第一章 三角形
1认识三角形
第1课时
能说出三角形的有关概念,会表示三角形.
2.会推导三角形内角和性质并会利用性质进行有关计算．
课前预习
自主预习
1.三角形是由____条不在同一条直线上的__________首尾顺次相接所组成的平面图形.
2.如图所示的三角形可以表示为__________，其三边也可用小写字母来表示，即边AB,BC,CA分别用字母____,____,____表示.
3.若一个三角形三个内角度数的比为2︰3︰4,那么这个三角形三个内角的度数分别为____,____,____.
尝试练习
1.如图,∠1=100°,∠C=70°,求∠A的大小.
2.如图,已知AB∥CD,AD和BC相交于点O,∠A=25°,
∠COD=80°,求∠C.
我的困惑
课中导学
典型例题
例 如图所示,在△ABC中,∠A=40°,D点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点,求∠BDC的度数.
解:∵D点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点,
∴∠CBD=∠ABD=∠ABC,
∠BCD=∠ACD=∠ACB,
∴∠ABC+∠ACB=180°-40°=140°,
∠OBC+∠OCB=70°,
∴∠BDC=180°-70°=110°
园丁点拨：由D点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点可推出∠DBC+∠DCB=70°,再利用三角形内角和定理即可求出∠BDC的度数.
变式训练
1.在△ABC中,∠B=40°,∠C=2∠B,求∠A的度数.
2.在△ABC中,∠A-∠B=10°,∠B-∠C=40°,求△ABC各内角的度数.
课后巩固
基础巩固
将一副直角三角尺如图放置，若∠AOD=20°，则∠BOC的大小为______.
第1题图 第2题图
2.如图所示，在△ABC中，∠B，∠C的角平分线BE，CD相交于F，∠BFC=120°，
则∠A=_______.
3.如图，AC与BD相交于点O，图中共有_______个三角形，它们分别是 .
4.在△ABC中，∠A:∠B:∠C=3:4:5，则∠C=________.
5.如图所示，AB∥CD,EF⊥BD,垂足为E,∠1=50°，则∠2的度数为_______.
第3题图 第5题图
6.在△ABC中，∠B=∠A+10°，∠C=∠B+10°，则∠A的度数为____.
7.在一个三角形中，若一个角等于另外两个角的平均数，则这个角等于____.
8.在在△ABC中，三个内角∠A，∠B，∠C，满足∠B-∠A=∠C-∠B，则∠B=____.
9.在△ABC中，BC边不动，点A竖直向上运动，∠A越来越小，∠B,∠C越来越大，若∠A减小α度，∠B增加β度，∠C增加θ度，则α,β,θ三者之间的等量关系是____.
10.如图,有一块含有60°角的直角三角板的两个顶点放在矩形的对边上.如果
∠1=18°,那么∠2的度数是____.
第9题图 第10题图
如图,飞机要从A地飞往B地,因受大风影响,一开始就向右偏离航线(AB)28°
(即∠A=28°),飞到了C地,已知∠ABC=20°,
求飞机现在应以怎样的角度飞往B地?(即求∠BCD的度数)
12.如图所示，已知D为△ABC边BC延长线上的一点，DF⊥AB于F,且交AC于E，∠A=34°
∠D=42°求∠ACD的度数.
13.如图是叠合在一起的一副三角尺,求∠AFE的大小
14. 如图,已知AB,CD,EF两两相交
(1)求∠1+∠2+∠3;
(2)求∠A+∠C+∠F+∠B+∠D+∠E
能力提升
如图所示,将含有30°角的三角板的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上,若
∠1=35°,则∠2的度数为 ( )
A.10 B.20° C.25° D.30°
2. 当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时,我们称此三角形为“特征三角形”,其中∠α称为“特征角”.如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°,那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为____.
3.(1)所示一个五角星ABCDE,如图(1)所示,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为____.
(2)变式一:若B点向下移动到AC上,如图(2),则∠A+∠EBD+∠C+∠D+∠E的度数
为____.
(3)变式二:如果B点继续向下,移到AC的另一侧,如图(3)所示,则∠A+∠B+∠C+∠D
+∠E的度数为____.
1认识三角形
第2课时
1.会把三角形按角进行分类. 2.知道直角三角形两个锐角之间的关系.
课前预习
旧知复习
1.三角形内角和性质： .
2.如图所示，在△ABC中，∠A=63°,直线MN∥BC，且分别与AB,AC相交于点D,E，若
∠AEN=133°，则∠B的度数为 .
自主预习
1.三角形按角进行分类可分为____类，分别是 .
2. 是锐角三角形
是直角三角形
是钝角三角形
如图所示的直角三角形可以表示为 ，其中AC,BC是 边，AB是 边,直角三角形两锐角 . A
C B
尝试练习
在△ABC中,若∠A＋∠B=∠C，则△ABC的形状是 .
2.在△ABC中, ∠A=∠B=∠C，则△ABC的形状是 三角形.
