(共32张PPT)
名言欣赏：
数学是打开科学大门的钥匙。
——培根
整数
正整数：如：1，2，3，…
零：0
负整数：如-1，-2，-3，…
分数
正分数：如 , , 5.2, …
负分数如 ， ，-3.5, …
有理数
什么叫有理数？
知识回顾
是数吗？
是有理数？
提出问题
公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派有一种观点，即“万物皆数”，一切量都可以用整数或整数的比（分数）表示，后来，当这一学派的希帕索斯发现边长为1的正方形的对角线的长度不能用整数或整数的比表示，即√2不是有理数时，毕达哥拉斯学派感到惶恐不安。由此还引发了一次数学危机……
激趣引入
6.3 实 数
第1课时 实数的概念
人教版七年级数学 下册
目标导航
1.了解实数的意义，并能将实数按要求进行准确的分类；
2.熟练掌握实数大小的比较方法；（重点）
3.了解实数和数轴上的点一一对应，能用数轴上的点 表示无理数.（难点）
认真阅读课本中6.3 实数的内容，完成下面练习并体验知识点的形成过程。
自主研学
试一试
1.使用计算器计算,把下列有理数写成小数的形式,你有什么发现?
3，
上面的有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式.
结论:任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式.
合作探究
2.追问:任何一个有限小数或无限循环小数都能化成分数吗？
阅读下列材料:
设x = =0.333…① 则 10x = 3.333… ②,
则②-①得9x =3,即x = .
根据上面提供的方法,你能把 化成分数吗？并想一想是不是任何无限循环小数都可以化成分数？
合作探究
结论：
任何一个有限小数或者无限循环小数都能化成分数，所以
任何一个有限小数或者无限循环小数都是有理数.
得出结论
随着人们认识的不断深入，毕达哥拉斯学派逐渐承认 不是有理数，并给出了证明。
下面解读下欧几里得《原本》中的证明方法。
毕达哥拉斯，古希腊数学家，毕达哥拉斯学派的主要代表人物。
为什么不是有理数？
合作探究
不是有理数是真命题
该命题的题设是？结论是？
题设是：有一个数是 ，
结论是：这个数不是有理数。
合作探究
那么，怎么证明真命题呢？
证明真命题一般用反证法。
反证法：通过断定与真命题相反的结论的虚假来确定原命题的真实性的论证方法。
与命题相反的结论是什么？
是有理数
合作探究
假设 为有理数,那么存在两个互质的正整数p,
q,使得:
于是： ，
两边平方得：
由 是偶数，可得 是偶数。而只有偶数的
平方才是偶数，所以p也是偶数。
因此可设 ,代入上式，得： ,
即， .
所以q也是偶数。这样，p, q都是偶数，不互质，
这与假设p, q互质矛盾。
合作探究
这个矛盾说明， 不能写成分数的形式，即 不是有理数。
实际上， 是无限不循环小数。
合作探究
在前面的学习中,我们知道,许多数的平方根和立方根都是无限不循环小数,它们不能化成分数.我们给无限不循环小数起个名字，叫“无理数”.有理数和无理数统称为实数.
知识归纳
实数的概念：
思考： 是无理数吗？2.020 020 002 000 02…是无
理数吗？
2.02002000200002…
常见的一些无理数：
(1)含 的一些数；
(2)含开不尽方的数；
(3)有规律但不循环的小数,如1.01001000100001…
它们都是无限不循环小数，是无理数
合作探究
例：判断下列数哪些是有理数？哪些是无理数？
有理数是：
无理数是：
, ,
, ,
思考：无理数一般有哪些形式?
（1）像 的开不尽方的数是无理数。
（2）圆周率 及一些含有 的数都是无理数
（3）有一定的规律，但不循环的无限小数都是无理数。
典型例题
,3.14 , 0.1010010001…,
,
,
,
方法点拔:
判定一个数是否无理数:
(1)看它是不是无限不循环小数.
