第十章概率
10.1 随机事件与概率
10.1.1 有限样本空间与随机事件 10.1.2 事件的关系和运算
课后篇巩固提升
基础巩固
1.从6个篮球、2个气排球中任选3个球,则下列事件中,是必然事件的是( )
A.3个都是篮球 B.至少有1个是气排球
C.3个都是气排球 D.至少有1个是篮球
答案D
解析从6个篮球、2个气排球中任选3个球,则必然至少有一个是篮球.A,B是随机事件,C是不可能事件,D是必然事件.故选D.
2.抛掷一枚骰子,记事件A为“落地时向上的数是奇数”,事件B为“落地时向上的数是偶数”,事件C为“落地时向上的数是3的倍数”,事件D为“落地时向上的数是2或4”,则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是 ( )
A.A与B B.B与C
C.A与D D.B与D
答案C
解析在A中,A与B是对立事件,故A错误;在B中,B与C能同时发生,故B与C不是互斥事件,故B错误;在C中,A与D不能同时发生,且不是对立事件,故A与D是互斥事件但不是对立事件,故C正确;在D中,B与D能同时发生,故B与D不是互斥事件,故D错误。
故选C.
3.一批产品共有100件,其中5件是次品,95件是合格品,从这批产品中任意抽取5件.现给出以下四个事件:
事件A:恰有1件次品;
事件B:至少有2件次品;
事件C:至少有1件次品;
事件D:至多有1件次品.
并给出以下结论:
①A∪B=C;②D∪B是必然事件;③A∩B=C;④A∩D=C.
其中正确结论的序号有( )
A.①② B.③④ C.①③ D.②③
答案A
解析事件A∪B表示的事件:至少有1件次品,即事件C,所以①正确;事件D∪B表示的事件:至少有2件次品或至多有1件次品,包括了所有情况,所以②正确;事件A∩B=?,③不正确;事件A∩D表示的事件:恰有1件次品,即事件A,所以④不正确.
4.甲、乙两人坐电梯到10楼至12楼,在这三层中可以随意走出电梯,则试验的基本事件有 种.?
答案9
解析∵甲有三种选择方法;乙有三种选择方法,
∴试验有3×3=9种方法,
∴试验的基本事件有9种.
5.现要从2男2女这4名同学中选择2名去参加活动,每名同学被选到的概率是相等的,则事件“选择的同学是一男一女”的对立事件是 .?
答案“选择的同学是2个男生,或者是2个女生”
解析现要从2男2女这4名同学中选择2名去参加活动,所有的基本事件有3个:“选择的同学是一男一女”、“选择的同学是2个男生”、“选择的同学是2个女生”.由于对立事件首先是互斥事件,再就是两个事件的和事件是必然事件,故事件“选择的同学是一男一女”的对立事件是:“选择的同学是2个男生,或者是2个女生”.
6.连续抛掷3枚硬币,研究正面向上的情况,则其样本空间Ω= .?
答案{(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反),(反,正,正),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反)}
7.某射手进行射击测试,设A=“射中10环”,B=“射中9环”,C=“射中8环”.
(1)“射中10环或9环”可表示为 .?
(2)“不够8环”可表示为 .?
答案(1)A∪B (2)A?B?C
8.从0,1,2这3个数字中,不放回地取两次,每次取一个,构成有序数对(x,y),x为第1次取到的数字,y为第2次取到的数字.
(1)写出这个试验的基本事件空间;
(2)写出“第1次取出的数字是2”这一事件.
解(1)连续取两次,基本事件空间为Ω={(0,1),(1,0),(0,2),(2,0),(1,2),(2,1)}.
(2)“第1次取出的数字是2”这一事件为(2,0),(2,1).
能力提升
1.任意抛两枚一元硬币,记事件A=“恰好一枚正面朝上”;B=“恰好两枚正面朝上”;C=“恰好两枚正面朝下”;D=“至少一枚正面朝上”;E=“至多一枚正面朝上”,则下列事件为对立事件的是( )
A.A与B B.C与D
C.B与C D.C与E
答案B
解析在A中,A与B不能同时发生,但能同时不发生,是互斥但不对立事件,故A错误;在B中,C与D不能同时发生,也不能同时不发生,是对立事件,故B正确;在C中,B与C不能同时发生,但能同时不发生,是互斥但不对立事件,故C错误;在D中,C与E能同时发生,不是互斥事件,故D错误.
