【2020赢在中考】数学二轮专题解读与强化训练专题
09 最值问题
最值问题涉及的知识面较广，解法灵活多变，越含着丰富的数学思想方法，对发展学生的思维，提升学生解题能力起着十分重要的作用。最值问题分代数最值和几何最值两类，其中代数最值主要考查方程与不等式及函数的性质，而几何最值涉及到图形的性质、图形的变化、图形与坐标多个维度.因其既能考查学生 知识的灵活运用能力，又能更好的体现试题的区分度和效度，成为近几年数学学科中考命题 教师偏爱的压轴题型之一.
代数最值问题通常利用非负数的性质或不等式的解集或函数的性质求解；
几何最值问题通常利用公理：两点之间线段最短；垂线段最短；利用三角形边的关系（轴对称﹣最短路线问题）求解21*cnjy*com
考向一 利用非负数的性质求最值
例1．设、为实数，求a2+ab+b2-a-2b的最小值.
【思路点拨】观察a2+ab+b2-a-2b式子要求其最小值，只要将所有含有a、b的式子转化为多个非负数与常数项的和的形式．一般常数项即为所求最小值．
【解题过程】a2+ab+b2-a-2b=a2+（b-1）a+b2-2b =a2+（b-1）a++b2-2b- = =≥-1． 当，b-1=0， 即a=0，b=1时，上式不等式中等号成立，故所求最小值为-1．
【名师点睛】本题考查了配方法的应用：利用配方法配成完全平方式，利用非负数的性质求出最小值。
考向二 利用不等式的解集求最值
例2．（2019年广东省）某校为了开展“阳光体育运动”，计划购买篮球、足球共60个，已知每个篮球的价格为70元，每个足球的价格为80元.
（1）若购买这两类球的总金额为4600元，求篮球、足球各买了多少个？
（2）若购买篮球的总金额不超过购买足球的总金额，求最多可购买多少个篮球？
【考点】二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用
【思路点拨】(1)设篮球、足球各买了，个，根据等量关系：篮球、足球共60个，篮球、足球共用4600元，列出方程组，解方程组即可得；
(2)设购买了个篮球，根据购买篮球的总金额不超过购买足球的总金额，列出不等式进行求解即可.
【解题过程】(1)设篮球、足球各买了，个，根据题意，得
，
解得，
答：篮球、足球各买了20个，40个；
(2)设购买了个篮球，根据题意，得
，
解得，
∴最多可购买篮球32个.
【名师点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，弄清题意，找准等量关系或不等关系列出方程或不等式是解题的关键.
考向三 利用函数的性质求最值
例3．（2019年广东省深圳市）有两个发电厂，每焚烧一吨垃圾，发电厂比发电厂多发40度电，焚烧20吨垃圾比焚烧30吨垃圾少1800度电.
（1）求焚烧1吨垃圾，和各发多少度电？
（2）两个发电厂共焚烧90吨垃圾，焚烧的垃圾不多于焚烧的垃圾的两倍，求厂和厂总发电量的最大值.
【考点】一次函数的应用，二元一次方程组的应用
【思路点拨】(1) 设焚烧1吨垃圾，发电厂发电度，发电厂发电度，分别根据“每焚烧一吨垃圾，A发电厂比B发电厂多发40度电” ，“A焚烧20吨垃圾比B焚烧30吨垃圾少1800度电”，列方程组求解即可；
（2）设发电厂焚烧吨垃圾，则发电厂焚烧吨，总发电量为度，列出函数关系式求解即可.
【解题过程】（1）设焚烧1吨垃圾，发电厂发电度，发电厂发电度，则
，解得：
答：焚烧1吨垃圾，发电厂发电300度，发电厂发电260度.
（2）设发电厂焚烧吨垃圾，则发电厂焚烧吨，总发电量为度，则
∵
∴
∵随的增大而增大
∴当时，取最大值25800度.
【名师点睛】本题考查了一次函数的应用，涉及了二元一次方程的应用一次函数的最值问题，解答本题的关键在于读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程和一次函数关系式求解．
例4.（2019年湖北省十堰市）某超市拟于中秋节前50天里销售某品牌月饼，其进价为18元/kg．设第x天的销售价格为y（元/kg），销售量为m（kg）．该超市根据以往的销售经验得出以下的销售规律：①当1≤x≤30时，y＝40，当31≤x≤50时，y与x满足一次函数关系，且当x＝36时，y＝37，x＝44时，y＝33．②m与x的关系为m＝5x+50．
（1）当31≤x≤50时，y与x的关系式为 ，
（2）x为多少时，当天的销售利润W（元）最大？最大利润为多少？
（3）若超市希望第31天到第35天的日销售利润W（元）随x的增大而增大，则需要在当天销售价格的基础上涨a元/kg，求a的最小值．
【考点】规律型：数字的变化类，二次函数的应用
【思路点拨】本题是通过构建函数模型解答销售利润的问题．
（1）依据题意利用待定系数法，易得出当31≤x≤50时，y与x的关系式为：y＝x+55，
（2）根据销售利润＝销售量×（售价﹣进价），列出每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润．
（3）要使第31天到第35天的日销售利润W（元）随x的增大而增大，则对称轴＝≥35，求得a即可
【解题过程】
（1）依题意，当x＝36时，y＝37，x＝44时，y＝33，
当31≤x≤50时，设y＝kx+b，
则有，解得
∴y与x的关系式为：y＝x+55
（2）依题意，
∵W＝（y﹣18）?m
∴
整理得，
当1≤x≤30时，
∵W随x增大而增大
∴x＝30时，取最大值W＝30×110+1100＝4400
当31≤x≤50时，
W＝x2+160x+1850＝
∵＜0
∴x＝32时，W取得最大值，此时W＝4410
综上所述，x为32时，当天的销售利润W（元）最大，最大利润为4410元
（3）依题意，
W＝（y+a﹣18）?m＝
∵第31天到第35天的日销售利润W（元）随x的增大而增大
∴对称轴x＝＝≥35，得a≥3
故a的最小值为3．
【名师点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）．
考向四 利用公理：两点之间线段最短求最值
例5.（2019年广西玉林市中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最小值和最大值之和是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【考点】三角形中位线定理，切线的性质，平行线分线段成比例定理
