北师大版九年级数学下册 第3章 圆 同步单元练习 （含答案解析）
文档属性
| 名称 | 北师大版九年级数学下册 第3章 圆 同步单元练习 （含答案解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 910.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-02-13 09:19:44 | ||
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文档简介
北师大版九年级数学下册第3章 圆 同步单元练习
一．选择题（共20小题）
1．如图，AB是⊙O的直径，AB＝10，P是半径OA上的一动点，PC⊥AB交⊙O于点C，在半径OB上取点Q，使得OQ＝CP，DQ⊥AB交⊙O于点D，点C，D位于AB两侧，连接CD交AB于点F，点P从点A出发沿AO向终点O运动，在整个运动过程中，△CFP与△DFQ的面积和的变化情况是（ ）
A．一直减小 B．一直不变
C．先变大后变小 D．先变小后变大
2．如图中正方形、矩形、圆的面积相等，则周长L的大小关系是（ ）
A．LA＞LB＞LC B．LA＜LB＜LC C．LB＞LC＞LA D．LC＜LA＜LB
3．某品牌婴儿罐装奶粉圆形桶口如图所示，它的内直径（⊙O直径）为10cm，弧AB的度数约为90°，则弓形铁片ACB（阴影部分） 的面积约为（ ）
A．（π﹣）cm2 B．（π﹣25）cm2
C．（π﹣）cm2 D．（25π﹣）cm2
4．已知AB、CD是两个不同圆的弦，如AB＝CD，那么与的关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
5．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在圆上，若∠D＝45°，则tan∠ABC等于（ ）
A． B． C．1 D．
6．如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，则∠BOD的大小是（ ）
A．80° B．120° C．100° D．90°
7．如图，AB为⊙O的直径，AB＝10cm，弦CD⊥AB，垂足为E，且AE：EB＝2：3，则AC＝（ ）
A．3cm B．4cm C．cm D．cm
8．一个点到圆的最小距离为4cm，最大距离为9cm，则该圆的半径是（ ）
A．2.5cm或6.5cm B．2.5cm
C．6.5cm D．5cm或13cm
9．考虑下面六个命题（1）任意三点确定一个圆；（2）平分弦的直径垂直于弦，且平分这条弦所对的弧；（3）90°的圆周角所对的弦是直径；（4）同弧或等弧所对的圆周角相等；（5）相等的圆周角所对的弧相等．其中正确的命题有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．已知：点A（0，4），B（0，﹣6），C为x轴正半轴上一点，且满足∠ACB＝45°，则（ ）
A．△ABC外接圆的圆心在OC上
B．∠BAC＝60°
C．△ABC外接圆的半径等于5
D．OC＝12
11．已知圆O的半径为3cm，点P是直线l上的一点，且OP＝3cm，则直线l与圆O的位置关系为（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．不能确定
12．如图，点O′在第一象限，⊙O′与x轴相切于H点，与y轴相交于A（0，2），B（0，8），则点O′的坐标是（ ）
A．（6，4） B．（4，6） C．（5，4） D．（4，5）
13．如下图，已知⊙O的直径为AB，AC⊥AB于点A，BC与⊙O相交于点D，在AC上取一点E，使得ED＝EA．下面四个结论：
①ED是⊙O的切线；②BC＝2OE；③△BOD为等边三角形；④△EOD∽△CAD
正确的是（ ）
A．①② B．②④ C．①②④ D．①②③④
14．如图，直线l1∥l2，⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B．点M和点N分别是l1和l2上的动点，MN沿l1和l2平移．⊙O的半径为1，∠1＝60°．下列结论错误的是（ ）
A．
B．l1和l2的距离为2
C．若∠MON＝90°，则MN与⊙O相切
D．若MN与⊙O相切，则
15．如图，PA、PB、DE分别与⊙O相切，若∠P＝40°，则∠DOE等于（ ）度．
A．40 B．50 C．70 D．80
16．如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，下列结论一定正确的有（ ）个：
①AF＝BG；②CG＝CH；③AB+CD＝AD+BC；④BG＜CG．
A．1 B．2 C．3 D．4
17．如图，PAB为⊙O的割线，且PA＝AB＝3，PO交⊙O于点C，若PC＝2，则⊙O的半径的长为（ ）
A． B． C． D．7
18．如图，点I是△ABC的内心，若∠AIB＝125°，则∠C等于（ ）
A．65° B．70° C．75° D．80°
19．如图，有一个边长为2cm的正六边形纸片，若在该纸片上剪一个最大圆形，则这个圆形纸片的直径是（ ）
A．cm B．2cm C．2cm D．4cm
20．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作交OB于点D．若OA＝4，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．+ B．+2 C．+ D．2+
二．填空题（共9小题）
21．如图，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，分别以它的三边为直径向上作三个半圆，则阴影部分面积为 ．（不取近似值）
22．如图，在坐标系中以原点为圆心，半径为2的圆，直线y＝kx﹣（k+1）与⊙O有两个交点A、B，则AB的最短长度是 ．
23．为改善市区人居环境，某市建设污水管网工程，已知圆柱形污水管的直径为50cm，截面如图所示，当管内污水的面宽AB＝40cm时，污水的最大深度为 cm．
24．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO＝40°，则∠ACB的大小为 ．
25．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点D为的中点，若∠B＝50°，则∠A的度数为 度．
26．如图，在⊙O中，弦AB平分弦CD于E，若CD＝8，AE：EB＝1：4，则弦AB＝ ．
27．已知点P在半径为5的⊙O外，如果设OP＝x，那么x的取值范围是 ．
28．若A（1，2），B（3，﹣3），C（x，y）三点可以确定一个圆，则x、y需要满足的条件是 ．
29．△ABC的三边分别是3，4，5，则△ABC的外接圆的半径是 ．
三．解答题（共11小题）
30．已知；如图，在⊙O中，C、D分别是半径OA、BO的中点，求证：AD＝BC．
31．如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连接AD．
（1）求证：AD＝AN；
（2）若AB＝8，ON＝1，求⊙O的半径．
32．如图，一面墙上有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接矩形，已知矩形的高AC＝2米，宽CD＝米．
（1）求此圆形门洞的半径；
（2）求要打掉墙体的面积．
33．如图，边长为2的正方形ABCD各边的延长线和反向延长线与⊙O的交点把⊙O分成8条相等的弧，则⊙O的半径是 ．
34．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，＝，AC为直径，DE⊥BC，垂足为E．
（1）求证：CD平分∠ACE；
（2）若AC＝9，CE＝3，求CD的长．
35．如图，以点O′（1，1）为圆心，OO′为半径画圆，判断点P（﹣1，1），点Q（1，0），点R（2，2）和⊙O′的位置关系．
36．如图，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC交于点E，连接AD．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若∠BAC＝60°，OA＝2，求阴影部分的面积（结果保留π）．
37．如图，PA，PB分别为⊙O的切线，AC为直径，切点分别为A、B，∠P＝70°，则∠C＝ ．
38．如图，在⊙O上依次有A、B、C三点，BO的延长线交⊙O于E，，过点C作CD∥AB交BE的延长线于D，AD交⊙O于点F．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）连接OA、OF，若∠AOF＝3∠FOE且AF＝3，求劣弧的长．
39．如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠DAB＝45°，BC∥AD，CD∥AB．若⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
40．如图，已知⊙O半径为10cm，弦AB垂直平分半径OC，并交OC于点D．
（1）求弦AB的长；
（2）求弧AB的长，并求出图中阴影部分面积．
参考答案与试题解析
一．选择题（共20小题）
1．如图，AB是⊙O的直径，AB＝10，P是半径OA上的一动点，PC⊥AB交⊙O于点C，在半径OB上取点Q，使得OQ＝CP，DQ⊥AB交⊙O于点D，点C，D位于AB两侧，连接CD交AB于点F，点P从点A出发沿AO向终点O运动，在整个运动过程中，△CFP与△DFQ的面积和的变化情况是（ ）
A．一直减小 B．一直不变
C．先变大后变小 D．先变小后变大
【分析】连接OC，OD，PD，CQ．设PC＝x，OP＝y，OF＝a，利用分割法求出阴影部分的面积，再求出a＝y﹣x即可判断；
【解答】解：连接OC，OD，PD，CQ．设PC＝x，OP＝y，OF＝a，
∵PC⊥AB，QD⊥AB，
∴∠CPO＝∠OQD＝90°，
∵PC＝OQ，OC＝OD，
∴Rt△OPC≌Rt△DQO，
∴OP＝DQ＝y，