2.某人忘了电话号码的最后一个数字,因而他随意拨号,假设拨过的号码不再重复,若用Ai=“第i次拨号接通电话”,i=1,2,3.则事件第3次拨号才接通电话可表示为 ,拨号不超过3次而接通电话可表示为 .?
答案A1 A2 A3 A1∪A1A2∪A1 A2A3
3.
甲、乙、丙三人参加某电视台的一档节目,他们都得到了一件精美的礼物.其过程是这样的:墙上挂着两串礼物(如图),每次只能从其中一串的最下端取一件,直到礼物取完为止.甲第一个取得礼物,然后,乙、丙依次取得第2件、第3件礼物.事后他们打开这些礼物仔细比较发现礼物B最精美,那么取得礼物B可能性最大的是 .?
答案丙
解析取得礼物,共有三种情况,
(1)甲C,乙A,丙B;(2)甲A,乙B,丙C;(3)甲A,乙C,丙B.
可见,取得礼物B可能性最大的是丙.
4.
某连锁火锅城开业之际,为吸引更多的消费者,开展抽奖活动,前20位顾客可参加如下活动:摇动如图所示的游戏转盘(上面扇形的圆心角都相等),顾客可以免费获得按照指针所指区域的数字10倍金额的店内菜品或饮品,最高120元,每人只能参加一次这个活动.记事件A:“获得不多于30元菜品或饮品”.
(1)求事件A包含的基本事件;
(2)写出事件A的对立事件,以及一个事件A的互斥事件.
解(1)事件A包含的基本事件为:{获得10元菜品或饮品},{获得20元菜品或饮品},{获得30元菜品或饮品}.
(2)事件A的对立事件是A=“获得多于30元但不多于120元菜品或饮品”,事件A的一个互斥事件为:“获得40元菜品或饮品”.
课件39张PPT。10.1.1 有限样本空间与随机事件 10.1.2 事件的关系和运算一二三一、有限样本空间的相关概念
1.抛掷两枚骰子,观察它们落地时朝上面的点数情况,你能写出该试验的样本空间吗?
提示可以考虑用有序数对(a,b)来表示试验的结果.其中a表示其中一枚骰子的点数,b表示另一枚骰子的点数,则有Ω={(a,b)|1≤a≤6,1≤b≤6,且a,b∈N*},当然Ω还可以用列举法进行表示,该空间中有36个样本点.一二三2.填空
(1)随机试验:我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验,简称试验,常用字母E表示.
说明:本节中我们研究的是具有以下特点的随机试验.
①试验可以在相同条件下重复进行;
②试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个;
③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但事先不能确定出现哪一个结果.
(2)样本点:随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点.
(3)样本空间:全体样本点的集合称为试验E的样本空间.
(4)有限样本空间:
一般地,我们用Ω表示样本空间,用ω表示样本点.如果一个试验有n个可能结果,ω1,ω2,…,ωn,则称样本空间Ω={ω1,ω2,…,ωn}为有限样本空间,也就是说Ω为有限集的情况即为有限样本空间.一二三3.做一做
袋中装有大小相同的红、白、黄、黑4个球,分别写出以下随机试验的条件和结果.
(1)从中任取1球;
(2)从中任取2球.
解:(1)条件为:从袋中任取1球,结果为:红、白、黄、黑4种.
(2)条件为:从袋中任取2球.若记(红,白)表示一次试验中取出的是红球与白球,结果为:(红,白),(红,黄),(红,黑),(白,黄),(白,黑),(黄,黑)6种.一二三二、事件的概念及分类
1.思考
(1)考察下列事件:①导体通电时发热;②向上抛出的石头会下落;③在标准大气压下,水温升高到100 ℃会沸腾.这些事件就其发生与否有什么共同特点?
提示都是必然会发生的事件.
(2)考察下列事件:①在没有水分的真空中种子发芽;②在常温常压下钢铁熔化;③一个三角形的大边所对的角小,小边所对的角大.这些事件就其发生与否有什么共同特点?
提示都是不可能发生的事件.
(3)考察下列事件:①某人射击一次,命中目标;②某人购买福利彩票中奖;③抛掷一枚质地均匀的骰子出现的点数为偶数.这些事件就其发生与否有什么共同特点?
提示都是可能发生也可能不发生的事件.一二三2.填空
(1)随机事件:样本空间Ω的子集称为随机事件,简称事件.
(2)基本事件:只包含一个样本点的事件称为基本事件.
(3)事件A发生:在每次试验中,当且仅当A中某个样本点出现时,称为事件A发生.