【思路点拨】设⊙O与AC相切于点D，连接OD，作OP⊥BC垂足为P交⊙O于F，此时垂线段OP最短，MN最小值为OP﹣OF＝，当N在AB边上时，M与B重合时，MN最大值＝+1＝，由此不难解决问题．
【解题过程】如图，设⊙O与AC相切于点D，连接OD，作OP⊥BC垂足为P交⊙O于F，
此时垂线段OP最短，PF最小值为OP﹣OF，
∵AC＝4，BC＝3，
∴AB＝5
∵∠OPB＝90°，
∴OP∥AC
∵点O是AB的三等分点，
∴OB＝×5＝，＝＝，
∴OP＝，
∵⊙O与AC相切于点D，
∴OD⊥AC，
∴OD∥BC，
∴＝＝，
∴OD＝1，
∴MN最小值为OP﹣OF＝﹣1＝，
如图，当N在AB边上时，M与B重合时，MN经过圆心，经过圆心的弦最长，
MN最大值＝+1＝，
∴MN长的最大值与最小值的和是6．
故选：B．
【名师点睛】本题考查切线的性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是正确找到点MN取得最大值、最小值时的位置，属于中考常考题型．
考向五 利用三角形边的关系（轴对称﹣最短路线问题）求最值
例6.（2019年黑龙江省伊春市中）如图，矩形中，，，点是矩形内一动点，且，则的最小值为_____．
【考点】垂直平分线的性质，轴对称-最短路线问题，勾股定理
【思路点拨】由于S△PAB=S△PCD，这两个三角形等底同高，可得点P在线段AD的垂直平分线上，根据最短路径问题，可得PC+PD=AC此时最小，有勾股定理可求结果．
【解题过程】为矩形，
又
点到的距离与到的距离相等，即点线段垂直平分线上，
连接，交与点，此时的值最小，
且
故答案为：
【名师点睛】此题考查垂直平分线的性质，轴对称-最短路线问题，勾股定理，解题关键在于作辅助线
选择题
1.（2019年浙江省温州市）已知二次函数y＝x2﹣4x+2，关于该函数在﹣1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值﹣1，有最小值﹣2
B．有最大值0，有最小值﹣1
C．有最大值7，有最小值﹣1
D．有最大值7，有最小值﹣2
2.（2019年四川省绵阳市）已知x是整数，当|x﹣|取最小值时，x的值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3.（2019年四川省资阳市）如图是函数y=x2-2x-3（0≤x≤4）的图象，直线l∥x轴且过点（0，m），将该函数在直线l上方的图象沿直线l向下翻折，在直线1下方的图象保持不变，得到一个新图象．若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D． 或
4.（2019年四川省自贡市）如图，已知 两点的坐标分别为，点分别是直线和x轴上的动点，,点是线段的中点，连接交轴于点；当⊿面积取得最小值时，的值是（ ）
A． B． C． D．
5.（2019年山东省泰安市）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（ ）
A．2 B．4 C． D．
填空题
6.（2019年湖北省江汉油田、潜江、仙桃、天门市）矩形的周长等于40，则此矩形面积的最大值是 ．
7.（2019年江苏省镇江市）已知抛物线y＝ax2+4ax+4a+1（a≠0）过点A（m，3），B（n，3）两点，若线段AB的长不大于4，则代数式a2+a+1的最小值是 ．
8.（2019年四川省成都市）如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，分别连接A'C，A'D，B'C，则A'C+B'C的最小值为 ．
9.（2019年四川省广元市）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，且AB是⊙O的直径，点P为⊙O上的动点，且∠BPC＝60°，⊙O的半径为6，则点P到AC距离的最大值是 ．
10.（2019年黑龙江省伊春市）如图，矩形中，，，点是矩形内一动点，且，则的最小值为_____．
11.（2019年山东省威海市）如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数y＝（k≠0）的图象上运动，且始终保持线段AB＝4的长度不变．M为线段AB的中点，连接OM．则线段OM长度的最小值是 （用含k的代数式表示）．
12.（2019年湖北省黄冈市）如图，AC，BD在AB的同侧，AC＝2，BD＝8，AB＝8，点M为AB的中点，若∠CMD＝120°，则CD的最大值是 ．
13.（2019年浙江省嘉兴市）如图，在⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为 ．
14.（2019年浙江省嘉兴市）如图，一副含30°和45°角的三角板ABC和EDF拼合在个平面上，边AC与EF重合，AC＝12cm．当点E从点A出发沿AC方向滑动时，点F同时从点C出发沿射线BC方向滑动．当点E从点A滑动到点C时，点D运动的路径长为 cm，连接BD，则△ABD的面积最大值为 cm2．
解答题
15.（2019年湖南省岳阳市）岳阳市整治农村“空心房”新模式，获评全国改革开放40年地方改革创新40案例．据了解，我市某地区对辖区内“空心房”进行整治，腾退土地1200亩用于复耕和改造，其中复耕土地面积比改造土地面积多600亩．
（1）求复耕土地和改造土地面积各为多少亩？
（2）该地区对需改造的土地进行合理规划，因地制宜建设若干花卉园和休闲小广场，要求休闲小广场总面积不超过花卉园总面积的，求休闲小广场总面积最多为多少亩？
16.（2019年四川内江市）如图，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于第二、四象限内的点A（a，4）和点B（8，b）．过点A作x轴的垂线，垂足为点C，△AOC的面积为4．
（1）分别求出a和b的值，
（2）结合图象直接写出mx+n＜的解集，
（3）在x轴上取点P，使PA﹣PB取得最大值时，求出点P的坐标．
17.（2019年安徽省）一次函数y=kx+4与二次函数y=ax2+c的图像的一个交点坐标为（1,2），另一个交点是该二次函数图像的顶点
（1）求k，a，c的值；
（2）过点A（0，m）（0＜m＜4）且垂直于y轴的直线与二次函数y=ax2+c的图像相交于B，C两点，点O为坐标原点，记W=OA2+BC2，求W关于m的函数解析式，并求W的最小值.
