北师大版七年级数学下册 第5章 生活中的轴对称 单元测试题（有答案）

北师大版七年级数学下册 第5章 生活中的轴对称 单元测试题
一．选择题（共10小题）
1．下列交通标志图案是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．△ABC中，AB＝BC＝6，∠B＝60°，则AC等于（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
3．如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC＝35°，则∠ADB的度数为（　　）

A．25° B．60° C．85° D．95°
4．如图，若∠2＝30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1的度数为（　　）

A．15° B．30° C．45° D．60°
5．如图，已知∠O，点P为其内一定点，分别在∠O的两边上找点A、B，使△PAB周长最小的是（　　）
A． B．
C． D．
6．如图，将一个直角三角形纸片ABC（∠ACB＝90°），沿线段CD折叠，使点B落在B′处，若∠ACB′＝70°，则∠ACD的度数为（　　）

A．30° B．20° C．15° D．10°
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠CAB的角平分线，DE⊥AB于点E．若CD＝3cm，则D到AB的距离是（　　）cm．

A．2 B．3 C．4 D．5
8．已知等腰三角形ABC的底边BC＝8，且|AC﹣BC|＝4，则腰AC长为（　　）
A．4或12 B．12 C．4 D．8或12
9．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC分别交AB、AC于M、N，则△AMN的周长为（　　）

A．10 B．6 C．4 D．不确定
10．如图，若将直角坐标系中“鱼“形图案的每个“顶点”的纵坐标保持不变，横坐标都乘以﹣1，得到一组新的点，再依次连接这些点，所得图案与原图案的关系为（　　）

A．重合
B．关于x轴对称
C．关于y轴对称
D．宽度不变，高度变为原来的一半
二．填空题（共8小题）
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°，若BE＝9cm，DE＝3cm，则BC＝　 　cm．

12．如图已知OA＝a，P是射线ON上一动点，∠AON＝60°，当OP＝　 　时，△AOP为等边三角形．

13．如图，在△ABC中，已知AD是∠BAC的平分线，DE∥AB，交AC于点E，AB＝15，AC＝10，则CE＝　 　．

14．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＞90°，点E在边BC上，且使△ABE和△ACE都为等腰三角形，则∠EAC＝　 　度．
15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD是△ABC的角平分线，BC＝10cm，BD：DC＝3：2，则点D到AB的距离为　 　．

16．如图，△ABC中，AC＝6cm，AB＝8cm，BC＝10cm，DE是边AB的垂直平分线，则△ADC的周长为　 　cm．

17．如图，在△ABC中，点D是BC边上的一点，∠B＝50°，∠BAD＝26°，将△ABD沿AD折叠得到△AED，AE与BC交于点F，则∠AFC＝　 　度．

18．在“线段、钝角、三角形、等腰三角形、圆”这五个图形中，是轴对称图形的有　 　个．
三．解答题（共9小题）
19．在公路AB上建筑一车站C，使它到E、F两村庄的距离和最短．（保留画图痕迹）
20．如图，在△ABC中，点D，E在边BC上，BD＝CE，且AD＝AE．求证：AB＝AC．

21．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB交AB于点E，DF⊥AC交AC于点F．若S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，求AC的长．

22．如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC
（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；
（2）若BC＝10，求△ODE的周长．

23．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC沿着一条直线折叠后，使点A与点C重合（如图②）
（1）在图①中画出折痕所在的直线l，问直线l是线段AC的　 　线；
（2）设直线l与AB、AC分别相交于点M、N，连结CM，若△CMB的周长是21cm，AB＝14cm，求BC的长．

24．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．
（1）若BC＝5，求△ADE的周长．
（2）若∠BAD+∠CAE＝60°，求∠BAC的度数．

25．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的位置如图所示
（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′；（其中A′、B′、C′分别是A、B、C的对应点，不写画法）
（2）直接写出A′B′C′三点的坐标；
（3）求△ABC的面积．

26．如图，△ABC中，AE＝BE，∠AED＝∠ABC．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）若AB＝CB，∠AED＝4∠EAD，求∠C的度数．

27．在△ABC中，AB＝AC，∠ABC、∠ACB的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F．
（1）如图1，图中所有的等腰三角形有　 　个．猜想：EF与BE、CF之间有怎样的关系，并说明理由．
（2）如图2，AB≠AC，图中等腰三角形是　 　，（1）中的EF与BE、CF之间的关系还存在吗？
（3）如图3，△ABC中∠ABC的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F．图中还有等腰三角形吗？如果有，分别指出它们，写出EF与BE、CF关系，并说明理由．



