(共33张PPT)
名言欣赏：
数学是打开科学大门的钥匙。
——培根
我们已学过了有理数的加法、减法、乘法、除法、乘方这五种运算。
在这五种运算中那些是逆运算呢?
★加法与减法互为逆运算；
★乘法与除法互为逆运算；
★那么乘方与谁互为逆运算呢？
提出问题
第1课时 算术平方根
人教版七年级数学 下册
6.1平方根
目标导航
1.了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根;（重点）
2.会求非负数的算术平方根，掌握算术平方根的非负性．（重点、难点）
我们先来复习乘方的有关内容：
底数
幂
指数
合作探究
5厘米
要剪出一张边长是5厘米的正方形纸片，它的面积是多少？
这个问题实际上就是求：
答：它的面积是25平方厘 米
这是已知底数和指数，求幂的运算
乘方运算
合作探究
？厘米
我们把问题反过来，要做一张面积是25平方厘米的方桌面，它的边长是多少厘米？
实际上就是要求出一个数，使它的平方等于25，即：
显然，括号里应是±5，但－5不符题意。
∴方桌面的边长应是5厘米。
25平方厘米
合作探究
若已知一个数的平方为下列各数，你能把这个数的取值说出来吗？
25，0，4， ， ， ，1.69.
合作探究
25，0，4， ， ， ，1.69.
哪个数的平方是 ？
合作探究
平方根有两个值，这两个值互为相反数，因此求出其中一个值，另一个值也就可以根据相反数的定义确定.我们可以先确定一个正数，把这个正数称为所给数的算术平方根.
由以上过程你发现了什么？
合作探究
算术平方根的定义：
规定：0的算术平方根是0.
一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根， a的算术平方根记为 ，读作“根号a”,a叫做被开方数.
知识归纳
a的算术平方根
互为
逆运算
平方根号
被开方数
读作：根号a
（a≥0)
怎么用符号来表示一个数的算术平方根？
(x≥0)
知识归纳
1.一个正数的算术平方根有几个？
0的算术平方根有一个，是0.
2.0的算术平方有几个？
负数没有算术平方根.
3.-1有算术平方根吗？负数有算术平方根?
一个正数的算术平方根有1个
合作与交流：
算术平方根的性质
知识归纳
（1）5是25的算术平方根；
（2）36的算术平方根是 -6 ；
（3）0的算术平方根是0；
（4）0.01是0.1的算术平方根；
6
0.1
0.01
√
×
×
√
即学即练
例：求下列各数的算术平方根：
(1)900； (2)1； (3) ；
(4)196； (5)0； (6)106.
解：（1）因为302=900，
所以900的算术平方根是30，
即：
典型例题
(1)900； (2)1； (3) ；
(4)196； (5)0； (6)106.
30
1
算术平方根分别为：
14
0
103
小结：被开方数越大，对应的算术平方根也越大.这个结论对所有正数都成立.
典型例题
1）16的算术平方根是______;
4
2
一步运算
两步运算
2） 的算术平方根是______;
归纳：注意文字或算术的表述，读清题意，再进行计算，以防误解.
典型例题
1、被开方数a可以取任何数吗？
2、 是什么数？
被开方数a是非负数，即a≥0
一个正数x的平方等于a，正数x叫的a算术平方根，记作x= ，0 的算术平方根是 0
也就是说，
负数不存在算术平方根，
即当a≥0时 有意义；
当a<0 时， 无意义。
是非负数，即 ≥0
合作探究
算术平方根具有双重非负性
a的算术平方根
非负数
非负数
知识归纳
解: 因为|m-1| ≥0， ≥0，又|m-1| + =0,
所以 |m-1| =0， =0，所以m=1,n=-3,
所以m+n=1+(-3)=-2.
例： 若|m-1| + =0,求m+n的值.
归纳：几个非负数的和为0，则每个数均为0，初中阶段学过的非负数有绝对值、偶次幂及一个数的算术平方根.
典型例题
1、下列各式是否有意义，为什么？
2、下列各式中，x为何值时有意义？
∵-x≥0
∴x≤0
∵x2+1≥0恒成立
∴x为任何数
×
√
√
√
即学即练
2、已知9的算术平方根为a，b的绝对值为4，求a-b的值.
解：由题意知： a2=9，|b|=4，
则 a=3，b= ±4,
所以a-b=-1或7.
即学即练
算术平方根
算术平方根的概念
算术平方根的双重非负性
算术平方根的应用
课堂小结
判断题：下列各式是否有意义？为什么？
有
有
有
无
检测目标
（1） a的算术平方根(a≥0)表示为_______.