18.（2019年辽宁省辽阳市）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边BC交x轴于点D，AD⊥x轴，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A，点D的坐标为（3，0），AB＝BD．
（1）求反比例函数的解析式，
（2）点P为y轴上一动点，当PA+PB的值最小时，求出点P的坐标．
19.（2019年云南省）某驻村扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行西瓜种植和销售.已知西瓜的成本为6元/千克，规定销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍.经过市场调查发现，某天西瓜的销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)的函数关系如下图所示：
(1)求y与x的函数解析式(也称关系式)；
(2)求这一天销售西瓜获得的利润的最大值.
20.（2019年吉林省）如图，抛物线y＝（x﹣1）2+k与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C（0，﹣3）．P为抛物线上一点，横坐标为m，且m＞0．
（1）求此抛物线的解析式，
（2）当点P位于x轴下方时，求△ABP面积的最大值，
（3）设此抛物线在点C与点P之间部分（含点C和点P）最高点与最低点的纵坐标之差为h．
①求h关于m的函数解析式，并写出自变量m的取值范围，
②当h＝9时，直接写出△BCP的面积．
21.（2019年广东省广州市）如图，等边中，AB=6，点D在BC上，BD=4，点E为边AC上一动点（不与点C重合），关于DE的轴对称图形为.
（1）当点F在AC上时，求证：DF//AB；
（2）设的面积为S1，的面积为S2，记S=S1-S2，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当B，F，E三点共线时。求AE的长。
【2020赢在中考】数学二轮专题解读与强化训练专题
09 最值问题
最值问题涉及的知识面较广，解法灵活多变，越含着丰富的数学思想方法，对发展学生的思维，提升学生解题能力起着十分重要的作用。最值问题分代数最值和几何最值两类，其中代数最值主要考查方程与不等式及函数的性质，而几何最值涉及到图形的性质、图形的变化、图形与坐标多个维度.因其既能考查学生 知识的灵活运用能力，又能更好的体现试题的区分度和效度，成为近几年数学学科中考命题 教师偏爱的压轴题型之一.
代数最值问题通常利用非负数的性质或不等式的解集或函数的性质求解；
几何最值问题通常利用公理：两点之间线段最短；垂线段最短；利用三角形边的关系（轴对称﹣最短路线问题）求解21*cnjy*com
考向一 利用非负数的性质求最值
例1．设、为实数，求a2+ab+b2-a-2b的最小值.
【思路点拨】观察a2+ab+b2-a-2b式子要求其最小值，只要将所有含有a、b的式子转化为多个非负数与常数项的和的形式．一般常数项即为所求最小值．
【解题过程】a2+ab+b2-a-2b=a2+（b-1）a+b2-2b =a2+（b-1）a++b2-2b- = =≥-1． 当，b-1=0， 即a=0，b=1时，上式不等式中等号成立，故所求最小值为-1．
【名师点睛】本题考查了配方法的应用：利用配方法配成完全平方式，利用非负数的性质求出最小值。
考向二 利用不等式的解集求最值
例2．（2019年广东省）某校为了开展“阳光体育运动”，计划购买篮球、足球共60个，已知每个篮球的价格为70元，每个足球的价格为80元.
（1）若购买这两类球的总金额为4600元，求篮球、足球各买了多少个？
（2）若购买篮球的总金额不超过购买足球的总金额，求最多可购买多少个篮球？
【考点】二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用
【思路点拨】(1)设篮球、足球各买了，个，根据等量关系：篮球、足球共60个，篮球、足球共用4600元，列出方程组，解方程组即可得；
(2)设购买了个篮球，根据购买篮球的总金额不超过购买足球的总金额，列出不等式进行求解即可.
【解题过程】(1)设篮球、足球各买了，个，根据题意，得
，
解得，
答：篮球、足球各买了20个，40个；
(2)设购买了个篮球，根据题意，得
，
解得，
∴最多可购买篮球32个.
【名师点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，弄清题意，找准等量关系或不等关系列出方程或不等式是解题的关键.
考向三 利用函数的性质求最值
例3．（2019年广东省深圳市）有两个发电厂，每焚烧一吨垃圾，发电厂比发电厂多发40度电，焚烧20吨垃圾比焚烧30吨垃圾少1800度电.
（1）求焚烧1吨垃圾，和各发多少度电？
（2）两个发电厂共焚烧90吨垃圾，焚烧的垃圾不多于焚烧的垃圾的两倍，求厂和厂总发电量的最大值.
【考点】一次函数的应用，二元一次方程组的应用
【思路点拨】(1) 设焚烧1吨垃圾，发电厂发电度，发电厂发电度，分别根据“每焚烧一吨垃圾，A发电厂比B发电厂多发40度电” ，“A焚烧20吨垃圾比B焚烧30吨垃圾少1800度电”，列方程组求解即可；
（2）设发电厂焚烧吨垃圾，则发电厂焚烧吨，总发电量为度，列出函数关系式求解即可.
【解题过程】（1）设焚烧1吨垃圾，发电厂发电度，发电厂发电度，则
，解得：
答：焚烧1吨垃圾，发电厂发电300度，发电厂发电260度.
（2）设发电厂焚烧吨垃圾，则发电厂焚烧吨，总发电量为度，则
∵
∴
∵随的增大而增大
∴当时，取最大值25800度.