参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项正确；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：B．
2．解：∵在△ABC中，AB＝BC＝6，∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝6．
故选：B．
3．解：∠ADB＝∠DBC+∠C＝35°+60°＝95°．
故选：D．
4．解：要使黑球反弹后能将黑球直接撞入袋中，
∠2+∠3＝90°，
∵∠2＝30°，
∴∠3＝60°，
∴∠1＝60°．
故选：D．
5．解：分别在∠O的两边上找点A、B，使△PAB周长最小的是D选项，
故选：D．
6．解：∵∠B'CB＝∠ACB+∠ACB'
∴∠B'CB＝160°
∵折叠
∴∠B'CD＝∠BCD＝∠B'CB＝80°
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝10°
故选：D．
7．解：∵AD是∠CAB的角平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DE＝CD＝3，
故选：B．
8．解：∵|AC﹣BC|＝4，
∴AC﹣BC＝±4，
∵等腰△ABC的底边BC＝8，
∴AC＝12．AC＝4（不合题意舍去），
故选：B．
9．解：∵MN∥BC，
∴∠AMN＝∠ABC．
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠MBE，
∴∠AMN＝2∠MBE．
∵∠AMN＝∠MBE+∠MEB，
∴∠MBE＝∠MEB，
∴MB＝ME．
同理，NC＝NE，
∴C△AMN＝AM+ME+EN+AN＝AB+AC＝10．
故选：A．

10．解：图案的每个“顶点”的纵坐标保持不变，横坐标分别乘﹣1，
则对应点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，
所以，所得图案与原图案关于y轴对称．
故选：C．
二．填空题（共8小题）
11．解；过点E作EF⊥BC，垂足为F，延长AD到H，交BC于点H，过点D作DG⊥EF，垂足为G．

∵EF⊥BC，∠EBF＝60°，
∴∠BEF＝30°，
∴BF＝，
∵∠BED＝60°，∠BEF＝30°，
∴∠DEG＝30°．
又∵DG⊥EF，
∴GD＝，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AH⊥BC，且BH＝CH．
∵AH⊥BC，EF⊥BC，DG⊥EF，
∴四边形DGFH是矩形．
∴FH＝GD＝1.5．
∴BC＝2BH＝2×（4.5+1.5）＝12．
故答案为：12．
12．解：∵AON＝60°，
∴当OA＝OP＝a时，△AOP为等边三角形．
故答案是：a．
13．解：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠CAD＝∠BAD，
∵DE∥AB，
∴∠EDA＝∠BAD，
∴∠EDA＝∠CAD，
∴ED＝AE，
设AE＝x，则ED＝x，CE＝10﹣x，
∵ED∥AB，
∴，
∴，
∴x＝6，
∴CE＝10﹣6＝4，
故答案为：4．
14．解：如图1中，当EB＝EA，CA＝CE时，
∴∠B＝∠BAE，∠CEA＝∠CAE，
设∠B＝∠BAE＝x，则∠AEC＝∠CAE＝2x，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝x，
∵∠CEA+∠CAE+∠C＝180°，
∴5x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠EAC＝72°，
如图2中，当BA＝BE，EA＝EC时，同法可得∠EAC＝36°，
故答案为36和72．

15．解：∵BC＝10cm，BD：DC＝3：2，
∴DC＝4cm，
∵AD是△ABC的角平分线，∠ACB＝90°，
∴点D到AB的距离等于DC，即点D到AB的距离等于4cm．
故答案为4cm．
16．解：∵DE是边AB的垂直平分线，BC＝10cm，AC＝6cm，
∴AD＝BD，
∴△ADC的周长＝AD+DC+AC＝BD+DC+AC＝BC+AC＝16cm；
故答案为：16．
17．解：∵将△ABD沿AD折叠得到△AED，
∴∠BAD＝∠DAF＝26°，
∴∠BAF＝52°，
∵∠B+∠BAF+∠AFB＝180°，
∴∠AFB＝78°，
∴∠AFC＝102°，
故答案为：102．
18．解：根据轴对称图形的定义可知：
线段、钝角、等腰三角形和圆都是轴对称图形．
故答案为：4．
三．解答题（共9小题）
19．解：①连接EF交AB于点C，点C就是所求的点；
②画出点E关于直线AB的对称点E′，连接E′F交AB于点C，连接EC，
∵E、E′关于直线AB对称，
∴EC＝E′C，
∴EC+FC＝E′F，
由两点之间线段最短可知，线段E′F的长即为EC+FC的最小值，故C点即为所求点．

