【2020赢在中考】数学二轮专题解读与强化训练专题08 动态型问题
动态型问题是以点、线、面(如三角形、四边形)的运动为情境，探索和发现其中规律和结论的中考题型，由于图形的运动，导致题目的条件不断改变，随之相应的数量关系和结论也可能改变，这样就出现一个事件中蕴含着多个数学问题，既独立又有联系，使题目无论从考查知识上，还是解决方法上都具有较强的综合性，以达到培养和考查学生的观察、试验、空间想象、分析综合等解决问题的能力，在全国的中考试卷中常作为压轴题出现，类型有：(1)点的运动，(2)线的运动，(3)面(如三角形、四边形)的运动．
解决动态问题的思维与方法：(1)认清问题中的静态图形和动态图形，并确定动态图形的起始位置和终止位置；(2)画出不同时刻动态图形与静态图形形成的几何图形，这样就能达到由“动”变“静”，再设法分别求解问题．
考向一 点的运动型问题
例1．（2019年吉林省长春市）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝15．点P从点A出发，沿AC向终点C运动，同时点Q从点C出发，沿射线CB运动，它们的速度均为每秒5个单位长度，点P到达终点时，P、Q同时停止运动．当点P不与点A．C重合时，过点P作PN⊥AB于点N，连结PQ，以PN、PQ为邻边作?PQMN．设?PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t秒．
（1）①AB的长为 ，
②PN的长用含t的代数式表示为 ．
（2）当?PQMN为矩形时，求t的值，
（3）当?PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形时，求S与t之间的函数关系式，
（4）当过点P且平行于BC的直线经过?PQMN一边中点时，直接写出t的值．
【考点】四边形综合题
【思路点拨】（1）根据勾股定理即可直接计算AB的长，根据三角函数即可计算出PN．
（2）当?PQMN为矩形时，由PN⊥AB可知PQ∥AB，根据平行线分线段成比例定理可得，即可计算出t的值．
（3）当?PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形时，有两种情况，Ⅰ．?PQMN在三角形内部时，Ⅱ．?PQMN有部分在外边时．由三角函数可计算各图形中的高从而计算面积．
（4）当过点P且平行于BC的直线经过?PQMN一边中点时，有两种情况，Ⅰ．过MN的中点，Ⅱ．过QM的中点．分别根据解三角形求相关线段长利用平行线等分线段性质和可列方程计算t值．
【解题过程】（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝15．
∴AB＝＝＝25．
∴，
由题可知AP＝5t，
∴PN＝AP?sin∠CAB＝＝3t．
故答案为：①25，②3t．
（2）当?PQMN为矩形时，∠NPQ＝90°，
∵PN⊥AB，
∴PQ∥AB，
∴，
由题意可知AP＝CQ＝5t，CP＝20﹣5t，
∴，
解得t＝，
即当?PQMN为矩形时t＝．
（3）当?PQMN△ABC重叠部分图形为四边形时，有两种情况，
Ⅰ．如解图（3）1所示．?PQMN在三角形内部时．延长QM交AB于G点，
由（1）题可知：cosA＝sinB＝，cosB＝，AP＝5t，BQ＝15﹣5t，PN＝QM＝3t．
∴AN＝AP?cosA＝4t，BG＝BQ?cosB＝9﹣3t，QG＝BQ?sinB＝12﹣4t，
∵．?PQMN在三角形内部时．有0＜QM≤QG，
∴0＜3t≤12﹣4t，
∴0＜t．
∴NG＝25﹣4t﹣（9﹣3t）＝16﹣t．
∴当0＜t时，?PQMN与△ABC重叠部分图形为?PQMN，S与t之间的函数关系式为S＝PN?NG＝3t?（16﹣t）＝﹣3t2+48t．
Ⅱ．如解图（3）2所示．当0＜QG＜QM，?PQMN与△ABC重叠部分图形为梯形PQMG时，
即：0＜12﹣4t＜3t，解得：，
?PQMN与△ABC重叠部分图形为梯形PQMG的面积S＝＝＝．
综上所述：当0＜t时，S＝﹣3t2+48t．当，S＝．
（4）当过点P且平行于BC的直线经过?PQMN一边中点时，有两种情况，
Ⅰ．如解题图（4）1，PR∥BC，PR与AB交于K点，R为MN中点，过R点作RH⊥AB，
∴∠PKN＝∠HKR＝∠B，
NK＝PN?cot∠PKN＝3t＝，
∵NR＝MR，HR∥PN∥QM，
∴NH＝GH＝，HR＝，
∴GM＝QM﹣QG＝3t﹣（12﹣4t ）＝7t﹣12．HR＝．
∴KH＝HR?cot∠HKR＝＝，
∵NK+KH＝NH，
∴，
解得：t＝，
Ⅱ．如解题图（4）2，PR∥BC，PR与AB交于K点，R为MQ中点，过Q点作QH⊥PR，
∴∠HPN＝∠A＝∠QRH，四边形PCQH为矩形，
∴HQ＝QR?sin∠QRH＝
∵PC＝20﹣5t，
∴20﹣5t＝，解得t＝．
综上所述：当t＝或时，点P且平行于BC的直线经过?PQMN一边中点，
【名师点睛】此题考查了相似形的综合，用到的知识点是勾股定理、三角形中位线定理及相似三角形的判定与性质等，关键是根据题意画出图形，分情况进行讨论，避免出现漏解．
考向二 线的运动型问题
例2．如图，矩形AOCB的顶点A、C分别位于x轴和y轴的正半轴上，线段OA、OC的长度满足方程|x﹣15|+=0（OA＞OC），直线y=kx+b分别与x轴、y轴交于M、N两点，将△BCN沿直线BN折叠，点C恰好落在直线MN上的点D处，且tan∠CBD=
（1）求点B的坐标；
（2）求直线BN的解析式；
（3）将直线BN以每秒1个单位长度的速度沿y轴向下平移，求直线BN扫过矩形AOCB的面积S关于运动的时间t（0＜t≤13）的函数关系式．
【思路点拨】（1）由非负数的性质可求得x、y的值，则可求得B点坐标；
（2）过D作EF⊥OA于点E，交CB于点F，由条件可求得D点坐标，且可求得=，结合DE∥ON，利用平行线分线段成比例可求得OM和ON的长，则可求得N点坐标，利用待定系数法可求得直线BN的解析式；
（3）设直线BN平移后交y轴于点N′，交AB于点B′，当点N′在x轴上方时，可知S即为?BNN′B′的面积，当N′在y轴的负半轴上时，可用t表示出直线B′N′的解析式，设交x轴于点G，可用t表示出G点坐标，由S=S四边形BNN′B′﹣S△OGN′，可分别得到S与t的函数关系式．
【解题过程】解：（1）∵|x﹣15|+=0，
∴x=15，y=13，
∴OA=BC=15，AB=OC=13，
∴B（15，13）；
（2）如图1，过D作EF⊥OA于点E，交CB于点F，
由折叠的性质可知BD=BC=15，∠BDN=∠BCN=90°，
∵tan∠CBD=，
∴=，且BF2+DF2=BD2=152，解得BF=12，DF=9，
∴CF=OE=15﹣12=3，DE=EF﹣DF=13﹣9=4，
∵∠CND+∠CBD=360°﹣90°﹣90°=180°，且∠ONM+∠CND=180°，
∴∠ONM=∠CBD，
∴=，
∵DE∥ON，
∴==，且OE=3，
∴=，解得OM=6，
∴ON=8，即N（0，8），
把N、B的坐标代入y=kx+b可得，解得，
∴直线BN的解析式为y=x+8；
（3）设直线BN平移后交y轴于点N′，交AB于点B′，
当点N′在x轴上方，即0＜t≤8时，如图2，
由题意可知四边形BNN′B′为平行四边形，且NN′=t，
∴S=NN′?OA=15t；
当点N′在y轴负半轴上，即8＜t≤13时，设直线B′N′交x轴于点G，如图3，
∵NN′=t，
∴可设直线B′N′解析式为y=x+8﹣t，
令y=0，可得x=3t﹣24，
∴OG=3t﹣24，
∵ON=8，NN′=t，
∴ON′=t﹣8，
∴S=S四边形BNN′B′﹣S△OGN′=15t﹣（t﹣8）（3t﹣24）=﹣t2+39t﹣96；
综上可知S与t的函数关系式为S=．
【名师点睛】本题为一次函数的综合应用，涉及非负数的性质、待定系数法、矩形的性质、三角函数的定义、折叠的性质、平行线分线段成比例、平移的性质及分类讨论思想等知识．在（1）中注意非负数的性质的应用，在（2）中求得N点的坐标是解题的关键，在（3）中确定出扫过的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大
考向三 面的运动型问题
例3．（2019年黑龙江省伊春市）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点、、均在格点上．
（1）画出关于轴对称的，并写出点的坐标；
（2）画出绕原点顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标；
（3）在（2）的条件下，求线段在旋转过程中扫过的面积（结果保留）．
【考点】作图-轴对称变换，作图-旋转变换，扇形面积的计算
【思路点拨】（1）根据题意，可以画出相应的图形，并写出点的坐标；
（2）根据题意，可以画出相应的图形，并写出点的坐标；
