(共31张PPT)
第6章
实数
6.1 平方根、立方根
第1课时
1.了解平方根及算术平方根的概念，会用根号表示
一个数的算术平方根;(重点)
2.会求非负数的平方根与算术平方根．(重点、难
点)
3.会用计算器求一个数的平方根；
学习目标
某家庭在装修儿童房时需铺地垫10.8m2，刚好用去正方形的地垫30块. 你能算出每块地垫的边长是多少吗？
观察与思考
每块正方形地垫的面积是
10.8÷30=0.36(m2).
即 边长×边长=0.36.
由于 0.62=0.36，
因此面积为0.36m2的正方形地垫的边长是0.6m.
请你说一说解决问题的思路．
学校要举行美术作品比赛，小鸥想裁出一块面积为25 dm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？
问题引导
（1）若正方形画布的面积如下，请填表：
（2）你能指出它们的共同特点吗？
1
3
4
6
10
填一填:
正方形的面积/dm2 1 9 16 36 100
正方形的边长/dm
根据上述问题的共同点：已知一个数的平方，求这个数.由此我们抽象出下述概念：
一般地，如果有一个数的平方等于a，那么这个数叫作a的平方根，也叫作二次方根.
例如：由于22=4，(-2)2=4，所以4的平方根是2和-2
（可以合写为±2）.
一、平方根的概念
问题1 如果一个数的平方等于16，这个数是多少？
4和-4互为相反数，会不会是巧合呢？
二、平方根的性质
一个正数的平方根有两个，并且这两个数是相反数
合作与交流
观察所填的数据，填一填：
1的平方根是 ；16的平方根是 ，... ; 的平方根是 .
你发现了什么？
a2
±a
a2
±2
±3
±a
4 9 ...
...
1. 144的平方根是什么？
2. 0的平方根是什么？
3.
的平方根是什么？
4. -4有没有平方根？为什么？
0
没有，因为一个数的平方不可能是负数
试一试
通过这些题目的解答，你能发现什么?
问题：（1）正数有几个平方根？
（2）0有几个平方根？
（3）负数呢？
有没有一个数的平方是负数？
想一想
因为任何实数的平方都为非负数，所以负数没有平方根，也没有算术平方根.
平方根的性质：
1.正数有两个平方根，两个平方根
互为相反数.
2.0的平方根还是0.
3.负数没有平方根.
要点归纳
典例精析
例1 已知一个正数的两个平方根分别是2a－2和a－4，
则a的值是______．
解析：∵一个正数的两个平方根分别是2a－2和a－4，
∴2a－2＋a－4＝0，解得a＝2.故答案为2.
为书写方便，对正数a的平方根，我们有以下规定：
三、平方根的数学符号表示
+1
-1
+2
-2
+3
-3
1
4
9
我们知道已知一个数，求它的平方的运算叫作平方运算.
练一练：
四、开平方的概念
x
x2
+1
-1
+2
-2
+3
-3
1
4
9
那么已知一个数的平方，求这个数的运算叫作什么呢?
x
x2
开平方与平方互为逆运算，根据这种关系，可以求一个数的平方根.
求一个非负数的平方根的运算，叫作开平方.
特别规定：
典例精析
例2 求下列各数的平方根:
(1)64 ； (2)
(4)
(5) 11.
(3)0.0004；
解：（1）∵ ，∴64的平方根为±8;
（2）∵ ，∴ 的平方根为 ;
（3）∵ ，∴0.0004的平方根为±0.02;
（4）∵ ，∴ 的平方根为 ±25;
（5）11的平方根是 .
方法总结
运用平方运算求一个非负数的平方根是常用的方法，如被开方数是小数，要注意小数点的位置，也可先将小数化为分数，再求它的平方根，如被开方数是带分数，先要把它化为假分数.
换句话说，
如果正数x满足:x2=a ，那么x叫作a的算术平方根.
判断下列说法是否正确.
①25的算术平方根是5 （ ）；
②25的平方根是5 （ ）；
③5是25的平方根 （ ）.
√
√
注意区分“平方根”与“算术平方根”意义.
练一练:
例如：16的平方根是4和-4，其中4是16的算术平方根.
思考：正数、负数、0的算术平方根各有几个？
正数的算术平方根是一个正数，0的算术平方根还是0，负数没有算术平方根.
类似平方根的讨论，
算术平方根具有双重非负性
a的算术平方根
算术平方根的性质
例3 分别求下列各数的算术平方根：
（1）100； （2） ； （3）0.49.
典例精析
例4 若|m-1| + =0，求m+n的值.
3.若 ，则a= ；
2.若 ，则m= ；
4.若｜a-3|+ ，则代数式 =___.
1.若|a+3|=0 ， 则a= ；
-3
7
5
-1
练一练
到目前为止，表示非负数的式子有：
a≥0， |a|≥0， a2 ≥0， ≥0，
用计算器求下列各式的值：
(1) ； (2) （精确到0.001）．
解
例5 随着“神舟”十号的升空，中国人又走出了探索宇宙 的一大步，但是你知道吗，要想围绕着地球旋转，飞船的速度必须达到“第一宇宙速度”，其计算公式是 （单位：km/s，其中g=0.0098km/s2，为重力加速度，R为6370km，为地球半径），请你求出第一宇宙速度的值（结果精确到0.01）.
