沪科版八年级数学上册《第18章 勾股定理》单元试题解析版

沪科版八年级数学上册《第18章勾股定理》单元试题及解析
一、选择题（本大题共10小题，共50分）
适合下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为(????)①a=13，b=14，c=15②a=6，∠A=45°；③∠A=32°，∠B=58°；④a=7，b=24，c=25?⑤a=2，b=2，c=4．
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
将一个直角三角形的各边都扩大或缩小相同的倍数后，得到的三角形(????)
A. 可能是锐角三角形 B. 不可能是直角三角形C. 仍然是直角三角形 D. 可能是钝角三角形
△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，AB=8，BC=15，CA=17，则下列结论不正确的是(????)
A. △ABC是直角三角形，且AC为斜边 B. △ABC是直角三角形，且∠ABC=90°C. △ABC的面积是60 D. △ABC是直角三角形，且∠A=60°
一艘轮船以16海里∕小时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船12海里∕小时从港口A出发向东南方向航行，离开港口3小时后，则两船相距(????)
A. 36海里 B. 48海里 C. 60海里 D. 84海里
一直角三角形的一条直角边长是7cm，另一条直角边与斜边长的和是49cm，则斜边的长(????)
A. 18cm B. 20cm C. 24cm D. 25cm
在△ABC中，AB=12cm，BC=16cm，AC=20cm，则△ABC的面积是(????)
A. 96cm2 B. 120cm2 C. 160cm2 D. 200cm2
如图，一个圆锥的高AO=24cm，底面半径OB=7cm，则AB长为(????)
A. 25cmB. 24cmC. 20cmD. 18cm
如图：有一圆柱，它的高等于8cm，底面直径等于4cm(π=3)，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程大约(????)
A. 10cm B. 12cm C. 19cm D. 20cm
△ABC中，AB=13cm，AC=15cm，高AD=12，则BC的长为(????)
A. 14 B. 4 C. 14或4 D. 以上都不对
如图，正方形网格中，每小格正方形边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数有(????)
A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 3条
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
如图，等腰△ABC的底边BC为16，底边上的高AD为6，则腰长AB的长为______．
如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长都为1，则△ABC是：______ 三角形．

如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B200m，结果他在水中实际游了520m，求该河流的宽度为______m．
如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm.A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为______dm．
三、计算题（本大题共1小题，共10分）
如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，请问它飞行的最短路程是多少米(先画出示意图，然后再求解)．

四、解答题（本大题共6小题，共70分）
如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，AC=20，BC=15，DB=9．(1)求DC的长．(2)求AB的长．

如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD对折，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．

如图，∠AOB=90°，OA=9cm，OB=3cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿BC方向匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？
两根电线杆AB、CD，AB=5m，CD=3m，它们的底部相距8m，现在要在两根电线杆底端之间(线段BD上)选一点E，由E分别向两根电线杆顶端拉钢索AE、CE.若使钢索AE与CE相等，那么点E应该选在距点B多少米处？

如图所示，某人到岛上去探宝，从A处登陆后先往东走4km，又往北走1.5km，遇到障碍后又往西走2km，再转向北走到4.5km处往东一拐，仅走0.5km就找到宝藏．问登陆点A与宝藏埋藏点B之间的距离是多少？

如图，A市气象站测得台风中心在A市正东方向300千米的B处，以107千米/时的速度向北偏西60°的BF方向移动，距台风中心200千米范围内是受台风影响的区域．(1)A市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明；(2)如果A市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？