∴S阴＝S四边形PCQD﹣S△PFD﹣S△CFQ＝（x+y）2﹣?（y﹣a）y﹣（x+a）x＝xy+a（y﹣x），
∵PC∥DQ，
∴＝，
∴＝，
∴a＝y﹣x，
∴S阴＝xy+（y﹣x）（y﹣x）＝（x2+y2）＝
故选：B．
2．如图中正方形、矩形、圆的面积相等，则周长L的大小关系是（ ）
A．LA＞LB＞LC B．LA＜LB＜LC C．LB＞LC＞LA D．LC＜LA＜LB
【分析】设相同的面积为未知数，进而判断出相应的周长，比较即可．
【解答】解：设面积是S．
则正方形的边长是，则周长LA＝4＝＝4；
长方形的一边长x，则另一边长为，则周长LB＝2（x+），
∵（x+）2≥0
∴x+≥2，
∴LB≥4，
即LB≥；
圆的半径为，LC＝2π×＝，
∵＜，
∴LC＜LA＜LB．
故选：D．
3．某品牌婴儿罐装奶粉圆形桶口如图所示，它的内直径（⊙O直径）为10cm，弧AB的度数约为90°，则弓形铁片ACB（阴影部分） 的面积约为（ ）
A．（π﹣）cm2 B．（π﹣25）cm2
C．（π﹣）cm2 D．（25π﹣）cm2
【分析】连接OA、OB，根据已知求出OA＝OB＝5cm，∠BOA＝90°，分别求出扇形BOA和△BOA的面积即可．
【解答】解：
连接OA、OB，
∵品牌婴儿罐装奶粉圆形桶口如图所示，它的内直径（⊙O直径）为10cm，弧AB的度数约为90°，
∴OA＝OB＝5cm，∠BOA＝90°，
∴阴影部分的面积S＝S扇形BOA﹣S△BOA＝﹣＝（π﹣）cm2，
故选：A．
4．已知AB、CD是两个不同圆的弦，如AB＝CD，那么与的关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
【分析】根据在同圆和等圆中相等的弦所对的弧相等分析，从而得到答案．
【解答】解：在同圆和等圆中相等的弦所对的弧才会相等，要注意同圆和的条件，本题是两个不同的圆，所以无法判断两弦所对的弧的大小，故选D．
5．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在圆上，若∠D＝45°，则tan∠ABC等于（ ）
A． B． C．1 D．
【分析】连接AC，如图，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，∠A＝∠D＝45°，则利用互余得到∠ABC＝45°，然后根据特殊角的三角函数值求解．
【解答】解：连接AC，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠A＝∠D＝45°，
∴∠ABC＝45°，
∴tan∠ABC＝tan45°＝1．
故选：C．
6．如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，则∠BOD的大小是（ ）
A．80° B．120° C．100° D．90°
【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A，再根据圆周角定理解答．
【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠A＝180°﹣∠BCD＝60°，
由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝120°，
故选：B．
7．如图，AB为⊙O的直径，AB＝10cm，弦CD⊥AB，垂足为E，且AE：EB＝2：3，则AC＝（ ）
A．3cm B．4cm C．cm D．cm
【分析】由垂径定理得到CE＝DE，又根据相交弦定理得到CE?ED＝AE?EB，即CE2＝AE?BE，可求得CE，再由勾股定理求出AC即可．
【解答】解：∵CD⊥AB，∴CE＝DE，
∴CE2＝AE?BE，
∵AB＝10cm，且AE：EB＝2：3，
∴AE＝4cm，EB＝6cm，
∴CE＝2cm，
∴AC＝＝＝2cm．
故选：D．
8．一个点到圆的最小距离为4cm，最大距离为9cm，则该圆的半径是（ ）
A．2.5cm或6.5cm B．2.5cm
C．6.5cm D．5cm或13cm
【分析】设此点为P点，圆为⊙O，最大距离为PB，最小距离为PA，有两种情况：①当此点在圆内；②当此点在圆外；分别求出半径值即可．
【解答】解：设此点为P点，圆为⊙O，最大距离为PB，最小距离为PA，则：
∵此点与圆心的连线所在的直线与圆的交点即为此点到圆心的最大、最小距离
∴有两种情况：
当此点在圆内时，如图所示，
半径OB＝（PA+PB）÷2＝6.5cm；
当此点在圆外时，如图所示，
半径OB＝（PB﹣PA）÷2＝2.5cm；
故圆的半径为2.5cm或6.5cm
故选：A．
9．考虑下面六个命题（1）任意三点确定一个圆；（2）平分弦的直径垂直于弦，且平分这条弦所对的弧；（3）90°的圆周角所对的弦是直径；（4）同弧或等弧所对的圆周角相等；（5）相等的圆周角所对的弧相等．其中正确的命题有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据圆中的定理进行分析．
确定圆的定理：不在同一条直线上的三个点确定一个圆；
垂径定理的推论：平分弦（非直径）的直径垂直于弦，且平分这条弦所对的弧；
圆周角定理的推论：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，同弧或等弧所对的圆周角相等；
90°的圆周角所对的弦是直径．
【解答】解：根据圆中的定理及其推论，知
（1）当三点共线的时候不能确定一个圆，故错误；
（2）当该弦是直径的时候，不一定能够垂直，故错误；
（3）和（4）根据圆周角定理的推论，故正确；
（5）必须在同圆或等圆中，故错误．
故选：A．
10．已知：点A（0，4），B（0，﹣6），C为x轴正半轴上一点，且满足∠ACB＝45°，则（ ）
A．△ABC外接圆的圆心在OC上
B．∠BAC＝60°
C．△ABC外接圆的半径等于5
D．OC＝12
【分析】构造含有90°圆心角的⊙P，则⊙P与x轴的交点即为所求的点C．根据△PBA为等腰直角三角形，可得OF＝PE＝5，根据勾股定理得：CF＝7，进而得出OC．
【解答】解：设线段BA的中点为E，
∵点A（0，4），B（0，﹣6），
∴AB＝10，E（0，﹣1）．
如图所示，过点E在第四象限作EP⊥BA，且EP＝AB＝5，则
易知△PBA为等腰直角三角形，∠BPA＝90°，PA＝PB＝5；
以点P为圆心，PA（或PB）长为半径作⊙P，与y轴的正半轴交于点C，
∵∠BCA为⊙P的圆周角，
∴∠BCA＝∠BPA＝45°，即则点C即为所求．
过点P作PF⊥x轴于点F，则OF＝PE＝5，PF＝OE＝1，
在Rt△PFC中，PF＝1，PC＝5，
由勾股定理得：CF＝＝7，
∴OC＝OF+CF＝5+7＝12，
故选：D．
11．已知圆O的半径为3cm，点P是直线l上的一点，且OP＝3cm，则直线l与圆O的位置关系为（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．不能确定
【分析】直线和圆的位置关系与数量之间的联系：
若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．
【解答】解：因为垂线段最短，所以圆心到直线的距离小于等于3．
此时和半径3的大小不确定，则直线和圆相交、相切都有可能．
故选：D．
12．如图，点O′在第一象限，⊙O′与x轴相切于H点，与y轴相交于A（0，2），B（0，8），则点O′的坐标是（ ）
A．（6，4） B．（4，6） C．（5，4） D．（4，5）
【分析】过O'作O'C⊥AB于点C，过O'作O'D⊥x轴于点D，由切线的性质可求得O'D的长，则可得O'B的长，由垂径定理可求得CB的长，在Rt△O'BC中，由勾股定理可求得O'C的长，从而可求得O'点坐标．
【解答】解：
如图，过O'作O'C⊥AB于点C，过O'作O'D⊥x轴于点D，连接O'B，
∵O'为圆心，
∴AC＝BC，
∵A（0，2），B（0，8），
∴AB＝8﹣2＝6，
∴AC＝BC＝3，
∴OC＝8﹣3＝5，
∵⊙O'与x轴相切，
∴O'D＝O'B＝OC＝5，
在Rt△O'BC中，由勾股定理可得O'C＝＝4，
∴P点坐标为（4，5），
故选：D．
13．如下图，已知⊙O的直径为AB，AC⊥AB于点A，BC与⊙O相交于点D，在AC上取一点E，使得ED＝EA．下面四个结论：
①ED是⊙O的切线；②BC＝2OE；③△BOD为等边三角形；④△EOD∽△CAD
正确的是（ ）
A．①② B．②④ C．①②④ D．①②③④
【分析】如图，通过证明△AOE≌△DOE得到∠OAE＝∠ODE＝90°，易证得ED是⊙O的切线；证得OE是△ABC的中位线，证得BC＝2OE，由OE∥BC，证得∠AEO＝∠C，通过三角形全等证得∠DEO＝∠C，∠ODE＝∠OAE＝90°，从而∠ODE＝∠ADC＝90°，从而证得△EOD∽△CAD．
【解答】证明：如图，连接OD．
∵AC⊥AB，
∴∠BAC＝90°，即∠OAE＝90°．
在△AOE与△DOE中，
，
∴△AOE≌△DOE（SSS），
∴∠OAE＝∠ODE＝90°，即OD⊥ED．
又∵OD是⊙O的半径，
∴ED是⊙O的切线；
∵AB是直径，
∴AD⊥BC，
∴∠DAE+∠C＝90°，
∵AE＝DE，
∴∠DAE＝∠ADE，
∵∠ADE+∠EDC＝90°，
∴∠EDC＝∠C，
∴DE＝EC，
∴AE＝EC，
∵OA＝OB，
∴OE∥BC，BC＝2OE，
∴∠AEO＝∠C，
∵△AOE≌△DOE，
∴∠DEO＝∠C，∠ODE＝∠OAE＝90°，
∴∠ODE＝ADC＝90°，
∴△EOD∽△CAD．
∴正确的①②④，
故选：C．
14．如图，直线l1∥l2，⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B．点M和点N分别是l1和l2上的动点，MN沿l1和l2平移．⊙O的半径为1，∠1＝60°．下列结论错误的是（ ）
A．
B．l1和l2的距离为2
C．若∠MON＝90°，则MN与⊙O相切
D．若MN与⊙O相切，则
【分析】首先过点N作NC⊥AM于点C，直线l1∥l2，⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B，⊙O的半径为1，易求得MN＝＝，l1和l2的距离为2；