（3）根据题意可以求得OA的长，从而可以求得线段OA在旋转过程中扫过的面积
【解题过程】（1）如右图所示，
点的坐标是；
（2）如右图所示，
点的坐标是；
（3）点，
，
线段在旋转过程中扫过的面积是：．
【名师点睛】此题考查作图-轴对称变换，作图-旋转变换，扇形面积的计算，解题关键在于掌握作图法则
一、选择题
1.（2019年四川省广元市）如图，点P是菱形ABCD边上的动点，它从点A出发沿A→B→C→D路径匀速运动到点D，设△PAD的面积为y，P点的运动时间为x，则y关于x的函数图象大致为（ ）
A．B．C．D．
2.（2019年广西玉林市）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最小值和最大值之和是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3.（2019年广西南宁市、北部湾经济区、北海市、崇左市、防城港市、钦州市）如图，AB为⊙O的直径，BC、CD是⊙O的切线，切点分别为点B、D，点E为线段OB上的一个动点，连接OD，CE，DE，已知AB＝2，BC＝2，当CE+DE的值最小时，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4.（2019年湖北省武汉市）如图，AB是⊙O的直径，M、N是（异于A．B）上两点，C是上一动点，∠ACB的角平分线交⊙O于点D，∠BAC的平分线交CD于点E．当点C从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是（ ）
A． B． C． D．
5.（2019年甘肃省武威市、白银市、定西市、平凉市、酒泉市、临夏州、张掖市、陇南市、庆阳市）如图①，在矩形中，，对角线相交于点，动点由点出发，沿向点运动．设点的运动路程为，的面积为，与的函数关系图象如图②所示，则边的长为( )．
A．3 B．4 C．5 D．6
6.（2019年四川省达州市）矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知B（2，2），点A在x轴上，点C在y轴上，P是对角线OB上一动点（不与原点重合），连接PC，过点P作PD⊥PC，交x轴于点D．下列结论：
①OA＝BC＝2，
②当点D运动到OA的中点处时，PC2+PD2＝7，
③在运动过程中，∠CDP是一个定值，
④当△ODP为等腰三角形时，点D的坐标为（，0）．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
7.（2019年江苏省宿迁市）如图，正方形的边长为4，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为_____．
8.（2019年四川省凉山州）如图，正方形ABCD中，AB＝12，AE＝AB，点P在BC上运动（不与B、C重合），过点P作PQ⊥EP，交CD于点Q，则CQ的最大值为 ．
9.（2019年山东省潍坊市）如图，直线y＝x+1与抛物线y＝x2﹣4x+5交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，当△PAB的周长最小时，S△PAB＝ ．
10.（2019年浙江省宁波市）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，点D在边BC上，CD＝5，BD＝13．点P是线段AD上一动点，当半径为6的⊙P与△ABC的一边相切时，AP的长为 ．
11.（2019年广西桂林市）如图，在矩形ABCD中，AB＝，AD＝3，点P是AD边上的一个动点，连接BP，作点A关于直线BP的对称点A1，连接A1C，设A1C的中点为Q，当点P从点A出发，沿边AD运动到点D时停止运动，点Q的运动路径长为 ．
12.（2019年贵州省贵阳市 ）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，∠DCA＝30°，点F是对角线AC上的一个动点，连接DF，以DF为斜边作∠DFE＝30°的直角三角形DEF，使点E和点A位于DF两侧，点F从点A到点C的运动过程中，点E的运动路径长是________．
13.（2019年湖南省长沙市）如图，函数y＝（k为常数，k＞0）的图象与过原点的O的直线相交于A，B两点，点M是第一象限内双曲线上的动点（点M在点A的左侧），直线AM分别交x轴，y轴于C，D两点，连接BM分别交x轴，y轴于点E，F．现有以下四个结论：
①△ODM与△OCA的面积相等，②若BM⊥AM于点M，则∠MBA＝30°，③若M点的横坐标为1，△OAM为等边三角形，则k＝2+，④若MF＝MB，则MD＝2MA．
其中正确的结论的序号是 ．（只填序号）
14.（2019年浙江省嘉兴市）如图，一副含30°和45°角的三角板ABC和EDF拼合在个平面上，边AC与EF重合，AC＝12cm．当点E从点A出发沿AC方向滑动时，点F同时从点C出发沿射线BC方向滑动．当点E从点A滑动到点C时，点D运动的路径长为 cm，连接BD，则△ABD的面积最大值为 cm2．
三、解答题
15.（2019年北京市）如图，P是与弦AB所围成的图形的外部的一定点，C是上一动点，连接PC交弦AB于点D．
小腾根据学习函数的经验，对线段PC，PD，AD的长度之间的关系进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：
（1）对于点C在上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC，PD，AD的长度的几组值，如下表：
位置1
位置2
位置3
位置4
位置5
位置6
位置7
位置8
PC/cm
3.44
3.30
3.07
2.70
2.25
2.25
2.64
2.83
PD/cm
3.44
2.69
2.00
1.36
0.96
1.13
2.00
2.83
AD/cm
0.00
0.78
1.54
2.30
3.01
4.00
5.11
6.00
在PC，PD，AD的长度这三个量中，确定 的长度是自变量， 的长度和 的长度都是这个自变量的函数，
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象，
（3）结合函数图象，解决问题：当PC＝2PD时，AD的长度约为 cm．
16.（2019年黑龙江省伊春市）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点、、均在格点上．
（1）画出关于轴对称的，并写出点的坐标；
（2）画出绕原点顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标；
（3）在（2）的条件下，求线段在旋转过程中扫过的面积（结果保留）．
17.（2019年广西柳州市）如图，直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，2），将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC，反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象经过点C．
（1）求直线AB和反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的解析式，
（2）已知点P是反比例函数y＝（k≠0，x＞0）图象上的一个动点，求点P到直线AB距离最短时的坐标．
18.（2019年辽宁省辽阳市）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的边BC在x轴上，∠ABC＝90°，以A为顶点的抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点C（3，0），交y轴于点E（0，3），动点P在对称轴上．
（1）求抛物线解析式，
（2）若点P从A点出发，沿A→B方向以1个单位/秒的速度匀速运动到点B停止，设运动时间为t秒，过点P作PD⊥AB交AC于点D，过点D平行于y轴的直线l交抛物线于点Q，连接AQ，CQ，当t为何值时，△ACQ的面积最大？最大值是多少？
（3）若点M是平面内的任意一点，在x轴上方是否存在点P，使得以点P，M，E，C为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出符合条件的M点坐标，若不存在，请说明理由．
19.（2019年江苏省扬州）问题呈现
如图，四边形ABCD是矩形，AB=20，BC=10，以CD为一边向矩形外部作等腰直角△GDC，∠G=90°，点M在线段AB上，且AM=a，点P沿折线AD-DG运动，点Q沿折线BC-CG运动（与点G不重合），在运动过程中始终保持线段PQ//AB.设PQ与AB之间的距离为x.