（2）所有的有理数都能写成分数形式，但无理数不能；
具体从以下几方面来判断:
(1)开方开不尽的数是无理数;(2) 是无理数;(3)不循环的无限小数（4）无理数与有理数的和、差一定是无理数；(5）无理数与有理数（不为0）的积、商一定是无理数；
无理数有：
0.1010010001…
,
,
,
下列各数哪些是无理数？
即学即练
思考：我们将有理数和无理数统称为实数，仿照有
理数的分类吗？据此你能给实数分类吗？
无理数：
无限不循环小数
有理数：
有限小数或无限循环小数
实 数
（1）按定义分
分数
整数
女孩子
男孩子
妈妈
含开方开不尽的数
有规律但不循环的小数
含有 的数
合作探究
负实数
正实数
数实
正有理数
负有理数
（2）按性质分
0
正无理数
负无理数
合作探究
例： 把下列各数填入相应的集合内:
π， ，5.2, , 0.808 008 000 8…(相邻两个8之间的0的个数逐次加1）, , , , , , , .
整数集合? … ?；
分数集合? … ?；
正数集合?
… ?；
5.2
π
5.2
0.808 008 000 8…(相邻两个8之间的0的个数逐次加1）
典型例题
负数集合? … ?；
有理数集合? … ?；
无理数集合?
… ?.
π， ，5.2, , 0.808 008 000 8…(相邻两个8之间的0的个数逐次加1）, , , , , , , .
5.2
π
0.808 008 000 8…(相邻两个8之间的0的个数逐次加1）
典型例题
任何有限小数或无限循环小数都是有理数.
无限不循环小数叫无理数.
判定一个数是否无理数:
(1)看它是不是无限不循环小数.
（2）所有的有理数都能写成分数形式，但无理数不能；
具体从以下几方面来判断:
(1)开方开不尽的数是无理数;(2) 是无理数;(3)不循环的无限小数（4）无理数与有理数的和、差一定是无理数；(5）无理数与有理数（不为0）的积、商一定是无理数；
课堂小结
（1）有没有最小的正整数？有没有最小的整数？
（2）有没有最小的有理数？有没有最小的无理数？
（3）有没有最小的正实数？有没有最小的实数？
1
无
无
无
无
无
检测目标
2、判断下列说法是否正确：
(1)实数不是有理数就是无理数。 （ ）
(2)无限小数都是无理数。 （ ）
(3)无理数都是无限小数。 （ ）
(4)带根号的数都是无理数。 （ ）
(5)两个无理数之和一定是无理数。 （ ）
(6)所有的有理数都可以在数轴上表示，反过来，数轴上所有的点都表示有理数。（ ）
检测目标
3、以下各正方形的边长是无理数的是（ ）
A.面积为25的正方形；
B.面积为 的正方形；
C.面积为8的正方形；
D.面积为1.44的正方形.
C
检测目标
请画出实数的分类图。
检测目标
我们已经站在了人生的起跑线上，为了实现心中的远大目标，我们正努力拼搏着。成功属于不畏困难、勇往直前的人。相信自己！
教师寄语
通过本课学习，你收获了什么？
课后作业：
完成教科书中相关练习题。
(共29张PPT)
名言欣赏：
数学是打开科学大门的钥匙。
——培根
思考：我们将有理数和无理数统称为实数，仿照有
理数的分类吗？据此你能给实数分类吗？
无理数：
无限不循环小数
有理数：
有限小数或无限循环小数
实 数
（1）按定义分
分数
整数
女孩子
男孩子
妈妈
含开方开不尽的数
有规律但不循环的小数
含有 的数
知识回顾
负实数
正实数
数实
正有理数
负有理数
（2）按性质分
0
正无理数
负无理数
知识回顾
6.3 实 数
第2课时 实数与数轴
人教版七年级数学 下册
目标导航
1.了解实数的意义，并能将实数按要求进行准确的分类；
2.熟练掌握实数大小的比较方法；（重点）
3.了解实数和数轴上的点一一对应，能用数轴上的点 表示无理数.（难点）
我们知道有理数都可以用数轴上的点来表示,但是数轴上的点是否都表示有理数呢?无理数可以用数轴上的点来表示吗?
合作探究
0
1
2
4
3
-1
-2
问题:边长为1的正方形,对角线长为多少?