(4)必然事件:Ω作为自身的子集,包含了所有的样本点,在每次试验中总有一个样本点发生,所以Ω总会发生,我们称Ω为必然事件.
(5)不可能事件:空间?不包含任何样本点,在每次试验中都不会发生,我们称?为不可能事件.
说明:(1)每个事件都是样本空间Ω的一个子集.
(2)为了统一处理,将必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形.一二三3.做一做
(1)已知集合A是集合B的真子集,则下列关于非空集合A,B的四个命题:
①若任取x∈A,则x∈B是必然事件;
②若任取x?A,则x∈B是不可能事件;
③若任取x∈B,则x∈A是随机事件;
④若任取x?B,则x?A是必然事件.
其中正确的命题有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
答案:C
解析:∵集合A是集合B的真子集,∴A中的任意一个元素都是B中的元素,而B中至少有一个元素不在A中,因此①正确,②错误,③正确,④正确.一二三(2)判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
①从集合的角度看,事件?与事件Ω的关系为??Ω.( )
②必然事件也可能不发生,不可能事件一定不能发生.( )
③只有当A中的样本点都发生了,事件A才发生.( )
答案:①√ ②× ③×一二三三、利用集合的知识研究随机事件
1.思考
对于随机事件A,B之间的关系可以用如下图示来刻划,你能用集合符号表示下列图示吗?一二三2.填空 一二三一二三3.做一做
(1)掷一颗骰子,统计正面向上的点数.
记“出现5点”=A,“出现3点”=B,“出现1点”=C,
则“出现奇数点”这一事件可表示为 .事件A∪B与事件C是否互为对立事件, (填“是”或“否”).?
答案:A∪B∪C 否
(2)有甲、乙两台机床,记“甲正常工作”=A,“乙正常工作”=B,则AB表示 ,“甲不能正常工作”可记为 .?
答案:“甲、乙同时正常工作” 一二三(3)判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
①事件A发生,事件B与C不发生,则可表示为AB C.( )
②事件A,B,C均不发生可表示为A B C.( )
③事件A,B,C至少有两个发生可表示为A∪B∪C.( )
④若事件A与B是互为对立事件,则事件A与B一定为互斥事件.( )
答案:①√ ②√ ③× ④√探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练试验的样本空间
例1某人做试验,从一个装有标号为1,2,3,4的小球的盒子中,无放回地取两个小球,每次取一个,先取的小球的标号为x,后取的小球的标号为y,这样构成有序实数对(x,y).
(1)写出这个试验的样本空间;
(2)写出“第一次取出的小球上的标号为2”这一事件.
分析利用列举法按照一定的顺序逐个列举即可.探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练解:(1)当x=1时,y=2,3,4;
当x=2时,y=1,3,4;
当x=3时,y=1,2,4;
当x=4时,y=1,2,3.因此,这个试验的样本空间是Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)}.
(2)记“第一次取出的小球上的标号为2”为事件A,则A={(2,1),(2,3),(2,4)}.
反思感悟 随机事件的结果是相对于条件而言的,要弄清某一随机事件的结果,首先必须明确事件发生的条件.在写试验结果时,要按照一定的顺序采用列举法写出,注意不能重复也不能遗漏.探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练延伸探究1若将本例中的条件改为有放回地取两个小球呢?每次取一个,先取的小球的标号为x,看清编号后放回盒子摇匀,再取一个小球的标号为y,这样构成有序实数对(x,y).试写出这个试验的样本空间.
解:当x=1时,y可取1,2,3,4.
同理,x=2,3,4时,对应的不同的试验结果也有4个.
所以这个试验的样本空间为Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}.探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练延伸探究2若将本例中的条件改为无放回地取三个小球呢?每次取一个,先取的小球的标号为x,后取的小球的标号为y,最后取的小球的标号为z,这样构成有序实数对(x,y,z).试写出这个试验的样本空间.
解:当x=1时,y可取2,3,4.
若y=2,则z可取3,4;
若y=3,则z可取2,4;
若y=4,则z可取2,3.
同理,x=2,3,4时,对应的不同的试验结果也有6个.
