陕西中考复习专题——几何探究型问题：“将军饮马”问题（第二讲，含答案）

几何探究型问题(针对第25题)
线段最值问题
类型一　“将军饮马”问题

模型3　“两定点＋两定直线”型
问题 作法 图形 原理
在直线l1，l2上分别求点M，N，使四边形PQMN的周长最小 分别作点Q，P关于直线l1，l2的对称点Q′和P′，连接Q′P′，与两直线交点即为M，N 两点之间，线段最短．四边形PQMN周长的最小值为线段P′Q′＋PQ的长


例题1.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，E，F分别为边AB，AD的中点，点M，N分别为BC，CD上的动点，求四边形EFNM周长的最小值．
解：如答图，作点E关于BC的对称点E′，作点F关于CD的对称点F′，连接E′F′，交BC于M′，交CD于N′，连接EM′，FN′，则EM′＝E′M′，FN′＝F′N′，
∴EF＋EM＋MN＋FN＝EF＋E′M′＋M′N′＋F′N′＝EF＋E′F′，
∴此时，四边形EFNM周长的最小值为EF＋E′F′的长．
∵AB＝6，AD＝8，E，F分别为边AB，AD的中点，
∴AE′＝6＋3＝9，AF′＝8＋4＝12，
∴在Rt△AE′F′中，E′F′＝＝15，
在Rt△AEF中，EF＝＝5，
∴四边形EFNM周长的最小值为EF＋E′F′＝5＋15＝20.



练习1.如图1，已知△ABC，请画出△ABC关于直线AC对称的三角形．
如答图1，△ADC即为所求．









2.如图2，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，AE＝4，AF＝2，是否在边BC，CD上分别存在点G，H，使得四边形EFGH的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由．
【解答】
存在．理由如下：
如答图2，作E关于CD的对称点E′，作F关于BC的对称点F′，连接E′F′，交BC于G，交CD于H，连接FG，EH，
则F′G＝FG，E′H＝EH，则此时四边形EFGH的周长最小．
由题意，得BF′＝BF＝AF＝2，DE′＝DE＝2，∠A＝90°，
∴AF′＝6，AE′＝8，
∴E′F′＝10，EF＝2，
∴四边形EFGH周长的最小值为
EF＋FG＋GH＋HE＝EF＋E′F′＝2＋10.















模型4　“三动点＋三直线”型
问题 作法 图形 原理
在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，求△DEF周长的最小值 将点D视为定点，先作出△DEF的最小值对应的线段D′D″，而后研究D′D″随着点D的位置变化过程中的最小值即可，无论点D位置在何处，点C对线段D′D″的张角不变，即∠D′CD″的大小不变，为2∠ACB．因而，为使得D′D″最小，只需要CD′＝CD″＝CD最小即可，显然当CD⊥AB时，垂线段最短，从而内接三角形DEF的周长最小 点线之间，垂线段最短，△DEF周长的最小值即为D′D″的长
不在同一直线上的三点，其中点B，C在某段圆弧上，分别在，线段AB和AC上选取点P，E，F，使PE＋EF＋FP最小 此模型就是将上述问题中的一边变为了曲线，其方法基本相同，只不过加入了圆弧．将点P看作固定点，分别作出点P关于直线AB，AC的对称点，连接这两个对称点，确定出E，F的位置，再讨论点P在什么位置上时，PE＋EF＋FP取得最小值 两点之间，线段最短，PE＋EF＋FP的最小值即为MN的长






例题1.如图1，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC＝5，则△ABC的外接圆半径R的值为______.
【解答】
如答图1，设O是△ABC外接圆的圆心，连接OA，OB，OC，∴OA＝OB＝OC．
∵∠BAC＝120°，AB＝AC＝5，
∴△ABO是等边三角形，∴AB＝OA＝OB＝5，
即△ABC的外接圆半径R的值为5.




2.如图2，⊙O的半径为13，弦AB＝24，M是AB的中点，P是⊙O上一动点，求PM的最大值．
【解答】
如答图2，当PM⊥AB时，PM的值最大，
连接OA，由垂径定理可知AM＝AB＝12.
∵OA＝13，∴由勾股定理可知OM＝5，
∴PM＝OM＋OP＝18.