（1）若a=12.①如图1，当点P在线段AD上时，若四边形AMQP的面积为48，则x的值为_________；
②在运动过程中，求四边形AMQP的最大面积；
（2）如图2，若点P在线段DG上时，要使四边形AMQP的面积始终不小于50，求a的取值范围.
【2020赢在中考】数学二轮专题解读与强化训练专题08 动态型问题
动态型问题是以点、线、面(如三角形、四边形)的运动为情境，探索和发现其中规律和结论的中考题型，由于图形的运动，导致题目的条件不断改变，随之相应的数量关系和结论也可能改变，这样就出现一个事件中蕴含着多个数学问题，既独立又有联系，使题目无论从考查知识上，还是解决方法上都具有较强的综合性，以达到培养和考查学生的观察、试验、空间想象、分析综合等解决问题的能力，在全国的中考试卷中常作为压轴题出现，类型有：(1)点的运动，(2)线的运动，(3)面(如三角形、四边形)的运动．
解决动态问题的思维与方法：(1)认清问题中的静态图形和动态图形，并确定动态图形的起始位置和终止位置；(2)画出不同时刻动态图形与静态图形形成的几何图形，这样就能达到由“动”变“静”，再设法分别求解问题．
考向一 点的运动型问题
例1．（2019年吉林省长春市）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝15．点P从点A出发，沿AC向终点C运动，同时点Q从点C出发，沿射线CB运动，它们的速度均为每秒5个单位长度，点P到达终点时，P、Q同时停止运动．当点P不与点A．C重合时，过点P作PN⊥AB于点N，连结PQ，以PN、PQ为邻边作?PQMN．设?PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t秒．
（1）①AB的长为 ，
②PN的长用含t的代数式表示为 ．
（2）当?PQMN为矩形时，求t的值，
（3）当?PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形时，求S与t之间的函数关系式，
（4）当过点P且平行于BC的直线经过?PQMN一边中点时，直接写出t的值．
【考点】四边形综合题
【思路点拨】（1）根据勾股定理即可直接计算AB的长，根据三角函数即可计算出PN．
（2）当?PQMN为矩形时，由PN⊥AB可知PQ∥AB，根据平行线分线段成比例定理可得，即可计算出t的值．
（3）当?PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形时，有两种情况，Ⅰ．?PQMN在三角形内部时，Ⅱ．?PQMN有部分在外边时．由三角函数可计算各图形中的高从而计算面积．
（4）当过点P且平行于BC的直线经过?PQMN一边中点时，有两种情况，Ⅰ．过MN的中点，Ⅱ．过QM的中点．分别根据解三角形求相关线段长利用平行线等分线段性质和可列方程计算t值．
【解题过程】（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝15．
∴AB＝＝＝25．
∴，
由题可知AP＝5t，
∴PN＝AP?sin∠CAB＝＝3t．
故答案为：①25，②3t．
（2）当?PQMN为矩形时，∠NPQ＝90°，
∵PN⊥AB，
∴PQ∥AB，
∴，
由题意可知AP＝CQ＝5t，CP＝20﹣5t，
∴，
解得t＝，
即当?PQMN为矩形时t＝．
（3）当?PQMN△ABC重叠部分图形为四边形时，有两种情况，
Ⅰ．如解图（3）1所示．?PQMN在三角形内部时．延长QM交AB于G点，
由（1）题可知：cosA＝sinB＝，cosB＝，AP＝5t，BQ＝15﹣5t，PN＝QM＝3t．
∴AN＝AP?cosA＝4t，BG＝BQ?cosB＝9﹣3t，QG＝BQ?sinB＝12﹣4t，
∵．?PQMN在三角形内部时．有0＜QM≤QG，
∴0＜3t≤12﹣4t，
∴0＜t．
∴NG＝25﹣4t﹣（9﹣3t）＝16﹣t．
∴当0＜t时，?PQMN与△ABC重叠部分图形为?PQMN，S与t之间的函数关系式为S＝PN?NG＝3t?（16﹣t）＝﹣3t2+48t．
Ⅱ．如解图（3）2所示．当0＜QG＜QM，?PQMN与△ABC重叠部分图形为梯形PQMG时，
即：0＜12﹣4t＜3t，解得：，
?PQMN与△ABC重叠部分图形为梯形PQMG的面积S＝＝＝．
综上所述：当0＜t时，S＝﹣3t2+48t．当，S＝．
（4）当过点P且平行于BC的直线经过?PQMN一边中点时，有两种情况，
Ⅰ．如解题图（4）1，PR∥BC，PR与AB交于K点，R为MN中点，过R点作RH⊥AB，
∴∠PKN＝∠HKR＝∠B，
NK＝PN?cot∠PKN＝3t＝，
∵NR＝MR，HR∥PN∥QM，
∴NH＝GH＝，HR＝，
∴GM＝QM﹣QG＝3t﹣（12﹣4t ）＝7t﹣12．HR＝．
∴KH＝HR?cot∠HKR＝＝，
∵NK+KH＝NH，
∴，
解得：t＝，
Ⅱ．如解题图（4）2，PR∥BC，PR与AB交于K点，R为MQ中点，过Q点作QH⊥PR，
∴∠HPN＝∠A＝∠QRH，四边形PCQH为矩形，
∴HQ＝QR?sin∠QRH＝
∵PC＝20﹣5t，
∴20﹣5t＝，解得t＝．
综上所述：当t＝或时，点P且平行于BC的直线经过?PQMN一边中点，
【名师点睛】此题考查了相似形的综合，用到的知识点是勾股定理、三角形中位线定理及相似三角形的判定与性质等，关键是根据题意画出图形，分情况进行讨论，避免出现漏解．
考向二 线的运动型问题
例2．如图，矩形AOCB的顶点A、C分别位于x轴和y轴的正半轴上，线段OA、OC的长度满足方程|x﹣15|+=0（OA＞OC），直线y=kx+b分别与x轴、y轴交于M、N两点，将△BCN沿直线BN折叠，点C恰好落在直线MN上的点D处，且tan∠CBD=
（1）求点B的坐标；
（2）求直线BN的解析式；
（3）将直线BN以每秒1个单位长度的速度沿y轴向下平移，求直线BN扫过矩形AOCB的面积S关于运动的时间t（0＜t≤13）的函数关系式．
【思路点拨】（1）由非负数的性质可求得x、y的值，则可求得B点坐标；
（2）过D作EF⊥OA于点E，交CB于点F，由条件可求得D点坐标，且可求得=，结合DE∥ON，利用平行线分线段成比例可求得OM和ON的长，则可求得N点坐标，利用待定系数法可求得直线BN的解析式；
（3）设直线BN平移后交y轴于点N′，交AB于点B′，当点N′在x轴上方时，可知S即为?BNN′B′的面积，当N′在y轴的负半轴上时，可用t表示出直线B′N′的解析式，设交x轴于点G，可用t表示出G点坐标，由S=S四边形BNN′B′﹣S△OGN′，可分别得到S与t的函数关系式．
【解题过程】解：（1）∵|x﹣15|+=0，
∴x=15，y=13，
∴OA=BC=15，AB=OC=13，
∴B（15，13）；
（2）如图1，过D作EF⊥OA于点E，交CB于点F，
