
某地区开展“科技下乡”活动三年来，接受科技培训的人员累计达95万人次，其中第一年培训了20万人次。求每年接受科技培训的人次的平均增长率。
某商店原来平均每天可销售某种水果200千克，每千克可盈利6元，为减少库存，经市场调查，如果这种水果每千克降价1元，则每天可所多售出20千克．若要平均每天盈利960元，则每千克应降价多少元？
如图所示，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙(可利用的墙长为19m)，另外三边利用学校现有总长38m的铁栏围成．(1)若围成的面积为180m2，试求出自行车车棚的长和宽；(2)能围成的面积为200m2自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：由一元二次方程的定义可得|m|=2m+2≠0，解得：m=2.故选B．本题根据一元二次方程的定义，必须满足两个条件：(1)未知数的最高次数是2；(2)二次项系数不为0.据此即可求解．一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0(a,b，c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．2.【答案】A
【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0(a,b，c是常数且a≠0)，在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．a、b、c分别指的是一元二次方程的一般式中的二次项系数、一次项系数、常数项．【解答】解：由方程x(x+2)=5(x?2)，得x2?3x+10=0，∴a、b、c的值分别是1、?3、10；故选A．3.【答案】B
【解析】解：由题意知，k≠0，方程有两个不相等的实数根，所以△>0，△=b2?4ac=(2k+1)2?4k2=4k+1>0．又∵方程是一元二次方程，∴k≠0，∴k>?14且k≠0．故选：B．若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△=b2?4ac>0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(1)△>0?方程有两个不相等的实数根；(2)△=0?方程有两个相等的实数根；(3)△<0?方程没有实数根．注意方程若为一元二次方程，则k≠0．4.【答案】C
【解析】解：方程分解得：(x?3)(x?4)=0，解得：x1=3，x2=4，若3为底，4为腰，三角形三边为3，4，4，周长为3+4+4=11；若3为腰，4为底，三角形三边为3，3，4，周长为3+3+4=10．故选C．利用因式分解法求出方程的解得到x的值，确定出底与腰，即可求出周长．此题考查了解一元二次方程?因式分解法，熟练掌握因式分解法是解本题的关键．5.【答案】A
【解析】解：∵x1，x2是关于x的方程x2+ax?2b=0的两实数根，∴x1+x2=?a=?2，x1?x2=?2b=1，解得a=2，b=?12，∴ba=(?12)2=14．故选：A．根据根与系数的关系和已知x1+x2和x1?x2的值，可求a、b的值，再代入求值即可．此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．6.【答案】C
【解析】解：移项，得x2?4x=?2 在等号两边加上4，得x2?4x+4=?2+4 ∴(x?2)2=2．故C答案正确．故选：C．根据配方法的方法，先把常数项移到等号右边，再在两边同时加上一次项系数一半的平方，最后将等号左边配成完全平方式，利用直接开平方法就可以求解了．本题是一道一元二次方程解答题，考查了解一元二次方程的基本方法--配方法的运用，解答过程注意解答一元二次方程配方法的步骤．7.【答案】B
【解析】解：依题意得五、六月份的产量为50(1+x)、50(1+x)2，∴50+50(1+x)+50(1+x)2=182．故选：B．主要考查增长率问题，一般增长后的量=增长前的量×(1+增长率)，如果该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么可以用x分别表示五、六月份的产量，然后根据题意可得出方程．增长率问题，一般形式为a(1+x)2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．8.【答案】D
【解析】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+5=0(a≠0)的解是x=1，∴a+b+5=0，∴a+b=?5，∴2015?a?b=2015?(a+b)=2015?(?5)=2020；故选D．把x=1代入已知方程求得(a+b)的值，然后将其整体代入所求的代数式并求值即可．本题考查了一元二次方程的解定义．解题时，利用了“整体代入”的数学思想．9.【答案】D