所以,这个试验的样本空间是
Ω={(1,2,3),(1,2,4),(1,3,2),(1,3,4),(1,4,2),(1,4,3),(2,1,3),(2,1,4),(2,3,1),(2,3,4),(2,4,1),(2,4,3),(3,1,2),(3,1,4),(3,2,1),(3,2,4),(3,4,2),(3,4,1),(4,1,2),(4,1,3),(4,2,1),(4,2,3),(4,3,2),(4,3,1)}.探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练随机事件的概念及分类
例2(1)以下的随机事件中不是必然事件的是( )
A.标准大气压下,水加热到100 ℃,必会沸腾
B.长和宽分别为a,b的矩形,其面积为a×b
C.走到十字路口,遇到红灯
D.三角形内角和为180°
(2)下列事件中,是必然事件的是( )
A.任意买一张电影票,座位号是2的倍数
B.12个人中有两个人生肖相同
C.买了一注彩票中一等奖
D.实数a+b=b+a探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练答案:(1)C (2)D
解析:(1)在A中,标准大气压下,水加热到100 ℃,必会沸腾是必然事件,故A不符合题意;在B中,长和宽分别为a,b的矩形,其面积为a×b是必然事件,故B不符合题意;在C中,走到十字路口,遇到红灯是随机事件但不是必然事件,故C符合题意;在D中,三角形内角和为180°是必然事件,故D不符合题意.
(2)四个选项都是随机事件,但选项A,B,C中的事件都不确定发生,因此都不是必然事件,只有选项D总会发生,因此是必然事件.
反思感悟 (1)要判断一个事件是必然事件、随机事件、还是不可能事件,要从定义出发.
(2)必然事件和不可能事件不具有随机性,但为了统一处理,将必然事件和不可能事件作为随机事件的特殊情形,具有随机性的和不具有随机性的事件都可以理论上认为是随机事件。探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练变式训练1从6个篮球、2个排球中任选3个球,则下列事件中,不可能事件是( )
A.3个都是篮球 B.至少有1个是排球
C.3个都是排球 D.至少有1个是篮球
答案:C
解析:根据题意,从6个篮球、2个排球中任选3个球,四个选项都是随机事件,进一步C是不可能事件,D是必然事件.探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练互斥事件、对立事件的判断
例3把红、黄、蓝、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人,每人分得一张,事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是( )
A.对立事件 B.互斥但不对立事件
C.不可能事件 D.以上都不对
分析由题意可知事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生,但除了“甲分得红牌”与“乙分得红牌”之外,还有“丙分得红牌”和“丁分得红牌”,则两者不是对立事件.
答案:B探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练解析:根据题意,把红、黄、蓝、白四张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁四个人,
事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生,则两者是互斥事件,但除了“甲分得红牌”与“乙分得红牌”之外,还有“丙分得红牌”和“丁分得红牌”,则两者不是对立事件.
∴事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立事件.故选B.
反思感悟 一般判断互斥事件或对立事件从集合的角度来认识,若A∪B=Ω,A∩B=?,则称A与B互为对立;若A∩B=?,则称A与B为互斥(互不相容).对于本例中的问题, 要把样本空间明确,再进行分析.探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练变式训练2从装有3个红球和2个白球的口袋中随机取出3个球,则事件“取出1个红球和2个白球”的对立事件是( )
A.取出2个红球和1个白球
B.取出的3个球全是红球
C.取出的3个球中既有红球也有白球
D.取出的3个球中不止一个红球
答案:D
解析:从装有3个红球和2个白球的口袋中随机取出3个球,则事件“取出1个红球和2个白球”的对立事件是取出的3个球中至少有两个红球.故选D.探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练用简单事件的和或积表示复杂事件
例4已知电路图 ,其中记A1=“开关K1合上”,A2=“开关K2合上”.则A1A2表示的含义是 .?
答案:“开关K1,K2同时合上”这一事件探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练例5盒子里有6个红球,4个白球,现从中任取3个球,设事件A=“3个球中有1个红球,2个白球”,事件B=“3个球中有2个红球,1个白球”,事件C=“3个球中至少有1个红球”,事件D=“3个球中既有红球又有白球”.问:
(1)事件D与A,B是什么样的运算关系?
(2)事件C与A的交事件是什么事件?
分析事件间运算的类型:探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练解:(1)对于事件D,可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球,故D=A∪B.
(2)对于事件C,可能的结果为1个红球2个白球,2个红球1个白球,3个均为红球,故C∩A=A.
反思感悟 进行事件运算时应注意的问题
(1)进行事件的运算时,一是要紧扣运算的定义,二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果,必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析.
