(共23张PPT)
1.1.3 导数的几何意义
[学习目标]
1．了解导函数的概念；理解导数的几何意义．(难点)
2．会求导函数．(重点)
3．根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．(重点、易错点【在&过】)
一.导数的几何意义
1.切线
2.导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义是：曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即：
相应的，切线方程为：
二.导函数
从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程可以看到，当x＝x0时，
f ′(x0)是一个确定的数．这样，当x变化时， f ′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即：
三.重难点探究
【问题1】曲线的切线是不是一定和曲线只有一个公共点？
两个
无数个
（1）曲线的切线和曲线不一定只有一个公共点，可能一个，可能多个，也可能无穷多个。
（2）和曲线只有一个公共点的直线和曲线不一定相切。
【问题2】切线与导数对研究曲线有什么帮助？
过点P的切线PT最贴近点P附近的曲线 f(x)，因此，在点P附近，曲线 f(x)就可以用过点P的切线PT近似代替。
以直代曲
根据图像，描述、比较曲线h(t)在t0，t1，t2附近的变化情况.
切线倾斜程度越大，说明曲线在切线附近下降得越快。
（1）切线的倾斜程度，对应了曲线的变化程度。
（2）在连续区间上切线斜率的正负，对应了曲线的单调性。
【问题3】函数在某点处的导数与导函数有什么关系？
区别 联系
(1) f ′(x)是函数f(x)的导函数，简称导数，是对一个区间而言的，它是一个确定的函数，依赖于函数本身，而与x0，Δx无关；
(2) f ′(x0)表示的是函数f(x)在x＝x0处的导数，是对一个点而言的，它是一个确定的值，与给定的函数及x0的位置有关，而与Δx无关． 在x＝x0处的导数 f ′(x0)是导函数 f ′(x)在x＝x0处的函数值．
（因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这点的函数值．）
四.新知应用
●规律方法
求曲线上某点处的切线方程的步骤
(1)求出该点的坐标．
(2)求出函数在该点处的导数，即曲线在该点处的切线的斜率．
(3)利用点斜式写出切线方程．
1．已知曲线y＝ x3上一点P(0，0)，求：（1）点P处的切线方程；
（2）点P处的切线的斜率.
题型二 求切点坐标
【例2】 过曲线y＝x2上哪一点的切线满足下列条件？
(1)平行于直线y＝4x－5；
(2)垂直于直线2x－6y＋5＝0；
(3)倾斜角为135°.
●规律方法
求切点坐标的一般步骤
(1)先设切点坐标(x0，y0)．
(2)求导函数 f ′(x)．
(3)求切线的斜率 f ′(x0)．
(4)由已知条件求出切线的斜率k.列方程
f ′(x0)＝k，解方程得x0.
(5)将x0代入曲线方程可得y0．
题型三 求过某点的切线方程
【例3】已知函数y＝f (x)＝x3－3x及y＝f (x)上一点P(1，－2)，求过点P与曲线y＝f (x)相切的直线l的方程．
思考：曲线f (x)在某点处的切线与曲线过某点的切线一样吗？有什么不同？
（1）曲线 f (x)在某点(x0，f(x0))处的切线，点(x0，f (x0))一定是切点，只要求出k＝f ′(x0)，利用点斜式写出切线即可；
（2）曲线 f (x)过某点(x0，y0)的切线，给出的点(x0，y0)不一定在曲线上，即使在曲线上也不一定是切点．
【例3】已知函数y＝f (x)＝x3－3x及y＝f (x)上一点
P(1，－2)，求过点P与曲线y＝f (x)相切的直线l的方程．
【例3】已知函数y＝f (x)＝x3－3x及y＝f (x)上一点
P(1，－2)，求过点P与曲线y＝f (x)相切的直线l的方程．
2．注意事项：
(1)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异．
(2)若曲线y＝f (x)在点x0处的导数 f ′(x0)不存在，则切线与y轴平行或不存在；若
f ′(x0)＝0，则切线与x轴平行．
3.已知曲线y＝2x2－7，求曲线过点P(3，9)的切线方程．
- 1 -
§1.1.3 导数的几何意义
一、必做题
1．已知 y＝f(x)的图象如图，则 f′(xA)与 f′(xB)的大小关系是
A．f′(xA)＞f′(xB) B．f′(xA)＜f′(xB) C．f′(xA)＝f′(xB) D．不能确定
2．如果函数 f(x)在 x＝x0处的切线的倾斜角是钝角，那么函数 f(x)在 x＝x0附近的变化情况是________(填
“逐渐上升”或“逐渐下降”)．
3．曲线 y＝1
2
x2－2在点
1，－3
2 处的切线的倾斜角为
A．1 B.π
4
C.5π
4
D．－π
4
4．设曲线 y＝x2＋x－2在点M处的切线斜率为 3，则点M的坐标为
A．(0，－2) B．(1，0) C．(0，0) D．(1，1)
5．已知曲线 y＝x
2
4
的一条切线的斜率为
1
2
，则切点的坐标为________．
6．已知点 P在曲线 F：y＝x3－x上，且曲线 F在点 P处的切线与直线 x＋2y＝0垂直，则点 P的坐标为
A．(1，1) B．(－1，0) C．(－1，0)或(1，0) D．(1，0)或(1，1)
7．曲线 y＝x2在点(1，1)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为
A.1
4
B.1
2
C．1 D．2
8．(13分)已知曲线 f(x)＝x2的一条在点 P(x0，y0)处的切线，求：
(1)切线平行于直线 y＝－x＋2时切点 P的坐标及切线方程；
(2)切线垂直于直线 1
2
x－4y＋5＝0时切点 P的坐标及切线方程；
(3)切线的倾斜角为 60°时切点 P的坐标及切线方程．
选做题
9．若曲线 y＝2x2－4x＋a与直线 y＝1相切，则 a等于
A．1 B．2 C．3 D．4
10．已知函数 y＝ax2＋b在点(1，3)处的切线斜率为 2，则a
b
＝________．
11．已知曲线 C：y＝x3.求：
(1)曲线 C上横坐标为 1的点处的切线的方程；
- 2 -
(2)第(1)小题中的切线与曲线 C是否还有其他的公共点？
12．已知一物体的运动方程是 s＝
3t2＋2，0≤t<3，
29＋3（t－3）2，t≥3.
求此物体在 t＝1和 t＝4时的瞬时速度．