3.在△ABC中,∠BAC=90°,∠ADB=90°,∠B=30°,求∠C和∠CAD的度数.
我的困惑
课中导学
典型例题
例 在△ABC中,∠A是∠B的2倍且∠C比∠A+∠B还大12°,试判断△ABC的形状
解:设∠B=x°,则∠A=2x°,∠C=x°+2x°+12°
∵三角形的内角和为180°,
∴x+2x+(x+2x+12)=180
X=28.
∠A=56°,∠B=28°,∠C=96°
∴△ABC为钝角三角形
园丁点拨：确定三角形形状的一般思路:(1)先根据三角形内角和定理列方程求出三个角的度数;(2)再由最大角确定三角形的形状
变式训练
1.在Rt△ABC中,CD是斜边上的高,∠A=35°,求∠B,∠ACD,∠BCD的度数
2.如图,AD与BC相交于点O,∠ABC=∠ADC=90°，∠A与∠C
相等吗?为什么?
课后巩固
基础巩固
1.下列说法正确的是( )
A.三角形的内角中至少有两个锐角 B.三角形的内角中至少有两个钝角
C.三角形的内角中至少有一个直角 D.三角形的内角中至少有一个钝角
2.在一个三角形的三个内角中至少有 ( )
A.一个直角 B.一个钝角 C.一个直角或一个钝角 D.两个锐角
3.在△ABC中,如果∠A=∠B,∠B=3∠C,则此三角形按角分类为 ( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定
4.在一个锐角三角形中,任何两个角的和 ( )
A.都大于90° B.都等于90°
C.都小小于90° D.不能确定与90°的大小
5.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠1=∠A,则∠2与∠B的大小关系是( )
A.∠2>∠B B. ∠2<∠B
C.∠2=∠B D.不能确定
6.在一个三角形中,如果一个角等于另外两个角的差,那么这个三角形一定是 .
7.在△ABC中,若∠A:∠B:∠C=1:3:4,则∠A= .(填度数)
8.如图,BD⊥AC,垂足为点D,CE⊥AB,垂足为点E,BD,CE相交于点F,图中共有直角三角形
个,与∠1相等的角是 .
9.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,若∠A=40°,则图中其余锐角的度数分别为 .
第8题图 第9题图
10.如图所示,在△ABC中,D为AB上一点,∠A=∠2,∠1=∠B.
(1)判断△ABC的形状
(2)判断CD是否与AB垂直
11.如图,AD⊥BC,垂足为点D,CE⊥AB,垂足为点E
(1)写出图中所有的直角三角形;
(2)若∠1=48°,求出图中其余所有锐角的度数
能力提升
1. 如果一个三角形中最大的边所对的角是锐角,那么这个三角形一定是 三角形.
2. 如图所示,在△ABC中,∠BAC=80°,AE是∠BAC的平分线.EF是△AEC的高,EF∥CD，
求∠D的度数.
第一章 三角形
1认识三角形
第3课时
会把三角形按边进行分类.
知道三角形三边之间的数量关系并会进行判断或相关的计算．
课前预习
旧知复习
1.三角形按角可以分为： .
2.直角三角形两锐角 .
自主预习
1. 叫做等腰三角形，
叫做等边三角形，也叫做 .
三角形三边之间的关系为 (1)
(2) .
尝试练习
1.下列长度的三角形，能组成三角形的是（ ）
A.1cm, 2cm，3cm B.1cm, 3cm，5cm C.2cm, 4cm，4cm D.2cm, 2cm，4cm
2.下列说法正确的是（ ）
A.等腰三角形是等边三角形 B.等边三角形是等腰三角形
C.等腰三角形的腰与底边不相等 D.等边三角形不是等腰三角形
3.在△ABC中，若AB=4cm，BC=1cm，AC=xcm,则x的取值范围是 .
4.等腰三角形的两边长分别为5和7，求它的周长.
5.画出9根火柴棒首尾相接搭成的三角形的示意图.
我的困惑
课中导学
典型例题
例1.如图所示,△ABC中,已知AB=AC=x,BC=6,则腰长x的取值范围是 .
解析：等腰三角形中，只要两腰之和大于底边，那么任意两边之和都大于第三边，所以遇到这一类题目只列一个不等式即可，故答案为x>3。
例2.有3m，6m，8m，9m的四条线段,任选其中的三条线段组成一个三角形,则最多能组成三角形的个数为 .
解析：做这类题可先按一定的顺序把所有的组合全写出来，再把不符合组成三角形条件的舍去即可。组合为3m，6m，8m；3m，6m，9m；3m，8m，9m；6m，8m，9m.其中符合条件的是3m，6m，8m；3m，8m，9m；6m，8m，9m，故答案为3个.
变式训练
1.有3m，4m，7m，9m的四条线段,任选其中的三条线段组成一个三角形,则最多能组成三角形的个数为 .