(2)在一些比较简单的题目中,需要判断事件之间的关系时,可以根据常识来判断.但如果遇到比较复杂的题目,就得严格按照事件之间关系的定义来推理.探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练变式训练3在掷质地均匀的骰子的试验中,可以定义许多事件.例如:
C1=“出现1点”,C2=“出现2点”,C3=“出现3点”,
C4=“出现4点”,C5=“出现5点”,C6=“出现6点”,
D1=“出现的点数不大于1”,D2=“出现的点数大于3”,
D3=“出现的点数小于5”,E=“出现的点数小于7”,
F=“出现的点数为偶数”,G=“出现的点数为奇数”,
请根据上述定义的事件,回答下列问题.
(1)请列出事件D2,事件F包含的事件及符合相等关系的事件;
(2)利用和事件的定义,判断上述哪些事件是和事件.探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练解:(1)事件D2包含事件C4,C5,C6.事件F包含事件C2,C4,C6.事件C1与事件D1相等,即C1=D1.
(2)因为D2=“出现的点数大于3”=“出现4点或出现5点或出现6点”,所以D2=C4∪C5∪C6,所以事件D2为和事件.同理可得事件D3,事件E,事件F,事件G均为和事件.探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练变式训练4从一批100件的产品中每次取出一个(取后不放回),假设100件产品中有5件是次品,用事件Ak表示第k次取到次品(k=1,2,3),试用A1,A2,A3表示下列事件.
(1)三次全取到次品.
(2)只有第一次取到次品.
(3)三次中至少有一次取到次品.
(4)三次中恰有两次取到次品.
(5)三次中至多有一次取到次品.探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练忽略试验的顺序导致试验结果出错
典例先后抛掷两枚质地均匀的硬币,则:
(1)一共可能出现多少种不同的结果?
(2)出现“一枚正面,另一枚反面”的情况有几种?
错解(1)一共出现“两枚正面”“两枚反面”“一枚正面,一枚反面”3种情况.
(2)出现“一枚正面,另一枚反面”的情况只有1种.
以上错解中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何订正?你如何防范?
错因分析将“一正、一反”“一反、一正”两种情形错认为是一种情形.在题干中若强调了“先后”“依次”“顺序”“前后”,则必须注意顺序问题.探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练正解(1)一共可能出现“两枚正面”“两枚反面”“一枚正面,一枚反面”“一枚反面,一枚正面”4种不同的结果.
(2)出现“一枚正面,另一枚反面”的情况有2种.
防范措施 1.把握随机试验的实质,明确一次试验的含义.
2.按一定的顺序用有序数组的形式写出,要不重不漏.探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练变式训练一个家庭有两个小孩儿,则可能的结果为( )
A.{(男,女),(男,男),(女,女)}
B.{(男,女),(女,男)}
C.{(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)}
D.{(男,男),(女,女)}
答案:C
解析:随机试验的所有结果要保证等可能性.两小孩儿有大小之分,所以(男,女)与(女,男)是不同的结果,故选C.探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练1.(多选)下列事件中,是随机事件的有( )
A.在学校运动会上,学生张涛获得100 m短跑冠军
B.在体育课上,体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材,抽到李凯
C.从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张,恰为1号签
D.在标准大气压下,水在4 ℃时结冰
分析利用随机事件的概念直接判断.
答案:ABCD
解析:在A中,在学校运动会上,学生张涛获得100 m短跑冠军,是随机事件;
在B中,在体育课上,体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材,抽到李凯,是随机事件;
在C中,从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张,恰为1号签,是随机事件;
在D中,在标准大气压下,水在4 ℃时结冰是不可能事件.也属于随机事件的特殊情况.探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练2.抽查10件产品,设“至少抽到2件次品”为事件A,则A的对立事件是( )
A.至多抽到2件次品 B.至多抽到2件正品
C.至少抽到2件正品 D.至多抽到一件次品
答案:D
解析:抽查10件产品,设“至少抽到2件次品”为事件A,则 为至多抽到一件次品.故选D.探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练3.一箱产品中有正品4件,次品3次,从中任取2件,下列四组事件:
①恰有一件次品和恰有两件次品;②至少有一件次品和全是次品;③至少有一件正品和至少有一件次品;④至少有一件次品和全是正品.其中两个事件互斥的是 .(填序号)?
答案:①④
解析:∵从一箱产品中任取2件,观察正品件数和次品件数,其中正品、次品都多于2件,
∴恰有一件次品和恰有两件次品是互斥的,至少有一件次品和全是正品是互斥的,∴①④是互斥事件.探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练4.(多空题)如图所示,事件A=“甲元件正常”,B=“乙元件正常”,C=“丙元件正常”.则A∪B∪C表示的含义为 , 表示的含义为 .?
