【北师大版八年级数学下册同步训练】6.3 三角形的中位线同步训练（含解析）

6.3三角形的中位线同步训练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，AD的中点．若AC=10，BD=6，则四边形EFGH的面积为（　　）
A．15 B．20 C．30 D．60
2．如图，要测量的A、C两点被池塘隔开，李师傅在AC外任选一点B，连接BA和BC，分别取BA和BC的中点E、F，量得E、F两点间距离等于23米，则A、C两点间的距离为（ ）
A．46 B．23 C．50 D．25
3．如图，平行四边形ABCD的周长是32cm，△ABC的周长是26cm，E、F分别是边AB、BC的中点，则EF的长为（　　）
A．8cm B．6cm C．5cm D．4cm
4．下列命题正确的是（　　）
A．平行四边形的对角线一定相等
B．三角形任意一条边上的高线、中线和角平分线三线合一
C．三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半
D．三角形的两边之和小于第三边
5．如图，平地上A、B两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别找到AC和BC的中点M、N,测量得MN=16米，则A,B两点间的距离为( )
A．30米 B．32米 C．36米 D．48米
6．四边形ABCD中，，，M、N分别是边AD，BC的中点，则线段MN的长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．如果顺次连接一个四边形各边的中点，得到的新四边形是矩形，则原四边形一定是（ ）
A．平行四边形 B．矩形
C．对角线互相垂直的四边形 D．对角线相等的四边形
8．如图，在△ABC中，AB＝8，∠C＝90°，∠A＝30°，DE是中位线，则DE的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．2
二、填空题
9．某地需要开辟一条隧道，隧道AB的长度无法直接测量。如图所示，在地面上取一点C，使点C均可直接到达A，B两点，测量找到AC和BC的中点D，E，测得DE的长为1200，则隧道AB的长度为_________米。
10．如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，BC=8，则DE= ．
11．如图，A，B两地被建筑物遮挡，为测量A，B两地的距离，在地面上选一点C，连结CA，CB，分别取CA，CB的中点D，E，若DE的长为36m，则A，B两地距离为_____m．
12．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6 BC=14， P、Q分别为BD、AC的中点，则PQ= ____.
13．小明的爸爸承包了一个鱼塘，小明想知道鱼塘的长(即间的距离)．他通过下面的方法测量间的距离：先在外选一点，然后测出的中点，并测得的长为，由此他就知道了间的距离．请你回答间的距离是______．
14．三角形的各边分别为8cm 、10cm和12cm ，连结各边中点所成三角形的周长=_____
三、解答题
15．已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别是AB、AC的中点，F是BC延长线上的一点，且EF∥DC．（1）求证：四边形CDEF是平行四边形；（2）若EF＝2cm，求AB的长．
16．如图，任意四边形ABCD各边中点分别是E，F，G，H，若对角线AC=BD ，判断四边形EFGH的形状并说明理由。
17．如图，D、 E 、F分别是△ABC三边中点，AH⊥BC于H.求证：DF=EH.