2.若一个三角形三边尝分别为2,3，x，则x的值可以是 .（只需填整数）
课后巩固
基础巩固
1. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A.2cm，3cm，5cm B.5cm, 6cm，10cm C.1cm, 1cm，3cm D.3cm, 4cm，9cm
2.等腰三角形的两边长分别为4和7,则它的周长是( )
A.11 B.15 C.18 D.15或18
3.等腰三角形的两边长分别为2和7,则它的周长是( )
A.9 B.11 C.16 D.11或16
4.有4根木条,长度分别为12cm,10cm，8cm，4cm从其中选三根作为三角形的边组成
三角形,则可选择的种数有( )种
A.1 B.2 C.3 D.4
若一个三角形三边长分别为4,7,c,则 若a,b,c是同一个三角形的三条边,且a一b=2,则c 2.(填“>“或“<”或
≥”或“≤”等)
7.两根木棒的长分别为5和3,要选择第三根木棒,将它们钉成一个三角形,若第三根木
棒的长为偶数,则第三根木棒的长是 .
8.A,B两地相距5km,B,C两地相距3km,则AC两地至少相距 km.
9.一个等腰三角形的周长为20,一边长为另一边的2倍,求它的腰长.
10.如图,AB=AC=BE=DC,AD=AE=BD,写出图中所有的等腰三角形
第10题图
能力提升
1.已知等腰三角形的周长为56cm, 其中两边的比为2:3,求此等腰三角形各边的长.
2.各边长度都是整数，最大边长为8的三角形共有 个.
3.如图O为△ABC内一点,比较AB＋AC与OB＋OC的大小,并说明理由
第3题图
1认识三角形
第4课时
掌握三角形中线、角平分线的概念和性质，了解重心的概念。
利用上述概念和性质结合以前所学知识进行有关计算．
课前预习
旧知复习
1.三角形三边之间的关系为 .
.
2.前面我们学过角，角的平分线是一条 线.
尝试练习
1.填空:
(1)如图,AD,BE,CF是△ABC的三条中线，则AB=2 ,BD= ，AE= AC.
第1（1）题图 第1（2）题图
如图,AE,BD,CF是△ABC的三条角平分线,则∠1= ，∠2= ∠ABC,∠ACB=
∠3.
(3)如图,D,E分别是AB和AC的中点,则DE是 与 的中线。
(4)如图,AD,AE将∠BAC三等分,则AD是△ABE的 ;AE是 角平分线
第1(3）题图 第1(4）题图
2.如图,在△ABC中,AD是一条角平分线,∠B=40°,∠C=80°,求∠ADC的度数
我的困惑
课中导学
典型例题
例.如图,若△ABC的两条角平分线BE,CF交于点O,试说明得∠BOC=90°+∠A
理由：∵∠1+∠2=∠ABC+∠ACB=(∠ABC+∠ACB)
= (180°-∠A)=90-∠A
∴∠BOC=180°-(∠1+∠2)=180°-(90°-∠A)=90°+∠A
园丁点拨：由此可见,∠BOC的大小只与∠A有关，当∠A=90°时,有∠BOC=90°+45°=135°，反之，如果知道∠BOC的大小，也可直接求∠A的大小。
变式训练
如图，在△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线交于点O,若∠BOC=100°,求∠A的度数
课后巩固
基础巩固
1.三角形的中线和角平分线( )
A.都是线段 B.都是射线 C.分别是线段和射线 D.分别是射线和线段
2.下列说法正确的是( )
A.三角形的重心是三角形三条角平分线的交点
B.三角形的重心是三角形三条中线的交点
C.三角形的重心是一条中线和一条角平分线的交点
D.不是每个三角形都存在重心
3.如图,在△ABC中,∠A=120°,∠B=2∠C.CD是三角形的角平分线,则∠ADC= .
4.如图,在△ABC中,∠C=90°,小明画出中线CD后发现CD AD.( 填>，<或 = 号 )
第4题图 第5题图
5.如图,在△ABC中,AB=AC,AC-BC=2cm,BD是△ABC的中线,则△ABD的周长
比△BDC的周长长 cm
6.如图,△ABC的两条角平分线AD,BE,CF相交于一点,则∠1+∠2+∠3= .
7.已知P为△ABC的重心,则直线AP必过边 的中点
8.如图,在△ABC中,∠A=60°,角平分线BD与CE交于点O,则∠BOC= .
第6题图 第8题图
9.如图,在△ABC中,BD是角平分线,∠A:∠ABC:∠C=1:2:2,
(1)求∠BDC的度数
(2)写出图中所有的等腰三角形
10.如图,AD是△ABC的角平分线,DE∥AC交AB于点E,EF∥AD交
BC于点F,EF是△BDE的角平分线吗?为什么?
11.如图,在△ABC中,角平分线BD与CE相交于点O,若∠A=n°,求
∠COD的度数
能力提升
小明先在电脑上画了一个角∠MAN=50°,再在AM,AN上分别取点B,C,连接BC.∠MBC和∠NCB的平分线交于点P(如图),并且测量出∠P的度数小明让射线AM,AN不动,分别拖动点B和点C,保持BP和CP是∠MBC和∠NCB的平分线,结果发现∠P的度数不变。你能帮助小明解释这个现象吗?