答案:电路工作正常 电路工作不正常探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练5.给出下列四个命题:
①集合{x||x|<0}为空集是必然事件;
②y=f(x)是奇函数,则f(0)=0是随机事件;
③若loga(x-1)>0,则x>1是必然事件;
④对顶角不相等是不可能事件.
其中正确命题是 .?
答案:①②③④
解析:∵|x|≥0恒成立,∴①正确;奇函数y=f(x)只有当x=0有意义时才有f(0)=0,∴②正确;由loga(x-1)>0知,当a>1时,x-1>1即x>2;当0
(1)“a+b=5”这一事件包含哪几个基本事件?“a<3且b>1”呢?
(2)“ab=4”这一事件包含哪几个基本事件?“a=b”呢?
解:这个试验的基本事件构成集合Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}.
(1)“a+b=5”这一事件包含以下4个基本事件:(1,4),(2,3),(3,2),(4,1).
“a<3且b>1”这一事件包含以下6个基本事件:(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4).
(2)“ab=4”这一事件包含以下3个基本事件:(1,4),(2,2),(4,1);
“a=b”这一事件包含以下4个基本事件:(1,1),(2,2),(3,3),(4,4).10.1.3 古典概型
课后篇巩固提升
基础巩固
1.在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球,这些小球除标注的数字外完全相同,现从中随机取出2个小球,则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是( )
A.310 B.15 C.110 D.112
答案A
解析从这5个小球中任取两个,所有的取法是(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5).取出的小球标注数字之和为3或6的取法是(1,2),(1,5),(2,4),共3种,所以所求概率是310.故选A.
2.甲、乙、丙三名同学站成一排,甲站在中间的概率是 ( )
A.16 B.12 C.13 D.23
答案C
解析基本事件有:甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲,共6个,甲站在中间的事件包括:乙甲丙、丙甲乙,共2个,所以甲站在中间的概率为P=26=13.
3.从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )
A.12 B.13 C.14 D.16
答案B
解析从1,2,3,4中任取2个不同的数有以下六种情况:(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),满足取出的2个数之差的绝对值为2的有(1,3),(2,4),故所求概率是26=13.
4.在1,3,4,5,8路公共汽车都要停靠的一个站(假定这个站一次只能停靠一辆汽车),有一位乘客等候4路或8路汽车.假定当时各路汽车首先到站的可能性相等,则首先到站正好是这位乘客所需乘的汽车的概率等于( )
A.12 B.23 C.35 D.25
答案D
解析由题知,在该问题中基本事件总数为5,这位乘客等候的汽车首先到站这个事件包含2个基本事件,故所求概率为25.
5.从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( )
A.110 B.15 C.310 D.25
答案D
解析先后有放回地抽取2张卡片的情况有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),共25种.其中满足条件的有(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),共10种.因此所求的概率P=1025=25.故选D.
6.盒中装有形状、大小完全相同的5个球,其中红色球3个,黄色球2个,若从中随机取出2个球,则所取出的2个球颜色不同的概率为 .?
答案35
解析从5个球中随机取出2个球共有10种取法,所取出的2个球颜色不同的取法有(红1,黄1),(红1,黄2),(红2,黄1),(红2,黄2),(红3,黄1),(红3,黄2),共6种,故所求概率为610=35.
7.甲、乙、丙三人一起玩“黑白配”游戏:甲、乙、丙三人每次都随机出“手心(白)”、“手背(黑)”中的某一个手势,当其中一个人出示的手势与另外两人都不一样时,这个人胜出;其他情况,不分胜负.则一次游戏中甲胜出的概率是 .?
答案14
解析一次游戏中,甲、乙、丙出的方法种数都有2种,所以总共有8种方案,而甲胜出的情况有:“甲黑乙白丙白”,“甲白乙黑丙黑”,共2种,所以甲胜出的概率为28=14.
8.甲、乙两校各有3名教师报名支教,其中甲校2男1女,乙校1男2女.
(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名,写出所有可能的结果,并求选出的2名教师性别相同的概率.
(2)若从报名的6名教师中任选2名,写出所有可能的结果,并求选出的2名教师来自同一所学校的概率.
解(1)甲校2名男教师分别用A,B表示,1名女教师用C表示;乙校1名男教师用D表示,2名女教师分别用E,F表示.
从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为:(A,D),(A,E),(A,F),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),共9种.