解
答：第一宇宙速度的值约为7.90km/s.
典例精析
1. 判断下列说法是否正确.
正确.
（4）(-4)2的平方根是-4.
正确.
不正确，是 4.
不正确，是 ±4.
当堂练习
2.已知一个自然数的算术平方根是a，则该自然数的下一个自然数的算术平方根是（ ）
A. a+1 B.
C. a2+1 D.
D
3. 分别求 64，6.25的平方根.并用式子表示
4. 分别求 81，0.16的算术平方根.
平方根的概念
正数的平方根
负数的平方根
0的平方根
课堂小结
正平方根
→
→
（没有）
（就是0本身）
负平方根
算术平方根
↑
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第6章
实数
6.1 平方根、立方根
第2课时
学习目标
1.了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根.（重点）
2.能用开立方运算求某些数的立方根，了解开立方和
立方互为逆运算.（重点，难点）
某化工厂使用半径为1米的一种球形储气罐储藏气体，现在要造一个新的球形储气罐，如果要求它的体积必须是原来体积的8倍，那么它的半径应是原来储气罐半径的多少倍？
情境引入
问题：要做一个体积为27cm3的正方体模型（如图），它的棱长要取多少？你是怎么知道的？
解：设正方体的棱长为x㎝,则
这就是要求一个数,使它的立方等于27.
因为
所以 x=3. 正方体的棱长为3㎝.
想一想 (1)什么数的立方等于-8？
(2)如果问题中正方体的体积为5cm3，正方体的边长又该是多少？
-2
立方根的概念
一般地，一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根，也叫做a的三次方根．记作 .
立方根的表示
一个数a的立方根可以表示为:
根指数
被开方数
其中a是被开方数，3是根指数，3不能省略.
读作:三次根号 a，
填一填： 根据立方根的意义填空：
因为( )3 =0.125,所以0.125的立方是（ ）；
因为( )3 ＝0，所以0的立方根是（ ）；
因为 ( )3 ＝－8，所以－8的立方根是（ ）；
0
2
-2
0
-2
立方根的性质
一个正数有一个正的立方根；
一个负数有一个负的立方根，
零的立方根是零.
立方根是它本身的数有1, -1, 0；
平方根是它本身的数
只有0.
知识要点
平方根与立方根的异同
有两个互为相反数
有一个,是正数
无平方根
零
有一个,是负数
零
正数
负数
零
被开方数 平方根 立方根
每个数a都有一个立方根，记作 ，读作“三次
根号a”. 如：x3=7时，x是7的立方根．
求一个数a的立方根的运算叫做开立方，a叫做被开方数
注意:这个根指数3绝对不可省略.
求一个数的立方根的运算叫作“开立方”.
“开立方”与“立方”互为逆运算
逆向思维
与学习开平方运算的过程一样，体现着一种重要的数学思想方法，你有体会了么？
典例精析
例1 求下列各数的立方根:
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
(5) -5的立方根是
（3）
（4）0.216;
（5）－5.
求下列各式的值:
体会：对于任何数a ,
a
2
4
0
-2
-3
探究1
温馨提示：开立方与立方运算互为逆运算.
体会：对于任何数a ,
a
8
27
0
-8
-27
探究2
求下列各式的值:
体会:
(1)求一个负数的立方根,可以先求出这个负数绝对值的立方根,然后再取它的相反数.
(2)负号可从“根号内” 直接移到“根号外” .
求下列各式的值:
(1) ； (2)
探究3
-0.2
-0.2
求下列各数的值:
（1）0.5 ，（2）－4 ，（3）－4 ，（4）5，（5）16.
练一练
例2 求下列各式的值:
例3 已知 x－2 的平方根是±2，2x＋y＋7的立方根是3，求x2＋y2的算术平方根．
方法总结：本题先根据平方根和立方根的定义，运用方程思想求出x，y值，再根据算术平方根的定义求解．
解: ∵ x－2的平方根是±2，
∴ x－2＝4，∴x＝6.
∵ 2x＋y＋7的立方根是3，
∴ 2x＋y＋7＝27.
把x＝6代入，解得 y＝8.
∵ x2＋y2＝68＋82＝100，
∴ x2＋y2 的算术平方根为10.
例3 用计算器求下列各数的立方根：343， -1.331.
例4 用计算器求 的近似值（精确到0.001）.
( )
当堂练习
1.判断下列说法是否正确.
×
(2) 任何数的立方根都只有一个; ( )
(3) 如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是零; ( )
×
×
(5) 0的平方根和立方根都是0 . ( )
√
(1) 25的立方根是5; ( )
(4)一个数的立方根不是正数就是负数;
√
2.求下列各式的值
解 : （1）
（2）
（3）
3.求下列各式的值：
4.将体积分别为600 cm3和129 cm3的长方体铁块，熔成一个正方体铁块，那么这个正方体的棱长是多少？
解:因为600+129=729，
729的立方根是9，
所以正方体的棱长为9 cm.
解: 一个数的立方根等于它本身的数有0，1，－1.
当1－a2＝0时，a2＝1，则a＝±1；
当1－a2＝1时，a2＝0，则a＝0；
当1－a2＝－1时，a2＝2，则a＝ .
立方根
立方根的概念及性质
课堂小结
开立方及相关运算