3.如图3所示，AB，AC，是某新区的三条规划路，其中AB＝6 km，AC＝3 km，∠BAC＝60°，所对的圆心角为60°，新区管委会想在路边建物资总站点P，在AB，AC路边分别建物资分站点E，F，也就是，分别在，线段AB和AC上选取点P，E，F.由于总站工作人员每天都要将物资在各物资站点间按P→E→F→P的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路PE，EF和FP.为了快捷、环保和节约成本，要使得线段PE，EF，FP之和最短，试求PE＋EF＋FP的最小值．(各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计)
【解答】
如答图3，在上任取一点P，连接AP，分别以AB，AC所在直线为对称轴，作出点P关于AB的对称点M，点P关于AC的对称点N，连接MN，交AB于点E，交AC于点F，连接PE，PF，
易得AM＝AP＝AN，∠MAB＝∠PAB，∠NAC＝∠PAC，
∴∠BAC＝∠PAB＋∠PAC＝∠MAB＋∠NAC＝60°，
∴∠MAN＝120°，
∴M，P，N在以A为圆心，AP为半径的圆上．
设AP＝r，易求得MN＝r.
易得PE＝ME，PF＝FN，
∴PE＋EF＋PF＝ME＋EF＋FN＝MN＝r，
∴当AP最小时，PE＋EF＋PF取得最小值．
连接BC，作出的圆心O，连接OA，OP，OB，OC．
∵AP＋OP≥OA，
∴AP≥OA－OP，即点P在OA上时，AP可取得最小值．
设AB的中点为Q，连接QC，∴AQ＝AC＝3.
∵∠BAC＝60°，∴AQ＝QC＝AC＝BQ＝3，
∴∠ABC＝∠QCB＝30°，∴∠ACB＝90°，
∴由勾股定理可知BC＝3.
∵∠BOC＝60°，OB＝OC＝3，
∴△OBC是等边三角形，∴∠OBC＝60°，
∴∠ABO＝90°，∴由勾股定理可知OA＝3.
∵OP＝OB＝3，∴AP＝r＝OA－OP＝3－3，
∴PE＋EF＋PF＝MN＝r＝3－9，
∴PE＋EF＋PF的最小值为(3－9)km.


课后作业
1.问题发现
(1)如图1，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC＋ED的最小值是____；
问题研究
(2)如图2，平面直角坐标系中，分别以点A(－2,3)，B(3,4)为圆心，以1,3为半径作⊙A，⊙B，M，N分别是⊙A，⊙B上的动点，P为x轴上的动点，试求PM＋PN的最小值；
问题解决
(3)如图3，该图是某机器零件装置的模板，其外形是一个五边形，根据设计要求，边框AB的长为2米，边框BC长为3米，∠DAB＝∠B＝∠C＝90°，联动杆DE长为2米，联动杆DE的两端D，E允许在AD，CE所在直线上滑动，点G恰好是DE的中点，点F可在边框BC上自由滑动，请确定该装置中的两根连接杆AF与FG长度和的最小值，并说明理由．

解：(1).　【解法提示】如答图1，作点C关于AB的对称点C′，连接C′B，DC′，与AB交于点E′，连接CE′，C′E，
∴CE′＝C′E′，此时E′C＋E′D＝E′C′＋E′D＝C′D最短．
∵AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，
∴∠CBA＝∠CAB＝45°，C′B＝CB＝2，
∴∠C′BA＝45°，∴∠DBC′＝90°.
∵D是BC边的中点，∴DB＝1.
在Rt△DBC′中，∵C′D2＝12＋22＝5，∴C′D＝，
∴EC＋ED的最小值是.
(2)如答图2，作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′，交⊙A于点M′，交x轴于点P′，连接P′B，交⊙B于点N′，则PM＋PN的最小值为P′M′＋P′N′＝AB′－AM′－BN′.
∵B(3,4)，∴B′(3，－4)，
∴AB′＝＝.
∵⊙A的半径为1，⊙B的半径为3，
∴AM′＝1，BN′＝3，
∴P′M′＋P′N′＝－1－3＝－4，
∴PM＋PN的最小值为－4.