从中选出2名教师性别相同的结果有:(A,D),(B,D),(C,E),(C,F),共4种,
所以选出的2名教师性别相同的概率为P=49.
(2)从甲校和乙校报名的6名教师中任选2名的所有可能的结果为:(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F),共15种.
从中选出2名教师来自同一所学校的结果有:(A,B),(A,C),(B,C),(D,E),(D,F),(E,F),共6种,
所以选出的2名教师来自同一所学校的概率为P=615=25.
能力提升
1.
《易经》是中国传统文化中的精髓,如图是易经八卦图(含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兑八卦),每一卦由三根线组成(—表示一根阳线,— —表示一根阴线),从八卦中任取一卦,这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率为( )
A.18 B.14 C.38 D.12
答案C
解析从八卦中任取一卦,基本事件总数n=8,
这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线包含的基本事件个数m=3,∴所求概率为P=38.故选C.
2.投掷一枚质地均匀的骰子两次,若第一次向上的点数小于第二次向上的点数,则我们称其为正试验;若第二次向上的点数小于第一次向上的点数,则我们称其为负试验;若两次向上的点数相等,则我们称其为无效试验.则一个人投掷该骰子两次出现无效试验的概率是( )
A.136 B.112 C.16 D.12
答案C
解析连续抛一枚骰子两次向上的点数记为(x,y),则有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),
(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),
共有36个基本事件,设“出现无效试验”为事件A,则事件A包含(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),共6个基本事件,则P(A)=636=16.
3.从甲、乙、丙、丁四名同学中选两人当班长和副班长,其中甲、乙是男生,丙、丁是女生,则选举结果中至少有一名女生当选的概率是 .?
答案56
解析基本事件有:(甲、乙),(甲、丙),(甲、丁),(乙、丙),(乙、丁),(丙、丁)共6个,其中“没有女生当选”只包含(甲、乙)1个,故至少一名女生当选的概率为P=1-P(没有女生当选)=1-16=56.
4.从2,3,8,9中任取两个不同的数字,分别记为a,b,则logab为整数的概率是 .?
答案16
解析从2,3,8,9中任取两个数记为a,b,作为对数的底数与真数,共有3×4=12个不同的基本事件,其中为整数的只有log28,log39两个基本事件,所以其概率P=212=16.
5.某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究,他们分别记录了 3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天100颗种子浸泡后的发芽数,得到如下资料:
日期
3月1日
3月2日
3月3日
3月4日
3月5日
温差
x/℃
10
11
13
12
8
发芽数
y/颗
23
25
30
26
16
(1)求这5天发芽数的中位数;
(2)求这5天的平均发芽率;
(3)从3月1日至3月5日中任选2天,记前面一天发芽的种子数为m,后面一天发芽的种子数为n,用(m,n)的形式列出所有基本事件,并求满足“25≤m≤30,25≤n≤30”的概率.
解(1)因为16<23<25<26<30,所以这5天发芽数的中位数是25.
(2)这5天的平均发芽率为
23+25+30+26+16100+100+100+100+100×100%=24%.
(3)用(x,y)表示所求基本事件,则有(23,25),(23,30),(23,26),(23,16),(25,30),(25,26),(25,16),(30,26),(30,16),(26,16),共10个基本事件.
记“25≤m≤30,25≤n≤30”为事件A,则事件A包含的基本事件为(25,30),(25,26),(30,26),共有3个基本事件.所以P(A)=310,即事件“25≤m≤30,25≤n≤30”的概率为310.
课件34张PPT。10.1.3 古典概型一二三一、随机事件的概率
对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率,事件A的概率用P(A)表示.一二三二、古典概型
1.思考
请根据试验一、试验二的要求完成下列问题.
(1)试验一:抛掷一枚质地均匀的硬币,分别记录“正面朝上”和“反面朝上”的次数,要求每个数学小组至少完成60次.
(2)试验二:抛掷一枚质地均匀的骰子,分别记录朝上一面出现“1点”、“2点”、“3点”、“4点”、“5点”和“6点”的次数,要求每个数学小组至少完成60次.
问题①:根据两个模拟试验的结果,完成下表.问题②:上述试验中出现的结果有什么特点? 一二三答案:问题①:{正面向上,反面向上} 互斥 {1,2,3,4,5,6} 互斥
问题②:试验中所有可能出现的结果只有有限个;每个结果出现的可能性相等.一二三2.填空
(1)有限性:样本空间的样本点只有有限个;
(2)等可能性:每个样本点发生的可能性相等.