若∠MON＝90°，连接NO并延长交MA于点C，易证得CO＝NO，继而可得即O到MN的距离等于半径，可证得MN与⊙O相切；
由题意可求得若MN与⊙O相切，则AM＝或．
【解答】解：如图1，过点N作NC⊥AM于点C，
∵直线l1∥l2，⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B，⊙O的半径为1，
∴CN＝AB＝2，
∵∠1＝60°，
∴MN＝＝，
故A与B正确；
如图3，
若∠MON＝90°，连接NO并延长交MA于点C，则△AOC≌△BON，
故CO＝NO，△MON≌△MOM′，故MN上的高为1，即O到MN的距离等于半径．
故C正确；
如图2，∵MN是切线，⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B，
∴∠AMO＝∠1＝30°，
∴AM＝；
∵∠AM′O＝60°，
∴AM′＝，
∴若MN与⊙O相切，则AM＝或；
故D错误．
故选：D．
15．如图，PA、PB、DE分别与⊙O相切，若∠P＝40°，则∠DOE等于（ ）度．
A．40 B．50 C．70 D．80
【分析】连接OA、OB、OF，由切线的性质得∠AOB＝140°，再由切线长定理求得∠DOE的度数．
【解答】解：连接OA、OB、OF，
∵∠P＝40°，
∴∠AOB＝140°，
∵PA、PB、DE分别与⊙O相切，
∴∠AOD＝∠FOD，∠BOE＝∠FOE，
∴∠DOE＝∠AOB＝×140°＝70°．
故选：C．
16．如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，下列结论一定正确的有（ ）个：
①AF＝BG；②CG＝CH；③AB+CD＝AD+BC；④BG＜CG．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据切线长定理得到AF＝AE，BF＝BG，CG＝CH，DH＝DE，则AB+CD＝AF+BF+CH+DH＝AE+BG+CG+DE＝AD+BC．
【解答】解：∵⊙O是四边形ABCD的内切圆，
∴AF＝AE，BF＝BG，CG＝CH，DH＝DE，
∴AB+CD＝AF+BF+CH+DH＝AE+BG+CG+DE＝AD+BC．
①AF＝BG；④BG＜CG无法判断．
正确的有②③
故选：B．
17．如图，PAB为⊙O的割线，且PA＝AB＝3，PO交⊙O于点C，若PC＝2，则⊙O的半径的长为（ ）
A． B． C． D．7
【分析】延长PO交圆于点D，利用割线定理求解；也可作OD⊥AB于D，根据垂径定理和勾股定理求解．
【解答】解法一：延长PO交圆于点D
利用割线定理可知PA?PB＝PC?PD，求得PD＝9，
所以CD＝7，半径＝3.5．
解法二：作OD⊥AB于D，根据垂径定理和勾股定理求解．
故选：A．
18．如图，点I是△ABC的内心，若∠AIB＝125°，则∠C等于（ ）
A．65° B．70° C．75° D．80°
【分析】根据三角形内角和定理得到∠IAB+∠IBA＝55°，根据内心的概念得到∠CAB+∠ABC＝110°，根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：∵∠AIB＝125°，
∴∠IAB+∠IBA＝55°，
∵点I是△ABC的内心，
∴∠IAB＝∠CAB，∠IBA＝∠ABC，
∴∠CAB+∠ABC＝110°，
∴∠C＝180°﹣（∠CAB+∠ABC）＝70°，
故选：B．
19．如图，有一个边长为2cm的正六边形纸片，若在该纸片上剪一个最大圆形，则这个圆形纸片的直径是（ ）
A．cm B．2cm C．2cm D．4cm
【分析】根据题意画出图形，再根据正多边形圆心角的求法求出∠AOB的度数，最后根据等腰三角形及直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：如图所示，正六边形的边长为2cm，OG⊥BC，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC＝360°÷6＝60°，
∵OB＝OC，OG⊥BC，
∴∠BOG＝∠COG＝＝30°，
∵OG⊥BC，OB＝OC，BC＝2cm，
∴BG＝BC＝×2＝1cm，
∴OB＝＝2cm，
∴OG＝＝＝，
∴圆形纸片的直径为2cm，
故选：B．
20．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作交OB于点D．若OA＝4，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．+ B．+2 C．+ D．2+
【分析】连接OE、AE，根据点C为OC的中点可得∠CEO＝30°，继而可得△AEO为等边三角形，求出扇形AOE的面积，最后用扇形AOB的面积减去扇形COD的面积，再减去S空白AEC即可求出阴影部分的面积．
【解答】解：连接OE、AE，
∵点C为OA的中点，
∴EO＝2OC，
∴∠CEO＝30°，∠EOC＝60°，
∴△AEO为等边三角形，
∴S扇形AOE＝＝，
∴S阴影＝S扇形AOB﹣S扇形COD﹣（S扇形AOE﹣S△COE）
＝﹣﹣（﹣）
＝4π﹣π﹣+2
＝+2
故选：B．
二．填空题（共9小题）
21．如图，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，分别以它的三边为直径向上作三个半圆，则阴影部分面积为 6 ．（不取近似值）
【分析】阴影部分的面积等于中间直角三角形的面积加上两个小半圆的面积，减去其中下面面积较大的半圆的面积．
【解答】解：以BC为直径的半圆的面积是2π，以AC为直径的半圆的面积是π（）2＝，以AB为直径的面积是×π（）2＝，△ABC的面积是6，因而阴影部分的面积是2π++6﹣＝6．
22．如图，在坐标系中以原点为圆心，半径为2的圆，直线y＝kx﹣（k+1）与⊙O有两个交点A、B，则AB的最短长度是 2 ．
【分析】易知直线y＝kx﹣3k+4过定点D（1，﹣1），运用勾股定理可求出OD，由于过圆内定点D的所有弦中，与OD垂直的弦最短，因此只需运用垂径定理及勾股定理就可解决问题
【解答】解：∵直线y＝kx﹣（k+1）可化为y＝（x﹣1）k﹣1，
∴此直线恒过点（1，﹣1）．
过点D作DH⊥x轴于点H，
∵OH＝1，DH＝1，OD＝＝＝．
∵OB＝2，
∴BD＝＝＝，
∴AB＝2．
故答案为：2．
23．为改善市区人居环境，某市建设污水管网工程，已知圆柱形污水管的直径为50cm，截面如图所示，当管内污水的面宽AB＝40cm时，污水的最大深度为 10 cm．
【分析】根据垂径定理和勾股定理求解．
【解答】解：如图1，作弦的弦心距，连接一条半径，
根据垂径定理，得半弦是20cm，
根据勾股定理，得弦心距是15cm，
则污水的最大深度是25﹣15＝10cm；
故答案为10．
24．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO＝40°，则∠ACB的大小为 130° ．
【分析】根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠AOB，根据圆周角定理计算即可．
【解答】解：∵OA＝OB，∠ABO＝40°，
∴∠AOB＝100°，
∴∠ACB＝×（360°﹣100°）＝130°，
故答案为：130°．
25．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点D为的中点，若∠B＝50°，则∠A的度数为 65 度．
【分析】连接OD、OC，根据圆周角定理求出∠AOC＝100°，根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：连接OD、OC，
∵点D为的中点，
∴∠AOD＝∠COD，
∵∠B＝50°，
∴∠AOC＝100°，
∴∠AOD＝∠COD＝50°，
∴∠A＝∠ODA＝65°，
故答案为：65．
26．如图，在⊙O中，弦AB平分弦CD于E，若CD＝8，AE：EB＝1：4，则弦AB＝ 10 ．
【分析】设AE＝x，则EB＝4x，由弦AB平分弦CD于E，得到CE＝DE＝CD＝4，再根据相交弦定理得x?4x＝4?4，解得x＝2或x＝﹣2（舍去），然后计算5x即可．
【解答】解：设AE＝x，则EB＝4x，
∵弦AB平分弦CD于E，
∴CE＝DE＝CD＝×8＝4，
∵AE?BE＝CE?DE，
即x?4x＝4?4，解得x＝2或x＝﹣2（舍去），
∴AB＝AE+BE＝5x＝10．
故答案为10．
27．已知点P在半径为5的⊙O外，如果设OP＝x，那么x的取值范围是 x＞5 ．
【分析】根据点在圆外的判断方法得到x的取值范围．
【解答】解：∵点P在半径为5的⊙O外，
∴OP＞5，即x＞5．
故答案为x＞5．
28．若A（1，2），B（3，﹣3），C（x，y）三点可以确定一个圆，则x、y需要满足的条件是 5x+2y≠9 ．
【分析】能确定一个圆就是不在同一直线上，首先确定直线AB的解析式，然后点C不满足求得的直线即可；
【解答】解：设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∵A（1，2），B（3，﹣3），
∴，
解得：k＝﹣，b＝，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+，
∵点A（1，2），B（3，﹣3），C（x，y）三点可以确定一个圆时，
∴点C不在直线AB上，
∴5x+2y≠9，
故答案为：5x+2y≠9．
29．△ABC的三边分别是3，4，5，则△ABC的外接圆的半径是 ．
【分析】根据勾股定理逆定理得到△ABC是直角三角形，根据圆周角定理解答．
【解答】解：∵32+42＝25，52＝25，
∴32+42＝52，
∴△ABC是直角三角形，
∴△ABC的外接圆的半径为，
故答案为：．
三．解答题（共11小题）
30．已知；如图，在⊙O中，C、D分别是半径OA、BO的中点，求证：AD＝BC．
【分析】首先证明OC＝OD，再证明△OCB≌△ODA，进而得到AD＝BC．
【解答】解：∵OA、OB是⊙O的两条半径，
∴AO＝BO，
∵C、D分别是半径OA、BO的中点，
∴OC＝OD，
在△OCB和△ODA中，