由折叠的性质可知BD=BC=15，∠BDN=∠BCN=90°，
∵tan∠CBD=，
∴=，且BF2+DF2=BD2=152，解得BF=12，DF=9，
∴CF=OE=15﹣12=3，DE=EF﹣DF=13﹣9=4，
∵∠CND+∠CBD=360°﹣90°﹣90°=180°，且∠ONM+∠CND=180°，
∴∠ONM=∠CBD，
∴=，
∵DE∥ON，
∴==，且OE=3，
∴=，解得OM=6，
∴ON=8，即N（0，8），
把N、B的坐标代入y=kx+b可得，解得，
∴直线BN的解析式为y=x+8；
（3）设直线BN平移后交y轴于点N′，交AB于点B′，
当点N′在x轴上方，即0＜t≤8时，如图2，
由题意可知四边形BNN′B′为平行四边形，且NN′=t，
∴S=NN′?OA=15t；
当点N′在y轴负半轴上，即8＜t≤13时，设直线B′N′交x轴于点G，如图3，
∵NN′=t，
∴可设直线B′N′解析式为y=x+8﹣t，
令y=0，可得x=3t﹣24，
∴OG=3t﹣24，
∵ON=8，NN′=t，
∴ON′=t﹣8，
∴S=S四边形BNN′B′﹣S△OGN′=15t﹣（t﹣8）（3t﹣24）=﹣t2+39t﹣96；
综上可知S与t的函数关系式为S=．
【名师点睛】本题为一次函数的综合应用，涉及非负数的性质、待定系数法、矩形的性质、三角函数的定义、折叠的性质、平行线分线段成比例、平移的性质及分类讨论思想等知识．在（1）中注意非负数的性质的应用，在（2）中求得N点的坐标是解题的关键，在（3）中确定出扫过的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大
考向三 面的运动型问题
例3．（2019年黑龙江省伊春市）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点、、均在格点上．
（1）画出关于轴对称的，并写出点的坐标；
（2）画出绕原点顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标；
（3）在（2）的条件下，求线段在旋转过程中扫过的面积（结果保留）．
【考点】作图-轴对称变换，作图-旋转变换，扇形面积的计算
【思路点拨】（1）根据题意，可以画出相应的图形，并写出点的坐标；
（2）根据题意，可以画出相应的图形，并写出点的坐标；
（3）根据题意可以求得OA的长，从而可以求得线段OA在旋转过程中扫过的面积
【解题过程】（1）如右图所示，
点的坐标是；
（2）如右图所示，
点的坐标是；
（3）点，
，
线段在旋转过程中扫过的面积是：．
【名师点睛】此题考查作图-轴对称变换，作图-旋转变换，扇形面积的计算，解题关键在于掌握作图法则
选择题
1.（2019年四川省广元市）如图，点P是菱形ABCD边上的动点，它从点A出发沿A→B→C→D路径匀速运动到点D，设△PAD的面积为y，P点的运动时间为x，则y关于x的函数图象大致为（ ）
A．B．C．D．
【考点】动点问题的函数图象，菱形的性质
【分析】设菱形的高为h，即是一个定值，再分点P在AB上，在BC上和在CD上三种情况，利用三角形的面积公式列式求出相应的函数关系式，然后选择答案即可．
解：分三种情况：
①当P在AB边上时，如图1，
设菱形的高为h，
y＝AP?h，
∵AP随x的增大而增大，h不变，
∴y随x的增大而增大，
故选项C和D不正确，
②当P在边BC上时，如图2，
y＝AD?h，
AD和h都不变，
∴在这个过程中，y不变，
故选项B不正确，
③当P在边CD上时，如图3，
y＝PD?h，
∵PD随x的增大而减小，h不变，
∴y随x的增大而减小，
∵P点从点A出发沿在A→B→C→D路径匀速运动到点D，
∴P在三条线段上运动的时间相同，
故选项A正确，
故选：A．
【名师点睛】本题考查了动点问题的函数图象，菱形的性质，根据点P的位置的不同，分三段求出△PAD的面积的表达式是解题的关键．
2.（2019年广西玉林市）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最小值和最大值之和是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【考点】三角形中位线定理，切线的性质，平行线分线段成比例定理
【分析】设⊙O与AC相切于点D，连接OD，作OP⊥BC垂足为P交⊙O于F，此时垂线段OP最短，MN最小值为OP﹣OF＝，当N在AB边上时，M与B重合时，MN最大值＝+1＝，由此不难解决问题．
解：如图，设⊙O与AC相切于点D，连接OD，作OP⊥BC垂足为P交⊙O于F，
此时垂线段OP最短，PF最小值为OP﹣OF，
∵AC＝4，BC＝3，
∴AB＝5
∵∠OPB＝90°，
∴OP∥AC
∵点O是AB的三等分点，
∴OB＝×5＝，＝＝，
∴OP＝，
∵⊙O与AC相切于点D，
∴OD⊥AC，
∴OD∥BC，
∴＝＝，
∴OD＝1，
∴MN最小值为OP﹣OF＝﹣1＝，
如图，当N在AB边上时，M与B重合时，MN经过圆心，经过圆心的弦最长，
MN最大值＝+1＝，
∴MN长的最大值与最小值的和是6．
故选：B．
【名师点睛】本题考查切线的性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是正确找到点MN取得最大值、最小值时的位置，属于中考常考题型．
3.（2019年广西南宁市、北部湾经济区、北海市、崇左市、防城港市、钦州市）如图，AB为⊙O的直径，BC、CD是⊙O的切线，切点分别为点B、D，点E为线段OB上的一个动点，连接OD，CE，DE，已知AB＝2，BC＝2，当CE+DE的值最小时，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】切线的性质，轴对称﹣最短路线问题，相似三角形的判定与性质
【分析】延长CB到F使得BC＝CF，则C与F关于OB对称，连接DF与OB相交于点E，此时CE+DE＝DF值最小，连接OC，BD，两线相交于点G，过D作DH⊥OB于H，先求得BG，再求BH，进而DH，运用相似三角形得，便可得解．
解：延长CB到F使得BF＝BC，则C与F关于OB对称，连接DF与OB相交于点E，此时CE+DE＝DF值最小，
连接OC，BD，两线相交于点G，过D作DH⊥OB于H，
则OC⊥BD，OC＝，
∵OB?BC＝OC?BG，
∴，
∴BD＝2BG＝，
∵OD2﹣OH2＝DH2＝BD2﹣BH2，
∴，
∴BH＝，
∴，
∵DH∥BF，
∴，
∴，
故选：A．
【名师点睛】本题是圆的综合题，主要考查了切线长定理，切线的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，将军饮马问题，问题较复杂，作的辅助线较多，正确作辅助线是解决问题的关键．
