【停课不停学系列习题】人教版九年级数学下册26.1 反比例函数同步练习含解析

【停课不停学系列习题】
26.1 反比例函数
一、选择题：
1. （3分）（2018·兴安盟呼伦贝尔12/26）如图，已知，，为反比例函数图象上的两点，动点在轴的正半轴上运动，当线段与线段之差达到最大时点的坐标是　　
A．， B． C． D．，
2. （3分）（2018·呼和浩特10/25）若满足＜x≤1的任意实数x，都能使不等式2x3﹣x2﹣mx＞2成立，则实数m的取值范围是（　　）
A．m＜﹣1 B．m≥﹣5 C．m＜﹣4 D．m≤﹣4
3. （4分）（2019·安徽省5/23）已知点A（1，﹣3）关于x轴的对称点A'在反比例函数y＝的图象上，则实数k的值为（　　）
A．3 B． C．﹣3 D．
4. （2分）（2019·河北省12/26）如图，函数y＝的图象所在坐标系的原点是（　　）
A．点M B．点N C．点P D．点Q
5. （3分）（2019?赤峰11/26）如图，点P是反比例函数y＝（k≠0）的图象上任意一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M．若△POM的面积等于2，则k的值等于（　　）
A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2
6. （3分）（2019·通辽9/26）关于x、y的二元一次方程组的解满足x＜y，则直线y＝kx﹣k﹣1与双曲线y＝在同一平面直角坐标系中大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
7. （3分）（2019·天津市10/25）若点A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（1，y3）都在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y2＜y1＜y3 B．y3＜y1＜y2 C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y2＜y1
8. （4分）（2019·重庆市9/26）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，D分别在x轴、y轴上，对角线BD∥x轴，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过矩形对角线的交点E．若点A（2，0），D（0，4），则k的值为（　　）
A．16 B．20 C．32 D．40
二、填空题：
9. （3分）（2018·包头19/26）以矩形ABCD两条对角线的交点O为坐标原点，以平行于两边的方向为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系，BE⊥AC，垂足为E．若双曲线y＝（x＞0）经过点D，则OB?BE的值为 ．
10. （2分）（2019·北京市13/28）在平面直角坐标系xOy中，点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线y＝上，点A关于x轴的对称点B在双曲线y＝，则k1+k2的值为 ．
三、解答题：
11. （10分）（2018·巴彦淖尔22/24）如图，直线y＝﹣x+2与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于A（a，3），B（3，b）两点，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D．
（1）求a，b的值及反比例函数的解析式；
（2）若点P在直线y＝﹣x+2上，且S△ACP＝S△BDP，请求出此时点P的坐标；
（3）在x轴正半轴上是否存在点M，使得△MAB为等腰三角形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，说明理由．
12. （6分）（2018·呼和浩特22/25）已知变量x、y对应关系如下表已知值呈现的对应规律．
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
1
2
3
4
…
y
…
1
2
﹣2
﹣1
…
（1）依据表中给出的对应关系写出函数解析式，并在给出的坐标系中画出大致图象；
（2）在这个函数图象上有一点P（x，y）（x＜0），过点P分别作x轴和y轴的垂线，并延长与直线y＝x﹣2交于A、B两点，若△PAB的面积等于，求出P点坐标．
13. （10分）（2019·河南省21/23）模具厂计划生产面积为4，周长为m的矩形模具．对于m的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下：
（1）建立函数模型