【名师点睛】本题考查了一次函数的应用，涉及了二元一次方程的应用一次函数的最值问题，解答本题的关键在于读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程和一次函数关系式求解．
例4.（2019年湖北省十堰市）某超市拟于中秋节前50天里销售某品牌月饼，其进价为18元/kg．设第x天的销售价格为y（元/kg），销售量为m（kg）．该超市根据以往的销售经验得出以下的销售规律：①当1≤x≤30时，y＝40，当31≤x≤50时，y与x满足一次函数关系，且当x＝36时，y＝37，x＝44时，y＝33．②m与x的关系为m＝5x+50．
（1）当31≤x≤50时，y与x的关系式为 ，
（2）x为多少时，当天的销售利润W（元）最大？最大利润为多少？
（3）若超市希望第31天到第35天的日销售利润W（元）随x的增大而增大，则需要在当天销售价格的基础上涨a元/kg，求a的最小值．
【考点】规律型：数字的变化类，二次函数的应用
【思路点拨】本题是通过构建函数模型解答销售利润的问题．
（1）依据题意利用待定系数法，易得出当31≤x≤50时，y与x的关系式为：y＝x+55，
（2）根据销售利润＝销售量×（售价﹣进价），列出每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润．
（3）要使第31天到第35天的日销售利润W（元）随x的增大而增大，则对称轴＝≥35，求得a即可
【解题过程】
（1）依题意，当x＝36时，y＝37，x＝44时，y＝33，
当31≤x≤50时，设y＝kx+b，
则有，解得
∴y与x的关系式为：y＝x+55
（2）依题意，
∵W＝（y﹣18）?m
∴
整理得，
当1≤x≤30时，
∵W随x增大而增大
∴x＝30时，取最大值W＝30×110+1100＝4400
当31≤x≤50时，
W＝x2+160x+1850＝
∵＜0
∴x＝32时，W取得最大值，此时W＝4410
综上所述，x为32时，当天的销售利润W（元）最大，最大利润为4410元
（3）依题意，
W＝（y+a﹣18）?m＝
∵第31天到第35天的日销售利润W（元）随x的增大而增大
∴对称轴x＝＝≥35，得a≥3
故a的最小值为3．
【名师点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）．
考向四 利用公理：两点之间线段最短求最值
例5.（2019年广西玉林市中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最小值和最大值之和是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【考点】三角形中位线定理，切线的性质，平行线分线段成比例定理
【思路点拨】设⊙O与AC相切于点D，连接OD，作OP⊥BC垂足为P交⊙O于F，此时垂线段OP最短，MN最小值为OP﹣OF＝，当N在AB边上时，M与B重合时，MN最大值＝+1＝，由此不难解决问题．
【解题过程】如图，设⊙O与AC相切于点D，连接OD，作OP⊥BC垂足为P交⊙O于F，
此时垂线段OP最短，PF最小值为OP﹣OF，
∵AC＝4，BC＝3，
∴AB＝5
∵∠OPB＝90°，
∴OP∥AC
∵点O是AB的三等分点，
∴OB＝×5＝，＝＝，
∴OP＝，
∵⊙O与AC相切于点D，
∴OD⊥AC，
∴OD∥BC，
∴＝＝，
∴OD＝1，
∴MN最小值为OP﹣OF＝﹣1＝，
如图，当N在AB边上时，M与B重合时，MN经过圆心，经过圆心的弦最长，
MN最大值＝+1＝，
∴MN长的最大值与最小值的和是6．
故选：B．
【名师点睛】本题考查切线的性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是正确找到点MN取得最大值、最小值时的位置，属于中考常考题型．
考向五 利用三角形边的关系（轴对称﹣最短路线问题）求最值
例6.（2019年黑龙江省伊春市中）如图，矩形中，，，点是矩形内一动点，且，则的最小值为_____．
【考点】垂直平分线的性质，轴对称-最短路线问题，勾股定理
【思路点拨】由于S△PAB=S△PCD，这两个三角形等底同高，可得点P在线段AD的垂直平分线上，根据最短路径问题，可得PC+PD=AC此时最小，有勾股定理可求结果．
【解题过程】为矩形，
又
点到的距离与到的距离相等，即点线段垂直平分线上，
连接，交与点，此时的值最小，
且
故答案为：
【名师点睛】此题考查垂直平分线的性质，轴对称-最短路线问题，勾股定理，解题关键在于作辅助线
选择题
1.（2019年浙江省温州市）已知二次函数y＝x2﹣4x+2，关于该函数在﹣1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值﹣1，有最小值﹣2
B．有最大值0，有最小值﹣1
C．有最大值7，有最小值﹣1
D．有最大值7，有最小值﹣2
【考点】二次函数的性质，二次函数的最值
【思路点拨】把函数解析式整理成顶点式解析式的形式，然后根据二次函数的最值问题解答．
【解题过程】∵y＝x2﹣4x+2＝（x﹣2）2﹣2，
∴在﹣1≤x≤3的取值范围内，当x＝2时，有最小值﹣2，
当x＝﹣1时，有最大值为y＝9﹣2＝7．
故选：D．
【名师点睛】本题考查了二次函数的最值问题，把函数解析式转化为顶点式形式是解题的关键．
2.（2019年四川省绵阳市）已知x是整数，当|x﹣|取最小值时，x的值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【考点】算术平方根，实数的性质
【思路点拨】根据绝对值的意义，由与最接近的整数是5，可得结论．
【解题过程】∵，
∴5＜，
且与最接近的整数是5，
∴当|x﹣|取最小值时，x的值是5，
故选：A．
【名师点睛】本题考查了算术平方根的估算和绝对值的意义，熟练掌握平方数是关键．
3.（2019年四川省资阳市）如图是函数y=x2-2x-3（0≤x≤4）的图象，直线l∥x轴且过点（0，m），将该函数在直线l上方的图象沿直线l向下翻折，在直线1下方的图象保持不变，得到一个新图象．若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D． 或
【考点】二次函数的最值
【思路点拨】找到最大值和最小值差刚好等于5的时刻，则M的范围可知
【解题过程】如图1所示，当t等于0时，
∵y=（x-1）2-4，
∴顶点坐标为（1，-4），
当x=0时，y=-3，
∴A（0，-3），
当x=4时，y=5，
∴C（4，5），
∴当m=0时，
D（4，-5），
∴此时最大值为0，最小值为-5；
如图2所示，当m=1时，
此时最小值为-4，最大值为1．
综上所述：0≤m≤1，
故选：C．
【名师点睛】此题考查了二次函数与几何图形结合的问题，找到最大值和最小值的差刚好为5的m的值为解题关键．
4.（2019年四川省自贡市）如图，已知 两点的坐标分别为，点分别是直线和x轴上的动点，,点是线段的中点，连接交轴于点；当⊿面积取得最小值时，的值是（ ）
A． B． C． D．
【考点】解直角三角形，坐标与图形的性质，直线与圆的位置关系，三角形的面积
【思路点拨】如图，设直线x=-5交x轴于K．由题意KD=CF=5，推出点D的运动轨迹是以K为圆心，5为半径的圆，推出当直线AD与⊙K相切时，△ABE的面积最小，作EH⊥AB于H．求出EH，AH即可解决问题．
【解题过程】如图，设直线x=-5交x轴于K．由题意KD=CF=5，
∴点D的运动轨迹是以K为圆心，5为半径的圆，
∴当直线AD与⊙K相切时，△ABE的面积最小，
∵AD是切线，点D是切点，
∴AD⊥KD，
∵AK=13，DK=5，
∴AD=12，
∵tan∠EAO=，
∴，
∴OE=，
∴AE=，
作EH⊥AB于H．
∵S△ABE=?AB?EH=S△AOB-S△AOE，
∴EH=，
∴，
∴，
故选B.