，
∴△OCB≌△ODA（SAS），
∴AD＝BC．
31．如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连接AD．
（1）求证：AD＝AN；
（2）若AB＝8，ON＝1，求⊙O的半径．
【分析】（1）先根据圆周角定理得出∠BAD＝∠BCD，再由直角三角形的性质得出∠ANE＝∠CNM，故可得出∠BCD＝∠BAM，由全等三角形的判定定理得出△ANE≌△ADE，故可得出结论；
（2）先根据垂径定理求出AE的长，设NE＝x，则OE＝x﹣1，NE＝ED＝x，r＝OD＝OE+ED＝2x﹣1连结AO，则AO＝OD＝2x﹣1，在Rt△AOE中根据勾股定理可得出x的值，进而得出结论．
【解答】（1）证明：∵CD⊥AB
∴∠CEB＝90°
∴∠C+∠B＝90°，
同理∠C+∠CNM＝90°
∴∠CNM＝∠B
∵∠CNM＝∠AND
∴∠AND＝∠B，
∵，
∴∠D＝∠B，
∴∠AND＝∠D，
∴AN＝AD；
（2）解：设OE的长为x，连接OA
∵AN＝AD，CD⊥AB
∴DE＝NE＝x+1，
∴OD＝OE+ED＝x+x+1＝2x+1，
∴OA＝OD＝2x+1，
∴在Rt△OAE中OE2+AE2＝OA2，
∴x2+42＝（2x+1）2．
解得x＝或x＝﹣3（不合题意，舍去），
∴OA＝2x+1＝2×+1＝，
即⊙O的半径为．
32．如图，一面墙上有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接矩形，已知矩形的高AC＝2米，宽CD＝米．
（1）求此圆形门洞的半径；
（2）求要打掉墙体的面积．
【分析】（1）先证得BC是直径，在直角三角形BCD中，由BD与CD的长，利用勾股定理求出BC的长，即可求得半径；
（2）打掉墙体的面积＝2（S扇形OAC﹣S△AOC）+S扇形OAB﹣S△AOB，根据扇形的面积和三角形的面积求出即可．
【解答】解：（1）连结AD、BC，
∵∠BDC＝90°，
∴BC是直径，
∴BC＝＝
∴圆形门洞的半径为．
（2）取圆心O，连结OA．由上题可知，OA＝OB＝AB＝，
∴△AOB是正三角形，
∴∠AOB＝60°，∠AOC＝120°，
∴S△AOB＝，S△AOC＝
∴S＝2（S扇形OAC﹣S△AOC）+S扇形OAB﹣S△AOB
＝2（﹣）+（﹣）
＝π﹣
∴打掉墙体面积为π﹣平方米．
33．如图，边长为2的正方形ABCD各边的延长线和反向延长线与⊙O的交点把⊙O分成8条相等的弧，则⊙O的半径是 ．
【分析】连接MN，EW，MW，QM，证四边形QMNW和BWNC是矩形，推出WN＝QM＝EW＝2，根据勾股定理求出BE＝BW＝，在Rt△MQW中根据勾股定理求出半径即可．
【解答】解：连接MN，EW，MW，QM，
∵弧QM＝弧WN，
∴QM∥WN，QM＝WN，∠WNM＝×360°×4×＝90°，
∴四边形QMNW是矩形，
∴O在MW上，
∵正方形ABCD，
∴∠WBC＝∠BCN＝90°，
∴四边形BCNW是矩形，
∴WN＝QM＝EW＝2，
∵∠BEW＝∠EWB＝45°，
∴由勾股定理得：EB＝BW＝，
同理AQ＝，
设圆O的半径是r，
在Rt△MQW中，由勾股定理得：MQ2+QW2＝MW2，
∴22+＝（2r）2
r＝，
故答案为：．
34．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，＝，AC为直径，DE⊥BC，垂足为E．
（1）求证：CD平分∠ACE；
（2）若AC＝9，CE＝3，求CD的长．
【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到∠DCE＝∠BAD，根据圆周角定理得到∠ACD＝∠BAD，证明即可；
（2）证明△DCE∽△ACD，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是⊙O内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∵∠BCD+∠DCE＝180°，
∴∠DCE＝∠BAD，
∵＝，
∴∠BAD＝∠ACD，
∴∠DCE＝∠ACD，
∴CD平分∠ACE；
（2）解：∵AC为直径，
∴∠ADC＝90°，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC＝90°，
∴∠DEC＝∠ADC，
∵∠DCE＝∠ACD，
∴△DCE∽△ACD，
∴＝，即＝，
∴CD＝3．
35．如图，以点O′（1，1）为圆心，OO′为半径画圆，判断点P（﹣1，1），点Q（1，0），点R（2，2）和⊙O′的位置关系．
【分析】点与圆的位置关系由三种：设点到圆心的距离为d，则当d＝r时，点在圆上；当d＞r时，点在圆外；当d＜r时，点在圆内．
【解答】解：∵OO′＝r＝＝，O′P＝＝2
同理可得：O′Q＝1，O′R＝，
∴O′P＞r，点P在⊙O′外；
O′Q＜r，点Q在⊙O′内；
O′R＝r，点R在⊙O′上．
36．如图，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC交于点E，连接AD．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若∠BAC＝60°，OA＝2，求阴影部分的面积（结果保留π）．
【分析】（1）由Rt△ABC中，∠C＝90°，⊙O切BC于D，易证得AC∥OD，继而证得AD平分∠CAB．
（2）如图，连接ED，根据（1）中AC∥OD和菱形的判定与性质得到四边形AEDO是菱形，则△AEM≌△DMO，则图中阴影部分的面积＝扇形EOD的面积．
【解答】（1）证明：∵⊙O切BC于D，
∴OD⊥BC，
∵AC⊥BC，
∴AC∥OD，
∴∠CAD＝∠ADO，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ADO，
∴∠OAD＝∠CAD，
即AD平分∠CAB；
（2）设EO与AD交于点M，连接ED．
∵∠BAC＝60°，OA＝OE，
∴△AEO是等边三角形，
∴AE＝OA，∠AOE＝60°，
∴AE＝AO＝OD，
又由（1）知，AC∥OD即AE∥OD，
∴四边形AEDO是菱形，则△AEM≌△DMO，∠EOD＝60°，
∴S△AEM＝S△DMO，
∴S阴影＝S扇形EOD＝＝π．
37．如图，PA，PB分别为⊙O的切线，AC为直径，切点分别为A、B，∠P＝70°，则∠C＝ 55° ．
【分析】由切线长定理，得△PAB为等腰三角形，可求得∠PAB的度数，再由切线的性质求出∠OAB，再由直径所对的圆周角等于90°和三角形的内角和定理，求得∠C即可．
【解答】解：∵PA，PB分别为⊙O的切线，∴PA＝PB，
∵∠P＝70°，∴∠PAB＝（180°﹣70°）＝55°，
∴∠OAB＝90°﹣55°＝35°，
∵AC为直径，∴∠ABC＝90°，
∴∠C＝180°﹣90°﹣35°
＝55°，
故答案为55°．
38．如图，在⊙O上依次有A、B、C三点，BO的延长线交⊙O于E，，过点C作CD∥AB交BE的延长线于D，AD交⊙O于点F．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）连接OA、OF，若∠AOF＝3∠FOE且AF＝3，求劣弧的长．
【分析】（1）先根据圆的性质得：∠CBD＝∠ABD，由平行线的性质得：∠ABD＝∠CDB，根据直径和等式的性质得：，由一组对边平行且相等可得四边形ABCD是平行四边形，由AB＝BC可得结论；
（2）先设∠FOE＝x，则∠AOF＝3x，根据∠ABC+∠BAD＝180°，列方程得：4x+2x+（180﹣3x）＝180，求出x的值，接着求所对的圆心角和半径的长，根据弧长公式可得结论．
【解答】（1）证明：∵，
∴∠CBD＝∠ABD，
∵CD∥AB，
∴∠ABD＝∠CDB，
∴∠CBD＝∠CDB，
∴CB＝CD，
∵BE是⊙O的直径，
∴，
∴AB＝BC＝CD，
∵CD∥AB，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）∵∠AOF＝3∠FOE，
设∠FOE＝x，则∠AOF＝3x，
∠AOD＝∠FOE+∠AOF＝4x，
∵OA＝OF，
∴∠OAF＝∠OFA＝（180﹣3x）°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝2x，
∴∠ABC＝4x，
∵BC∥AD，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∴4x+2x+（180﹣3x）＝180，
x＝20°，
∴∠AOF＝3x＝60°，∠AOE＝80°，
∴∠COF＝80°×2﹣60°＝100°，
∵OA＝OF，
∴△AOF是等边三角形，
∴OF＝AF＝3，
∴的长＝＝．
39．如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠DAB＝45°，BC∥AD，CD∥AB．若⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
【分析】阴影部分的面积可由梯形OBCD和扇形OBD的面积差求得；扇形的半径和圆心角已求得，那么关键是求出梯形上底CD的长，可通过证四边形ABCD是平行四边形，得出CD＝AB，由此可求出CD的长，即可得解．
【解答】解：∵BC∥AD，CD∥AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝2
∴S梯形OBCD＝＝；
∴图中阴影部分的面积等于S梯形OBCD﹣S扇形OBD＝﹣×π×12＝﹣．
40．如图，已知⊙O半径为10cm，弦AB垂直平分半径OC，并交OC于点D．
（1）求弦AB的长；
（2）求弧AB的长，并求出图中阴影部分面积．
【分析】（1）先利用垂径定理得出AB＝2BD，∠ODB＝90°，OD＝OC＝5，进而根据勾股定理求出BD，即可得出结论；
（2）先利用锐角三角函数求出∠BOD＝60°，最后利用扇形的弧长公式和扇形的面积公式即可得出结论．
【解答】解：（1）如图，⊙O半径为10cm，
∴OB＝OC＝10，
∵弦AB垂直平分半径OC，
∴AB＝2BD，∠ODB＝90°，OD＝OC＝5，