设矩形相邻两边的长分别为x，y，由矩形的面积为4，得xy＝4，即y＝；由周长为m，得2（x+y）＝m，即y＝﹣x+．满足要求的（x，y）应是两个函数图象在第 象限内交点的坐标．
（2）画出函数图象
函数y＝（x＞0）的图象如图所示，而函数y＝﹣x+的图象可由直线y＝﹣x平移得到．请在同一直角坐标系中直接画出直线y＝﹣x．
（3）平移直线y＝﹣x，观察函数图象
①当直线平移到与函数y＝（x＞0）的图象有唯一交点（2，2）时，周长m的值为 ；
②在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长m的取值范围．
（4）得出结论
若能生产出面积为4的矩形模具，则周长m的取值范围为 ．
14.（7分）（2019?呼和浩特23/25）如图，在平面直角坐标系中，矩形OCAB（OC＞OB）的对角线长为5，周长为14．若反比例函数y＝的图象经过矩形顶点A．
（1）求反比例函数解析式；若点（﹣a，y1）和（a+1，y2）在反比例函数的图象上，试比较y1与y2的大小；
（2）若一次函数y＝kx+b的图象过点A并与x轴交于点（﹣1，0），求出一次函数解析式，并直接写出kx+b﹣＜0成立时，对应x的取值范围．

解 析
●（7分）（2019?呼和浩特23/25）如图，在平面直角坐标系中，矩形OCAB（OC＞OB）的对角线长为5，周长为14．若反比例函数y＝的图象经过矩形顶点A．
（1）求反比例函数解析式；若点（﹣a，y1）和（a+1，y2）在反比例函数的图象上，试比较y1与y2的大小；
（2）若一次函数y＝kx+b的图象过点A并与x轴交于点（﹣1，0），求出一次函数解析式，并直接写出kx+b﹣＜0成立时，对应x的取值范围．

【解答】解：（1）根据题意得：OB+OC＝7，OB2+OC2＝52，
∵OC＞OB，
∴OB＝3，OC＝4，
∴A（3，4），
把A（3，4）代入反比例函数y＝中，得m＝3×4＝12，
∴反比例函数为：y＝，
∵点（﹣a，y1）和（a+1，y2）在反比例函数的图象上，
∴﹣a≠0，且a+1≠0，
∴a≠﹣1，且a≠0，
∴当a＜﹣1时，﹣a＞0，a+1＜0，则点（﹣a，y1）和（a+1，y2）分别在第一象限和第三象限的反比例函数的图象上，于是有y1＞y2；
当﹣1＜a＜0时，﹣a＞0，a+1＞0，若﹣a＞a+1，即﹣1＜a＜﹣时，y1＜y2，若﹣a＝a+1，即a＝﹣时，y1＝y2，若﹣a＜a+1，即﹣＜a＜0时，y1＞y2；
当a＞0时，﹣a＜0，a+1＞0，则点（﹣a，y1）和（a+1，y2）分别在第三象限和第一象限的反比例函数的图象上，于是有y1＜y2；
综上，当a＜﹣1时，y1＞y2；当﹣1＜a＜﹣时，y1＜y2；当a＝﹣时，y1＝y2；当﹣＜a＜0时，y1＞y2；当a＞0时，y1＜y2．
（2）∵一次函数y＝kx+b的图象过点A（3，4）并与x轴交于点（﹣1，0），
∴，解得，，
∴一次函数的解析式为：y＝x+1；
解方程组，得，，
∴一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于两点（﹣4，﹣3）和（3，4），
当一次函数y＝kx+b的图象在反比例函数y＝的图象下方时，x＜﹣4或0＜x＜3，
∴kx+b﹣＜0成立时，对应x的取值范围：x＜﹣4或0＜x＜3．
●（3分）（2018·兴安盟呼伦贝尔12/26）如图，已知，，为反比例函数图象上的两点，动点在轴的正半轴上运动，当线段与线段之差达到最大时点的坐标是　　
A．， B． C． D．，
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征
【分析】根据题意可以求得点和点的坐标，然后根据三角形三边关系，可以得到线段与线段之差的绝对值与线段的关系，然后根据图形作出合适的辅助线，即可求得满足条件的点的坐标．
【解答】解：，，为反比例函数图象上的两点，
，，
动点在轴的正半轴上运动，，
延长交轴于点，当点在点时，达到最大值，
设直线的函数解析式为，
，得，
直线的函数解析式为，
当时，，
当线段与线段之差达到最大时点的坐标是，，
故选：．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
●（10分）（2018·巴彦淖尔22/24）如图，直线y＝﹣x+2与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于A（a，3），B（3，b）两点，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D．
（1）求a，b的值及反比例函数的解析式；
（2）若点P在直线y＝﹣x+2上，且S△ACP＝S△BDP，请求出此时点P的坐标；
（3）在x轴正半轴上是否存在点M，使得△MAB为等腰三角形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，说明理由．
【考点】反比例函数综合题．
