1.2独立性检验的基本思想及其初步应用(共36张PPT)
文档属性
| 名称 | 1.2独立性检验的基本思想及其初步应用(共36张PPT) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.6MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-02-14 13:47:19 | ||
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文档简介
(共36张PPT)
1.2独立性检验的基本思想
及
其初步应用
数学家庞加莱每天都从一家面包店买一块1000g 的面包，并记录下买回的面包的实际质量.一年后，这位数学家发现，所记录数据的均值为950g. 于是庞加莱推断这家面包店的面包分量不足.
假设“面包分量足”，则一年购买面包的质量数据的平均值应该不少于1000g ；
“这个平均值不大于950g”是一个与假设“面包分量足”矛盾的小概率事件；
这个小概率事件的发生使庞加莱得出推断结果.
庞加莱应是如何证明自己的假设呢？
1.分类变量
变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量.
举例:性别,是否吸烟,宗教信仰,国籍等.
在日常生活中,我们常常关心两个分类变量之间是否具有关系.例如,吸烟是否与患肺癌有关系?性别是否对于喜欢数学课程有影响?等等.
为了调查吸烟是否对肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了9965人，得到如下结果（单位：人）
那么吸烟是否对患肺癌有影响?
列联表
吸烟与肺癌列联表
不患肺癌 患肺癌 总计
不吸烟 7775 42 7817
吸烟 2099 49 2148
总计 9874 91 9965
列联表:列出两个分类变量的频数表.
粗略估计:
在不吸烟者中,有0.54%患有肺癌;
在吸烟者中,有2.28%患有肺癌.
说明：吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性存在差异，吸烟者患肺癌的可能性大.
通过图形直观判断两个分类变量是否相关：
等高条形图
通过数据和图形分析，我们得到的直观判断是“吸烟和患肺癌有关”，那么这种判断是否可靠呢？
我们先假设
H0:吸烟与患肺癌没有关系.
用A表示不吸烟，B表示不患肺癌，则“吸烟与患肺癌没有关系”等价于“吸烟与患肺癌独立”，即假设H0等价于
P(AB)=P(A)P(B).
把前表中的数字用字母代替,得到如下用字母表示的列联表:
a恰好为事件AB发生的频数；a+b和a+c恰好分别为事件A和B发生的频数.
不患肺癌 患肺癌 总计
不吸烟 a b a+b
吸烟 c d c+d
总计 a+c b+d a+b+c+d
因为频数近似于频率，所以在H0成立的条件下应该有
因此，
|ad-bc|越小,说明吸烟与患肺癌之间关系越弱;
|ad-bc|越大,说明吸烟与患肺癌之间关系越强.
为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准,基于上述分析,我们构造一个随机变量:
其中n=a+b+c+d为样本容量.
若H0成立，即“吸烟与患肺癌没有关系”，则K2应该很小.
利用上述公式得
这个值能告诉我们什么呢？
不患肺癌 患肺癌 总计
不吸烟 7775 42 7817
吸烟 2099 49 2148
总计 9874 91 9965
在H0成立的情况下,统计学家估算出如下的概率:
即在H0成立的情况下,K2的值大于6.635的概率非常小,近似于0.01.
也就是说,在H0成立的情况下对随机变量K2进行多次观测,观测值超过6.635的频率约为0.01.
2. 独立性检验
上面这种利用随机变量K2来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验.
独立性检验的基本思想类似于数学上的反证法.
注意
3. 反证法原理与独立性检验原理的比较
反证法原理 在假设H0下，如果推出一个矛盾，就证明了H0不成立.
独立性检验原理 在假设H0下，如果出现一个与H0相矛盾的小概率事件，就推断H0不成立，且该推断犯错误的概率不超过这个小概率.
你能从上述探究过程中总结出一种直观判断两个分类变量有关系的思路吗？
一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为
y1 y2 总计
x1 a b a+b
x2 c d c+d
总计 a+c b+d a+b+c+d
若要推断的论述为H1:“X与Y有关系”可以通过频率直观的判断两个条件概率P(Y=y1|X=x1)和P(Y=y1|X=x2)是否相等.
如果判断它们相等就意味着X和Y没有关系；否则就认为它们有关系.
由上表可知，当X=x1的情况下，Y=y1的频率为a/(a+b)；在X=x1的情况下，Y=y1的频率为c/(c+d).
因此，如果通过直接计算或等高条形图发现，a/(a+b)和c/(c+d)相差很大，就判断两个分类变量之间有关系.
