北京市第十五中学2019-2020学年第一学期期中高二数学（word版）

北京十五中高二年级数学试卷2019.11
考生注意：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。全卷满分150分，考试时间为120分钟。请将第Ⅰ卷的答案填涂在答题纸上，第Ⅱ卷的答案作答在答题纸上。
第Ⅰ卷 （选择题，共56分）
一、选择题：（本大题共14个小题，每小题4分，共56分；把答案填涂在机读卡上）
1．不等式x2>x的解集是(　　)
A. (－∞，0) B. (0,1) C. (1，＋∞) D. (－∞，0)∪(1，＋∞)
2. 在等差数列3, 7, 11 …中,第5项为( )
A. 15 B. C. 19 D. 23
3. 如果, 那么（ ）
A. B. C. D.
4. 已知数列满足,，那么（ ）
A. B. C. D.
5. 不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
6. 数列中, 如果（1, 2, 3, …） ，那么这个数列是（ ）
A. 公差为2的等差数列 B. 公差为3的等差数列
C. 首项为3的等比数列 D. 首项为1的等比数列
7. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件



8. 若“对恒成立”是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
9. 如果, 设, 那么（ ）
A. B.
C. D. 与的大小关系与有关
10. 已知，且，则（ ）
A． B．
C． D．
11. 如图，某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N)为二次函数关系，若使营运的年平均利润最大，则每辆客车应营运(　　)



A．3年 B．4年 C．5年 D．6年
12. 若关于的不等式对于一切恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
13. 若，且，则的最小值是（ ）
A. B. C. D. 6
14. 数列中，如果对任意都有（为常数），则称为等差比数列，称为公差比。现给出下列命题：
①等差比数列的公差比一定不为0；
②等差数列一定是等差比数列；
③若，则数列是等差比数列；
④若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比；
其中正确的命题的序号为( )
A ①② B②③ C①②③ D①③④
第Ⅱ卷 （非选择题，共94分）
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，把答案作答在答题纸上）
15. 已知是4和16的等差中项,则=______．

16. 函数的定义域是_______．

17. 函数的最大值为_________．

18. 在等比数列中,已知，那么 ____．

19. 在数列中，，，且任意连续三项的和均为11，设是数列的前项和，则使得成立的最大整数_______．

20. 设是定义在上恒不为零的函数，对任意实数、，都有，若，（），则数列的前项和的取值范围是__________．

三、解答题（本大题共5小题，共70分。）
21. (本大题14分)
已知函数．
（Ⅰ）当时，解不等式；
（Ⅱ）若不等式的解集为，求实数的取值范围．



22. (本大题14分)
在等差数列中,,.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）如果，，成等比数列，求正整数的值．



23. (本大题14分)
已知：等差数列的公差大于0，且、是方程的两根；数列的前项的和，
（Ⅰ）求数列，的通项公式；
（Ⅱ）记，求的最大值并写出相应的的值．







24. (本大题14分)
已知等差数列的前项的和为.如果.
（Ⅰ）求的最小值及其相应的的值；
（Ⅱ）从数列中依次取出,构成一个新的数列,求的前项和.



25. (本大题14分)
已知：数列满足，（）．
（Ⅰ）设=，求证：数列是等比数列；
（Ⅱ）若数列满足，判断数列是否是等差数列，并说明理由；
（Ⅲ）设，求证：．














数学期中试卷答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C B A B C A A
题号 9 10 11 12 13 14
答案 A C C C C D
二、填空题
15、10 16、 17、 18、12 19、29 20、
三、解答题
21. (本大题14分)
已知函数．
(1)当时，解不等式；
(2)若不等式的解集为，求实数的取值范围．
解析　(1) 当时，不等式化为 …………4分
∴的解集为.………………………7分
(2)∵不等式的解集为……………………………9分
∴
∴实数的取值范围是……………………14分
22. (本大题14分)
在等差数列中,,.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）如果，，成等比数列，求正整数的值．
（Ⅰ）解：设等差数列的公差为,
则, ………………………3分
又因为，
解得. ………………………5分
所以. ………………………7分
（Ⅱ）解：因为，，成等比数列，
所以， ………………………10分
即，，
解得. ………………………14分
23. (本大题14分)
已知：等差数列的公差大于0，且、是方程的两根；数列的前项的和，
（Ⅰ）求数列，的通项公式；
（Ⅱ）记，求的最大值并写出相应的的值．
解（Ⅰ）∵,是方程的两根，且数列的公差，
∴，，公差。
∴。………………………………4分
又当时，有，∴
当时，有
∵当时，，∴……………………7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，………9分
∴。
∴
∴或时，取到最大值…………………………14分
24. (本大题14分)
已知等差数列的前项的和为.如果.
（Ⅰ）求的最小值及其相应的的值；
（Ⅱ）从数列中依次取出,构成一个新的数列,求的前项和.
解：（Ⅰ）设公差为d，由题意，可得
，解得，所以-------5分
由数列的通项公式可知，当时，，当时，，当时，。
所以当n＝9或n＝10时，取得最小值为。---------7分
（Ⅱ）记数列的前n项和为，由题意可知

所以



…………………………………………14分
25. (本大题14分)
已知：数列满足，（）．
（Ⅰ）求证：数列是等比数列；
（Ⅱ）若数列满足，判断数列是否是等差数列，并说明理由；
（Ⅲ）设，求证：．
解：（1）∵，∴
故数列是首项为2，公比为2的等比数列。
∴…………………………………………4分
（2）∵，
∴
∵①
∴②
②－①得，
即③
∴④
④－③得，得，
即
所以数列是等差数列…………………………………………9分
（3）∵(n≥2)
设，则
∴………………………………………14分