【分析】（1）利用点在直线上，将点的坐标代入直线解析式中求解即可求出a，b，最后用待定系数法求出反比例函数解析式；
（2）设出点P坐标，用三角形的面积公式求出S△ACP＝×3×|n+1|，S△BDP＝×1×|3﹣n|，进而建立方程求解即可得出结论；
（3）设出点M坐标，表示出MA2＝（m+1）2+9，MB2＝（m﹣3）2+1，AB2＝32，再三种情况建立方程求解即可得出结论．
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+2与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于A（a，3），B（3，b）两点，
∴﹣a+2＝3，﹣3+2＝b，
∴a＝﹣1，b＝﹣1，
∴A（﹣1，3），B（3，﹣1），
∵点A（﹣1，3）在反比例函数y＝上，
∴k＝﹣1×3＝﹣3，
∴反比例函数解析式为y＝﹣；
（2）设点P（n，﹣n+2），
∵A（﹣1，3），
∴C（﹣1，0），
∵B（3，﹣1），
∴D（3，0），
∴S△ACP＝AC×|xP﹣xA|＝×3×|n+1|，S△BDP＝BD×|xB﹣xP|＝×1×|3﹣n|，
∵S△ACP＝S△BDP，
∴×3×|n+1|＝×1×|3﹣n|，
∴n＝0或n＝﹣3，
∴P（0，2）或（﹣3，5）；
（3）设M（m，0）（m＞0），
∵A（﹣1，3），B（3，﹣1），
∴MA2＝（m+1）2+9，MB2＝（m﹣3）2+1，AB2＝（3+1）2+（﹣1﹣3）2＝32，
∵△MAB是等腰三角形，
∴①当MA＝MB时，
∴（m+1）2+9＝（m﹣3）2+1，
∴m＝0，（舍）
②当MA＝AB时，
∴（m+1）2+9＝32，
∴m＝﹣1+或m＝﹣1﹣（舍），
∴M（﹣1+，0）
③当MB＝AB时，（m﹣3）2+1＝32，
∴m＝3+或m＝3﹣（舍），
∴M（3+，0）
即：满足条件的M（﹣1+，0）或（3+，0）．
【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积的求法，等腰三角形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
●（3分）（2018·包头19/26）以矩形ABCD两条对角线的交点O为坐标原点，以平行于两边的方向为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系，BE⊥AC，垂足为E．若双曲线y＝（x＞0）经过点D，则OB?BE的值为　3　．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；LB：矩形的性质．
【分析】由双曲线y＝（x＞0）经过点D知S△ODF＝k＝，由矩形性质知S△AOB＝2S△ODF＝，据此可得OA?BE＝3，根据OA＝OB可得答案．
【解答】解：如图，
∵双曲线y＝（x＞0）经过点D，
∴S△ODF＝k＝，
则S△AOB＝2S△ODF＝，即OA?BE＝，
∴OA?BE＝3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB，
∴OB?BE＝3，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查反比例函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是掌握反比例函数系数k的几何意义及矩形的性质．
●（3分）（2018·呼和浩特10/25）若满足＜x≤1的任意实数x，都能使不等式2x3﹣x2﹣mx＞2成立，则实数m的取值范围是（　　）
A．m＜﹣1 B．m≥﹣5 C．m＜﹣4 D．m≤﹣4
【考点】不等式的性质；反比例函数的性质；二次函数的性质．
【分析】根据题意得到关于二次函数与反比例函数的函数值的大小关系，然后利用函数图象得到自变量为和1对应的关于m的不等式，再解关于m的不等式组即可．
【解答】解：∵2x3﹣x2﹣mx＞2，
∴2x2﹣x﹣m＞，
抛物线y＝2x2﹣x﹣m的开口向上，对称轴为直线x＝，
而双曲线y＝分布在第一、三象限，
∵＜x≤1，2x2﹣x﹣m＞，
∴x＝时，2×﹣﹣m≥4，解得m≤﹣4，
x＝1时，2﹣1﹣m＞2，解得m＜﹣1，
∴实数m的取值范围是m≤﹣4．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质、反比例函数的性质、不等式的性质，解答本题的关键是明确题意，求出相应的m的取值范围．
●（6分）（2018·呼和浩特22/25）已知变量x、y对应关系如下表已知值呈现的对应规律．
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
1
2
3
4
…
y
…
1
2
﹣2
﹣1
…
（1）依据表中给出的对应关系写出函数解析式，并在给出的坐标系中画出大致图象；