【名师点睛】本题考查解直角三角形，坐标与图形的性质，直线与圆的位置关系，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.
5.（2019年山东省泰安市）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（ ）
A．2 B．4 C． D．
【考点】垂线段最短，三角形的中位线定理，矩形的性质，轨迹
【思路点拨】根据中位线定理可得出点点P的运动轨迹是线段P1P2，再根据垂线段最短可得当BP⊥P1P2时，PB取得最小值，由矩形的性质以及已知的数据即可知BP1⊥P1P2，故BP的最小值为BP1的长，由勾股定理求解即可．
【解题过程】如图：
当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1，
当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2，
∴P1P2∥CE且P1P2＝CE
当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP
由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P＝CF
∴点P的运动轨迹是线段P1P2，
∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值
∵矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，
∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1＝2
∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90°
∴∠DP2P1＝90°
∴∠DP1P2＝45°
∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2，
∴BP的最小值为BP1的长
在等腰直角BCP1中，CP1＝BC＝2
∴BP1＝2
∴PB的最小值是2
故选：D．
【名师点睛】本题考查轨迹问题、矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题，有难度．
、填空题
6.（2019年湖北省江汉油田、潜江、仙桃、天门市）矩形的周长等于40，则此矩形面积的最大值是 ．
【考点】二次函数的最值，矩形的性质
【思路点拨】设矩形的宽为x，则长为（20﹣x），S＝x（20﹣x）＝﹣x2+20x＝﹣（x﹣10）2+100，当x＝10时，S最大值为100．
【解题过程】设矩形的宽为x，则长为（20﹣x），
S＝x（20﹣x）＝﹣x2+20x＝﹣（x﹣10）2+100，
当x＝10时，S最大值为100．
故答案为100．
【名师点睛】本题考查了函数的最值，熟练运用配方法是解题的关键．
7.（2019年江苏省镇江市）已知抛物线y＝ax2+4ax+4a+1（a≠0）过点A（m，3），B（n，3）两点，若线段AB的长不大于4，则代数式a2+a+1的最小值是 ．
【考点】二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值
【思路点拨】根据题意得4a+1≥3，解不等式求得a≥，把x＝代入代数式即可求得．
【解题过程】∵抛物线y＝ax2+4ax+4a+1（a≠0）过点A（m，3），B（n，3）两点，
∴＝﹣＝﹣2
∵线段AB的长不大于4，
∴4a+1≥3
∴a≥
∴a2+a+1的最小值为：（）2++1＝，
故答案为．
【名师点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意得出4a+1≥3是解题的关键．
8.（2019年四川省成都市）如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，分别连接A'C，A'D，B'C，则A'C+B'C的最小值为 ．
【考点】等边三角形的判定与性质，菱形的性质，轴对称﹣最短路线问题，平移的性质
【思路点拨】根据菱形的性质得到AB＝1，∠ABD＝30°，根据平移的性质得到A′B′＝AB＝1，∠A′B′D＝30°，当B′C⊥A′B′时，A'C+B'C的值最小，推出四边形A′B′CD是矩形，∠B′A′C＝30°，解直角三角形即可得到结论．
【解题过程】∵在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴AB＝1，∠ABD＝30°，
∵将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，
∴A′B′＝AB＝1，∠A′B′D＝30°，
当B′C⊥A′B′时，A'C+B'C的值最小，
∵AB∥A′B′，AB＝A′B′，AB＝CD，AB∥CD，
∴A′B′＝CD，A′B′∥CD，
∴四边形A′B′CD是矩形，
∠B′A′C＝30°，
∴B′C＝，A′C＝，
∴A'C+B'C的最小值为，
故答案为：．
【名师点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，菱形的性质，矩形的判定和性质，解直角三角形，平移的性质，正确地理解题意是解题的关键．
9.（2019年四川省广元市）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，且AB是⊙O的直径，点P为⊙O上的动点，且∠BPC＝60°，⊙O的半径为6，则点P到AC距离的最大值是 ．
【考点】圆周角定理，三角形的外接圆与外心
【思路点拨】过O作OM⊥AC于M，延长MO交⊙O于P，则此时，点P到AC距离的最大，且点P到AC距离的最大值＝PM，解直角三角形即可得到结论．
【解题过程】过O作OM⊥AC于M，延长MO交⊙O于P，
则此时，点P到AC距离的最大，且点P到AC距离的最大值＝PM，
∵OM⊥AC，∠A＝∠BPC＝60°，⊙O的半径为6，
∴OP＝OA＝6，
∴OM＝OA＝×6＝3，
∴PM＝OP+OM＝6+3，
∴则点P到AC距离的最大值是6+3，
故答案为：6+3．
【名师点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
10.（2019年黑龙江省伊春市）如图，矩形中，，，点是矩形内一动点，且，则的最小值为_____．
【考点】垂直平分线的性质，轴对称-最短路线问题，勾股定理
【思路点拨】由于S△PAB=S△PCD，这两个三角形等底同高，可得点P在线段AD的垂直平分线上，根据最短路径问题，可得PC+PD=AC此时最小，有勾股定理可求结果．
【解题过程】为矩形，
又
点到的距离与到的距离相等，即点线段垂直平分线上，
连接，交与点，此时的值最小，
且
故答案为：
【名师点睛】此题考查垂直平分线的性质，轴对称-最短路线问题，勾股定理，解题关键在于作辅助线