1认识三角形
第5课时
1.掌握三角形高的概念和性质．2.会利用性质结合以前所学有关知识进行计算或说理．
课前预习
旧知复习
1.三角形中线的性质为： .
2.三角形角平分线的性质为： .
3.能把三角形面积平分的是三角形的 线.
4.如图,已知△ABD是直角三角形,∠D=90°,AE是△ABC的角平分线,∠B=26°,
∠ACD=56°,求∠AED的度数.
自主预习
1.锐角三角形的三条高都在三角形内部,钝角三角形的高有 条在三角形内部,
有 条在三角形的外部;直角三角形有 条在三角形同内部,另外 条是 .
2.三角形的三条高 交于一点,直角三角形三条高的交点在 .
3.过三角形一顶点的直线将三角形分为面积相等的两部分,这条直线是三角形的 .
4.如图,△ABC的高BD,CE交于点O,要画出第三条高,可以用直尺 .
5.(1)如图,用三角尺画出△ABC的三条高,并标注字母
(2)如图,用三角尺画出△ABC的三条高,并标注字母
(3)如图,用三角尺画出△ABC的三条高,并标注字母
(1) (2) (3)
尝试练习
1.画△ABC的BC边上的高,正确的是 ( )
2.如图,△ABC中,CD⊥BC于C,D点在AB的延长线上,则CD是△ABC中 ( )
A.BC边上的高 B.AB边上的高
C.AC边上的高 D.以上都不对
我的困惑
课中导学
典型例题
例1 如图,AE,CD分别为△ABC的高,若AB=5cm,AE=4cm,CD=3cm.求BC的长.
解：∵△ABC中,AE,CD分别为△ABC的高,
∴S△ABC=AB×CD÷2=BC×AE÷2,
∴AB×CD=BC×AE.
又∵AB=5cm,AE=4cm,CD=3cm,
∴5×3=BC×4,∴BC=cm.
园丁点拨：在有关三角形高的题目中，常常借助于面积法来解决问题.
变式训练
如图，D为BC上一点，AE是⊿ABC的高，BD=3，CD=5，求⊿ABD与⊿ADC面积的比
课后巩固
基础巩固
1.三角形的角平分线、中线、高都是 ( )
A.直线 B.线段 C.射线 D.以上都不对
2.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点,那么这个三角形是 三角形3.如图,在△ABC中,∠1=∠2,G为AD的中点,延长BG交AC于E.F为AB上一点,CF⊥AD于H,下面判断①AD是△ABE的角平分线;
②BE是△ABD边AD上的中线;
③CH是△ACD边AD上的高;
④AH是△ACF的角平分线和高.正确的
有 个
如图,在△ABC中,已知AD是角平分线,∠B=50°,∠C=70°,则∠BAD= °
第5题图 第6题图
6.如图,AD是△ABC的角平分线,点O在AD上,且OE⊥BC于点E,∠BAC=60°,∠C=80°,则∠EOD的度数为 .
7.在等腰三角形ABC中,AB=AC,中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分,则这个等腰三角形的底边BC长为 .
8.如图,在△ABC中,∠B=30°,∠C=66°,AE是BC边上的高,AD平分∠BAC,求∠DAE
的度数
9.如图所示,DB是△ABC的高,AE是角平分线,∠BAE=26°,求∠BFE的度数
第9题图
能力提升
若BD,CE是△ABC的高，BD,CE所在的直线相交所成的角中有一个为55°，则
∠BAC= .
如图所示,已知AD是△ABC的边BC上的中线
(1)作出△ABD的边BD上的高
(2)若△ABC的面积为10,求△ADC的面积;
(3)若△ABD的面积为6,且BD边上的高为3，求BC的长
2图形的全等
1.理解图形全等的概念和特征，并能识别图形的全等.
2.掌握全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，并能进行简单的推理和计算．
课前预习
自主预习
1.全等图形的 和 都相同.
2.圆柱的两个 面是全等图形,长方体相对的两个面是 图形，正方体的 个面是全等图形。
3.如图,△ABE≌△CAD,且AB=AC,AB∥DC,那么对应边是 ，
对应角是 .
4.将两个重合的三角形之一绕着一个公共顶点A旋转到如图所示位置,那么能用图中所
给字母表示的相等的角有 .
第3题图 第4题图 第7题图
5.下面几种说法:①全等三角形的对应边相等;②面积相等的两个三角形全等;③周长
相等的两个三角形全等;④全等的两个三角形一定能重合其中正确的说法是 .
6.已知△ABC≌△A'B'C',且△ABC的周长是20,AB=8,B'C'=5,那么AC等于 .
7.如图,△ABC≌△ADE,且边AB与AD,AC与AE分别对应,如果∠DAB=10°,那么∠EAC等于 .