在Rt△BOD中，根据勾股定理得，BD＝＝5，
∴AB＝2BD＝10cm；
（2）由（1）知，OD＝5，
在Rt△BOD中，cos∠BOD＝＝，
∴∠BOD＝60°，
∵OC⊥AB，
∴∠AOB＝2∠BOD＝120°，
∴＝＝＝cm，
S阴影＝S扇形AOB﹣S△AOB＝﹣AB×OD＝﹣×＝﹣25（cm2）．
一．选择题（共20小题）
1．如图，AB是⊙O的直径，AB＝10，P是半径OA上的一动点，PC⊥AB交⊙O于点C，在半径OB上取点Q，使得OQ＝CP，DQ⊥AB交⊙O于点D，点C，D位于AB两侧，连接CD交AB于点F，点P从点A出发沿AO向终点O运动，在整个运动过程中，△CFP与△DFQ的面积和的变化情况是（ ）
A．一直减小 B．一直不变
C．先变大后变小 D．先变小后变大
2．如图中正方形、矩形、圆的面积相等，则周长L的大小关系是（ ）
A．LA＞LB＞LC B．LA＜LB＜LC C．LB＞LC＞LA D．LC＜LA＜LB
3．某品牌婴儿罐装奶粉圆形桶口如图所示，它的内直径（⊙O直径）为10cm，弧AB的度数约为90°，则弓形铁片ACB（阴影部分） 的面积约为（ ）
A．（π﹣）cm2 B．（π﹣25）cm2
C．（π﹣）cm2 D．（25π﹣）cm2
4．已知AB、CD是两个不同圆的弦，如AB＝CD，那么与的关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
5．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在圆上，若∠D＝45°，则tan∠ABC等于（ ）
A． B． C．1 D．
6．如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，则∠BOD的大小是（ ）
A．80° B．120° C．100° D．90°
7．如图，AB为⊙O的直径，AB＝10cm，弦CD⊥AB，垂足为E，且AE：EB＝2：3，则AC＝（ ）
A．3cm B．4cm C．cm D．cm
8．一个点到圆的最小距离为4cm，最大距离为9cm，则该圆的半径是（ ）
A．2.5cm或6.5cm B．2.5cm
C．6.5cm D．5cm或13cm
9．考虑下面六个命题（1）任意三点确定一个圆；（2）平分弦的直径垂直于弦，且平分这条弦所对的弧；（3）90°的圆周角所对的弦是直径；（4）同弧或等弧所对的圆周角相等；（5）相等的圆周角所对的弧相等．其中正确的命题有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．已知：点A（0，4），B（0，﹣6），C为x轴正半轴上一点，且满足∠ACB＝45°，则（ ）
A．△ABC外接圆的圆心在OC上
B．∠BAC＝60°
C．△ABC外接圆的半径等于5
D．OC＝12
11．已知圆O的半径为3cm，点P是直线l上的一点，且OP＝3cm，则直线l与圆O的位置关系为（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．不能确定
12．如图，点O′在第一象限，⊙O′与x轴相切于H点，与y轴相交于A（0，2），B（0，8），则点O′的坐标是（ ）
A．（6，4） B．（4，6） C．（5，4） D．（4，5）
13．如下图，已知⊙O的直径为AB，AC⊥AB于点A，BC与⊙O相交于点D，在AC上取一点E，使得ED＝EA．下面四个结论：
①ED是⊙O的切线；②BC＝2OE；③△BOD为等边三角形；④△EOD∽△CAD
正确的是（ ）
A．①② B．②④ C．①②④ D．①②③④
14．如图，直线l1∥l2，⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B．点M和点N分别是l1和l2上的动点，MN沿l1和l2平移．⊙O的半径为1，∠1＝60°．下列结论错误的是（ ）
A．
B．l1和l2的距离为2
C．若∠MON＝90°，则MN与⊙O相切
D．若MN与⊙O相切，则
15．如图，PA、PB、DE分别与⊙O相切，若∠P＝40°，则∠DOE等于（ ）度．
A．40 B．50 C．70 D．80
16．如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，下列结论一定正确的有（ ）个：
①AF＝BG；②CG＝CH；③AB+CD＝AD+BC；④BG＜CG．
A．1 B．2 C．3 D．4
17．如图，PAB为⊙O的割线，且PA＝AB＝3，PO交⊙O于点C，若PC＝2，则⊙O的半径的长为（ ）
A． B． C． D．7
18．如图，点I是△ABC的内心，若∠AIB＝125°，则∠C等于（ ）
A．65° B．70° C．75° D．80°
19．如图，有一个边长为2cm的正六边形纸片，若在该纸片上剪一个最大圆形，则这个圆形纸片的直径是（ ）
A．cm B．2cm C．2cm D．4cm
20．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作交OB于点D．若OA＝4，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．+ B．+2 C．+ D．2+
二．填空题（共9小题）
21．如图，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，分别以它的三边为直径向上作三个半圆，则阴影部分面积为 ．（不取近似值）
22．如图，在坐标系中以原点为圆心，半径为2的圆，直线y＝kx﹣（k+1）与⊙O有两个交点A、B，则AB的最短长度是 ．
23．为改善市区人居环境，某市建设污水管网工程，已知圆柱形污水管的直径为50cm，截面如图所示，当管内污水的面宽AB＝40cm时，污水的最大深度为 cm．
24．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO＝40°，则∠ACB的大小为 ．
25．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点D为的中点，若∠B＝50°，则∠A的度数为 度．
26．如图，在⊙O中，弦AB平分弦CD于E，若CD＝8，AE：EB＝1：4，则弦AB＝ ．
27．已知点P在半径为5的⊙O外，如果设OP＝x，那么x的取值范围是 ．
28．若A（1，2），B（3，﹣3），C（x，y）三点可以确定一个圆，则x、y需要满足的条件是 ．
29．△ABC的三边分别是3，4，5，则△ABC的外接圆的半径是 ．
三．解答题（共11小题）
30．已知；如图，在⊙O中，C、D分别是半径OA、BO的中点，求证：AD＝BC．
31．如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连接AD．
（1）求证：AD＝AN；
（2）若AB＝8，ON＝1，求⊙O的半径．
32．如图，一面墙上有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接矩形，已知矩形的高AC＝2米，宽CD＝米．
（1）求此圆形门洞的半径；
（2）求要打掉墙体的面积．
33．如图，边长为2的正方形ABCD各边的延长线和反向延长线与⊙O的交点把⊙O分成8条相等的弧，则⊙O的半径是 ．
34．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，＝，AC为直径，DE⊥BC，垂足为E．
（1）求证：CD平分∠ACE；
（2）若AC＝9，CE＝3，求CD的长．
35．如图，以点O′（1，1）为圆心，OO′为半径画圆，判断点P（﹣1，1），点Q（1，0），点R（2，2）和⊙O′的位置关系．
36．如图，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC交于点E，连接AD．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若∠BAC＝60°，OA＝2，求阴影部分的面积（结果保留π）．
37．如图，PA，PB分别为⊙O的切线，AC为直径，切点分别为A、B，∠P＝70°，则∠C＝ ．
38．如图，在⊙O上依次有A、B、C三点，BO的延长线交⊙O于E，，过点C作CD∥AB交BE的延长线于D，AD交⊙O于点F．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）连接OA、OF，若∠AOF＝3∠FOE且AF＝3，求劣弧的长．
39．如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠DAB＝45°，BC∥AD，CD∥AB．若⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
40．如图，已知⊙O半径为10cm，弦AB垂直平分半径OC，并交OC于点D．
（1）求弦AB的长；
（2）求弧AB的长，并求出图中阴影部分面积．
参考答案与试题解析
一．选择题（共20小题）
1．如图，AB是⊙O的直径，AB＝10，P是半径OA上的一动点，PC⊥AB交⊙O于点C，在半径OB上取点Q，使得OQ＝CP，DQ⊥AB交⊙O于点D，点C，D位于AB两侧，连接CD交AB于点F，点P从点A出发沿AO向终点O运动，在整个运动过程中，△CFP与△DFQ的面积和的变化情况是（ ）
A．一直减小 B．一直不变
C．先变大后变小 D．先变小后变大
【分析】连接OC，OD，PD，CQ．设PC＝x，OP＝y，OF＝a，利用分割法求出阴影部分的面积，再求出a＝y﹣x即可判断；
【解答】解：连接OC，OD，PD，CQ．设PC＝x，OP＝y，OF＝a，
∵PC⊥AB，QD⊥AB，
∴∠CPO＝∠OQD＝90°，
∵PC＝OQ，OC＝OD，
∴Rt△OPC≌Rt△DQO，
∴OP＝DQ＝y，
∴S阴＝S四边形PCQD﹣S△PFD﹣S△CFQ＝（x+y）2﹣?（y﹣a）y﹣（x+a）x＝xy+a（y﹣x），
∵PC∥DQ，
∴＝，
∴＝，
∴a＝y﹣x，
∴S阴＝xy+（y﹣x）（y﹣x）＝（x2+y2）＝
故选：B．
2．如图中正方形、矩形、圆的面积相等，则周长L的大小关系是（ ）