4.（2019年湖北省武汉市）如图，AB是⊙O的直径，M、N是（异于A．B）上两点，C是上一动点，∠ACB的角平分线交⊙O于点D，∠BAC的平分线交CD于点E．当点C从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是（ ）
A． B． C． D．
【考点】圆周角定理，轨迹，弧长公式计算
【分析】如图，连接EB．设OA＝r．易知点E在以D为圆心DA为半径的圆上，运动轨迹是，点C的运动轨迹是，由题意∠MON＝2∠GDF，设∠GDF＝α，则∠MON＝2α，利用弧长公式计算即可解决问题．
解：如图，连接EB．设OA＝r．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵E是△ACB的内心，
∴∠AEB＝135°，
∵∠ACD＝∠BCD，
∴＝，
∴AD＝DB＝r，
∴∠ADB＝90°，
易知点E在以D为圆心DA为半径的圆上，运动轨迹是，点C的运动轨迹是，
∵∠MON＝2∠GDF，设∠GDF＝α，则∠MON＝2α
∴＝＝．
故选：A．
【名师点睛】本题考查弧长公式，圆周角定理，三角形的内心等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找点的运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题．
5.（2019年甘肃省武威市、白银市、定西市、平凉市、酒泉市、临夏州、张掖市、陇南市、庆阳市）如图①，在矩形中，，对角线相交于点，动点由点出发，沿向点运动．设点的运动路程为，的面积为，与的函数关系图象如图②所示，则边的长为( )．
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】动点问题的函数图象
【分析】当点在上运动时，面积逐渐增大，当点到达点时，结合图象可得面积最大为3，得到与的积为12；当点在上运动时，面积逐渐减小，当点到达点时，面积为0，此时结合图象可知点运动路径长为7，得到与的和为7，构造关于的一元二方程可求解．
解：当点在上运动时，面积逐渐增大，当点到达点时，面积最大为3．
∴，即．
当点在上运动时，面积逐渐减小，当点到达点时，面积为0，此时结合图象可知点运动路径长为7，
∴．
则，代入，得，解得或3，
因为，即，
所以．
故选：B．
【名师点睛】本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是分析三角形面积随动点运动的变化过程，找到分界点极值，结合图象得到相关线段的具体数值．
6.（2019年四川省达州市）矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知B（2，2），点A在x轴上，点C在y轴上，P是对角线OB上一动点（不与原点重合），连接PC，过点P作PD⊥PC，交x轴于点D．下列结论：
①OA＝BC＝2，
②当点D运动到OA的中点处时，PC2+PD2＝7，
③在运动过程中，∠CDP是一个定值，
④当△ODP为等腰三角形时，点D的坐标为（，0）．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质，勾股定理，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，矩形的性质
【分析】①根据矩形的性质即可得到OA＝BC＝2，故①正确，
②由点D为OA的中点，得到OD＝OA＝，根据勾股定理即可得到PC2+PD2＝CD2＝OC2+OD2＝22+（）2＝7，故②正确，
③如图，过点P作PF⊥OA于F，FP的延长线交BC于E，PE＝a，则PF＝EF﹣PE＝2﹣a，根据三角函数的定义得到BE＝PE＝a，求得CE＝BC﹣BE＝2﹣a＝（2﹣a），根据相似三角形的性质得到FD＝，根据三角函数的定义得到∠PDC＝60°，故③正确，
④当△ODP为等腰三角形时，Ⅰ、OD＝PD，解直角三角形得到OD＝OC＝，Ⅱ、OP＝OD，根据等腰三角形的性质和四边形的内角和得到∠OCP＝105°＞90°，故不合题意舍去，Ⅲ、OP＝PD，根据等腰三角形的性质和四边形的内角和得到∠OCP＝105°＞90°，故不合题意舍去，于是得到当△ODP为等腰三角形时，点D的坐标为（，0）．故④正确．
解：①∵四边形OABC是矩形，B（2，2），
∴OA＝BC＝2，故①正确，
②∵点D为OA的中点，
∴OD＝OA＝，
∴PC2+PD2＝CD2＝OC2+OD2＝22+（）2＝7，故②正确，
③如图，过点P作PF⊥OA于F，FP的延长线交BC于E，
∴PE⊥BC，四边形OFEC是矩形，
∴EF＝OC＝2，
设PE＝a，则PF＝EF﹣PE＝2﹣a，
在Rt△BEP中，tan∠CBO＝＝＝，
∴BE＝PE＝a，
∴CE＝BC﹣BE＝2﹣a＝（2﹣a），
∵PD⊥PC，
∴∠CPE+∠FPD＝90°，
∵∠CPE+∠PCE＝90°，
∴∠FPD＝∠ECP，
∵∠CEP＝∠PFD＝90°，
∴△CEP∽△PFD，
∴＝，
∴＝，
∴FD＝，
∴tan∠PDC＝＝＝，
∴∠PDC＝60°，故③正确，
④∵B（2，2），四边形OABC是矩形，
∴OA＝2，AB＝2，
∵tan∠AOB＝＝，
∴∠AOB＝30°，
当△ODP为等腰三角形时，
Ⅰ、OD＝PD，
∴∠DOP＝∠DPO＝30°，
∴∠ODP＝60°，
∴∠ODC＝60°，
∴OD＝OC＝，
Ⅱ、OP＝OD，
∴∠ODP＝∠OPD＝75°，
∵∠COD＝∠CPD＝90°，
∴∠OCP＝105°＞90°，故不合题意舍去，
Ⅲ、OP＝PD，
∴∠POD＝∠PDO＝30°，
∴∠OCP＝150°＞90°故不合题意舍去，
∴当△ODP为等腰三角形时，点D的坐标为（，0）．故④正确，
故选：D．
【名师点睛】此题主要考查了矩形的性质，锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，构造出相似三角形表示出CP和PD是解本题的关键．
二、填空题
7.（2019年江苏省宿迁市）如图，正方形的边长为4，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为_____．
【考点】等边三角形的性质,矩形的判定与性质,正方形的性质,旋转的性质
【分析】由题意分析可知，点为主动点，为从动点，所以以点为旋转中心构造全等关系，得到点的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得最小值．
解：由题意可知，点是主动点，点是从动点，点在线段上运动，点也一定在直线轨迹上运动
将绕点旋转，使与重合，得到，
从而可知为等边三角形，点在垂直于的直线上，
作，则即为的最小值，
作，可知四边形为矩形，
则.