18．如图，在中，点D、E分别是边BC、AC的中点，过点A作交DE的延长线于F点，连接AD、CF．
（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；
（2）当满足什么条件时，四边形图ADCF是菱形？为什么？
参考答案
1．A
【解析】
【分析】
根据三角形中位线定理、矩形的判定定理得到平行四边形EFGH为矩形，根据矩形的面积公式计算即可．
【详解】
解：∵点E，F分别为边AB，BC的中点．
∴EF=AC=5，EF∥AC，
同理，HG=AC=5，HG∥AC，EH=BD=3，EH∥BD，
∴EF=HG，EF∥HG，
∴四边形EFGH为平行四边形，
∵EF∥AC，AC⊥BD，
∴EF⊥BD，
∵EH∥BD，
∴∠HEF=90°，
∴平行四边形EFGH为矩形，
∴四边形EFGH的面积=3×5=15．
故选：A．
【点睛】
本题考查中点四边形的概念和性质、掌握三角形中位线定理、矩形的判定定理是解题的关键．
2．A
【解析】
试题分析：∵点EF分别是BA和BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴AC=2EF=2×23=46米．
故选A．
考点：三角形中位线定理．
3．C
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质得出AB+BC=16cm，进而得出AC的长度，利用三角形中位线解答即可．
【详解】
解：∵平行四边形ABCD的周长是32cm，
∴AB+BC=16cm，
∵△ABC的周长是26cm，
∴AC=26-16=10cm，
∵E、F分别是边AB、BC的中点，
∴EF=0.5AC=5cm，
故选：C．
【点睛】
此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质得出AB+BC=16cm，进而得出AC的长度．
4．C
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质、等腰三角形的性质、中位线定理、三边关系逐项判断即可．
【详解】
解：A、平行四边形的对角线互相平分，说法错误，故A选项不符合题意；
B、等边三角形同一条边上的高线、中线和对角的平分线三线合一，说法错误，故B选项不符合题意；
C、三角形的中位线平行于第三边且等于它的一半，说法正确，故C选项符合题意；
D、三角形的两边之和大于第三边，说法错误，故D选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查平行四边形的性质、等边三角形的相关性质、三角形的中位线定理、三角形的三边关系，解决此题时，只要能熟记相关的性质与判定即可．
5．B
【解析】
【分析】
根据三角形中位线的定义推知MN是三角形ABC的中位线，然后利用三角形中位线定理求得AB的长度即可．
【详解】
∵点M、N是分别是AC和BC的中点，∴MN是△ABC的中位线，MN=16米，∴MN=AB=16米，∴AB=32米．故选：B．
【点睛】
考查的是三角形中位线定理，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．
6．C
【解析】
【详解】
如图，连接BD，过M作MG∥AB交BD于G,连接NG，
∵M是边AD中点，AB=3，MG∥AB，
∴MG是边AD的中位线；
∴BG=GD, MG=AB=；
∵N是BC中点，BG=GD,CD=5，
∴NG是△BCD的中位线，
∴NG=CD=,
在三角形MNG中，由三角形三边关系得
NG-MG＜MN＜MG+NG
即-＜MN＜+
∴1＜MN＜4，
当MN=MG+NG，即当MN=4，四边形ABCD是梯形，
故线段MN的长取值为.
故选C.
【点睛】
此题主要考查中位线的应用，解题的关键是根据题意作出图形求解.
7．C
【解析】
【分析】
此题要根据矩形的性质和三角形中位线定理求解；首先根据三角形中位线定理知：所得四边形的对边都平行且相等，那么其必为平行四边形，若所得四边形是矩形，那么邻边互相垂直，故原四边形的对角线必互相垂直，由此得解．
【详解】
解：已知：如图，四边形EFGH是矩形，且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，求证：四边形ABCD是对角线垂直的四边形．
证明：由于E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，根据三角形中位线定理得：EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG；∵四边形EFGH是矩形，即EF⊥FG，∴AC⊥BD．故选：C．
【点睛】
本题考查矩形的性质和三角形中位线定理，解题的关键是构造三角形利用三角形的中位线定理解答．
8．A
【解析】
【分析】
先由含30°角的直角三角形的性质，得出BC的长，再由三角形的中位线定理得出DE的长即可．
【详解】
解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴BC＝AB＝4，
又∵DE是中位线，
∴DE＝BC＝2．
故选：A．
【点睛】
本题考查了三角形的中位线定理，解答本题的关键是掌握含30°角的直角三角形的性质及三角形的中位线定理．
9．2400米
【解析】
【分析】
根据中位线的性质即可求解.
【详解】
∵D，E分别是AC、BC中点，
∴DE=
故AB=2400m
【点睛】
此题主要考查中位线的性质，解题的关键是熟知中位线的性质.