A．LA＞LB＞LC B．LA＜LB＜LC C．LB＞LC＞LA D．LC＜LA＜LB
【分析】设相同的面积为未知数，进而判断出相应的周长，比较即可．
【解答】解：设面积是S．
则正方形的边长是，则周长LA＝4＝＝4；
长方形的一边长x，则另一边长为，则周长LB＝2（x+），
∵（x+）2≥0
∴x+≥2，
∴LB≥4，
即LB≥；
圆的半径为，LC＝2π×＝，
∵＜，
∴LC＜LA＜LB．
故选：D．
3．某品牌婴儿罐装奶粉圆形桶口如图所示，它的内直径（⊙O直径）为10cm，弧AB的度数约为90°，则弓形铁片ACB（阴影部分） 的面积约为（ ）
A．（π﹣）cm2 B．（π﹣25）cm2
C．（π﹣）cm2 D．（25π﹣）cm2
【分析】连接OA、OB，根据已知求出OA＝OB＝5cm，∠BOA＝90°，分别求出扇形BOA和△BOA的面积即可．
【解答】解：
连接OA、OB，
∵品牌婴儿罐装奶粉圆形桶口如图所示，它的内直径（⊙O直径）为10cm，弧AB的度数约为90°，
∴OA＝OB＝5cm，∠BOA＝90°，
∴阴影部分的面积S＝S扇形BOA﹣S△BOA＝﹣＝（π﹣）cm2，
故选：A．
4．已知AB、CD是两个不同圆的弦，如AB＝CD，那么与的关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
【分析】根据在同圆和等圆中相等的弦所对的弧相等分析，从而得到答案．
【解答】解：在同圆和等圆中相等的弦所对的弧才会相等，要注意同圆和的条件，本题是两个不同的圆，所以无法判断两弦所对的弧的大小，故选D．
5．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在圆上，若∠D＝45°，则tan∠ABC等于（ ）
A． B． C．1 D．
【分析】连接AC，如图，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，∠A＝∠D＝45°，则利用互余得到∠ABC＝45°，然后根据特殊角的三角函数值求解．
【解答】解：连接AC，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠A＝∠D＝45°，
∴∠ABC＝45°，
∴tan∠ABC＝tan45°＝1．
故选：C．
6．如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，则∠BOD的大小是（ ）
A．80° B．120° C．100° D．90°
【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A，再根据圆周角定理解答．
【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠A＝180°﹣∠BCD＝60°，
由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝120°，
故选：B．
7．如图，AB为⊙O的直径，AB＝10cm，弦CD⊥AB，垂足为E，且AE：EB＝2：3，则AC＝（ ）
A．3cm B．4cm C．cm D．cm
【分析】由垂径定理得到CE＝DE，又根据相交弦定理得到CE?ED＝AE?EB，即CE2＝AE?BE，可求得CE，再由勾股定理求出AC即可．
【解答】解：∵CD⊥AB，∴CE＝DE，
∴CE2＝AE?BE，
∵AB＝10cm，且AE：EB＝2：3，
∴AE＝4cm，EB＝6cm，
∴CE＝2cm，
∴AC＝＝＝2cm．
故选：D．
8．一个点到圆的最小距离为4cm，最大距离为9cm，则该圆的半径是（ ）
A．2.5cm或6.5cm B．2.5cm
C．6.5cm D．5cm或13cm
【分析】设此点为P点，圆为⊙O，最大距离为PB，最小距离为PA，有两种情况：①当此点在圆内；②当此点在圆外；分别求出半径值即可．
【解答】解：设此点为P点，圆为⊙O，最大距离为PB，最小距离为PA，则：
∵此点与圆心的连线所在的直线与圆的交点即为此点到圆心的最大、最小距离
∴有两种情况：
当此点在圆内时，如图所示，
半径OB＝（PA+PB）÷2＝6.5cm；
当此点在圆外时，如图所示，
半径OB＝（PB﹣PA）÷2＝2.5cm；
故圆的半径为2.5cm或6.5cm
故选：A．
9．考虑下面六个命题（1）任意三点确定一个圆；（2）平分弦的直径垂直于弦，且平分这条弦所对的弧；（3）90°的圆周角所对的弦是直径；（4）同弧或等弧所对的圆周角相等；（5）相等的圆周角所对的弧相等．其中正确的命题有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据圆中的定理进行分析．
确定圆的定理：不在同一条直线上的三个点确定一个圆；
垂径定理的推论：平分弦（非直径）的直径垂直于弦，且平分这条弦所对的弧；
圆周角定理的推论：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，同弧或等弧所对的圆周角相等；
90°的圆周角所对的弦是直径．
【解答】解：根据圆中的定理及其推论，知
（1）当三点共线的时候不能确定一个圆，故错误；
（2）当该弦是直径的时候，不一定能够垂直，故错误；
（3）和（4）根据圆周角定理的推论，故正确；
（5）必须在同圆或等圆中，故错误．
故选：A．
10．已知：点A（0，4），B（0，﹣6），C为x轴正半轴上一点，且满足∠ACB＝45°，则（ ）
A．△ABC外接圆的圆心在OC上
B．∠BAC＝60°
C．△ABC外接圆的半径等于5
D．OC＝12
【分析】构造含有90°圆心角的⊙P，则⊙P与x轴的交点即为所求的点C．根据△PBA为等腰直角三角形，可得OF＝PE＝5，根据勾股定理得：CF＝7，进而得出OC．
【解答】解：设线段BA的中点为E，
∵点A（0，4），B（0，﹣6），
∴AB＝10，E（0，﹣1）．
如图所示，过点E在第四象限作EP⊥BA，且EP＝AB＝5，则
易知△PBA为等腰直角三角形，∠BPA＝90°，PA＝PB＝5；
以点P为圆心，PA（或PB）长为半径作⊙P，与y轴的正半轴交于点C，
∵∠BCA为⊙P的圆周角，
∴∠BCA＝∠BPA＝45°，即则点C即为所求．
过点P作PF⊥x轴于点F，则OF＝PE＝5，PF＝OE＝1，
在Rt△PFC中，PF＝1，PC＝5，
由勾股定理得：CF＝＝7，
∴OC＝OF+CF＝5+7＝12，
故选：D．
11．已知圆O的半径为3cm，点P是直线l上的一点，且OP＝3cm，则直线l与圆O的位置关系为（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．不能确定
【分析】直线和圆的位置关系与数量之间的联系：
若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．
【解答】解：因为垂线段最短，所以圆心到直线的距离小于等于3．
此时和半径3的大小不确定，则直线和圆相交、相切都有可能．
故选：D．
12．如图，点O′在第一象限，⊙O′与x轴相切于H点，与y轴相交于A（0，2），B（0，8），则点O′的坐标是（ ）
A．（6，4） B．（4，6） C．（5，4） D．（4，5）
【分析】过O'作O'C⊥AB于点C，过O'作O'D⊥x轴于点D，由切线的性质可求得O'D的长，则可得O'B的长，由垂径定理可求得CB的长，在Rt△O'BC中，由勾股定理可求得O'C的长，从而可求得O'点坐标．
【解答】解：
如图，过O'作O'C⊥AB于点C，过O'作O'D⊥x轴于点D，连接O'B，
∵O'为圆心，
∴AC＝BC，
∵A（0，2），B（0，8），
∴AB＝8﹣2＝6，
∴AC＝BC＝3，
∴OC＝8﹣3＝5，
∵⊙O'与x轴相切，
∴O'D＝O'B＝OC＝5，
在Rt△O'BC中，由勾股定理可得O'C＝＝4，
∴P点坐标为（4，5），
故选：D．
13．如下图，已知⊙O的直径为AB，AC⊥AB于点A，BC与⊙O相交于点D，在AC上取一点E，使得ED＝EA．下面四个结论：
①ED是⊙O的切线；②BC＝2OE；③△BOD为等边三角形；④△EOD∽△CAD
正确的是（ ）
A．①② B．②④ C．①②④ D．①②③④
【分析】如图，通过证明△AOE≌△DOE得到∠OAE＝∠ODE＝90°，易证得ED是⊙O的切线；证得OE是△ABC的中位线，证得BC＝2OE，由OE∥BC，证得∠AEO＝∠C，通过三角形全等证得∠DEO＝∠C，∠ODE＝∠OAE＝90°，从而∠ODE＝∠ADC＝90°，从而证得△EOD∽△CAD．
【解答】证明：如图，连接OD．
∵AC⊥AB，
∴∠BAC＝90°，即∠OAE＝90°．
在△AOE与△DOE中，
，
∴△AOE≌△DOE（SSS），
∴∠OAE＝∠ODE＝90°，即OD⊥ED．
又∵OD是⊙O的半径，
∴ED是⊙O的切线；
∵AB是直径，
∴AD⊥BC，
∴∠DAE+∠C＝90°，
∵AE＝DE，
∴∠DAE＝∠ADE，
∵∠ADE+∠EDC＝90°，
∴∠EDC＝∠C，
∴DE＝EC，
∴AE＝EC，
∵OA＝OB，
∴OE∥BC，BC＝2OE，
∴∠AEO＝∠C，
∵△AOE≌△DOE，
∴∠DEO＝∠C，∠ODE＝∠OAE＝90°，
∴∠ODE＝ADC＝90°，
∴△EOD∽△CAD．
∴正确的①②④，
故选：C．
14．如图，直线l1∥l2，⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B．点M和点N分别是l1和l2上的动点，MN沿l1和l2平移．⊙O的半径为1，∠1＝60°．下列结论错误的是（ ）
A．
B．l1和l2的距离为2
C．若∠MON＝90°，则MN与⊙O相切
D．若MN与⊙O相切，则
【分析】首先过点N作NC⊥AM于点C，直线l1∥l2，⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B，⊙O的半径为1，易求得MN＝＝，l1和l2的距离为2；
若∠MON＝90°，连接NO并延长交MA于点C，易证得CO＝NO，继而可得即O到MN的距离等于半径，可证得MN与⊙O相切；
由题意可求得若MN与⊙O相切，则AM＝或．
【解答】解：如图1，过点N作NC⊥AM于点C，