8.如果一个三角形可以分成两个全等的三角形,那么这个三角形( )
A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形
C.一定是等腰三角形 D.一定是等边三角形
尝试练习
如图,△ABC≌△DEF,且顶点A与D对应,B与E对应,点E,C,F,B在同一条直线上
(1)请写出所有相等的线段,并说明理由;
(2)请写出所有平行的线段,并说明理由
我的困惑
课中导学
典型例题
如图所示,已知△ABC≌△DEF,且B,E,C,F在同一条直线上
(1)BE=CF吗?试说明理由
2)如果∠A=50°,求∠D和∠EGC的度数
解:(1)BE=CF
理由:∵△ABC≌△DEF,
∴BC=EF(全等三角形的对应边相等)
∴BC-EC=EF-EC
∴BE=CF
(2)∵△ABC≌△DEF,∠A=50°,
∴∠D=∠A=50°∠B=∠DEF(全等三角形对应角相等
∴AB∥DE(同位角相等,两直线平行)
∴∠EGC=∠A=50°(两直线平行,同位角相等)
园丁点拨：注意角的对应关系，由对应角∠B=∠DEF可得AB∥DE，∴∠EGC=∠A=50°.
变式训练
如图所示,已知△ABC≌△DEF,∠B=∠E=90°,∠A=68°,AB=5,BC=9,CF=6
(1)求∠D,∠DFE的度数;
(2)求线段DE,CE的长
课后巩固
基础巩固
下列四组图形中,是全等图形的一组是( )
2.如图所示，与左边正方形图案全等的图案是( )
3.若△ABC与△DEF全等,A和E,B和D分别是对应点,则下列结论错误的是( )
A.BC=EF B.∠B=∠D C.∠C=∠F D .AC=EF
4.已知△ABC≌△A'B'C',若∠A=50°,∠B'=80°则∠C的度数是( )
A.30° B.40° C.50° D.60°
5.下列四个图形中用两条线段不能分成四个全等图形的是形的是( )
6.现有以下说法：
①两个形状相同的图形称为全等图形
②两个圆是全等图形
③两个正方形是全等图形
④全等图形形状、大小都相同
⑤面积相等的两个三角形是全等图形
其中正确的是( )
A.①②③ B.①②⑤ C.①④⑤ D.只有④正确
7.如图所示,已知三角形ABC与三角形DEF是全等图形，则相等的线段有 组.
8.如图所示，四边形ABCD与四边形A'B'C'D'全等，则∠A'= ，∠A= ，
B'C'= ，AD= .
第7题图 第8题图
9.已知如图,△ABC≌△DEF,∠A=40°，△DHK是直角三角形，∠H=90°，EF∥GK,
∠GKH=20°，求∠EFD的度数
能力提升
1.如图所示,△ABC≌△A'B'C',其中∠A=36°,∠C'=24°,则∠B= .
2.如图所示,Rt△ABC中,∠ACB=90°,将Rt△ABC向下翻折,使点A与点C重合，
折痕为DE,求证:DE∥BC
3探索三角形全等的条件
第1课时
1.探索出基本事实：三边分别相等的两个三角形全等. 2.了解三角形的稳定性.
课前预习
旧知复习
1. 称为全等图形.
2. 叫做全等三角形.
3.全等三角形的性质： .
4.如图所示,△ACB≌△BDA,AC和BD对应,BC和AD对应,写出其他的对应边及对应角
自主预习
1. 边对应相等的两个三角形全等，简写为“ ”或 “ ”定理.
2.三角形的 和 是固定不变的，这个性质叫做三角形的 性.
3.如图,已知AB=AC,AD=AE,BD=EC,则△ABD≌ ， ≌ 根据是 .
4.如图,木工师傅在做完门框后,为防止变形,常常像图中所示那样钉上两根斜拉的木条(即图中的AB,CD两根木条).这样做所依据的数学道理是 .
第3题图 第4题图
尝试练习
已知如图,AB=AD,CB=CD,小明说AC既是∠BAD的平分线,又是∠BCD的平分线他说得对吗?为什么?
我的困惑
课中导学
典型例题
例 如图所示,点B,F,C,E在直线l上(F,C之间不能直接测量),点A,D在l异侧,测得AB=DE,AC=DF,BF=EC
(1)求证:△ABC≌△DEF
指出图中所有平行的线段,并说明理由
解:(1)证明:∵BF=EC
∴BF+FC=EC+CF,即BC=EF
又∵AB=DE,AC=DF
∴△ABC≌△DEF
(2)AB∥DE,AC∥DF
理由:∵△ABC≌△DEF,
∴∠ABC=∠DEF,∠ACB=∠DFE
∴AB∥DE,AC∥DF
园丁点拨：公共边、公共角往往隐藏于图形之中,在分析图形形时,要注意挖掘这些条件,然后根据题目中的己有条件和隐含的条件,结合全等三角形的判定方法证明全等.
变式训练
如图所示,点B,C,D,F在同一直线上,已知AB=EC,AD=EF,BC=DF,探索AB与EC的位
置关系如何,并说明理由.