答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：①(13)2+(14)2≠(15)2，根据勾股定理的逆定理不是直角三角形，故不是；②a=6，∠A=45不是成为直角三角形的必要条件，故不是；③∠A=32°，∠B=58°则第三个角度数是90°，故是；④72+242=252，根据勾股定理的逆定理是直角三角形，故是；⑤22+22≠42，根据勾股定理的逆定理不是直角三角形，故不是．故选：A．计算出三角形的角利用定义判定或在知道边的情况下利用勾股定理的逆定理判定则可．本题考查了直角三角形的定义和勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．2.【答案】C
【解析】解：根据题意，新三角形与原三角形对应边成比例，所以两个三角形相似，所以得到的三角形仍然是直角三角形．故选C．根据“直角三角形的三边都扩大相同的倍数”得到新三角形与原三角形相似，所以是直角三角形．此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．3.【答案】D
【解析】解：∵AB=8，BC=15，CA=17，∴AB2=64，BC2=225，CA2=289，∴AB2+BC2=CA2，∴△ABC是直角三角形，因为∠B的对边为17最大，所以AC为斜边，∠ABC=90°，∴△ABC的面积是12×8×15=60，故错误的选项是D，故选D．根据勾股定理的逆定理和三角形的面积公式解答即可．本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．4.【答案】C
【解析】解：∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，∴∠BAC=90°，两小时后，两艘船分别行驶了16×3=48，12×3=36海里，根据勾股定理得：482+362=60(海里)．故选C．根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程=速度×时间，得两条船分别走了48，36.再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离．本题考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理进行计算，基础知识，比较简单．5.【答案】D
【解析】解：设另一条直角边是a，斜边是c.根据题意，得a+c=49c2?a2=49，联立解方程组，得a=24c=25.故选D．设另一条直角边是a，斜边是c.根据另一条直角边与斜边长的和是49cm，以及勾股定理就可以列出方程组，即可求解．注意根据已知条件结合勾股定理列方程求解．解方程组的方法可以把①方程代入②方程得到c?a=1，再联立解方程组．6.【答案】A
【解析】解：∵AB2+BC2=AC2 ∴△ABC是直角三角形∴∠B=90° ∴△ABC的面积=12AB?BC=12×12×16=96cm2．故选A．由已知可得到△ABC为直角三角形，从而两直角边的乘积的一半即为其面积．根据三角形的三边的长度判定这个三角形是直角三角形，是解决本题的关键．7.【答案】A
【解析】解：∵圆锥的高AO=24cm，底面半径OB=7cm，∴AB=OA2+OB2=242+72=25cm．故选A．根据母线、底面半径和高构成直角三角形利用勾股定理求解即可．本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．8.【答案】A
【解析】解：展开圆柱的半个侧面，得到一个矩形：矩形的长是圆柱底面周长的一半即2π=6，矩形的宽是圆柱的高即8．根据勾股定理得：蚂蚁爬行的最短路程即展开矩形的对角线长即10．故选A．根据两点之间，线段最短．首先把A和B展开到一个平面内，即展开圆柱的半个侧面，得到一个矩形，然后根据勾股定理，求得蚂蚁爬行的最短路程即展开矩形的对角线的长度．本题考查了勾股定理的拓展应用．“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．本题注意只需展开圆柱的半个侧面．9.【答案】C
【解析】解：(1)如图，锐角△ABC中，AB=13，AC=15，BC边上高AD=12，在Rt△ABD中AB=13，AD=12，由勾股定理得BD2=AB2?AD2=132?122=25，则BD=5，在Rt△ABD中AC=15，AD=12，由勾股定理得CD2=AC2?AD2=152?122=81，则CD=9，故BC=BD+DC=9+5=14；(2)钝角△ABC中，AB=13，AC=15，BC边上高AD=12，在Rt△ABD中AB=13，AD=12，由勾股定理得BD2=AB2?AD2=132?122=25，则BD=5，在Rt△ACD中AC=15，AD=12，由勾股定理得CD2=AC2?AD2=152?122=81，则CD=9，故BC的长为DC?BD=9?5=4．故选：C．分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得BD，CD，再由图形求出BC，在锐角三角形中，BC=BD+CD，在钝角三角形中，BC=CD?BD．本题考查了勾股定理，把三角形边的问题转化到直角三角形中用勾股定理解答．10.【答案】C
【解析】解：观察图形，应用勾股定理，得AB=42+12=17，BC=32+12=10，AC=42+32=5，∴AB和BC两个边长都是无理数．故选：C．根据图中所示，利用勾股定理求出每个边长，然后根据无理数的定义即可得出答案．此题考查了勾股定理的应用．注意格点三角形的三边的求解方法：借助于直角三角形，用勾股定理求解．11.【答案】10
【解析】【分析】根据等腰三角形的三线合一得BD=8，再根据勾股定理即可求出AB的长．注意等腰三角形的三线合一，熟练运用勾股定理．【解答】
解：∵等腰△ABC的底边BC为16，底边上的高AD为6，∴BD=8，AB=AD2+BD2=62+82=10．故答案为：10．