11.（2019年山东省威海市）如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数y＝（k≠0）的图象上运动，且始终保持线段AB＝4的长度不变．M为线段AB的中点，连接OM．则线段OM长度的最小值是 （用含k的代数式表示）．
【考点】反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征
【思路点拨】如图，当OM⊥AB时，线段OM长度的最小．首先证明点A与点B关于直线y＝x对称，因为点A，B在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，AB＝4，所以可以假设A（m，），则B（m+4，﹣4），则有＝，解得k＝m2+4m，推出A（m，m+4），B（m+4，m），可得M（m+2，m+2），求出OM即可解决问题．
【解题过程】如图，当OM⊥AB时，线段OM长度的最小，
∵M为线段AB的中点，
∴OA＝OB，
∵点A，B在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，
∴点A与点B关于直线y＝x对称，
∵AB＝4，
∴可以假设A（m，），则B（m+4，﹣4），
∴＝，
解得k＝m2+4m，
∴A（m，m+4），B（m+4，m），
∴M（m+2，m+2），
∴OM＝＝＝，
∴OM的最小值为．
故答案为．
【名师点睛】本题考查反比例函数图象上的点的特征，反比例函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
12.（2019年湖北省黄冈市）如图，AC，BD在AB的同侧，AC＝2，BD＝8，AB＝8，点M为AB的中点，若∠CMD＝120°，则CD的最大值是 ．
【考点】线段的性质：两点之间线段最短，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，轴对称的性质
【思路点拨】如图，作点A关于CM的对称点A′，点B关于DM的对称点B′，证明△A′MB′为等边三角形，即可解决问题．
【解题过程】如图，作点A关于CM的对称点A′，点B关于DM的对称点B′．
∵∠CMD＝120°，
∴∠AMC+∠DMB＝60°，
∴∠CMA′+∠DMB′＝60°，
∴∠A′MB′＝60°，
∵MA′＝MB′，
∴△A′MB′为等边三角形
∵CD≤CA′+A′B′+B′D＝CA+AM+BD＝2+4+8＝14，
∴CD的最大值为14，
故答案为14．
【名师点睛】本题考查翻折变换，等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用两点之间线段最短解决最值问题，属于中考常考题型．
13.（2019年浙江省嘉兴市）如图，在⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为 ．
【考点】勾股定理，垂径定理
【思路点拨】连接OD，如图，利用勾股定理得到CD，利用垂线段最短得到当OC⊥AB时，OC最小，根据勾股定理求出OC，代入求出即可．
【解题过程】连接OD，如图，
∵CD⊥OC，
∴∠COD＝90°，
∴CD＝＝，
当OC的值最小时，CD的值最大，
而OC⊥AB时，OC最小，此时OC＝，
∴CD的最大值为＝AB＝1＝，
故答案为：．
【名师点睛】本题考查了垂线段最短，勾股定理和垂径定理等知识点，能求出点C的位置是解此题的关键．
14.（2019年浙江省嘉兴市）如图，一副含30°和45°角的三角板ABC和EDF拼合在个平面上，边AC与EF重合，AC＝12cm．当点E从点A出发沿AC方向滑动时，点F同时从点C出发沿射线BC方向滑动．当点E从点A滑动到点C时，点D运动的路径长为 cm，连接BD，则△ABD的面积最大值为 cm2．
【考点】全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，三角形的面积，轨迹
【思路点拨】过点D'作D'N⊥AC于点N，作D'M⊥BC于点M，由直角三角形的性质可得BC＝4cm，AB＝8cm，ED＝DF＝6cm，由“AAS”可证△D'NE'≌△D'MF'，可得D'N＝D'M，即点D'在射线CD上移动，且当E'D'⊥AC时，DD'值最大，则可求点D运动的路径长，由三角形面积公式可求S△AD'B＝BC×AC+×AC×D'N﹣×BC×D'M＝24+（12﹣4）×D'N，则E'D'⊥AC时，S△AD'B有最大值．
【解题过程】∵AC＝12cm，∠A＝30°，∠DEF＝45°
∴BC＝4cm，AB＝8cm，ED＝DF＝6cm
如图，当点E沿AC方向下滑时，得△E'D'F'，过点D'作D'N⊥AC于点N，作D'M⊥BC于点M
∴∠MD'N＝90°，且∠E'D'F'＝90°
∴∠E'D'N＝∠F'D'M，且∠D'NE'＝∠D'MF'＝90°，E'D'＝D'F'
∴△D'NE'≌△D'MF'（AAS）
∴D'N＝D'M，且D'N⊥AC，D'M⊥CM
∴CD'平分∠ACM
即点E沿AC方向下滑时，点D'在射线CD上移动，
∴当E'D'⊥AC时，DD'值最大，最大值＝ED﹣CD＝（12﹣6）cm
∴当点E从点A滑动到点C时，点D运动的路径长＝2×（12﹣6）＝（24﹣12）cm
如图，连接BD'，AD'，
∵S△AD'B＝S△ABC+S△AD'C﹣S△BD'C
∴S△AD'B＝BC×AC+×AC×D'N﹣×BC×D'M＝24+（12﹣4）×D'N
当E'D'⊥AC时，S△AD'B有最大值，
∴S△AD'B最大值＝24+（12﹣4）×6＝（24+36﹣12）cm2．
故答案为：（24﹣12），（24+36﹣12）
【名师点睛】本题考查了轨迹，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，三角形面积公式等知识，确定点D的运动轨迹是本题的关键．
、解答题
15.（2019年湖南省岳阳市）岳阳市整治农村“空心房”新模式，获评全国改革开放40年地方改革创新40案例．据了解，我市某地区对辖区内“空心房”进行整治，腾退土地1200亩用于复耕和改造，其中复耕土地面积比改造土地面积多600亩．
（1）求复耕土地和改造土地面积各为多少亩？
（2）该地区对需改造的土地进行合理规划，因地制宜建设若干花卉园和休闲小广场，要求休闲小广场总面积不超过花卉园总面积的，求休闲小广场总面积最多为多少亩？
【考点】一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用
【思路点拨】（1）设改造土地面积是x亩，则复耕土地面积是（600+x）亩．根据“复耕土地面积+改造土地面积＝1200亩”列出方程并解答，
（2）设休闲小广场总面积是y亩，则花卉园总面积是（300﹣y）亩，根据“休闲小广场总面积不超过花卉园总面积的”列出不等式并解答．
【解题过程】（1）设改造土地面积是x亩，则复耕土地面积是（600+x）亩，