（2） = 9, 则9的____________是3。
（3）0的算术平方根是_____,表示为________.
算术平方根
0
0
=
0
a
32
1、填一填：
检测目标
2.填空：（看谁算得又对又快）
(1) 一个数的算术平方根是3，则这个数是 .
(2) 一个自然数的算术平方根为a，则这个自然数
是___；和这个自然数相邻的下一个自然数是
.
(3) 的算术平方根为 .
(4) 2的算术平方根为____.
3
9
a2
a2+1
检测目标
3、3x-4为25的算术平方根，求x的值.
解：由题意知： (3x-4)2=25，
则 3x-4=±5，
即3x-4=5或3x-4=-5，
所以x=3，或x=
检测目标
4、已知：｜x+2y|+
求x-3y+4z的值.
解：由题意得：
解得
检测目标
5、已知2a-1的算术平方根是3,3a+b-1的算术平方根是4，求a,b的值.
解：由题意知：
2a-1=32=9,
又3a+b-1=42=16，
所以a=5，b= 2.
解得：a=5,
把a=5代入,解得b=2.
检测目标
我们已经站在了人生的起跑线上，为了实现心中的远大目标，我们正努力拼搏着。成功属于不畏困难、勇往直前的人。相信自己！
教师寄语
通过本课学习，你收获了什么？
课后作业：
完成教科书中相关练习题。
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名言欣赏：
数学是打开科学大门的钥匙。
——培根
3.你知道 有多大吗?
2.判断下列各数有没有算术平方根？如果有，请求出它们的算术平方根.
-36 , 0.09 , , 0 , 2 , .
-36没有算术平方根.
1.什么是算术平方根？
2的算术平方根是 .
只有非负数才有算术平方根,算术平方根是非负的.
知识回顾
6.1.2 用计算器求算术平方根
人教版七年级数学 下册
目标导航
1.会用计算器求算术平方根;
2.掌握算术平方根的估算及大小比较。（重点）
认真阅读课本中6.1.2 用计算器求算术平方根的内容，完成下面练习并体验知识点的形成过程。
自主研学
求下列各数的算术平方根：
121，144, 225，49
问题：你又能否求出下列各数的算术平方根？
2, 8（精确到0.0001）
合作探究
在估计有理数的算术平方根的过程中，为方便计算，可借助计算器求一个正有理数a的算术平方根(或其近似数).
a
=
按键顺序：
合作探究
二、师生互动,课堂探究
例1:用计算器计算 和 , , 的值.
总结:通过计算器计算出的小数只能是这些数的算术平方根的近似值或最接近的值.运用计算器可以很方便地确定一个任意正数的算术平方根.
典型例题
… …
…
…
规律：被开方数的小数点向右每移动 位,它的算术平方根的小数点就向右移动 位;被开方数的小数点向左每移动 位,它的算术平方根的小数点就向左移动 位.
(1)利用计算器计算下表中的算术平方根,并将计算结果填在表中,你发现了什么规律?你能说出其中的道理吗?
算术平方根的规律
合作探究
a=0 0
1
问题：一个非负数的算术平方根一定比它本身小吗？
若不是，试用计算器探索a（≥0）与
有什么大小关系？把结果填在下表中：
注意：对于，当计算器开方开不尽时，显示的数是
一个近似值，
因为当a不是某个整数或分数的平方时，
是无限不循环小数，是显示不完的．
合作探究
任意找一个你认为很大的正数，利用计算器对它进行开平方运算，对所得结果再进行开平方运算……随着开方次数的增加，你发现了什么？
改用另一个小于1的正数试一试，看看是否仍有类似规律。
计算的结果越来越接近１
计算的结果越来越接近１
任意一个正数，利用计算器对它不断进行开平方运算，其计算的结果越来越接近１
合作探究
知识应用：
（1）用一块面积为400 cm2的正方形纸片,沿着边的方向剪出一块面积为300 cm2的长方形纸片,你会怎样剪?
合作探究
（2）用上述正方形纸片剪出面积为300 cm2的长方形纸片，且其长宽之比为3:2,你又怎样剪?根据你的剪法回答：用面积大的纸片一定能剪出面积小的纸片吗?
解：若用上述正方形纸片剪出面积为300 cm2的长方形纸片，且其长宽之比为3:2,则可设其长为3x cm,宽为 2x cm,
故长方形纸片的长为 cm,宽为 cm，
3x?2x=300,6x2=300, x2=50，x= ,
合作探究
归纳：通过上述过程发现:利用面积大的纸片不一定能剪出面积小的纸片.