事实上:每一个无理数都可以用数轴上的一个点来表示.数轴上的点有些表示有理数,有些表示无理数.
你能把 在数轴上表示出来吗？请与同桌一起试一试。
合作探究
结论:
在数从有理数扩充到实数后,实数与数轴上的点是一一对应的.
即每一个实数都可以用数轴上的点来表示；
数轴上的每一个点都表示一个实数.
得出结论
例：如图所示，数轴上A，B两点表示的数分别为
和5.1，则A，B两点之间表示整数的点共有( )
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
解析：∵ ≈1.414，∴ 和5.1之间的整数有2，3，4，5， ∴A，B两点之间表示整数的点共有4个．
C
【方法总结】数轴上的点与实数一一对应，结合数轴分析，可轻松得出结论．
典型例题
请将图中数轴上标有字母的各点与下列实数对应起来：
0
B
C
4
D
A
-2
E
即学即练
与有理数一样，实数也可以比较大小：
与有理数规定的大小一样，数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大.
原点
0
正实数
负实数
<
1.正数大于零，负数小于零，正数大于负数；
2.两个正数，绝对值大的数较大；
3.两个负数，绝对值大的数反而小.
与有理数一样，在实数范围内：
知识延伸
在实数范围内 ，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样．
例如：
与 互为相反数
与 互为倒数
知识延伸
例 在数轴上表示下列各点，比较它们的大小，
并用“<”连接它们.
-2 -1 0 1 2 3
1
-2
-2< < 1< <
例 估计 位于（ ）
A.0~1之间 B.1~2之间 C.2~3之间 D.3~4之间
B
熟记一些常见数的算术平方根；或用计算器估计.
归纳
典型例题
比较下列各组数里两个数的大小:
(1) ,1.4;(2) , ;(3)-2, .
分析:第(1)题,可以将 ,1.4的大小比较转化为 , 的大小比较;也可以先求出 的近似值,再通过比较它们近似值(取近似值时,注意精确度要相同)的大小,从而比较它们的大小.
＞
＞
＜
即学即练
我们知道,在有理数中只有符号不同的两个数叫做相反数,例如3和-3, 和 等.
实数的相反数的意义与有理数中一样.
合作探究
大家还记得在有理数中绝对值的意义吗?
例如, |-3|=3, |0|=0, 等.
实数中绝对值的意义和有理数中的绝对值的意义相同.
一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离，a的绝对值记作|a|.
合作探究
(1) 的相反数是 ， 的相反数是 ， 0的相反数是 ；
(2) = ， = ，|0|= .
思考：
0
0
合作探究
1.a是一个实数，实数a的相反数为-a.
2.①一个正实数的绝对值是它本身；
②一个负实数的绝对值是它的相反数；
③0的绝对值是0.
知识归纳
例：（1）求 的相反数，
（2）已知 ＝ ，求a.
解：(1)因为 ，3的相反数是-3，所以
的相反数是-3.
(2)因为 ， ,所以a的值是 和 .
典型例题
求下列各数的相反数和绝对值:
2.5, , , 0 , ,π-3.
解：2.5的相反数是-2.5，绝对值是2.5；
0的相反数是0，绝对值是0；
π-3的相反数是3-π ，绝对值是π-3 .
即学即练
每一个有理数都可以用数轴上的点表示；每一个无理数都可以用数轴上的点表示；
数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数。
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一点都表示一个实数。
即实数和数轴上的点是一一对应的。
在数轴上的两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大。
实数与数轴上点一一对应
课堂小结
1.判断快枪手——看谁最快最准！
（1）实数不是有理数就是无理数. （ ）
（2）无理数都是无限不循环小数. （ ）
（4）无理数都是无限小数. （ ）
（3）带根号的数都是无理数. （ ）
（5）无理数一定都带根号. （ ）
×
×
检测目标
A 无限小数是无理数
B 绝对值等于本身的数是正数
C 实数和数轴上的点一一对应
D 带根号的数是无理数
2、下列叙述正确的是（ ）
C
检测目标
3.一个数的绝对值是 ,求这个数.
4.求下列各式的实数 x:
(1)|x|= ；
(2)-x= .
检测目标
5.绝对值小于 的整数
有 ;
绝对值小于 的负整数
有 .