课后巩固
基础巩固
1.不是利用三角形稳定性的是( )
A.自行车的三角形车架 B.三角形房架 C.伸端门 D.矩形门的斜拉条
2.如图所示,工人师傅砌门时,常用木条EF固定矩形门框ABCD,使其不变形,这种做法的根据是( )
A.两点之间线段最短 B.矩形的对称性
C.矩形的四个角都是直角圈 D.三角形的稳定性
3. 如图所示,已知AB=DC,AE=DF,CE=BF,∠AEB=88°,则∠DFE的度数是( )
A.78° B.82° C.88° D.92°
第2题图 第3题图
4.已知△ABC中,AB=BC≠AC,作与△ABC只有一条公共边,且与△ABC全等的三角形,这样的能作出( )
A.5个 B.6个 C.7个 D.8个
下列四个三角形中,与左图中的三角形全等的是( )
6.如图所示,△ABC是等边三角形,AD=AE,BD=CE,则∠ACE的度数是( )
A.40° B.50° C.60° D.70°
7.如图所示,工人师傅做了一个长方形窗框ABCD，E,F,G,H分别是四条边上的中点,为了使它稳固,需要在窗框上钉一根木条,这根木条不应钉在( )
A.A,C两点之间 B.E,G两点之间
C.B,F两点之间 D.G,H两点
8.如图所示,在△ABC与△ADC中,已知AD=AB，在不添加任何辅助线的前提下,要使△ABC≌△ADC,只需再添加间一个条件可以是 .
第6题图 第7题图 第8题图
9.如图,AB=CD,AF=CE,BE=DF,且点B,E，D,F在同一条直线上
(1)试说明∠A=∠C
(2)你认为本题还可以得到哪些结论?请尽可能多地写出来
能力提升
1. 做一个角等于已知角是利用了判定三角形全等的方法中的 定理.
如图,已知AB=A'B',AC=A'C,BC=B'C,且A'B'⊥AC,∠A'CA=55°,求∠A的度数.
3探索三角形全等的条件
第2课时
1.探索判定三角形全等的两种方法“ASA”“AAS”.2.会用所学的判定方法进行计算或说理。
课前预习
旧知复习
前面学习的判定三角形全等的方法是： ，简称 或 .
自主预习
1.两角和它们的 对应相等的两个三角形全等，简写为 或 .
2.两角分别相等且其中一组等角的 相等的两个三角形全等，
简写为 或 .
下列图形中，每对三角形全等吗？（分别填写“一定全等”“一定不全等”“不一定全等”）
；（2） ；（3） ，
（4） ；（5） ；（6） .
尝试练习
(1)在△ABC和△DEF中,∠B=∠E,∠C=∠F,添加下列条件不能得到△ABC≌△DEF的是( )
A.BC=EF B.AB=DE C.AC=DE D.AC=DF
(2)如图,∠1=∠2,∠A=∠D,若使△ABC≌△DCB,则( )
A.需要增加条件∠3=∠4 B.需要增加条件AB=DC
C.需要增加条件AC=DB D.不需要增加条件
(3)如图,如果∠AOD与∠COB是对顶角,AD=CB,∠D=∠B,那么,∠A=∠C吗?说明理由.
我的困惑
课中导学
典型例题
例：如图所示,在△ABC中,AB=AC,作AD⊥AB交BC的延长线于点D,作AE∥BD,CE⊥AC,且AE，CE相交于点E,求证:AD=CE.
证明:∵AE∥BD
∴∠EAC=∠ACB
∵AB=AC
∴∠B=∠ACB
∴∠B=∠EAC
在△ABD和△CAE中
∵∠B=∠EAC，AB=AC，∠BAD=∠ACE,
∴△ABD≌△CAE(ASA)
∴AD=CE
园丁点拨：在证明两条线段相等时,常常需要证明其所在的两个三角形全等.结合题目已知看看已经有了什么条件,缺少什么条件,再仔细分析题目其余已知之间的联系,寻找两个三角形全等所需条件,往往不难得到结论.
变式训练
如图所示,BD⊥AC于点D,CE⊥AB于点E,AD=AE.求证:BE=CD
课后巩固
基础巩固
1.如图所示,∠CAD=∠BAE,∠ACB=∠ADE,AB=AE,则可判定( )
A.△AEF≌△ABD B.△ABC≌△AED
C.△ADC≌△AFD D.以上答案都不对
第1题图 第2题图
2.如图所示,∠1=∠2,∠C=∠D,若∠CAE=85°,则∠DBE的度数是( )
A.80° B.85° C.90° D.95°
如图所示,D在AB上,E在AC上,且∠B=∠C,则下列条件中,无法判定△ABE≌△ACD
的是( )
A. AD=AE B. AB=AC
C.BE=CD D.∠AEB=∠ ADC
第3题图 第4题图
4.如图所示,在△ABC和△ADE中,BC,DE相交于点O,且∠C=∠E,再添加一个条件不能证明
△ABC≌△ADE的是( )
A.BC=DE B.∠ADE=∠ABC C.AC=AE D.AD=AB
5.如图所示,∠BAC=∠ABD请你添加一个条件 ,使△OAD≌△OBC.