【解析】解：∵关于x的方程(2?a)x2+5x?3=0有实数根，∴①当2?a=0，即a=2时，此时方程为一元一次方程，方程一定有实数根；②当2?a≠0，即a≠2时，此时方程为一元二次方程，如果方程有实数根，那么其判别式是一个非负数，∴△=25+12(2?a)≥0，解之得，a≤4912，∴整数a的最大值是4．故选D．由于关于x的方程(2?a)x2+5x?3=0有实数根，分情况讨论：①当2?a=0，即a=2时，此时方程为一元一次方程，方程一定有实数根；②当2?a≠0，即a≠2时，此时方程为一元二次方程，如果方程有实数根，那么其判别式是一个非负数，由此可以确定整数a的最大值．本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(1)△>0?方程有两个不相等的实数根；(2)△=0?方程有两个相等的实数根；(3)△<0?方程没有实数根．注意此方程应分是一元二次方程与不是一元二次方程两种情况进行讨论．10.【答案】A
【解析】解：(方法一)∵a，b是方程x2?x+14m=0(m<0)的两根，∴a+b=1，∴b?b?a?a=b(1?b)?a(1?a)=b(a+b?b)?a(a+b?a)=ab?ab=0．(方法二)∵a，b是方程x2?x+14m=0(m<0)的两根，∴a+b=1．∵b?b?a?a=b(1?b)?a(1?a)=b?b2?a+a2=(a2?b2)+(b?a)=(a+b)(a?b)?(a?b)=(a?b)(a+b?1)，a+b=1，∴b?b?a?a=(a?b)(a+b?1)=0．(方法三)∵a，b是方程x2?x+14m=0(m<0)的两根，∴a2?a=?14m，b2?b=?14m，∴b?b?a?a=b(1?b)?a(1?a)=?(b2?b)+(a2?a)=14m?14m=0．故选：A．(方法一)由根与系数的关系可找出a+b=1，根据新运算找出b?b?a?a=b(1?b)?a(1?a)，将其中的1替换成a+b，即可得出结论．(方法二)由根与系数的关系可找出a+b=1，根据新运算找出b?b?a?a=(a?b)(a+b?1)，代入a+b=1即可得出结论．(方法三)由一元二次方程的解可得出a2?a=?14m、b2?b=?14m，根据新运算找出b?b?a?a=?(b2?b)+(a2?a)，代入后即可得出结论．本题考查了根与系数的关系，解题的关键是找出a+b=1.本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系得出两根之积与两根之和是关键．11.【答案】0
【解析】解：将x=0代入方程x2+(k+1)x+k=0得：k=0，则k=0时，方程x2+(k+1)x+k=0有一根是0．故答案为：0 将x=0代入已知的方程中，得到关于k的方程，求出方程的解即可得到满足题意k的值．此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．12.【答案】2016
【解析】【分析】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=?ba，x1x2=ca.也考查了一元二次方程根的定义．先利用一元二次方程根的定义得到m2=?2m+2018，则m2+3m+n可化简为2018+m+n，再根据根与系数的关系得到m+n=?2，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：∵m为一元二次方程x2+2x?2018=0的实数根，∴m2+2m?2018=0，即m2=?2m+2018，∴m2+3m+n=?2m+2018+3m+n=2018+m+n，∵m，n分别为一元二次方程x2+2x?2018=0的两个实数根，∴m+n=?2，∴m2+3m+n=2018?2=2016．13.【答案】1997
【解析】解：∵a，b是方程x2?1840x+1997=0的两根，∴a2?1840a+1997=0，b2?1840b+1997=0，∴a2=1840a?1997，b2=1840b?1997，∴(a2?1841a+1997)(b2?1841b+1997)=(1840a?1997?1841a+1997)(1840b?1997?1841b+1997) =?a?(?b) =ab，∵a，b是方程x2?1840x+1997=0的两根，∴ab=1997，∴原式=1997．故答案为1997．先利用一元二次方程解的定义得到a2=1840a?1997，b2=1840b?1997，则利用整体代入的方法得到原式=ab，然后根据根与系数的关系求解．本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=?ba，x1x2=ca.也考查了一元二次方程的解．14.【答案】7