（2）在这个函数图象上有一点P（x，y）（x＜0），过点P分别作x轴和y轴的垂线，并延长与直线y＝x﹣2交于A、B两点，若△PAB的面积等于，求出P点坐标．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）根据图可知xy＝﹣2，再根据表格描点即可画出图象；
（2）设点P（x，），则点A（x，x﹣2），由题意可知△PAB是等腰三角形，可列出﹣x+2＝5，从而可求出x的值．
【解答】解：（1）由图可知：y＝
（2）设点P（x，），则点A（x，x﹣2）
由题意可知△PAB是等腰三角形，
∵S△PAB＝，
∴PA＝PB＝5，
∵x＜0，
∴PA＝yP﹣yA＝﹣x+2
即﹣x+2＝5
解得：x1＝﹣2，x2＝﹣1
∴点P（﹣2，1）或（﹣1，2）
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是求出反比例函数的解析式，本题属中等题型．
●（4分）（2019·安徽省5/23）已知点A（1，﹣3）关于x轴的对称点A'在反比例函数y＝的图象上，则实数k的值为（　　）
A．3 B． C．﹣3 D．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；P5：关于x轴、y轴对称的点的坐标．所有
【分析】先根据关于x轴对称的点的坐标特征确定A'的坐标为（1，3），然后把A′的坐标代入y＝中即可得到k的值．
【解答】解：点A（1，﹣3）关于x轴的对称点A'的坐标为（1，3），
把A′（1，3）代入y＝得k＝1×3＝3．
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．
●（2分）（2019·北京市13/28）在平面直角坐标系xOy中，点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线y＝上，点A关于x轴的对称点B在双曲线y＝，则k1+k2的值为　0　．
【考点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；关于x轴、y轴对称的点的坐标．菁优网版权所有
【分析】由点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线y＝上，可得k1＝ab，由点A与点B关于x轴的对称，可得到点B的坐标，进而表示出k2，然后得出答案．
【解答】解：∵点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线y＝上，
∴k1＝ab；
又∵点A与点B关于x轴的对称，
∴B（a，﹣b）
∵点B在双曲线y＝上，
∴k2＝﹣ab；
∴k1+k2＝ab+（﹣ab）＝0；
故答案为：0．
【点评】考查反比例函数图象上的点坐标的特征，关于x轴对称的点的坐标的特征以及互为相反数的和为0的性质．
●（2分）（2019·河北省12/26）如图，函数y＝的图象所在坐标系的原点是（　　）
A．点M B．点N C．点P D．点Q
【考点】反比例函数的图象．
【分析】由函数解析式可知函数关于y轴对称，即可求解；
【解答】解：由已知可知函数y＝关于y轴对称，
所以点M是原点；
故选：A．
【点评】本题考查反比例函数的图象及性质；熟练掌握函数的解析式与函数图象的关系是解题的关键．
●（10分）（2019·河南省21/23）模具厂计划生产面积为4，周长为m的矩形模具．对于m的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下：
（1）建立函数模型
设矩形相邻两边的长分别为x，y，由矩形的面积为4，得xy＝4，即y＝；由周长为m，得2（x+y）＝m，即y＝﹣x+．满足要求的（x，y）应是两个函数图象在第　一　象限内交点的坐标．
（2）画出函数图象
函数y＝（x＞0）的图象如图所示，而函数y＝﹣x+的图象可由直线y＝﹣x平移得到．请在同一直角坐标系中直接画出直线y＝﹣x．
（3）平移直线y＝﹣x，观察函数图象
①当直线平移到与函数y＝（x＞0）的图象有唯一交点（2，2）时，周长m的值为　8　；
②在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长m的取值范围．
（4）得出结论
若能生产出面积为4的矩形模具，则周长m的取值范围为　m≥8　．
【考点】反比例函数综合题．
【分析】（1）x，y都是边长，因此，都是正数，即可求解；
（2）直接画出图象即可；
（3）①把点（2，2）代入y＝﹣x+即可求解；②在直线平移过程中，交点个数有：0个、1个、2个三种情况，联立y＝和y＝﹣x+并整理得：x2﹣mx+4＝0，即可求解；
（4）由（3）可得．
【解答】解：（1）x，y都是边长，因此，都是正数，
故点（x，y）在第一象限，
答案为：一；
（2）图象如下所示：
（3）①把点（2，2）代入y＝﹣x+得：
2＝﹣2+，解得：m＝8，
即：0个交点时，m＜8；1个交点时，m＝8； 2个交点时，m＞8；