而 ＞3×7=21(cm),
21 cm比原正方形的边长20 cm长,
故不能剪出这样的长方形.
合作探究
例1:用计算器求下列各数的算术平方根。
(1)0.46254（精确到0.01）
(2)3 (精确到0.01)
(3)101.2036
(4)1369
解：
被开方数越大,则它的算术平方根也越大
典型例题
例2.在物理学中,用电器中的电阻R与电流I、功率P之间有如下的一个关系式:P=I2R.现有一用电器,电阻为18欧,该用电器功率为2 400瓦,求通过用电器的电流I.
三、练习设计
解：由题意得：2 400=18I2
典型例题
三、练习设计
用计算器比较 与 的大小.
解：
即学即练
并不是所有的正数的算术平方根都是有理数,这时我们既可以用“ ”的形式表示,也可以用一个与 的值接近的有理数替代.
是一个无限不循环小数.
课堂小结
开方运算要用到键 和
键 。
对于开平方运算，按键顺序为：
被开方数
=
SHIFT
SHIFT
课堂小结
1.在计算器上按键 ，下列计算结果正确的是 （ ）
A. 3 B. －3 C. －1 D. 1
2. 估计 在 ( )
A. 2～3之间 B. 3～4之间
C. 4～5之间 D. 5～6之间
B
C
检测目标
3.比较大小：
解：∵ 5＞4，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
检测目标
4.将两张边长为5 cm的正方形纸片重新剪开并拼接成一个较大的正方形,其边长约为多少?(精确到0.01 cm)
三、练习设计
解：较大的正方形的边长为：
检测目标
5、你能根据前两题的结果，直接写出后4道题的答案吗？
0.25
0.7906
2.5
7.906
25
79.06
被开方数的小数点每向左（或向右）移动2位,则它的算术平方根的小数点相应移动1位。
检测目标
我们已经站在了人生的起跑线上，为了实现心中的远大目标，我们正努力拼搏着。成功属于不畏困难、勇往直前的人。相信自己！
教师寄语
通过本课学习，你收获了什么？
课后作业：
完成教科书中相关练习题。
(共33张PPT)
名言欣赏：
数学是打开科学大门的钥匙。
——培根
一般地，如果一个正数的平方等于
即 ，那么这个正数 叫做 的算术平方根
的算术平方根记为 ，
读作“根号 ”,
叫做被开方数．
规定：0的算术平方根是0
式子读作“9的算术平方根等于3”
或“根号9等于3”
如∵ , ∴ ﹢3 是9的算术平方根，
知识回顾
如果一个数的平方等于9，这个数是多少？
﹢3是前面学习过的9的算术平方根，
-3又可称为什么呢？
由于 ，
所以这个数是﹢3或-3.
提出问题
6.1.3 平 方 根
人教版七年级数学 下册
目标导航
1、了解平方根的概念；掌握平方根的特征．
2、能利用开平方与平方互为逆运算的关系， 求某些非负数的平方根．
认真阅读课本中6.1.3 平方根的内容，完成下面练习并体验知识点的形成过程。
自主研学
(1)9的算术平方根是3,也就是说，3的平方是9，还有平方也是9的数吗?
平方根、开平方的概念
(2)平方等于 的数有几个?平方等于0.64的数呢?
-3
±0.8
合作探究
根据上面的研究过程填表：
如果我们把 分别叫做
的平方根，你能类比算术
平方根的概念，给出平方根的概念吗？
合作探究
根据上述问题，即要找出一个数，使它的平方等于给定的数.我们抽象出下述概念：
如果有一个数x，使得x2=a，那么我们把x叫作a的一个平方根，也叫作二次方根.
注意：如果x是正数a的一个平方根，那么a的平方根有且只有两个：x与-x.即平方根互为相反数.
例如： (±1)2=1，1的平方根为±1.
知识归纳
二、讲授新课
总结平方根的概念及表示方法:
(a ≥ 0)， 和 互为相反数.
问题:由平方根和算术平方根的定义，大家能否找出它们有什么相同和不同之处呢?
合作探究
平方根的定义中是有一个数x的平方等于a,则x叫做a的平方根，x没有肯定是正数还是负数或0；
而算术平方根的定义中是有一个正数x的平方等于a,则x叫做a的算术平方根,这里的x只能是正数.
由此看来都有x2=a,这是它们的相同之处,而x的要求不同，这是它们的不同之处.
合作探究
填空：
求平方
求平方根
左右两图中的运算有什么关系？
平方
开平方
互逆 运算
求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.