故答案为．
【名师点睛】本题考查了线段极值问题，分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出点的运动轨迹，是本题的关键．
8.（2019年四川省凉山州）如图，正方形ABCD中，AB＝12，AE＝AB，点P在BC上运动（不与B、C重合），过点P作PQ⊥EP，交CD于点Q，则CQ的最大值为 ．
【考点】二次函数的最值，正方形的性质，相似三角形的判定与性质
【分析】先证明△BPE∽△CQP，得到与CQ有关的比例式，设CQ＝y，BP＝x，则CP＝12﹣x，代入解析式，得到y与x的二次函数式，根据二次函数的性质可求最值．
解：∵∠BEP+∠BPE＝90°，∠QPC+∠BPE＝90°，
∴∠BEP＝∠CPQ．
又∠B＝∠C＝90°，
∴△BPE∽△CQP．
∴．
设CQ＝y，BP＝x，则CP＝12﹣x．
∴，化简得y＝﹣（x2﹣12x），
整理得y＝﹣（x﹣6）2+4，
所以当x＝6时，y有最大值为4．
故答案为4．
【名师点睛】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质，以及二次函数最值问题，几何最值用二次函数最值求解考查了树形结合思想．
9.（2019年山东省潍坊市）如图，直线y＝x+1与抛物线y＝x2﹣4x+5交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，当△PAB的周长最小时，S△PAB＝ ．
【考点】一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，轴对称﹣最短路线问题
【分析】根据轴对称，可以求得使得△PAB的周长最小时点P的坐标，然后求出点P到直线AB的距离和AB的长度，即可求得△PAB的面积，本题得以解决．
解：，
解得，或，
∴点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（4，5），
∴AB＝＝3，
作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B与y轴的交于P，则此时△PAB的周长最小，
点A′的坐标为（﹣1，2），点B的坐标为（4，5），
设直线A′B的函数解析式为y＝kx+b，
，得，
∴直线A′B的函数解析式为y＝x+，
当x＝0时，y＝，
即点P的坐标为（0，），
将x＝0代入直线y＝x+1中，得y＝1，
∵直线y＝x+1与y轴的夹角是45°，
∴点P到直线AB的距离是：（﹣1）×sin45°＝＝，
∴△PAB的面积是：＝，
故答案为：．
【名师点睛】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质、轴对称﹣最短路径问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
10.（2019年浙江省宁波市）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，点D在边BC上，CD＝5，BD＝13．点P是线段AD上一动点，当半径为6的⊙P与△ABC的一边相切时，AP的长为 ．
【考点】勾股定理，切线的判定与性质，相似三角形的判定和性质
【分析】根据勾股定理得到AB＝＝6，AD＝＝13，当⊙P于BC相切时，点P到BC的距离＝6，过P作PH⊥BC于H，则PH＝6，当⊙P于AB相切时，点P到AB的距离＝6，根据相似三角形的性质即可得到结论．
解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BD+CD＝18，
∴AB＝＝6，
在Rt△ADC中，∠C＝90°，AC＝12，CD＝5，
∴AD＝＝13，
当⊙P于BC相切时，点P到BC的距离＝6，
过P作PH⊥BC于H，
则PH＝6，
∵∠C＝90°，
∴AC⊥BC，
∴PH∥AC，
∴△DPH∽△DAC，
∴，
∴＝，
∴PD＝6.5，
∴AP＝6.5，
当⊙P于AB相切时，点P到AB的距离＝6，
过P作PG⊥AB于G，
则PG＝6，
∵AD＝BD＝13，
∴∠PAG＝∠B，
∵∠AGP＝∠C＝90°，
∴△AGP∽△BCA，
∴，
∴＝，
∴AP＝3，
∵CD＝5＜6，
∴半径为6的⊙P不与△ABC的AC边相切，
综上所述，AP的长为6.5或3，
故答案为：6.5或3．
【名师点睛】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练正确切线的性质是解题的关键．
11.（2019年广西桂林市）如图，在矩形ABCD中，AB＝，AD＝3，点P是AD边上的一个动点，连接BP，作点A关于直线BP的对称点A1，连接A1C，设A1C的中点为Q，当点P从点A出发，沿边AD运动到点D时停止运动，点Q的运动路径长为 ．
【考点】矩形的性质，轨迹，轴对称的性质
【分析】如图，连接BA1，取BC使得中点O，连接OQ，BD．利用三角形的中位线定理证明OQ＝＝定值，推出点Q的运动轨迹是以O为圆心，OQ为半径的圆弧，圆心角为120°，已解决可解决问题．
解：如图，连接BA1，取BC使得中点O，连接OQ，BD．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
∴tan∠ABD＝＝，
∴∠ABD＝60°，
∵A1Q＝QC，BO＝OC，
∴OQ＝BA1＝AB＝，
∴点Q的运动轨迹是以O为圆心，OQ为半径的圆弧，圆心角为120°，
∴点Q的运动路径长＝＝π．
故答案为π．
【名师点睛】本题考查轨迹，矩形的性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
12.（2019年贵州省贵阳市 ）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，∠DCA＝30°，点F是对角线AC上的一个动点，连接DF，以DF为斜边作∠DFE＝30°的直角三角形DEF，使点E和点A位于DF两侧，点F从点A到点C的运动过程中，点E的运动路径长是________．
【考点】点的轨迹，含30度角的直角三角形，勾股定理，四边形综合题
【分析】当F与A点重合时和F与C重合时，根据E的位置，可知E的运动路径是EE'的长；由已知条件可以推导出△DEE'是直角三角形，且∠DEE'=30°，在Rt△ADE'中，求出DE'＝即可求解．
解：如图
E的运动路径是EE'的长；
∵AB＝4，∠DCA＝30°，
∴BC＝，
当F与A点重合时，
在Rt△ADE'中，AD＝，∠DAE'＝30°，∠ADE'＝60°，
∴DE'＝，∠CDE'＝30°，
当F与C重合时，∠EDC＝60°，
∴∠EDE'＝90°，∠DEE'＝30°，
在Rt△DEE'中，EE'＝；
故答案为．
【名师点睛】本题考查点的轨迹；能够根据E点的运动情况，分析出E点的运动轨迹是线段，在30度角的直角三角形中求解是关键．
13.（2019年湖南省长沙市）如图，函数y＝（k为常数，k＞0）的图象与过原点的O的直线相交于A，B两点，点M是第一象限内双曲线上的动点（点M在点A的左侧），直线AM分别交x轴，y轴于C，D两点，连接BM分别交x轴，y轴于点E，F．现有以下四个结论：
①△ODM与△OCA的面积相等，②若BM⊥AM于点M，则∠MBA＝30°，③若M点的横坐标为1，△OAM为等边三角形，则k＝2+，④若MF＝MB，则MD＝2MA．
其中正确的结论的序号是 ．（只填序号）
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，平行线分线段成比例定理