10．4
【解析】
试题分析：已知D、E分别是边AB、AC的中点，BC=8，根据三角形的中位线定理得到DE=12BC=4．
考点：三角形中位线定理．
11．72
【解析】
【分析】
根据三角形中位线定理AB＝2DE，计算即可．
【详解】
解：∵点D，E分别为CA，CB的中点，
∴AB＝2DE＝72m，
故答案为：72
【点睛】
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
12．4．
【解析】
【分析】
首先连接DQ，并延长交BC于点E，易证得△ADQ≌△CEQ（ASA），即可求得DQ=EQ，CE=AD=6，继而可得PQ是△DBE的中位线，则可求得答案．
【详解】
解：连接DQ，并延长交BC于点E，
∵AD∥BC，∴∠DAQ=∠ECQ，在△ADQ和△CEQ中，，∴△ADQ≌△CEQ（ASA），∴DQ=EQ，CE=AD=6，∴BE=BC-CE=14-6=8，∵BP=DP，∴PQ=BE=4．故答案为：4．
【点睛】
本题考查梯形的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形的中位线的性质．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
13．
【解析】
【分析】
根据三角形中位线定理解答即可．
【详解】
解：∵点分别是的中点，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是三角形的中位线的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
14．15 cm
【解析】
【分析】
由中点和中位线定义可得新三角形的各边长为原三角形各边长的一半，即可求其周长．
【详解】
如图，
D，E，F分别是△ABC的三边的中点，则DE=AC,DF=BC,EF=AB，∴△DEF的周长=DE+DF+EF= (AC+BC+AB)= ×(8+10+12)cm=15cm，故答案为15 cm.
【点睛】
本题考查三角形中位线定理，解题的关键是掌握三角形中位线定理.
15．（1）见解析；（2）4cm．
【解析】
【分析】
（1）根据三角形中位线定理可得ED∥FC；结合已知条件EF∥DC，即可得结论；（2）根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得到AB=2DC．
【详解】
（1）证明：如图，∵D、E分别是AB、AC的中点，F是BC延长线上的一点，
∴ED是Rt△ABC的中位线，
∴ED∥FC．
又 EF∥DC，
∴四边形CDEF是平行四边形；
（2）解：由（1）知，四边形CDEF是平行四边形，则DC＝EF＝2cm．
∵点D是Rt△ABC斜边AB的中点，
∴DC＝ AB，
∴AB＝2DC＝4cm．
故答案为：（1）见解析；（2）4cm．
【点睛】
本题考查平行四边形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线．解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定与性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
16．菱形，理由见解析
【解析】
【分析】
由E和F分别为AB与BC的中点，得到EF为三角形ABC的中位线，即EF平行AC且EF=AC，同理得到HG平行于AC，且等于AC的一半，可得出EF与HG平行且相等，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得到HEFG为平行四边形，再由EH等于BD的一半，EF等于AC的一半，且BD=AC，得到邻边EH=EF，利用邻边相等的平行四边形为菱形即可得证．
【详解】
∵E、F分别为AB、BC的中点，
∴EF为△ABC的中位线，
∴EF=AC，EF∥AC，
∵H、G分别为AD、DC的中点，
∴HG为△ADC的中位线，
∴HG=AC，HG∥AC，
∴EF∥HG，EF=HG，
∴四边形HEFG为平行四边形，
又E、H分别为AB、AD的中点，
∴EH为△ABD的中位线，
∴EH=BD，
∵AC=BD，
∴EF=EH，
则四边形HEFG为菱形．
【点睛】
此题考查了中点四边形，涉及的知识有：三角形的中位线定理，平行四边形及菱形的判定，熟练掌握中位线定理是解本题的关键．
17．见解析.
【解析】
【分析】
根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DF=AC，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EH=AC，从而得证．
【详解】
证明：∵D、E 、F分别是△ABC三边中点，∴DF是△ABC的中位线，∴DF=AC，∵AH⊥BC于H，E是AC的中点，∴EH=AC，∴DF=EH．
【点睛】
本题考查三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记定理和性质是解题的关键．
18．（1）见解析；（2）当△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°时，四边形ADCF是菱形，理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）首先利用平行四边形的判定方法得出四边形ABDF是平行四边形，进而得出AF=DC，利用一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，进而得出答案；（2）利用直角三角形的性质结合菱形的判定方法得出即可．
【详解】
（1）证明：∵点D、E分别是边BC、AC的中点，∴DE∥AB，BD=CD，∵AF∥BC，∴四边形ABDF是平行四边形，∴AF=BD，则AF=DC，∵AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形；（2）解：当△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°时，四边形ADCF是菱形，理由：∵△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°
又∵点D是边BC的中点， ∴AD=DC，∴平行四边形ADCF是菱形．
【点睛】
本题考查平行四边形的判定与性质以及菱形的判定，熟练应用平行四边形的判定与性质是解题关键．