合作探究
1.包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种.
平方根与算术平方根的联系与区别：
2.只有非负数才有平方根和算术平方根.
3. 0的平方根是0，算术平方根也是0.
区别：
1.个数不同：一个正数有两个平方根，
但只有一个算术平方根.
2.表示法不同：平方根表示为 ，
而算术平方根表示为 .
联系：
归纳总结
我们共学了几种运算呢?这几种运算之间有怎样的关系呢?
我们共学了加、减、乘、除、乘方、开方六种运算.加与减互为逆运算,乘与除互为逆运算,乘方与开方互为逆运算.
二、讲授新课
归纳总结
1. 144的平方根是什么？
2. 0的平方根是什么？
3.
的平方根是什么？
4. -4有没有平方根？为什么？
0
没有，因为一个数的平方不可能是负数
即学即练
你发现了什么规律？
思考:
（1）正数的平方根有什么特点？
（2） 0的平方根是多少？
（3）负数有平方根吗？
归纳:（1）正数有两个平方根,它们互为相反数;
（2） 0的平方根是0；
（3）负数没有平方根.
正数的平方根如何表示呢？
正数a的平方根记为
读作: 正、负根号a
表示正数a的算术平方根
表示正数a的负的平方根
与 互为相反数
合作探究
1.正数有两个平方根，两个平方根
互为相反数.
2.0的平方根还是0.
3.负数没有平方根.
合作探究
平方根的性质：
例：求下列各式的值：
你能先说一说下列各式的意义吗？
解：
如果知道一个数的算术平方根能写出它的负的平方根吗？为什么？
典型例题
下列各数有平方根吗？说明理由。
（1）－2；
（2）(－2)2；
（3）－22；
（4）0；
（5）(－2)3；
（6）2
没有
有
没有
没有
有
有
注意：判断一个数有无平方根，要注意这个数的符号。（1）当这个数为正数时，它有两个平方根；
（2）当这个数为0时，它有一个平方根0；
（3）当这个数为负数时，它没有平方根。
即学即练
求下列各数的平方根.
(1)64; (2) ; (3)0.000 4;
(4)(-25)2; (5)11.
±8
±0.02
±25
即学即练
1、平方根（二次方根）和开平方的定义
2、 平方根的性质
3、平方根的表示方法：正数a的平方根可以用符号“±√ a”表示读作“正、负根号a”
4、 被开方数的取值范围：符号“±√ a ”只有a≧0时有意义， a≦0时无意义。
5、 平方根与算术平方根的联系与区别。
课堂小结
（1） 的平方根是±16. ( )
(2) 一定是正数. ( )
(3)a2的算术平方根是a. （ ）
(4)若 , 则a=-5. ( )
(5) ( )
(6)-6是(-6)2的平方根. （ ）
(7)若x2=36,则x= （ ）
×
×
×
×
×
√
√
1、判断题
检测目标
2.对于任意数a， 一定等于a吗?
3. 中的被开方数a在什么情况下有意义, 等于什么？
不一定，比如a<0时，应等于|a|
≥0
a
检测目标
4.填空.
(1)25的平方根是 ；
(2) = ；
(3) = .
±5
5
5
检测目标
5.判断下列各数是否有平方根，并说明理由.
(1)(-3)2; (2)0; (3)-0.01;
(4)-52; (5)-a2 .
±3
0
没有
没有
a=0时，0
a<0时，没有
检测目标
6、想一想
1. 等于多少? 等于多少?
2. 等于多少?
3.对于正数a， 等于多少?
64
7.2
a
检测目标
7.若 成立, 则 =______
9
分析：∵在式子的 与 均有意义
∴2－x≥0且x－2≥0
∴ x＝2
∴0＋0 ＋y＝3
∴ y＝3
∴ yx＝32＝9
检测目标
（1）
8、求下列各式中的x
注意：是求平方根
检测目标
分析：∵2m－4与3m－1是同一个数的平方根
∴2m－4＝3m－1或2m－4+3m－1＝0
∴m＝－3或m＝1
当m＝－3时，这个数是(2m－4)?＝100
当m＝1时，这个数是(2m－4)?＝4
3.若2m－4和3m－1是同一个数的平方根，则这个数是________.
4或100
检测目标
我们已经站在了人生的起跑线上，为了实现心中的远大目标，我们正努力拼搏着。成功属于不畏困难、勇往直前的人。相信自己！
教师寄语
通过本课学习，你收获了什么？
课后作业：
完成教科书中相关练习题。