∵直线l1∥l2，⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B，⊙O的半径为1，
∴CN＝AB＝2，
∵∠1＝60°，
∴MN＝＝，
故A与B正确；
如图3，
若∠MON＝90°，连接NO并延长交MA于点C，则△AOC≌△BON，
故CO＝NO，△MON≌△MOM′，故MN上的高为1，即O到MN的距离等于半径．
故C正确；
如图2，∵MN是切线，⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B，
∴∠AMO＝∠1＝30°，
∴AM＝；
∵∠AM′O＝60°，
∴AM′＝，
∴若MN与⊙O相切，则AM＝或；
故D错误．
故选：D．
15．如图，PA、PB、DE分别与⊙O相切，若∠P＝40°，则∠DOE等于（ ）度．
A．40 B．50 C．70 D．80
【分析】连接OA、OB、OF，由切线的性质得∠AOB＝140°，再由切线长定理求得∠DOE的度数．
【解答】解：连接OA、OB、OF，
∵∠P＝40°，
∴∠AOB＝140°，
∵PA、PB、DE分别与⊙O相切，
∴∠AOD＝∠FOD，∠BOE＝∠FOE，
∴∠DOE＝∠AOB＝×140°＝70°．
故选：C．
16．如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，下列结论一定正确的有（ ）个：
①AF＝BG；②CG＝CH；③AB+CD＝AD+BC；④BG＜CG．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据切线长定理得到AF＝AE，BF＝BG，CG＝CH，DH＝DE，则AB+CD＝AF+BF+CH+DH＝AE+BG+CG+DE＝AD+BC．
【解答】解：∵⊙O是四边形ABCD的内切圆，
∴AF＝AE，BF＝BG，CG＝CH，DH＝DE，
∴AB+CD＝AF+BF+CH+DH＝AE+BG+CG+DE＝AD+BC．
①AF＝BG；④BG＜CG无法判断．
正确的有②③
故选：B．
17．如图，PAB为⊙O的割线，且PA＝AB＝3，PO交⊙O于点C，若PC＝2，则⊙O的半径的长为（ ）
A． B． C． D．7
【分析】延长PO交圆于点D，利用割线定理求解；也可作OD⊥AB于D，根据垂径定理和勾股定理求解．
【解答】解法一：延长PO交圆于点D
利用割线定理可知PA?PB＝PC?PD，求得PD＝9，
所以CD＝7，半径＝3.5．
解法二：作OD⊥AB于D，根据垂径定理和勾股定理求解．
故选：A．
18．如图，点I是△ABC的内心，若∠AIB＝125°，则∠C等于（ ）
A．65° B．70° C．75° D．80°
【分析】根据三角形内角和定理得到∠IAB+∠IBA＝55°，根据内心的概念得到∠CAB+∠ABC＝110°，根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：∵∠AIB＝125°，
∴∠IAB+∠IBA＝55°，
∵点I是△ABC的内心，
∴∠IAB＝∠CAB，∠IBA＝∠ABC，
∴∠CAB+∠ABC＝110°，
∴∠C＝180°﹣（∠CAB+∠ABC）＝70°，
故选：B．
19．如图，有一个边长为2cm的正六边形纸片，若在该纸片上剪一个最大圆形，则这个圆形纸片的直径是（ ）
A．cm B．2cm C．2cm D．4cm
【分析】根据题意画出图形，再根据正多边形圆心角的求法求出∠AOB的度数，最后根据等腰三角形及直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：如图所示，正六边形的边长为2cm，OG⊥BC，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC＝360°÷6＝60°，
∵OB＝OC，OG⊥BC，
∴∠BOG＝∠COG＝＝30°，
∵OG⊥BC，OB＝OC，BC＝2cm，
∴BG＝BC＝×2＝1cm，
∴OB＝＝2cm，
∴OG＝＝＝，
∴圆形纸片的直径为2cm，
故选：B．
20．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作交OB于点D．若OA＝4，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．+ B．+2 C．+ D．2+
【分析】连接OE、AE，根据点C为OC的中点可得∠CEO＝30°，继而可得△AEO为等边三角形，求出扇形AOE的面积，最后用扇形AOB的面积减去扇形COD的面积，再减去S空白AEC即可求出阴影部分的面积．
【解答】解：连接OE、AE，
∵点C为OA的中点，
∴EO＝2OC，
∴∠CEO＝30°，∠EOC＝60°，
∴△AEO为等边三角形，
∴S扇形AOE＝＝，
∴S阴影＝S扇形AOB﹣S扇形COD﹣（S扇形AOE﹣S△COE）
＝﹣﹣（﹣）
＝4π﹣π﹣+2
＝+2
故选：B．
二．填空题（共9小题）
21．如图，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，分别以它的三边为直径向上作三个半圆，则阴影部分面积为 6 ．（不取近似值）
【分析】阴影部分的面积等于中间直角三角形的面积加上两个小半圆的面积，减去其中下面面积较大的半圆的面积．
【解答】解：以BC为直径的半圆的面积是2π，以AC为直径的半圆的面积是π（）2＝，以AB为直径的面积是×π（）2＝，△ABC的面积是6，因而阴影部分的面积是2π++6﹣＝6．
22．如图，在坐标系中以原点为圆心，半径为2的圆，直线y＝kx﹣（k+1）与⊙O有两个交点A、B，则AB的最短长度是 2 ．
【分析】易知直线y＝kx﹣3k+4过定点D（1，﹣1），运用勾股定理可求出OD，由于过圆内定点D的所有弦中，与OD垂直的弦最短，因此只需运用垂径定理及勾股定理就可解决问题
【解答】解：∵直线y＝kx﹣（k+1）可化为y＝（x﹣1）k﹣1，
∴此直线恒过点（1，﹣1）．
过点D作DH⊥x轴于点H，
∵OH＝1，DH＝1，OD＝＝＝．
∵OB＝2，
∴BD＝＝＝，
∴AB＝2．
故答案为：2．
23．为改善市区人居环境，某市建设污水管网工程，已知圆柱形污水管的直径为50cm，截面如图所示，当管内污水的面宽AB＝40cm时，污水的最大深度为 10 cm．
【分析】根据垂径定理和勾股定理求解．
【解答】解：如图1，作弦的弦心距，连接一条半径，
根据垂径定理，得半弦是20cm，
根据勾股定理，得弦心距是15cm，
则污水的最大深度是25﹣15＝10cm；
故答案为10．
24．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO＝40°，则∠ACB的大小为 130° ．
【分析】根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠AOB，根据圆周角定理计算即可．
【解答】解：∵OA＝OB，∠ABO＝40°，
∴∠AOB＝100°，
∴∠ACB＝×（360°﹣100°）＝130°，
故答案为：130°．
25．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点D为的中点，若∠B＝50°，则∠A的度数为 65 度．
【分析】连接OD、OC，根据圆周角定理求出∠AOC＝100°，根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：连接OD、OC，
∵点D为的中点，
∴∠AOD＝∠COD，
∵∠B＝50°，
∴∠AOC＝100°，
∴∠AOD＝∠COD＝50°，
∴∠A＝∠ODA＝65°，
故答案为：65．
26．如图，在⊙O中，弦AB平分弦CD于E，若CD＝8，AE：EB＝1：4，则弦AB＝ 10 ．
【分析】设AE＝x，则EB＝4x，由弦AB平分弦CD于E，得到CE＝DE＝CD＝4，再根据相交弦定理得x?4x＝4?4，解得x＝2或x＝﹣2（舍去），然后计算5x即可．
【解答】解：设AE＝x，则EB＝4x，
∵弦AB平分弦CD于E，
∴CE＝DE＝CD＝×8＝4，
∵AE?BE＝CE?DE，
即x?4x＝4?4，解得x＝2或x＝﹣2（舍去），
∴AB＝AE+BE＝5x＝10．
故答案为10．
27．已知点P在半径为5的⊙O外，如果设OP＝x，那么x的取值范围是 x＞5 ．
【分析】根据点在圆外的判断方法得到x的取值范围．
【解答】解：∵点P在半径为5的⊙O外，
∴OP＞5，即x＞5．
故答案为x＞5．
28．若A（1，2），B（3，﹣3），C（x，y）三点可以确定一个圆，则x、y需要满足的条件是 5x+2y≠9 ．
【分析】能确定一个圆就是不在同一直线上，首先确定直线AB的解析式，然后点C不满足求得的直线即可；
【解答】解：设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∵A（1，2），B（3，﹣3），
∴，
解得：k＝﹣，b＝，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+，
∵点A（1，2），B（3，﹣3），C（x，y）三点可以确定一个圆时，
∴点C不在直线AB上，
∴5x+2y≠9，
故答案为：5x+2y≠9．
29．△ABC的三边分别是3，4，5，则△ABC的外接圆的半径是 ．
【分析】根据勾股定理逆定理得到△ABC是直角三角形，根据圆周角定理解答．
【解答】解：∵32+42＝25，52＝25，
∴32+42＝52，
∴△ABC是直角三角形，
∴△ABC的外接圆的半径为，
故答案为：．
三．解答题（共11小题）
30．已知；如图，在⊙O中，C、D分别是半径OA、BO的中点，求证：AD＝BC．
【分析】首先证明OC＝OD，再证明△OCB≌△ODA，进而得到AD＝BC．
【解答】解：∵OA、OB是⊙O的两条半径，
∴AO＝BO，
∵C、D分别是半径OA、BO的中点，
∴OC＝OD，
在△OCB和△ODA中，
，
∴△OCB≌△ODA（SAS），
∴AD＝BC．
31．如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连接AD．
（1）求证：AD＝AN；
（2）若AB＝8，ON＝1，求⊙O的半径．