②在直线平移过程中，交点个数有：0个、1个、2个三种情况，
联立y＝和y＝﹣x+并整理得：x2﹣mx+4＝0，
△＝m2﹣4×4≥0时，两个函数有交点，
解得：m≥8；
（4）由（3）得：m≥8．
【点评】本题为反比例函数综合运用题，涉及到一次函数、一元二次方程、函数平移等知识点，此类探究题，通常按照题设条件逐次求解，一般难度不大．
●（3分）（2019?赤峰11/26）如图，点P是反比例函数y＝（k≠0）的图象上任意一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M．若△POM的面积等于2，则k的值等于（　　）
A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【分析】利用反比例函数k的几何意义得到|k|＝2，然后根据反比例函数的性质和绝对值的意义确定k的值．
【解答】解：∵△POM的面积等于2，
∴|k|＝2，
而k＜0，
∴k＝﹣4．
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．也考查了反比例函数的性质．
●（3分）（2019·通辽9/26）关于x、y的二元一次方程组的解满足x＜y，则直线y＝kx﹣k﹣1与双曲线y＝在同一平面直角坐标系中大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】一次函数与二元一次方程（组）；反比例函数的图象．菁优网版权所有
【分析】关于x、y的二元一次方程组的解满足x＜y确定k的取值范围，然后根据一次函数和反比例函数的性质确定图象即可．
【解答】解：二元一次方程组中第二个方程减去第一个方程得：x﹣y＝﹣5k，
∵关于x、y的二元一次方程组的解满足x＜y，
∴x﹣y＜0，
∴﹣5k＜0，
即：k＞0，
∴y＝kx﹣k﹣1经过一三四象限，双曲线y＝的两个分支位于一三象限，B选项符合，
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数的图象及一次函数与二元一次方程组的知识，解题的关键是根据题意确定k的取值范围．
●（3分）（2019·天津市10/25）若点A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（1，y3）都在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y2＜y1＜y3 B．y3＜y1＜y2 C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y2＜y1
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】分别计算出自变量为﹣3、﹣2和1对应的函数值，从而得到y1，y2，y3的大小关系．
【解答】解：当x＝﹣3，y1＝﹣＝4；
当x＝﹣2，y2＝﹣＝6；
当x＝1，y3＝﹣＝﹣12，
所以y3＜y1＜y2．
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．
●（4分）（2019·重庆市9/26）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，D分别在x轴、y轴上，对角线BD∥x轴，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过矩形对角线的交点E．若点A（2，0），D（0，4），则k的值为（　　）
A．16 B．20 C．32 D．40
【考点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；矩形的性质．
【分析】根据平行于x轴的直线上任意两点纵坐标相同，可设B（x，4）．利用矩形的性质得出E为BD中点，∠DAB＝90°．根据线段中点坐标公式得出E（x，4）．
由勾股定理得出AD2+AB2＝BD2，列出方程22+42+（x﹣2）2+42＝x2，求出x，得到E点坐标，代入y＝，利用待定系数法求出k．
【解答】解：∵BD∥x轴，D（0，4），
∴B、D两点纵坐标相同，都为4，
∴可设B（x，4）．
∵矩形ABCD的对角线的交点为E，
∴E为BD中点，∠DAB＝90°．
∴E（x，4）．
∵∠DAB＝90°，
∴AD2+AB2＝BD2，
∵A（2，0），D（0，4），B（x，4），
∴22+42+（x﹣2）2+42＝x2，
解得x＝10，
∴E（5，4）．
∵反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点E，
∴k＝5×4＝20．
故选：B．
【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征，线段中点坐标公式等知识，求出E点坐标是解题的关键．