第5题图 第6题图
6,如图所示,∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF,则下列结论:①∠1=∠2;②BE=CF;③
△ACN≌△ABM④CD=DN,其中正确的结论是 (填序号即可).
7.如图所示,小明不慎把一块三角形玻璃打碎成三块,现在他要去玻璃店配一块形状和原来完全一样的玻璃,那么最简单的办法是带 去配.
如图所示,点A,C,D,B四点共线,且AC=BD，∠A=∠B,∠ADE=∠BCF,求证:DE=CF.
9.如图所示,点C,E,F,B在同一直线上，点A,D在BC异侧,AB∥CD,AE=DF,∠A=∠D
(1)求证:AB=CD
(2)若AB=CF,∠B=30°,求∠D的度数.
能力提升
1. 如图所示,在△ABC中,已知∠1=∠2,BE=CD,AB=5,AE=2,则CE= .
2. 在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠CAB交BC于点D,DE⊥AB,垂足为点E,且
AB=6.
图中哪两个三角形全等?
DE+BD与哪条线段的长相等?
(3)求△DEB的周长
第一章 三角形
3探索三角形全等的条件
第3课时
明确三角形全等的判定方法“SAS”的条件，并能熟练应用进行简单的推理。
课前预习
旧知复习
1.我们在前面学过______??_______??_______方法判定两个三角形全等。?
2.从三角形的判定方法知，判定两个三角形全等须_______个条件，其中至少有??????????。
自主预习
1.如果两个三角形两边和它们的_______对应相等，那么这两个三角形________。
简记为“__________”或“____________”。
2.如图 ，两个三角形全等吗？
所以总结得出:利用“SAS”判定三角形全等时要注意，其中的角一定是两边的________角才行！
3. 如图,点E在AB上,AC=AD,请你添加一个条件,使
△ACE≌△ADE,所添条件为 .
尝试练习
1.如图所示,AD是△ABC的高线,AD=BD,DE=DC,∠C=68°,则
∠AEB为 ( )
A.68° B.112° C.22° D.102°
2. 如图，在下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是（ ） A．BD=DC，AB=AC B．∠ADB=∠ADC，BD=DC
C．∠B=∠C，∠BAD=∠CAD D．∠B=∠C，BD=DC
3.如图，∠1=∠2．
（1）当BC=BD时，△ABC≌△ABD的依据是 ；
（2）当∠3=∠4时，△ABC≌△ABD的依据是 ．
4.已知:如图,点A,E,F,C在同一条直线上,AD∥BC,AD=BC,AE=CF.
试说明: ∠B=∠D.
我的困惑
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_______________________________________________________.
课中导学
典型例题
已知：如图，AD为∠BAC的平分线，且DF⊥AC于F，∠B=90°，BE=FC．
试问DE与DC的关系，并加以说明．
解析：【解答】DE=DC．
理由：∵∠B=90°，
∴BD⊥AB．
∵AD为∠BAC的平分线，且DF⊥AC，
∴DB=DF．
在Rt△BDE和Rt△FDC中，
∵
∴△BDE≌△FDC（SAS），
∴DE=DC．
园丁点拨：先由角平分线的性质可以得出DB=DF，再证明△BDE≌△FDC就可以求出结论．
变式训练
已知，如图，B、C、D三点共线，AB⊥BD，ED⊥CD，C是BD上的一点，且AB=CD，BC=DE，请判断△ACE的形状并说明理由．
课后巩固
基础巩固
1.如图,OA=OC,OB=OD,则图中的全等三角形有 ( )
A.1对 B.2对
C.3对 D.4对
2.如图,AB=DB,BC=BE.要使△ABE≌△DBC,则需补充的条件是 ( )
A.∠A=∠D B.∠E=∠C
C.∠D=∠E D.∠1=∠2
(
A
D
C
B
E
F
)3．如图， AD是的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且，连结BF，CE．下列说法：①CE＝BF；②△ABD和△ACD面积相等；③BF∥CE；④△BDF≌△CDE．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4.如图,△ABC中,AB=AC,∠A=50°,BP=CE,BD=CP,则
∠DPE= 度.
5.如图,点E,F在BC上,BE=CF,AB=DC,∠B=∠C.试说明∠A=∠D.
能力提升
1.在如图所示的2×2方格中，连接AB、AC，则∠1+∠2=________度．
2.如图,在△ABC中,BE,CF分别是边AC,AB上的高,在BE上截取BD=AC,在CF的延长线上
截取CG=AB,连接AD,AG。
则AG与AD有何关系?试给出你的结论的理由.