由题意，得x+（600+x）＝1200
解得x＝300．
则600+x＝900．
答：改造土地面积是300亩，则复耕土地面积是900亩，
（2）设休闲小广场总面积是y亩，则花卉园总面积是（300﹣y）亩，
由题意，得y≤（300﹣y）．
解得 y≤75．
故休闲小广场总面积最多为75亩．
答：休闲小广场总面积最多为75亩．
【名师点睛】考查了一元一次不等式的应用和一元一次方程的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．
16.（2019年四川内江市）如图，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于第二、四象限内的点A（a，4）和点B（8，b）．过点A作x轴的垂线，垂足为点C，△AOC的面积为4．
（1）分别求出a和b的值，
（2）结合图象直接写出mx+n＜的解集，
（3）在x轴上取点P，使PA﹣PB取得最大值时，求出点P的坐标．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【思路点拨】（1）由△AOC的面积为4，可求出a的值，确定反比例函数的关系式，把点B坐标代入可求b的值，
（2）根据图象观察当自变量x取何值时，一次函数图象位于反比例函数图象的下方即可，注意由两部分．
（3）由对称对称点B关于x轴的对称点B′，直线AB′与x轴交点就是所求的点P，求出直线与x轴的交点坐标即可．
【解题过程】（1）∵点A（a，4），
∴AC＝4，
∵S△AOC＝4，即，
∴OC＝2，
∵点A（a，4）在第二象限，
∴a＝﹣2 A（﹣2，4），
将A（﹣2，4）代入y＝得：k＝﹣8，
∴反比例函数的关系式为：y＝，
把B（8，b）代入得：b＝﹣1，
∴B（8，﹣1）
因此a＝﹣2，b＝﹣1，
（2）由图象可以看出mx+n＜的解集为：﹣2＜x＜0或x＞8，′′B′
（3）如图，作点B关于x轴的对称点B′，直线AB′与x轴交于P，
此时PA﹣PB最大，
∵B（8，﹣1）
∴B′（8，1）
设直线AP的关系式为y＝kx+b，将 A（﹣2，4），B′（8，1）代入得：
解得：k＝，b＝，
∴直线AP的关系式为y＝x+，
当y＝0时，即x+＝0，解得x＝，
∴P（，0）
【名师点睛】考查反比例函数的图象和性质、一次函数、轴对称以及待定系数法求函数的关系式等知识，理解作点B关于x轴的对称点B′，直线AB′与x轴交于P，
此时PA﹣PB最大．
17.（2019年安徽省）一次函数y=kx+4与二次函数y=ax2+c的图像的一个交点坐标为（1,2），另一个交点是该二次函数图像的顶点
（1）求k，a，c的值；
（2）过点A（0，m）（0＜m＜4）且垂直于y轴的直线与二次函数y=ax2+c的图像相交于B，C两点，点O为坐标原点，记W=OA2+BC2，求W关于m的函数解析式，并求W的最小值.
【考点】待定系数法求函数解析式,二次函数的图像和性质
【思路点拨】（1）把（1,2）分别代入y=kx+4和y=ax2+c，得k+4=-2和a+c=2，然后求出二次函数图像的顶点坐标为（0,4），可得c=4，然后计算得到a的值；
（2）由A（0，m）（0＜m＜4）可得OA=m，令y=-2x2+4=m，求出B，C坐标，进而表示出BC长度，将OA，BC代入W=OA2+BC2中得到W关于m的函数解析式，求出最小值即可.
【解题过程】（1）由题意得，k+4=-2，解得k=-2，
∴一次函数解析式为：y=-2x+4
又二次函数顶点横坐标为0，
∴顶点坐标为（0,4）
∴c=4
把（1,2）带入二次函数表达式得a+c=2，解得a=-2
（2）由（1）得二次函数解析式为y=-2x2+4，令y=m，得2x2+m-4=0
∴，设B，C两点的坐标分别为（x1，m）（x2，m），则，
∴W=OA2+BC2=
∴当m=1时，W取得最小值7
【名师点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式以及二次函数的图像和性质，将二次函数图像与直线的交点问题转化为求一元二次方程的解，得到B，C坐标是解题的关键.
18.（2019年辽宁省辽阳市）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边BC交x轴于点D，AD⊥x轴，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A，点D的坐标为（3，0），AB＝BD．
（1）求反比例函数的解析式，
（2）点P为y轴上一动点，当PA+PB的值最小时，求出点P的坐标．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数解析式，矩形的性质，轴对称﹣最短路线问题
【思路点拨】（1）根据矩形和AB＝BD可得△ABD为等腰直角三角形，进而得出△OAD也是等腰直角三角形，从而确定点A的坐标，求出反比例函数的解析式，
（2）根据对称，过点A与点B关于y轴的对称点B1的直线与y轴的交点就是所求的点P，于是求出点B的坐标，得到点B1的坐标，求出直线AB1的关系式，求出它与y轴的交点坐标即可．
【解题过程】（1）∵OABC是矩形，
∴∠B＝∠OAB＝90°，
∵AB＝DB，
∴∠BAD＝∠ADB＝45°，
∴∠OAD＝45°，
又∵AD⊥x轴，
∴∠OAD＝∠DOA＝45°，
∴OD＝AD，
∵D（3，0）
∴OD＝AD＝3，即A（3，3）
把点 A（3，3）代入的y＝得，k＝9
∴反比例函数的解析式为：y＝．
答：反比例函数的解析式为：y＝．
（2）过点B作BE⊥AD垂足为E，
∵∠B＝90°，AB＝BD，BE⊥AD
∴AE＝ED＝AD＝，
∴OD+BE＝3+＝，
∴B（，），
则点B关于y轴的对称点B1（﹣，），直线AB1与y轴的交点就是所求点P，此时PA+PB最小，
设直线AB1的关系式为y＝kx+b，将 A（3，3）B1（﹣，），代入得，
解得：k＝，b＝，
∴直线AB1的关系式为y＝x+，
当x＝0时，y＝，
∴点P（0，）
答：点P的坐标为（0，）．
【名师点睛】考查矩形的性质、等腰直角三角形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征以及轴对称和一次函数的性质等知识，综合应用的知识较多，掌握基本的解题思路是关键，对每个知识点的掌握是基础．
19.（2019年云南省）某驻村扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行西瓜种植和销售.已知西瓜的成本为6元/千克，规定销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍.经过市场调查发现，某天西瓜的销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)的函数关系如下图所示：
(1)求y与x的函数解析式(也称关系式)；
(2)求这一天销售西瓜获得的利润的最大值.
