2019-2020学年北师大版七年级数学下册1．6完全平方公式及应用培优版含答案

2019-2020北师大七下完全平方公式及应用培优版
一、单选题
1．下列计算或运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若是一个完全平方式，则常数k的值为（ ）　　
A．6 B． C． D．无法确定
3．若(x+y)2=9，(x-y)2=5，则xy的值为（ ）
A．-1 B．1 C．-4 D．4
4．已知x+=6，则x2+=（　　）
A．38 B．36 C．34 D．32
5．已知(x－2015)2＋(x－2017)2＝34，则(x－2016)2的值是( )
A．4 B．8 C．12 D．16
6．计算：(a-b＋3)(a＋b-3)=( )
A．a2＋b2-9 B．a2-b2-6b-9 C．a2-b2＋6b－9 D．a2＋b2-2ab＋6a＋6b＋9
7．三种不同类型的长方形地砖长宽如图所示，现有A类1块，B类4块，C类5块.小明在用这些地砖拼成一个正方形时，多出其中1块地砖，那么小明拼成正方形的边长是( )

A．m+n B．2m+2n C．2m+n D．m+2n
8．设 ，则( )
A． B． C． D．
9．若等式x2+ax+19＝（x﹣5）2﹣b成立，则 a+b的值为（　　）
A．16 B．﹣16 C．4 D．﹣4
10．已知(m－n)2＝36，(m＋n)2＝4 000，则m2＋n2的值为( )
A．2 016 B．2 017 C．2 018 D．4 036
11．若有理数a，b满足a2+b2=5，（a+b）2=9，则－4ab的值为（ ）
A．2 B．－2 C．8 D．－8
12．若a＋b＝3，ab＝－7，则的值为（ ）
A．－ B．－ C．－ D．－
13．若，则m等于（ ）
A．4xy B． C．8xy D．
14．如图，将完全相同的四个长方形纸片拼成一个大的正方形，用两种不同的方法表示这个大正方形的面积，则可以得出一个等式为（　　）

A．（a+b）2=a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2
C．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b） D．（a+b）2=（a﹣b）2+4ab
15．图（1）是一个长为,宽为（）的长方形,用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）拼成一个正方形，则中间空白部分的面积是（ ）

A． B． C． D．

二、填空题
16．若是关于的完全平方式，则__________．
17．若x﹣=2，则x2+的值是______．
18．已知，， （1）则____；（2）则___．
19．已知a2＋2a＋b2－6b＋10＝0，那么a＝_______，b＝______.
20．已知的三边长分别为、、c，且、、c满足，则的形状是________三角形．
21．已知x2+2x＝3，则代数式（x+1）2﹣（x+2）（x﹣2）+x2的值为_____．
22．如图，在边长为 的正方形中央剪去一边长为 的小正方形 ，将剩余部分剪开密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为__________________．


三、解答题
23．已知，．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值；



24．先化简，再求值：（a+b）2+b（a﹣b）﹣4ab，其中a=2，b=﹣．



25．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2﹣4a﹣8b+20=0，c=3cm，求△ABC的周长．



26．先化简再求值： 其中，.





27．（1）已知（a+b）2＝6，（a﹣b）2＝2，求a2+b2与ab的值；
（2）已知x+，求x2+的值



28．若x+y=3，且(x+2)(y+2)=12．
（1）求xy的值；
（2）求x2+3xy+y2的值．



29．已知与互为相反数，求的值．



30．己知，求下列代数式的值:
(1)
(2)



31．当a、b为何值时，多项式a2＋b2－4a＋6b＋18有最小值？并求出这个最小值．



32．有一张边长为a厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：

小明发现这三种方案都能验证公式：a2+2ab+b2=（a+b）2，对于方案一，小明是这样验证的：
a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=（a+b）2
请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程．
方案二：
方案三：





33．阅读材料：若，求，的值．
解：∵，∴，
∴，∴，，∴，．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1），则__________，__________．
（）已知，求的值．
（）已知的三边长、、c都是正整数，且满足，求的周长．




34．探索题
图a是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图b的形状拼成一个正方形．

（1）你认为图b中的影部分的正方形的边长等于 ．
（2）请用两种不同的方法求图b中阴影部分的面积．
方法1： (只列式，不化简）
方法2： (只列式，不化简）
（3）观察图b你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？
代数式：(m+n)2，(m-n)2，．
（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b=8，ab=5，则 (a-b)2= ．
35．我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图A可以用来解释，实际上利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解．
????