答图
(3)如答图3，延长AD，CE，交于点H，连接GH.
∵∠DAB＝∠B＝∠C＝90°，∴∠DHE＝90°.
∵G是DE的中点，DE＝2米，∴GE＝DE＝1(米)．
∵联动杆DE的两端D，E允许在AD，CE所在直线上滑动，
∴点G在以H为圆心，1为半径的圆周上运动，
作点A关于BC的对称点A′，连接A′H，与BC交于点F′，与⊙H交于点G′，
此时AF＋FG＝A′F′＋F′G′＝A′G′为最短．
∵AB＝2米，AH＝BC＝3米，A′B＝2米，∴A′A＝4米，
∴A′H＝＝5(米)，
∴A′G′＝A′H－G′H＝5－1＝4(米)，
∴该装置中的两根连接杆AF与FG长度的最小值为4米．
2.小敏在研究最值问题时遇到了这样的一个问题：如图1，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，E，F，G，H分别在矩形ABCD的边AD，AB，BC，CD上，则四边形EFGH的周长是否存在最小值？她决定按照老师讲的由特殊到一般逐步化归的思路去研究，请你帮助她完成下面的探究过程．
探究1：
如图2，在AF＝2，DH＝5的条件下，请在图2中画出周长最小的四边形EFGH，并求出周长的最小值．
探究2：
在探究1的启发下，小敏画出了图3：作F关于AD的对称点F1，作F关于BC的对称点F2，作F1关于CD的对称点F3，连接F2F3交CD于点H，交BC于点G，连接F1H交AD于点E，连接EF，FG，借助图3，他发现四边形EFGH的周长有最小值，并顺利解决了遇到的这个问题．请求出四边形EFGH的周长的最小值．
拓广探究：
解决了上述问题后，小敏又想到了新的问题，当四边形EFGH的周长最小时，四边形EFGH的面积是否存在最大值？请帮助小敏解决这个问题，若存在，请求出此时面积的最大值；若不存在，请说明理由．

解：探究1：
如答图1，作F关于AD的对称点F′，F关于BC的对称点F″，连接HF′交AD于E，连接HF″交BC于G，连接EF，FG，作HM⊥AB于M.
此时四边形EFGH的周长最小，最小值为EF＋EH＋GF＋GH＝EF′＋EH＋HG＋GF″＝HF′＋HF″，
在Rt△HMF′中，HF′＝＝＝，
在Rt△HMF″中，HF″＝＝＝，
∴四边形EFGH的周长的最小值为＋.
探究2：
由题意可知四边形EFGH的周长的最小值为HF1＋HF2，

答图
易知HF1是Rt△F1F2F3的斜边的中线，
∴HF1＝HF2＝HF3.
在Rt△F1F2F3中，F1F2＝12，F1F3＝16，
∴F2F3＝＝20，
∴四边形EFGH的周长的最小值为20.
拓广探究：
存在．理由如下：
如答图2，当四边形EFGH的周长最小时，
由探究2知HF1＝HF2＝HF3，∴∠F2＝∠2，
由对称知∠3＝∠F2，∴∠2＝∠3，
∴FG∥EH.
同理可得EF∥HG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
易知CH∶CG∶GH＝3∶4∶5，
设HC＝3x，GC＝4x，GH＝5x，
则DH＝6－3x，BG＝8－4x，DE＝(6－3x)，AE＝8－(6－3x)，BF＝(8－4x)，AF＝6－(8－4x)，
∴S四边形EFGH＝6×8－·3x·4x－·(6－3x)·(6－3x)－·[8－(6－3x)]·[6－(8－4x)]－·(8－4x)·(8－4x)＝－24x2＋48x＝－24(x－1)2＋24.
∵－24＜0，
∴当x＝1时，四边形EFGH的面积最大，最大值为24.