【考点】一次函数的应用，二次函数的应用
【思路点拨】(1)当6x≤10时，由题意设y＝kx＋b(k＝0)，利用待定系数法求得k、b的值即可；当10＜x≤12时，由图象可知y＝200，由此即可得答案；
(2))设利润为w元，当6≦x≤10时，w＝－200＋1250，根据二次函数的性质可求得最大值为1250；当10＜x≤12时，w＝200x－1200，由一次函数的性质结合x的取值范围可求得w的最大值为1200，两者比较即可得答案.
【解题过程】(1)当6x≤10时，由题意设y＝kx＋b(k＝0)，它的图象经过点(6，1000)与点(10，200)，
∴ ，
解得 ，
∴当6x≤10时， y＝-200x+2200，
当10＜x≤12时，y＝200，
综上，y与x的函数解析式为；
(2)设利润为w元，
当6x≤10时，y＝－200x＋2200，
w＝(x－6)y＝(x－6)(－200x＋200)＝－200＋1250，
∵－200＜0，6≦x≤10，
当x＝时，w有最大值，此时w=1250；
当10＜x≤12时，y＝200，w＝(x－6)y＝200(x－6)＝200x－1200，
∴200＞0，
∴w＝200x－1200随x增大而增大，
又∵10＜x≤12，
∴当x＝12时，w最大，此时w=1200，
1250＞1200，
∴w的最大值为1250，
答：这一天销售西瓜获得利润的最大值为1250元.
【名师点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，涉及了待定系数法，二次函数的性质，一次函数的性质等，弄清题意，找准各量间的关系是解题的关键.
20.（2019年吉林省）如图，抛物线y＝（x﹣1）2+k与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C（0，﹣3）．P为抛物线上一点，横坐标为m，且m＞0．
（1）求此抛物线的解析式，
（2）当点P位于x轴下方时，求△ABP面积的最大值，
（3）设此抛物线在点C与点P之间部分（含点C和点P）最高点与最低点的纵坐标之差为h．
①求h关于m的函数解析式，并写出自变量m的取值范围，
②当h＝9时，直接写出△BCP的面积．
【考点】二次函数综合题
【思路点拨】（1）将点C（0，﹣3）代入y＝（x﹣1）2+k即可，
（2）易求A（﹣1，0），B（3，0），抛物线顶点为（1，﹣4），当P位于抛物线顶点时，△ABP的面积有最大值，
（3））①当0＜m≤1时，h＝﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+2m，当1＜m≤2时，h＝﹣1﹣（﹣4）＝1，当m＞2时，h＝m2﹣2m﹣3﹣（﹣4）＝m2﹣2m+1，
②当h＝9时若﹣m2+2m＝9，此时△＜0，m无解，若m2﹣2m+1＝9，则m＝4，则P（4，5），△BCP的面积＝8×4﹣5×1﹣（4+1）×3＝6，
【解题过程】（1）将点C（0，﹣3）代入y＝（x﹣1）2+k，
得k＝﹣4，
∴y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3，
（2）令y＝0，x＝﹣1或x＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB＝4，
抛物线顶点为（1，﹣4），
当P位于抛物线顶点时，△ABP的面积有最大值，
S＝＝8，
（3）①当0＜m≤1时，h＝﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+2m，
当1＜m≤2时，h＝﹣1﹣（﹣4）＝1，
当m＞2时，h＝m2﹣2m﹣3﹣（﹣4）＝m2﹣2m+1，
②当h＝9时
若﹣m2+2m＝9，此时△＜0，m无解，
若m2﹣2m+1＝9，则m＝4，
∴P（4，5），
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴△BCP的面积＝8×4﹣5×1﹣（4+1）×3＝6，
【名师点睛】本题考查二次函数的图象及性质，是二次函数综合题，熟练掌握二次函数的性质，数形结合，分类讨论是解题的关键．
21.（2019年广东省广州市）如图，等边中，AB=6，点D在BC上，BD=4，点E为边AC上一动点（不与点C重合），关于DE的轴对称图形为.
（1）当点F在AC上时，求证：DF//AB；
（2）设的面积为S1，的面积为S2，记S=S1-S2，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当B，F，E三点共线时。求AE的长。
【考点】三角形综合题，等边三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质
【思路点拨】（1）由折叠的性质和等边三角形的性质可得∠DFC=∠A，可证DF∥AB；
（2）过点D作DM⊥AB交AB于点M，由题意可得点F在以D为圆心，DF为半径的圆上，由△ACD的面积为S1的值是定值，则当点F在DM上时，S△ABF最小时，S最大；
（3）过点D作DG⊥EF于点G，过点E作EH⊥CD于点H，由勾股定理可求BG的长，通过证明△BGD∽△BHE，可求EC的长，即可求AE的长．
【解题过程】（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
由折叠可知：DF=DC，且点F在AC上，
∴∠DFC=∠C=60°，
∴∠DFC=∠A，
∴DF∥AB；
（2）存在，如图，
过点D作DM⊥AB交AB于点M，
∵AB=BC=6，BD=4，∴CD=2，∴DF=2，
∴点F在以D为圆心，DF为半径的圆上，
∴当点F在DM上时，S△ABF最小，
∵BD=4，DM⊥AB，∠ABC=60°，
∴MD=2 ，
∴S△ABF的最小值= ，
∴S最大值=.
（3）如图，过点作于点G，过点E作EH⊥CD于点H，
∵△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE，
∴DF=DC=2，∠EFD=∠C=60°，
∵GD⊥EF，∠EFD=60°，
∴FG=1，DG=FG=，
∵BD2=BG2+DG2，
∴16=3+（BF+1）2，
∴BF=-1，
∴BG=，
∵EH⊥BC，∠C=60°，
∴CH=，EH=HC=,
∵∠GBD=∠EBH，∠BGD=∠BHE=90°，
∴△BGD∽△BHE，
∴，
∴,
∴EC=
∴AE=AC-EC=
【名师点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握是解题的关键.