3.已知：如图，AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA,CD过点E，
则AB与AC+BD相等吗？请说明理由
第一章 三角形
3探索三角形全等的条件
第4课时
能综合运用全等三角形的判定方法进行推理；
探索全等三角形的对应线段（高、角平分线、中线等），并能灵活应用。
课前预习
旧知复习
1.我们在前面学过________??_______??________ _________ 方法判定两个三角形全等。?
2. 下面四个图形中，线段BE是⊿ABC的高的图是（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，△ABC中，AD是它的角平分线，AB=4，AC=3，
那么△ABD与△ADC的面积比是（ ）
A． 1：1 B． 3：4
C．4：3 D． 不能确定
若AD是AD边上的中线呢？则△ABD与△ADC的面积比是（ ）
自主预习
全等三角形对应角的平分线_________，对应中线_________，对应高_________。
（注意:对应中线和对应高指的是对应边上的中线和高线）
下列说法错误的是（ ）
A．全等三角形的对应边相等 B． 全等三角形的对应角相等
C．全等三角形的周长相等 D． 全等三角形的高相等
下列说法中，正确的有（ ）
①三角对应相等的两个三角形全等；②三边对应相等的两个三角形全等；
③两角、一边对应相等的两个三角形全等；④两边、一角对应相等的两个三角形全等．
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（ ）
A．∠A=∠D B．AB=DC C．∠ACB=∠DBC D．AC=BD
如图， 已知：△ABC ≌△ABD，∠CAE=∠DAF．点E为BC中点，点F 为BD中点，连接AE，AF ．求证：△ABE≌△ABF．
尝试练习
(
A
C
B
D
E
)如图，点B,D,E,C在同一条直线上，△ABE与△ACD中，AB=AC，BE=CD，
∠B=50°，∠AEC=110°，则∠DAC的度数等于（ ）
A、120°； B、70°； C、60°； D、50°.
2. 根据下列条件，能唯一画出△ABC的是 （ ）
A、AB=3 ，BC=4，AC=8； B、AB=4，BC=3，∠A=30°；
C、∠C=60°，∠B=45°，AB=4； D、∠C=90°，AB=6。
3.如图，分别为的，边的中点，将此三角形沿折叠，
使点落在边上的点处．若，则等于___________.
4. 已知，如图，延长等边三角形△ABC 的各边，使得AE=BF=CD，顺次连接D,E,F得到△DEF ．
求证：△DEF为等边三角形．
我的困惑
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课中导学
典型例题
已知:在△ABC中，AC＝5，中线AD＝7，
求AB边的取值范围。
解：如图，延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE，
在△ADC和△EDB中，
∵∴△BDE≌△CDA，得BE＝AC＝5，AE＝14，
在△ABE中，AE－BE＜AB＜AE＋BE，
即9＜AB＜19.
园丁点拨：遇到中线通常延长，从而利用“SAS”构造全等三角形的方法来转移已知线段， 如本题只要再利用三角形的三边关系定理就可以求出结论．
变式训练
已知:在△ABC中，AC＝5， AB＝9，求中线AD 的取值范围。
课后巩固
基础巩固
在△ABC和△A?B?C?中，已知∠A=∠A?，AB=A?B?，在下面判断中错误的是（ ）
A、若添加条件AC=A?C?，则△ABC≌△A?B?C?；
B、若添加条件BC=B?C?，则△ABC≌△A?B?C?
C、若添加条件∠B=∠B?，则△ABC≌△A?B?C?；
D、若添加条件∠C=∠C?，则△ABC≌△A?B?C?.
2.如图，AB∥DE，AC∥DF，AC=DF，下列条件中不能判断△ABC≌△DEF的是（ ）
A． AB=DE B． ∠B=∠E C． EF=BC D． EF∥BC
3.如图所示，AD＝CB，
若利用“边边边”来判定△ABC≌△CDA，则需添加一个直接条件是__________；
若利用“边角边”来判定△ABC≌△CDA，则需添加一个直接条件是__________．
4.如图,已知∠DCE=90°,∠DAC=90°,BE⊥AC于B,且DC=EC, 能否找出与AB+AD相等的线段,并说明理由.
能力提升
如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有(???? )
A．1个? B．2个?? C．3个? D．4个
如图，已知AB=AC，D为∠BAC的角平分线上面一点，连接BD，CD；如图2，已知AB=AC，D、E为∠BAC的角平分线上面两点，连接BD，CD，BE，CE；如图3，已知AB=AC，D、E、F为∠BAC的角平分线上面三点，连接BD，CD，BE，CE，BF，CF；…，依次规律，第n个图形中有全等三角形的对数是 ．
3.如图，AD与A′D′分别是△ABC与△A′B′C′的角平分线，
且△ABD ≌△A′B′D′.
△ABC与△A′B′C′是否全等？为什么
如图,已知△ABC中,延长AC边上的中线BE到G,使EG=BE,延长AB边上的中线CD到F,
使DF=CD,连接AF,AG.
(1)补全图形.
(2)AF与AG的大小关系如何?给出你的结论的理由.
(3)F,A,G三点的位置关系如何?给出你的结论的理由.