【分析】①设点A（m，），M（n，），构建一次函数求出C，D坐标，利用三角形的面积公式计算即可判断．
②△OMA不一定是等边三角形，故结论不一定成立．
③设M（1，k），由△OAM为等边三角形，推出OA＝OM＝AM，可得1+k2＝m2+，推出m＝k，根据OM＝AM，构建方程求出k即可判断．
④如图，作MK∥OD交OA于K．利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
解：①设点A（m，），M（n，），
则直线AC的解析式为y＝﹣x++，
∴C（m+n，0），D（0，），
∴S△ODM＝n×＝，S△OCA＝（m+n）×＝，
∴△ODM与△OCA的面积相等，故①正确，
∵反比例函数与正比例函数关于原点对称，
∴O是AB的中点，
∵BM⊥AM，
∴OM＝OA，
∴k＝mn，
∴A（m，n），M（n，m），
∴AM＝（n﹣m），OM＝，
∴AM不一定等于OM，
∴∠BAM不一定是60°，
∴∠MBA不一定是30°．故②错误，
∵M点的横坐标为1，
∴可以假设M（1，k），
∵△OAM为等边三角形，
∴OA＝OM＝AM，
1+k2＝m2+，
∵m＞0，k＞0，
∴m＝k，
∵OM＝AM，
∴（1﹣m）2+＝1+k2，
∴k2﹣4k+1＝0，
∴k＝2，
∵m＞1，
∴k＝2+，故③正确，
如图，作MK∥OD交OA于K．
∵OF∥MK，
∴＝＝，
∴＝，
∵OA＝OB，
∴＝，
∴＝，
∵KM∥OD，
∴＝＝2，
∴DM＝2AM，故④正确．
故答案为①③④．
【名师点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会构造平行线，利用平行线分线段成比例定理解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
14.（2019年浙江省嘉兴市）如图，一副含30°和45°角的三角板ABC和EDF拼合在个平面上，边AC与EF重合，AC＝12cm．当点E从点A出发沿AC方向滑动时，点F同时从点C出发沿射线BC方向滑动．当点E从点A滑动到点C时，点D运动的路径长为 cm，连接BD，则△ABD的面积最大值为 cm2．
【考点】全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，三角形的面积，轨迹
【分析】过点D'作D'N⊥AC于点N，作D'M⊥BC于点M，由直角三角形的性质可得BC＝4cm，AB＝8cm，ED＝DF＝6cm，由“AAS”可证△D'NE'≌△D'MF'，可得D'N＝D'M，即点D'在射线CD上移动，且当E'D'⊥AC时，DD'值最大，则可求点D运动的路径长，由三角形面积公式可求S△AD'B＝BC×AC+×AC×D'N﹣×BC×D'M＝24+（12﹣4）×D'N，则E'D'⊥AC时，S△AD'B有最大值．
解：∵AC＝12cm，∠A＝30°，∠DEF＝45°
∴BC＝4cm，AB＝8cm，ED＝DF＝6cm
如图，当点E沿AC方向下滑时，得△E'D'F'，过点D'作D'N⊥AC于点N，作D'M⊥BC于点M
∴∠MD'N＝90°，且∠E'D'F'＝90°
∴∠E'D'N＝∠F'D'M，且∠D'NE'＝∠D'MF'＝90°，E'D'＝D'F'
∴△D'NE'≌△D'MF'（AAS）
∴D'N＝D'M，且D'N⊥AC，D'M⊥CM
∴CD'平分∠ACM
即点E沿AC方向下滑时，点D'在射线CD上移动，
∴当E'D'⊥AC时，DD'值最大，最大值＝ED﹣CD＝（12﹣6）cm
∴当点E从点A滑动到点C时，点D运动的路径长＝2×（12﹣6）＝（24﹣12）cm
如图，连接BD'，AD'，
∵S△AD'B＝S△ABC+S△AD'C﹣S△BD'C
∴S△AD'B＝BC×AC+×AC×D'N﹣×BC×D'M＝24+（12﹣4）×D'N
当E'D'⊥AC时，S△AD'B有最大值，
∴S△AD'B最大值＝24+（12﹣4）×6＝（24+36﹣12）cm2．
故答案为：（24﹣12），（24+36﹣12）
【名师点睛】本题考查了轨迹，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，三角形面积公式等知识，确定点D的运动轨迹是本题的关键．
三、解答题
15.（2019年北京市）如图，P是与弦AB所围成的图形的外部的一定点，C是上一动点，连接PC交弦AB于点D．
小腾根据学习函数的经验，对线段PC，PD，AD的长度之间的关系进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：
（1）对于点C在上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC，PD，AD的长度的几组值，如下表：
位置1
位置2
位置3
位置4
位置5
位置6
位置7
位置8
PC/cm
3.44
3.30
3.07
2.70
2.25
2.25
2.64
2.83
PD/cm
3.44
2.69
2.00
1.36
0.96
1.13
2.00
2.83
AD/cm
0.00
0.78
1.54
2.30
3.01
4.00
5.11
6.00
在PC，PD，AD的长度这三个量中，确定 的长度是自变量， 的长度和 的长度都是这个自变量的函数，
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象，
（3）结合函数图象，解决问题：当PC＝2PD时，AD的长度约为 cm．
【考点】动点问题的函数图象
【分析】（1）按照变量的定义，根据函数的定义，PC、PD不可能为自变量，只能是AD为自变量，即可求解，
（2）描点画出如图图象，
（3）PC＝2PD，即PD＝PC，画出y＝x，交曲线AD的值为所求，即可求解．
解：（1）根据函数的定义，PC、PD不可能为自变量，只能是AD为自变量
故答案为：AD、PC、PD，
（2）描点画出如图图象，
（3）PC＝2PD，
从图和表格可以看出位置4和位置6符合要求，
即AD的长度为2.3和4.0．
【名师点睛】本题考查的是动点的函数图象，此类问题主要是通过描点画出函数图象，根据函数关系，在图象上查出相应的近似数值．
16.（2019年黑龙江省伊春市）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点、、均在格点上．
（1）画出关于轴对称的，并写出点的坐标；
（2）画出绕原点顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标；
（3）在（2）的条件下，求线段在旋转过程中扫过的面积（结果保留）．
【考点】作图-轴对称变换，作图-旋转变换，扇形面积的计算
【分析】（1）根据题意，可以画出相应的图形，并写出点的坐标；
（2）根据题意，可以画出相应的图形，并写出点的坐标；
（3）根据题意可以求得OA的长，从而可以求得线段OA在旋转过程中扫过的面积
解：（1）如右图所示，
点的坐标是；
（2）如右图所示，
点的坐标是；
（3）点，
，
线段在旋转过程中扫过的面积是：．
【名师点睛】此题考查作图-轴对称变换，作图-旋转变换，扇形面积的计算，解题关键在于掌握作图法则
17.（2019年广西柳州市）如图，直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，2），将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC，反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象经过点C．