思考
直观判断的不足之处是什么？
不能给出推断“两个分量变量有关系”犯错误概率.而独立性检验则可以弥补这个不足.
那么独立性检验的具体做法是什么？
（1）根据实际问题的需要确定容许推断“两个分类变量有关系”犯错误概率的上界a，然后查表确定临界值k0.
（2）利用K2公式，计算随机变量K2的观测值k.
（3）如果k>k0，就推断“X与Y有关系”，这种推断犯错误的概率不超过a；否则，就认为在犯错误的概率不超过a的前提下不能推断“X与Y有关系”.
P(k2>k) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.84 5.024 6.635 7.879 10.83
在一次恶劣气候的飞行航行中调查男女乘客在机上晕机的情况如下表所示，据此资料你是否能认为在恶劣气候飞行中男性比女性更容易晕机？
分类 晕机 不晕机 合计
男性 23 32 55
女性 9 25 34
合计 32 57 89
由公式
，
解答评注：尽管这次航班中男性晕机的比例（ ）比女性晕机的比例（ ）高，但是我们不能认为在恶劣气候飞行中男性比女性更容易晕机.
因为2．149< 2．706，我们没有理由说晕机与否跟男女性别有关.
思考
定义
根据独立性检验原理，如果用W构造一个判断X与Y是否有关系的规则，使得在该规则下把“X和Y没有关系”错判成“X和Y有关系”的概率不超过0.01？
由W的定义可以发现：它越大，越有利于结论“X和Y有关系”；它越小，越有利于结论“X和Y没有关系”因此可以建立如下的判断规则：
当W的观测值w>w0时，就判断“X和Y有关系”;否则，判断“X和Y没有关系”.
这里w0为正实数，满足如下条件：在“X和Y没有关系”的前提下， P(W≥w0)=0.01
思考
若在“X和Y没有关系”的情况下有
P(K2≥k0)=0.01，
可以通过k0来确定w0吗？
事实上，
其中n=a+b+c+d.
因此，K2≥k0等价于 即可取
1.独立性检验的方法
2.独立性检验的原理
3.独立性检验的步骤
4.独立性检验与反证法
独立性检验类似于反证法但又与反证法有所区别.
1.（2017年海南）一个总体含有100个个体，以简单随机抽样的方式从该总体中抽取一个总量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为______.
解析：p=5/100=1/20
2.（2017年辽宁）某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1000支，该公司对这些灯管的使用寿命（单位：小时）进行了统计，统计结果如下表所示：
（I）将各组的频率填入表中；
（II）根据上述统计结果，计算灯管使用寿命不足1500小时的频率.
分组 [500,900) [900,1100) [1100,1300) [1300,1500) [1500,1700) [1700,1900) [1900, +∞)
频数 48 121 208 223 193 165 42
频率
（II）解：由（I）可得0.048+0.121+0.208+0.223=0.6，所以灯管使用寿命不足1500小时的频率为0.6.
分组 [500,900) [900,1100) [1100,1300) [1300,1500) [1500,1700) [1700,1900) [1900,+∞)
频数 48 121 208 223 193 165 42
频率 0.048 0.121 0.208 0.223 0.193 0.165 0.042
1.选择
为了了解某学校学生的身体发育情况，抽查了该校100名高中男生的体重情况，根据所得数据画出样本的频率分布直方图如下图所示．根据此图，估计该校2000名高中男生中体重大于70.5公斤的人数为（ ）
A．300 B．360
C．420 D．450
解析：由图可知，大于70.5公斤的人数为2000×(0.04+0.035+0.015) ×2＝360.故选B.
2.解答题
（1）在研究某种新药对小白兔的防治效果时,得到下表数据:
试分析新药对防治小白兔是否有效?
存活数 死亡数 总计
未用新药 101 38 139
用新药 129 20 149
总计 230 58 288
99.5%的把握判定新药对防治小白兔是有效的.
根据上表计算出随机变量的观测值
（2）在某医院,因为患心脏病而住院的665名男性病人中,有214人秃顶;而另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有174人秃顶.分别利用图形和独立性检验方法判断秃顶与患心脏病是否有关系?你所得的结论在什么范围内有效?
根据题目所得数据得到列联表:
患心脏病 患其他病 总计
秃顶 214 175 389
不秃顶 451 597 1048
总计 665 772 1437
所以有99%的把握认为”秃顶与患心脏病有关”.