检测目标
我们已经站在了人生的起跑线上，为了实现心中的远大目标，我们正努力拼搏着。成功属于不畏困难、勇往直前的人。相信自己！
教师寄语
通过本课学习，你收获了什么？
课后作业：
完成教科书中相关练习题。
(共25张PPT)
名言欣赏：
数学是打开科学大门的钥匙。
——培根
实数
有理数
无理数
整数
分数
（无限不循环小数）
小数
(有限小数或无限循环小数）
1）含有∏的数
2）开不尽方的数
形0.3030030003…类的小数
知识回顾
请同学们总结有理数的运算律和运算法则
1.交换律 ： 加法 a+b=b+a
乘法a×b=b×a
2.结合律： 加法（a+b)+c=a+(b+c)
乘法（a×b）c=a（b×c）
3.分配律： a× (b+c)= ab+ ac
由有理数扩展到实数后，这些运算律和法则还适用吗？
知识回顾
6.3 实 数
第3课时 实数的运算
人教版七年级数学 下册
目标导航
1.理解在实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义；（重点）
2.掌握实数的运算法则，熟练地利用计算器去解决有关实数的运算问题.（重点）
认真阅读课本中6.3 实数的内容，完成下面练习并体验知识点的形成过程。
自主研学
当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又增加了非负数的开平方运算，任意实数可以进行开立方运算.进行实数运算时，有理数的运算法则及性质等同样适用.
实数的运算顺序
(1)先算乘方和开方;
(2)再算乘除，最后算加;
(3)如果遇到括号，则先进行括号里的运算.
实数的运算
知识归纳
1、每个正实数有且只有两个平方根，它们互为相反数.0的平方根是0.
2、在实数范围内，负实数没有平方根.
3、在实数范围内，每个实数有且只有一个立方根，而且与它本身的符号相同.
实数的平方根与立方根的性质：
知识归纳
例1:已知实数a,b,c在数轴上的位置如下,化简
a
c
b
0
解:由a,b,c在数轴上的位置可知：
a＞0,b＜0,c＜0，且a+b>0,a-c>0.
典型例题
实数范围内的运算法则及运算顺序与有理数范围内是一样的.
总结:
计算下列各式的值:
2
3
2
2
)
1
(
-
(2)｜ ｜
解:
(2)｜ ｜
2
3
2
2
)
1
(
-
即学即练
例2：计算
解：原式=
=18.94427191≈18.94
=
=
=
典型例题
在实数运算中,当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时,可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数,再进行计算.
总结
做一做
利用计算器计算：
你又发现了什么规律？
0.926
0.926
5
5
＞
≥
合作探究
5
5
≥
≥
5
5
＞
≥
计算
合作探究
计算:
(1) (2)
(3)
平方差
完全平方
解:(1)
(2)
(3)
在实数范围内,乘法公式仍然适用.
即学即练
2、混合运算中注意两点:一是运算顺序;二是灵活运用运算律简化计算.
1、实数的加、减、乘、除、乘方和开方运算:特别注意两个转化:
①减法变加法:减去一个数等于加上这个数的相
反数,即:a-b=a+(-b);
②除法变乘法:除以一个不等于0的数等于乘以这
个数的倒数,即a÷b=a×
课堂小结
1.a,b是实数,下列命题正确的是( )
A.a≠b,则a2≠b2
B.若a2>b2,则a>b
C.若|a|>|b|,则a>b
D.若|a|>|b|,则a2>b2
D
检测目标
2.计算
（1）
（2）
（3）
4
检测目标
3、计算
检测目标
4.计算下列各题:
(1) = ;(2) = ;
(3) = ;
(4) = …
仔细观察上面几道题及其计算结果,你能发现什么规律吗?根据这个规律先写出下面的结果,并说明理由.
五、课堂跟踪反馈
3
33
333
3333
检测目标
我们已经站在了人生的起跑线上，为了实现心中的远大目标，我们正努力拼搏着。成功属于不畏困难、勇往直前的人。相信自己！
教师寄语
通过本课学习，你收获了什么？
课后作业：
完成教科书中相关练习题。