12.【答案】直角
【解析】解：∵AC2=22+32=13，AB2=62+42=52，BC2=82+12=65，∴AC2+AB2=BC2，∴△ABC是直角三角形．欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断．13.【答案】480
【解析】解：根据图中数据，运用勾股定理求得AB=5202?2002=720×320=480米．从实际问题中找出直角三角形，利用勾股定理解答．考查了勾股定理的应用，是实际问题但比较简单．14.【答案】25
【解析】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm，宽为(2+3)×3dm，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，由勾股定理得：x2=202+[(2+3)×3]2=252，解得x=25．故答案为25．先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．本题考查了平面展开?最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．15.【答案】解：如图所示，过D点作DE⊥AB，垂足为E ∵AB=13，CD=8 又∵BE=CD，DE=BC ∴AE=AB?BE=AB?CD=13?8=5 ∴在Rt△ADE中，DE=BC=12 ∴AD2=AE2+DE2=122+52=144+25=169 ∴AD=13(负值舍去) 答：小鸟飞行的最短路程为13m．
【解析】根据题意画出图形，构造出直角三角形，利用勾股定理求解．本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．16.【答案】解：(1)∵CD⊥AB于D，且BC=15，BD=9，AC=20∴∠CDA=∠CDB=90°在Rt△CDB中，CD2+BD2=CB2，∴CD2+92=152∴CD=12； (2)在Rt△CDA中，CD2+AD2=AC2∴122+AD2=202∴AD=16，∴AB=AD+BD=16+9=25．
【解析】(1)由题意可知三角形CDB是直角三角形，利用已知数据和勾股定理直接可求出DC的长；(2)有(1)的数据和勾股定理求出AD的长，进而求出AB的长．本题考查了勾股定理，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．17.【答案】解：∵两直角边AC=6cm，BC=8cm，在Rt△ABC中，由勾股定理可知AB=10，现将直角边AC沿直线AD对折，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD=DE，AE=AC=6，∴BE=10?6=4，设DE=CD=x，BD=8?x，在Rt△BDE中，根据勾股定理得：BD2=DE2+BE2，即(8?x)2=x2+42，解得x=3．即CD的长为3cm．
【解析】先由勾股定理求AB=10.再用勾股定理从△DEB中建立等量关系列出方程即可求CD的长．此题不但考查了勾股定理，还考查了学生折叠的知识，折叠中学生一定要弄清其中的等量关系．18.【答案】解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，∴BC=CA．设AC为x，则OC=9?x，由勾股定理得：OB2+OC2=BC2，又∵OA=9，OB=3，∴32+(9?x)2=x2，解方程得出x=5.? ? ? ? ? ? ?答：机器人行走的路程BC是5cm．
【解析】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图.领会数形结合的思想的应用．根据小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等得出BC=CA.设AC为x，则OC=9?x，根据勾股定理即可得出结论．19.【答案】解：设BE=x米，在Rt△ABE中，AE2=52+x2 在Rt△CDE中，CE2=32+(8?x)2，∵AE=CE，∴52+x2=32+(8?x)2，解得x=3，答：点E应该选在距B点3米处．
【解析】设BE=x米，在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE2=52+x2，在Rt△CDE中，由勾股定理得：CE2=32+(8?x)2，根据AE=CE∴52+x2=32+(8?x)2求得BE的长即可．本题考查了勾股定理的应用，正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．20.【答案】解：过点B作BC⊥AD于C，则AC=4?2+0.5=2.5km，BC=6km，在Rt△ABC中，由勾股定理求得AB=AC2+BC2=2.52+62=6.5(km)．所以登陆点A与宝藏埋藏点B之间的距离是6.5km．
【解析】本题需要把实际问题转化为数学模型，过点B作过点A的直线的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理完成．本题的关键是把实际问题转化为数学模型，运用勾股定理进行求解．21.【答案】解：(1)过A作AC⊥BF于C，则AC=12AB=150<200，∴A市会受到台风影响； (2)过A作AD=AE=200km，交BF于点D，E，∴DC=AD2?AC2=2002?1502=507千米，∵DC=CE，A市气象站测得台风中心在A市正东方向300千米的B处，以107千米/时的速度向北偏西60°的BF方向移动，∴该市受台风影响的时间为：507×2107=10小时．
【解析】本题考查勾股定理的应用，属于中档题．(1)此类是否受影响的题目，必须计算出最短距离进行分析，注意垂线段最短的性质；(2)根据受影响的距离是200千米以内，设出距离正好是200千米的点，结合第一问计算的数据，根据勾股定理计算出受影响的路程，再进一步计算受影响的时间．