【分析】（1）先根据圆周角定理得出∠BAD＝∠BCD，再由直角三角形的性质得出∠ANE＝∠CNM，故可得出∠BCD＝∠BAM，由全等三角形的判定定理得出△ANE≌△ADE，故可得出结论；
（2）先根据垂径定理求出AE的长，设NE＝x，则OE＝x﹣1，NE＝ED＝x，r＝OD＝OE+ED＝2x﹣1连结AO，则AO＝OD＝2x﹣1，在Rt△AOE中根据勾股定理可得出x的值，进而得出结论．
【解答】（1）证明：∵CD⊥AB
∴∠CEB＝90°
∴∠C+∠B＝90°，
同理∠C+∠CNM＝90°
∴∠CNM＝∠B
∵∠CNM＝∠AND
∴∠AND＝∠B，
∵，
∴∠D＝∠B，
∴∠AND＝∠D，
∴AN＝AD；
（2）解：设OE的长为x，连接OA
∵AN＝AD，CD⊥AB
∴DE＝NE＝x+1，
∴OD＝OE+ED＝x+x+1＝2x+1，
∴OA＝OD＝2x+1，
∴在Rt△OAE中OE2+AE2＝OA2，
∴x2+42＝（2x+1）2．
解得x＝或x＝﹣3（不合题意，舍去），
∴OA＝2x+1＝2×+1＝，
即⊙O的半径为．
32．如图，一面墙上有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接矩形，已知矩形的高AC＝2米，宽CD＝米．
（1）求此圆形门洞的半径；
（2）求要打掉墙体的面积．
【分析】（1）先证得BC是直径，在直角三角形BCD中，由BD与CD的长，利用勾股定理求出BC的长，即可求得半径；
（2）打掉墙体的面积＝2（S扇形OAC﹣S△AOC）+S扇形OAB﹣S△AOB，根据扇形的面积和三角形的面积求出即可．
【解答】解：（1）连结AD、BC，
∵∠BDC＝90°，
∴BC是直径，
∴BC＝＝
∴圆形门洞的半径为．
（2）取圆心O，连结OA．由上题可知，OA＝OB＝AB＝，
∴△AOB是正三角形，
∴∠AOB＝60°，∠AOC＝120°，
∴S△AOB＝，S△AOC＝
∴S＝2（S扇形OAC﹣S△AOC）+S扇形OAB﹣S△AOB
＝2（﹣）+（﹣）
＝π﹣
∴打掉墙体面积为π﹣平方米．
33．如图，边长为2的正方形ABCD各边的延长线和反向延长线与⊙O的交点把⊙O分成8条相等的弧，则⊙O的半径是 ．
【分析】连接MN，EW，MW，QM，证四边形QMNW和BWNC是矩形，推出WN＝QM＝EW＝2，根据勾股定理求出BE＝BW＝，在Rt△MQW中根据勾股定理求出半径即可．
【解答】解：连接MN，EW，MW，QM，
∵弧QM＝弧WN，
∴QM∥WN，QM＝WN，∠WNM＝×360°×4×＝90°，
∴四边形QMNW是矩形，
∴O在MW上，
∵正方形ABCD，
∴∠WBC＝∠BCN＝90°，
∴四边形BCNW是矩形，
∴WN＝QM＝EW＝2，
∵∠BEW＝∠EWB＝45°，
∴由勾股定理得：EB＝BW＝，
同理AQ＝，
设圆O的半径是r，
在Rt△MQW中，由勾股定理得：MQ2+QW2＝MW2，
∴22+＝（2r）2
r＝，
故答案为：．
34．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，＝，AC为直径，DE⊥BC，垂足为E．
（1）求证：CD平分∠ACE；
（2）若AC＝9，CE＝3，求CD的长．
【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到∠DCE＝∠BAD，根据圆周角定理得到∠ACD＝∠BAD，证明即可；
（2）证明△DCE∽△ACD，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是⊙O内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∵∠BCD+∠DCE＝180°，
∴∠DCE＝∠BAD，
∵＝，
∴∠BAD＝∠ACD，
∴∠DCE＝∠ACD，
∴CD平分∠ACE；
（2）解：∵AC为直径，
∴∠ADC＝90°，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC＝90°，
∴∠DEC＝∠ADC，
∵∠DCE＝∠ACD，
∴△DCE∽△ACD，
∴＝，即＝，
∴CD＝3．
35．如图，以点O′（1，1）为圆心，OO′为半径画圆，判断点P（﹣1，1），点Q（1，0），点R（2，2）和⊙O′的位置关系．
【分析】点与圆的位置关系由三种：设点到圆心的距离为d，则当d＝r时，点在圆上；当d＞r时，点在圆外；当d＜r时，点在圆内．
【解答】解：∵OO′＝r＝＝，O′P＝＝2
同理可得：O′Q＝1，O′R＝，
∴O′P＞r，点P在⊙O′外；
O′Q＜r，点Q在⊙O′内；
O′R＝r，点R在⊙O′上．
36．如图，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC交于点E，连接AD．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若∠BAC＝60°，OA＝2，求阴影部分的面积（结果保留π）．
【分析】（1）由Rt△ABC中，∠C＝90°，⊙O切BC于D，易证得AC∥OD，继而证得AD平分∠CAB．
（2）如图，连接ED，根据（1）中AC∥OD和菱形的判定与性质得到四边形AEDO是菱形，则△AEM≌△DMO，则图中阴影部分的面积＝扇形EOD的面积．
【解答】（1）证明：∵⊙O切BC于D，
∴OD⊥BC，
∵AC⊥BC，
∴AC∥OD，
∴∠CAD＝∠ADO，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ADO，
∴∠OAD＝∠CAD，
即AD平分∠CAB；
（2）设EO与AD交于点M，连接ED．
∵∠BAC＝60°，OA＝OE，
∴△AEO是等边三角形，
∴AE＝OA，∠AOE＝60°，
∴AE＝AO＝OD，
又由（1）知，AC∥OD即AE∥OD，
∴四边形AEDO是菱形，则△AEM≌△DMO，∠EOD＝60°，
∴S△AEM＝S△DMO，
∴S阴影＝S扇形EOD＝＝π．
37．如图，PA，PB分别为⊙O的切线，AC为直径，切点分别为A、B，∠P＝70°，则∠C＝ 55° ．
【分析】由切线长定理，得△PAB为等腰三角形，可求得∠PAB的度数，再由切线的性质求出∠OAB，再由直径所对的圆周角等于90°和三角形的内角和定理，求得∠C即可．
【解答】解：∵PA，PB分别为⊙O的切线，∴PA＝PB，
∵∠P＝70°，∴∠PAB＝（180°﹣70°）＝55°，
∴∠OAB＝90°﹣55°＝35°，
∵AC为直径，∴∠ABC＝90°，
∴∠C＝180°﹣90°﹣35°
＝55°，
故答案为55°．
38．如图，在⊙O上依次有A、B、C三点，BO的延长线交⊙O于E，，过点C作CD∥AB交BE的延长线于D，AD交⊙O于点F．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）连接OA、OF，若∠AOF＝3∠FOE且AF＝3，求劣弧的长．
【分析】（1）先根据圆的性质得：∠CBD＝∠ABD，由平行线的性质得：∠ABD＝∠CDB，根据直径和等式的性质得：，由一组对边平行且相等可得四边形ABCD是平行四边形，由AB＝BC可得结论；
（2）先设∠FOE＝x，则∠AOF＝3x，根据∠ABC+∠BAD＝180°，列方程得：4x+2x+（180﹣3x）＝180，求出x的值，接着求所对的圆心角和半径的长，根据弧长公式可得结论．
【解答】（1）证明：∵，
∴∠CBD＝∠ABD，
∵CD∥AB，
∴∠ABD＝∠CDB，
∴∠CBD＝∠CDB，
∴CB＝CD，
∵BE是⊙O的直径，
∴，
∴AB＝BC＝CD，
∵CD∥AB，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）∵∠AOF＝3∠FOE，
设∠FOE＝x，则∠AOF＝3x，
∠AOD＝∠FOE+∠AOF＝4x，
∵OA＝OF，
∴∠OAF＝∠OFA＝（180﹣3x）°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝2x，
∴∠ABC＝4x，
∵BC∥AD，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∴4x+2x+（180﹣3x）＝180，
x＝20°，
∴∠AOF＝3x＝60°，∠AOE＝80°，
∴∠COF＝80°×2﹣60°＝100°，
∵OA＝OF，
∴△AOF是等边三角形，
∴OF＝AF＝3，
∴的长＝＝．
39．如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠DAB＝45°，BC∥AD，CD∥AB．若⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
【分析】阴影部分的面积可由梯形OBCD和扇形OBD的面积差求得；扇形的半径和圆心角已求得，那么关键是求出梯形上底CD的长，可通过证四边形ABCD是平行四边形，得出CD＝AB，由此可求出CD的长，即可得解．
【解答】解：∵BC∥AD，CD∥AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝2
∴S梯形OBCD＝＝；
∴图中阴影部分的面积等于S梯形OBCD﹣S扇形OBD＝﹣×π×12＝﹣．
40．如图，已知⊙O半径为10cm，弦AB垂直平分半径OC，并交OC于点D．
（1）求弦AB的长；
（2）求弧AB的长，并求出图中阴影部分面积．
【分析】（1）先利用垂径定理得出AB＝2BD，∠ODB＝90°，OD＝OC＝5，进而根据勾股定理求出BD，即可得出结论；
（2）先利用锐角三角函数求出∠BOD＝60°，最后利用扇形的弧长公式和扇形的面积公式即可得出结论．
【解答】解：（1）如图，⊙O半径为10cm，
∴OB＝OC＝10，
∵弦AB垂直平分半径OC，
∴AB＝2BD，∠ODB＝90°，OD＝OC＝5，
在Rt△BOD中，根据勾股定理得，BD＝＝5，
∴AB＝2BD＝10cm；
（2）由（1）知，OD＝5，
在Rt△BOD中，cos∠BOD＝＝，
∴∠BOD＝60°，
∵OC⊥AB，
∴∠AOB＝2∠BOD＝120°，
∴＝＝＝cm，
S阴影＝S扇形AOB﹣S△AOB＝﹣AB×OD＝﹣×＝﹣25（cm2）．