其中n=a+b+c+d为样本容量
根据列联表中的数据，的K2的观测值为
1.2独立性检验的基本思想
及
其初步应用
数学家庞加莱每天都从一家面包店买一块1000g 的面包，并记录下买回的面包的实际质量.一年后，这位数学家发现，所记录数据的均值为950g. 于是庞加莱推断这家面包店的面包分量不足.
假设“面包分量足”，则一年购买面包的质量数据的平均值应该不少于1000g ；
“这个平均值不大于950g”是一个与假设“面包分量足”矛盾的小概率事件；
这个小概率事件的发生使庞加莱得出推断结果.
庞加莱应是如何证明自己的假设呢？
1.分类变量
变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量.
举例:性别,是否吸烟,宗教信仰,国籍等.
在日常生活中,我们常常关心两个分类变量之间是否具有关系.例如,吸烟是否与患肺癌有关系?性别是否对于喜欢数学课程有影响?等等.
为了调查吸烟是否对肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了9965人，得到如下结果（单位：人）
那么吸烟是否对患肺癌有影响?
列联表
吸烟与肺癌列联表
不患肺癌 患肺癌 总计
不吸烟 7775 42 7817
吸烟 2099 49 2148
总计 9874 91 9965
列联表:列出两个分类变量的频数表.
粗略估计:
在不吸烟者中,有0.54%患有肺癌;
在吸烟者中,有2.28%患有肺癌.
说明：吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性存在差异，吸烟者患肺癌的可能性大.
通过图形直观判断两个分类变量是否相关：
等高条形图
通过数据和图形分析，我们得到的直观判断是“吸烟和患肺癌有关”，那么这种判断是否可靠呢？
我们先假设
H0:吸烟与患肺癌没有关系.
用A表示不吸烟，B表示不患肺癌，则“吸烟与患肺癌没有关系”等价于“吸烟与患肺癌独立”，即假设H0等价于
P(AB)=P(A)P(B).
把前表中的数字用字母代替,得到如下用字母表示的列联表:
a恰好为事件AB发生的频数；a+b和a+c恰好分别为事件A和B发生的频数.
不患肺癌 患肺癌 总计
不吸烟 a b a+b
吸烟 c d c+d
总计 a+c b+d a+b+c+d
因为频数近似于频率，所以在H0成立的条件下应该有
因此，
|ad-bc|越小,说明吸烟与患肺癌之间关系越弱;
|ad-bc|越大,说明吸烟与患肺癌之间关系越强.
为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准,基于上述分析,我们构造一个随机变量:
其中n=a+b+c+d为样本容量.
若H0成立，即“吸烟与患肺癌没有关系”，则K2应该很小.
利用上述公式得
这个值能告诉我们什么呢？
不患肺癌 患肺癌 总计
不吸烟 7775 42 7817
吸烟 2099 49 2148
总计 9874 91 9965
在H0成立的情况下,统计学家估算出如下的概率:
即在H0成立的情况下,K2的值大于6.635的概率非常小,近似于0.01.
也就是说,在H0成立的情况下对随机变量K2进行多次观测,观测值超过6.635的频率约为0.01.
2. 独立性检验
上面这种利用随机变量K2来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验.
独立性检验的基本思想类似于数学上的反证法.
注意
3. 反证法原理与独立性检验原理的比较
反证法原理 在假设H0下，如果推出一个矛盾，就证明了H0不成立.
独立性检验原理 在假设H0下，如果出现一个与H0相矛盾的小概率事件，就推断H0不成立，且该推断犯错误的概率不超过这个小概率.
你能从上述探究过程中总结出一种直观判断两个分类变量有关系的思路吗？
一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为
y1 y2 总计
x1 a b a+b
x2 c d c+d
总计 a+c b+d a+b+c+d
若要推断的论述为H1:“X与Y有关系”可以通过频率直观的判断两个条件概率P(Y=y1|X=x1)和P(Y=y1|X=x2)是否相等.
如果判断它们相等就意味着X和Y没有关系；否则就认为它们有关系.
由上表可知，当X=x1的情况下，Y=y1的频率为a/(a+b)；在X=x1的情况下，Y=y1的频率为c/(c+d).
因此，如果通过直接计算或等高条形图发现，a/(a+b)和c/(c+d)相差很大，就判断两个分类变量之间有关系.