（1）求直线AB和反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的解析式，
（2）已知点P是反比例函数y＝（k≠0，x＞0）图象上的一个动点，求点P到直线AB距离最短时的坐标．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数解析式，坐标与图形变化﹣旋转
【分析】（1）将点A（1，0），点B（0，2），代入y＝mx+b，可求直线解析式，过点C作CD⊥x轴，根据三角形全等可求C（3，1），进而确定k，
（2）设与AB平行的直线y＝﹣2x+h，联立﹣2x+h＝，当△＝h2﹣24＝0时，点P到直线AB距离最短，
解：（1）将点A（1，0），点B（0，2），代入y＝mx+b，
∴b＝2，m＝﹣2，
∴y＝﹣2x+2，
∵过点C作CD⊥x轴，
∵线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC，
∴△ABO≌△CAD（AAS），
∴AD＝AB＝2，CD＝OA＝1，
∴C（3，1），
∴k＝3，
∴y＝，
（2）设与AB平行的直线y＝﹣2x+h，
联立﹣2x+h＝，
∴﹣2x2+hx﹣3＝0，
当△＝h2﹣24＝0时，h＝2或﹣2（舍弃），此时点P到直线AB距离最短，
∴P（，），
【名师点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，当直线与反比例函数有一个交点时，点到直线的距离最短是解题的关键．
18.（2019年辽宁省辽阳市）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的边BC在x轴上，∠ABC＝90°，以A为顶点的抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点C（3，0），交y轴于点E（0，3），动点P在对称轴上．
（1）求抛物线解析式，
（2）若点P从A点出发，沿A→B方向以1个单位/秒的速度匀速运动到点B停止，设运动时间为t秒，过点P作PD⊥AB交AC于点D，过点D平行于y轴的直线l交抛物线于点Q，连接AQ，CQ，当t为何值时，△ACQ的面积最大？最大值是多少？
（3）若点M是平面内的任意一点，在x轴上方是否存在点P，使得以点P，M，E，C为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出符合条件的M点坐标，若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题
【分析】（1）将点C、E的坐标代入二次函数表达式，即可求解，
（2）S△ACQ＝×DQ×BC，即可求解，
（3）分EC是菱形一条边、EC是菱形一对角线两种情况，分别求解即可．
解：（1）将点C、E的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3，
则点A（1，4），
（2）将点A．C的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线AC的表达式为：y＝﹣2x+6，
点P（1，4﹣t），则点D（，4﹣t），设点Q（，4﹣），
S△ACQ＝×DQ×BC＝﹣t2+t，
∵﹣＜0，故S△ACQ有最大值，当t＝2时，其最大值为1，
（3）设点P（1，m），点M（x，y），
①当EC是菱形一条边时，
当点M在x轴下方时，
点E向右平移3个单位、向下平移3个单位得到C，
则点P平移3个单位、向下平移3个单位得到M，
则1+3＝x，m﹣3＝y，
而MP＝EP得：1+（m﹣3）2＝（x﹣1）2+（y﹣m）2，
解得：y＝m﹣3＝，
故点M（4，），
当点M在x轴上方时，
同理可得：点M（﹣2，3+），
②当EC是菱形一对角线时，
则EC中点即为PM中点，
则x+1＝3，y+m＝3，
而PE＝PC，即1+（m﹣3）2＝4+（m﹣2）2，
解得：m＝1，
故x＝2，y＝3﹣m＝3﹣1＝2，
故点M（2，2），
综上，点M（4，）或（﹣2，3+）或M（2，2）．
【名师点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到菱形的性质、图形的平移、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
19.（2019年江苏省扬州）问题呈现
如图，四边形ABCD是矩形，AB=20，BC=10，以CD为一边向矩形外部作等腰直角△GDC，∠G=90°，点M在线段AB上，且AM=a，点P沿折线AD-DG运动，点Q沿折线BC-CG运动（与点G不重合），在运动过程中始终保持线段PQ//AB.设PQ与AB之间的距离为x.
（1）若a=12.①如图1，当点P在线段AD上时，若四边形AMQP的面积为48，则x的值为_________；
②在运动过程中，求四边形AMQP的最大面积；
（2）如图2，若点P在线段DG上时，要使四边形AMQP的面积始终不小于50，求a的取值范围.
【考点】矩形的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，梯形面积公式，二次函数的性质
【分析】(1)①P在线段AD上，PQ=AB=20，AP=x，AM=12，由梯形面积公式得出方程，解方程即可；
②分点P在AD上、点P在DG上，两种情况，根据梯形的面积以及二次函数的性质分别求出两种情况下面积的最大值，比较即可得；
(2)P在DG上，则10≤x≤20，AM=a， PQ=40-2x，可得S四边形AMQP=，得出对称轴为：x=，继而得出10≤≤15，对称轴在10到15之间，再根据10≤x≤20，二次函数图象的开口向下，可知当x=20时，S最小，得出≥50，求出a≥5，即可得出答案.
解：(1)①P在线段AD上，PQ=AB=20，AP=x，AM=a=12，
S四边形AMQP=，
解得x=3，
故答案为：3；
②当P在AD上时，P到D点时四边形AMQP的面积最大，此时为直角梯形，
∴0≤x≤10时，S四边形AMQP=，
当x=10时，S四边形AMQP最大值=160；
当P在DG上，即10≤x≤20，四边形AMQP为不规则梯形，
如图，作PO⊥AB于M，交CD于N，作GE⊥CD于E，交AB于F，交PQ于点H，
则PO=x，PN=x-10，EF=BC=10，
∵△GDC是等腰直角三角形，
∴DE=CE，GE=CD=10，
∴GF=GE+EF=20，∴GH=20-x，
由题意，PQ//CD，
∴△GPQ∽△GDC，
∴PQ：DC=GH：GE，
即PQ：20=(20-x):10，
∴PQ=40-2x，
∴S梯形AMQP==-x2+26x=-(x-13)2+169，
∴当x=13时，四边形AMQP的面积最大为169，
综上：x=13时，S四边形AMQP最大值=169；
(2)P在DG上，则10≤x≤20，AM=a，由(1)知：PQ=40-2x，
S四边形AMQP=，
对称轴为：x=，开口向下，
∵0≤a≤20，
∴10≤≤15，对称轴在10到15之间，
∵10≤x≤20，二次函数图象的开口向下，
∴当x=20时，S最小，
∴≥50，
∴a≥5，
综上所述：5≤a≤20.
【名师点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，梯形面积公式，二次函数的性质等知识，综合性较强，有一定的难度，证明三角形相似是解题的关键.