20．证明：作AF⊥BC于点F，

∵AD＝AE，
∴DF＝EF，
∵BD＝CE，
∴BD+DF＝CE+EF，
即 BF＝CF，
∵AF⊥BC，
∴AB＝AC．
21．解：∵AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC于点F，
∴DF＝DE＝2．
又∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD，AB＝4，
∴7＝×4×2+×AC×2，
∴AC＝3．
22．解：（1）△ODE是等边三角形；理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°；
∵OD∥AB，OE∥AC，
∴∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°，
∴△ODE为等边三角形．
（2）∵OB平分∠ABC，OD∥AB，
∴∠ABO＝∠DOB，∠ABO＝∠DBO，
∴∠DOB＝∠DBO，
∴BD＝OD；同理可证CE＝OE；
∴△ODE的周长＝BC＝10．

23．解：（1）如图①，

∵将△ABC沿着一条直线折叠后，使点A与点C重合，
∴AN＝NC，∠ANM＝∠CNM＝90°，
∴直线l是线段AC的中垂线，
故答案为：中垂；
（2）∵将△ABC沿着一条直线折叠后，使点A与点C重合，
∴AM＝CM，
∵△CMB的周长是21cm，AB＝14cm，
∴21＝CM+BM+BC＝AM+BM+CB＝AB+BC＝14+BC，
∴BC＝7cm．
24．解：（1）∵边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，
∴DA＝DB，EA＝EC，
∴△ADE的周长＝AD+DE+AE＝DB+DE+EC＝BC＝5；

（2）∵DA＝DB，EA＝EC，
∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，
∴∠B+∠C＝∠DAB+∠EAC＝60°，
∴∠BAC＝120°．
25．解：（1）如图，△A′B′C′；

（2）A′（2，3），B′（3，1），C′（﹣1，﹣2）；
（3）△ABC的面积＝4×5﹣×3×4﹣×2×1﹣×5×3＝5.5．
26．（1）证明：∵∠AED＝∠ABC，∠AED＝∠ABE+∠EAB，∠ABC＝∠ABE+∠DBC，
∴∠EAB＝∠DBC，
∵AE＝BE，
∴∠EAB＝∠ABE，
∴∠DBC＝∠ABE，
∴BD平分∠ABC；
（2）设∠EAD＝x，则∠AED＝4x，
∵∠AED＝∠ABE+∠EAB，∠EAB＝∠ABE，BD平分∠ABC，
∴∠BAE＝2x，∠ABC＝4x，
∴∠BAC＝3x，
∵AB＝CB，
∴∠BAC＝∠C，
∴∠C＝3x，
∵∠ABC+∠BAC+∠C﹣180°，
∴4x+3x+3x＝180°，
解得，x＝18°，
∴∠C＝3x＝54°，
即∠C的度数是54°．
27．解：（1）图中是等腰三角形的有：△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC共5个；
EF、BE、FC的关系是EF＝BE+FC．
理由如下：
∵OB、OC平分∠ABC、∠ACB，
∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCB，
∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC＝∠EBO，∠FOC＝∠OCB＝∠FCO，
即EO＝EB，FO＝FC，
∴EF＝EO+OF＝BE+CF；
故答案为：5；

（2）当AB≠AC时，△EOB、△FOC仍为等腰三角形，（1）的结论仍然成立，
∵OB、OC平分∠ABC、∠ACB，
∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCB，
∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC＝∠EBO，∠FOC＝∠OCB＝∠FCO，
即EO＝EB，FO＝FC，
∴EF＝EO+OF＝BE+CF；
故答案为：△EOB、△FOC；

（3）△EOB和△FOC仍是等腰三角形，EF＝BE﹣FC．理由如下：
同（1）可证得△EOB是等腰三角形；
∵EO∥BC，
∴∠FOC＝∠OCG；
∵OC平分∠ACG，
∴∠ACO＝∠FOC＝∠OCG，
∴FO＝FC，故△FOC是等腰三角形；
∴EF＝EO﹣FO＝BE﹣FC．