思考
直观判断的不足之处是什么？
不能给出推断“两个分量变量有关系”犯错误概率.而独立性检验则可以弥补这个不足.
那么独立性检验的具体做法是什么？
（1）根据实际问题的需要确定容许推断“两个分类变量有关系”犯错误概率的上界a，然后查表确定临界值k0.
（2）利用K2公式，计算随机变量K2的观测值k.
（3）如果k>k0，就推断“X与Y有关系”，这种推断犯错误的概率不超过a；否则，就认为在犯错误的概率不超过a的前提下不能推断“X与Y有关系”.
P(k2>k) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.84 5.024 6.635 7.879 10.83
在一次恶劣气候的飞行航行中调查男女乘客在机上晕机的情况如下表所示，据此资料你是否能认为在恶劣气候飞行中男性比女性更容易晕机？
分类 晕机 不晕机 合计
男性 23 32 55
女性 9 25 34
合计 32 57 89
由公式
，
解答评注：尽管这次航班中男性晕机的比例（ ）比女性晕机的比例（ ）高，但是我们不能认为在恶劣气候飞行中男性比女性更容易晕机.
因为2．149< 2．706，我们没有理由说晕机与否跟男女性别有关.
思考
定义
根据独立性检验原理，如果用W构造一个判断X与Y是否有关系的规则，使得在该规则下把“X和Y没有关系”错判成“X和Y有关系”的概率不超过0.01？
由W的定义可以发现：它越大，越有利于结论“X和Y有关系”；它越小，越有利于结论“X和Y没有关系”因此可以建立如下的判断规则：
当W的观测值w>w0时，就判断“X和Y有关系”;否则，判断“X和Y没有关系”.
这里w0为正实数，满足如下条件：在“X和Y没有关系”的前提下， P(W≥w0)=0.01
思考
若在“X和Y没有关系”的情况下有
P(K2≥k0)=0.01，
可以通过k0来确定w0吗？
事实上，
其中n=a+b+c+d.
因此，K2≥k0等价于 即可取
1.独立性检验的方法
2.独立性检验的原理
3.独立性检验的步骤
4.独立性检验与反证法
独立性检验类似于反证法但又与反证法有所区别.
1.（2017年海南）一个总体含有100个个体，以简单随机抽样的方式从该总体中抽取一个总量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为______.
解析：p=5/100=1/20
2.（2017年辽宁）某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1000支，该公司对这些灯管的使用寿命（单位：小时）进行了统计，统计结果如下表所示：
（I）将各组的频率填入表中；
（II）根据上述统计结果，计算灯管使用寿命不足1500小时的频率.
分组 [500,900) [900,1100) [1100,1300) [1300,1500) [1500,1700) [1700,1900) [1900, +∞)
频数 48 121 208 223 193 165 42
频率
（II）解：由（I）可得0.048+0.121+0.208+0.223=0.6，所以灯管使用寿命不足1500小时的频率为0.6.
分组 [500,900) [900,1100) [1100,1300) [1300,1500) [1500,1700) [1700,1900) [1900,+∞)
频数 48 121 208 223 193 165 42
频率 0.048 0.121 0.208 0.223 0.193 0.165 0.042
1.选择
为了了解某学校学生的身体发育情况，抽查了该校100名高中男生的体重情况，根据所得数据画出样本的频率分布直方图如下图所示．根据此图，估计该校2000名高中男生中体重大于70.5公斤的人数为（ ）
A．300 B．360
C．420 D．450
解析：由图可知，大于70.5公斤的人数为2000×(0.04+0.035+0.015) ×2＝360.故选B.
2.解答题
（1）在研究某种新药对小白兔的防治效果时,得到下表数据:
试分析新药对防治小白兔是否有效?
存活数 死亡数 总计
未用新药 101 38 139
用新药 129 20 149
总计 230 58 288
99.5%的把握判定新药对防治小白兔是有效的.
根据上表计算出随机变量的观测值
（2）在某医院,因为患心脏病而住院的665名男性病人中,有214人秃顶;而另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有174人秃顶.分别利用图形和独立性检验方法判断秃顶与患心脏病是否有关系?你所得的结论在什么范围内有效?
根据题目所得数据得到列联表:
患心脏病 患其他病 总计
秃顶 214 175 389
不秃顶 451 597 1048
总计 665 772 1437
所以有99%的把握认为”秃顶与患心脏病有关”.
其中n=a+b+c+d为样本容量
根据列联表中的数据，的K2的观测值为