【解析】解：设每个支干长出的小分支的数目是x个，根据题意列方程得：x2+x+1=57，解得：x=7或x=?8(不合题意，应舍去)；∴x=7．故答案为：7．由题意设每个支干长出的小分支的数目是x个，每个小分支又长出x个分支，则又长出x2个分支，则共有x2+x+1个分支，即可列方程求得x的值．此题主要考查了一元二次方程的应用，注意能够熟练运用因式分解法解方程．15.【答案】解：(1)x2?4x?5=0 (x?5)(x+1)=0 ∴x?5=0或x+1=0，解得，x1=5，x2=?1；(2)3x(x?1)=2?2x 3x(x?1)+2(x?1)=0 (3x+2)(x?1)=0 ∴3x+2=0或x?1=0，解得，x1=?23,x2=1．
【解析】(1)根据因式分解法可以解答本题；(2)先移项，然后提公因式可以解答此方程．本题考查解一元二次方程?因式分解法，解题的关键是根据方程的特点，选取合适的因式分解法解答方程．16.【答案】证明：∵a2?8a+20=(a?4)2+4≥4，∴无论a取何值，a2?8a+20≥4，即无论a取何值，原方程的二次项系数都不会等于0，∴关于x的方程(a2?8a+20)x2+2ax+1=0，无论a取何值，该方程都是一元二次方程．
【解析】根据一元二次方程的定义，只需证明此方程的二次项系数a2?8a+20不等于0即可．一元二次方程有四个特点：(1)只含有一个未知数；(2)含未知数的项的最高次数是2；(3)是整式方程；(4)将方程化为一般形式ax2+bx+c=0时，应满足a≠0.要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程．17.【答案】解：设每件上衣应降价x元，则每件利润为(80?x)元，列方程得：(80?x)(100+205x)?3000=8000，解得：x1=30，x2=25答：应将每件上衣的售价降低30或25元．
【解析】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解.设每件上衣应降价x元，则每件利润为(80?x)元，本题的等量关系为：每件上衣的利润×每天售出数量?固定成本=8000．18.【答案】证明：∵对于任何实数x，(x?1)2≥0，∴3x2?6x+9=3(x2?2x)+9=3(x2?2x+1)+9?3=3(x?1)2+6≥6>0，则对于任何实数x，代数式3x2?6x+9的值恒为正数．
【解析】将代数式前两项提取3，配方后根据完全平方式为非负数，得到代数式大于等于6，即对于任何实数x，代数式3x2?6x+9的值总大于0，得证．此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质：偶次幂，灵活应用完全平方公式是解本题的关键．19.【答案】解：设每年接受科技培训的人次的平均增长率为x，根据题意得：20+20(1+x)+20(1+x)2=95，解得：x1=12=50%，x2=?72(不合题意，舍去)，答：每年接受科技培训的人次的平均增长率为50%．
【解析】本题本题考查了一元二次方程的运用，解此类题目时常常根据原有人数×(1+增长率)n=增长后的人数(其中，n为增长次数)来列方程．设每年接受科技培训的人次的平均增长率为x，根据原有人数×(1+增长率)n=增长后的人数(其中，n为增长次数)，再将三年的所有人数加起来，即可列出方程，再求解即可．20.【答案】解：设每千克降价x元，根据题意得：(200+20x)×(6?x)=960，整理得：960=?20x2?80x+1200，即x2+4x?12=0，解得：x=?6(舍去)，或x=2．答：若要平均每天盈利960元，则每千克应降价2元．
【解析】此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的数量×每千克盈利=每天销售的利润是解题关键．根据“每天利润=每天销售数量×每千克的利润”即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结论．21.【答案】解：(1)设AB=x，则BC=38?2x；根据题意列方程的，x(38?2x)=180，解得x1=10，x2=9；当x=10，38?2x=18(米)，当x=9，38?2x=20(米)，而墙长19m，不合题意舍去，答：若围成的面积为180m2，自行车车棚的长和宽分别为10米，18米； (2)根据题意列方程的，x(38?2x)=200，整理得出：x2?19x+100=0；△=b2?4ac=361?400=?39<0，故此方程没有实数根，答：因此如果墙长19m，满足条件的花园面积不能达到200m2．
【解析】(1)利用长方形的周长表示出各边长，即可表示出矩形面积，求出即可；(2)利用长方形的面积列方程，利用根的判别式解答即可．此题主要考查了一元二次方程的应用，首先要注意读懂题意，正确理解题意，然后才能利用题目的数量关系列出方程．