（1）图B可以解释的代数恒等式是????? ；
（2）现有足够多的正方形和矩形卡片（如图C），试画出一个用若干张1号卡片、2号卡片和3号卡片拼成的矩形（每两块纸片之间既不重叠，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图的痕迹），使该矩形的面积为，并利用你所画的图形面积对进行因式分解．



参考答案
1．C 2．C 3．B 4．C 5．D 6．C 7．D 8．D 9．D 10．C 11．D
12．C 13．D 14．D 15．B 16．7或-1 17．6 18．； 19．-13
20．直角 21．8 22．3a2 -4a-4
23．解：因为a－b＝7，所以b－a＝－7.则：
(1)＝ab(b－a)＝－12×7＝－84；
(2)＝(a－b)2＋2ab＝(－7)2＋2×(－12)＝25；
(3)＝±＝±＝±＝±1.
24．解：原式=a2+2ab+b2+ab-b2-4ab=a2-ab，
当a=2，b=-时，原式=4+1=5．
25.解：∵a2+b2﹣4a﹣8b+20=0，
∴a2﹣4a+4+b2﹣8b+16=0，
∴（a﹣2）2+（b﹣4）2=0，
又∵（a﹣2）2≥0，（b﹣4）2≥0，
∴a﹣2=0，b﹣4=0，
∴a=2，b=4，
∴△ABC的周长为a+b+c=2+4+3=9，
答：△ABC的周长为9．
26．解：原式=（9a2+6ab+b2-9a2+b2-6b2）÷（-2b）
=（-4b2+6ab）÷（-2b）
=2b-3a，
当a=-，b=-2时，
原式=-4+1=-3．
27．解：（1）∵，
∴a2+2ab+b2＝6 ①，
a2﹣2ab+b2＝2 ②，
①+②，得：2（a2+b2）＝8，
则a2+b2＝4；
①﹣②，得：4ab＝4，
则ab＝1；
（2）∵,
∴.
28．解：（1）∵x+y=3，（x+2）（y+2）=12，
∴xy+2x+2y+4=12，
∴xy+2（x+y）=8，
∴xy+2×3=8，
∴xy=2；
（2）∵x+y=3，xy=2，
∴x2+3xy+y2
=（x+y）2+xy
=32+2
=11．
29．解:与互为相反数，
与互为相反数，
即，
，，
解得，．
当，时，原式．
30．解：(1)
(2)
31．解：a2＋b2－4a＋6b＋18
＝a2－4a＋b2＋6b＋18
＝a2－4a＋4＋b2＋6b＋9＋5
＝(a－2)2＋(b＋3)2＋5，
∵(a－2)2≥0，(b＋3)2≥0，
∴当a－2＝0，b＋3＝0，
即a＝2，b＝－3时，原式有最小值，最小值为5.
32．解：由题意可得：
方案二：a2+ab+（a+b）b=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=（a+b）2，
方案三：a2++==a2+2ab+b2=（a+b）2．
点睛：本题考查了完全平方公式的几何背景，解答本题的关键是明确题意，写出相应的推导过程．
33．（1）∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，，；
（）∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，，，
∴，
∴；
（）∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵、、c为正整数，
∴，
∴周长＝．
34．解：（1）阴影部分的正方形边长是：m﹣n．
故答案为：m﹣n；
（2）阴影部分的面积就等于边长为m﹣n的小正方形的面积，
方法1：边长为m+n的大正方形的面积减去长为2m，宽为2n的长方形面积，即（m+n）2﹣4mn；
方法2：边长为m﹣n的正方形的面积，即（m﹣n）2；
（3）由题意可得：（m-n）2=（m+n）2-4mn．
故答案为：（m-n）2=（m+n）2-4mn．
（4）∵a+b=8，ab=5，∴（a+b）2=64，∴（a﹣b）2+4ab=64，∴（a﹣b）2=64﹣4×5=44．
35．解：（1）
（2）①根据题意，可以画出相应的图形，如图所示

②因式分解为：