我们将具有上述两个特征的试验称为古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型,简称古典概型.
名师点拨 (1)由古典概型的定义可得古典概型满足基本事件的有限性和等可能性这两个重要特征,所以求事件的概率就可以不用通过大量的重复试验,而只要对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可.
(2)在古典概型中,每个基本事件发生的可能性都相等,称这些基本事件为等可能基本事件.一二三3.做一做
(1)下列试验中,是古典概型的个数为( )
①种下一粒花生,观察它是否发芽;
②向上抛一枚质地不均的硬币,观察正面向上的概率;
③正方形ABCD内任意一点P,点P恰与点C重合;
④从1,2,3,4四个数中,任取两个数,求所取两数之一是2的概率;
⑤在线段[0,5]上任取一点,求此点小于2的概率.
A.0 B.1 C.2 D.3
答案:B
解析:只有④是古典概型.一二三(2)判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
①古典概型中,试验中出现的样本点可以是无限多. ( )
②掷两颗骰子,计算正面向上的数字之和,则每种和值出现机会均等. ( )
答案:①× ②×一二三三、古典概型的概率公式
1.思考
某汽车站每天均有3辆开往省城的分上、中、下等级的客车.某天王先生准备在该汽车站乘车去省城办事,但他不知道客车的车况,也不知道发车顺序.为了尽可能乘上上等车,他采取如下策略:先不上第一辆,如果第二辆比第一辆好则上第二辆,否则上第三辆,那么你能得出王先生能乘上上等车的概率吗?
提示共有6种发车顺序:①上、中、下;②上、下、中;③中、上、下;④中、下、上;⑤下、中、上;⑥下、上、中(其中画线的表示王先生所乘的车),所以他乘上上等车的概率为一二三2.填空
一般地,设试验E是古典概型,样本空间Ω包含n个样本点,事件A包含其中的k个样本点,则定义事件A的概率
其中,n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.
3.做一做
从甲、乙、丙三人中,任选两名代表,甲被选中的概率为( )
答案:D
解析:甲、乙、丙三人中任选两名代表有如下三种情况:(甲、乙),(甲、丙),(乙、丙),其中甲被选中包含两种,因此所求概率为 .一二三归纳总结 求解古典概型问题的一般思路
(1)明确试验的条件及要观察的结果,用适当的符号(字母、数字、数组等)表示试验的可能结果(借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有的可能结果);
(2)根据实际问题情境判断样本点的等可能性;
(3)计算样本点总个数及事件A包含的样本点个数,求出事件A的概率.探究一探究二探究三随堂演练基本事件的计数问题
例1将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次,观察两次出现的点数情况,则:
(1)一共有几个基本事件?
(2)“出现的点数之和大于8”包含几个基本事件?
分析先列出所有的基本事件,再确定个数.探究一探究二探究三随堂演练解:解法一:
(1)用(x,y)表示结果,其中x表示第1次骰子出现的点数,y表示第2次骰子出现的点数,则试验的所有结果为:
(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),
(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6).
共36个基本事件.
(2)“出现的点数之和大于8”包含以下10个基本事件:(3,6),(4,5),(4,6),(5,4),(5,5),(5,6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6).探究一探究二探究三随堂演练解法二:如下图所示,坐标平面内的数表示相应两次抛掷后出现的点数的和,基本事件与所描点一一对应.
(1)由图知,基本事件的总数为36.
(2)“出现的点数之和大于8”包含10个基本事件(已用虚线圈出).探究一探究二探究三随堂演练解法三:一枚骰子先后抛掷两次的所有可能结果用树形图表示.如下图所示.
(1)由图知,共36个基本事件.
(2)“出现的点数之和大于8”包含10个基本事件(已用“√”标出).探究一探究二探究三随堂演练反思感悟 1.在列出基本事件时,应先确定基本事件是否与顺序有关.写基本事件时,一定要按一定顺序写,这样不容易漏写.
2.求基本事件总数的常用方法
(1)列举法:适合于较简单的问题.
(2)列表法:适合求较复杂问题中的基本事件数.
(3)树形图法:适合较复杂问题中基本事件的探求.探究一探究二探究三随堂演练变式训练1袋中有2个标号分别为1,2的白球和2个标号分别为3,4的黑球,这4个球除颜色、标号外完全相同,4个人按顺序依次从中摸出1个球,求基本事件的个数.
解:4个人按顺序依次从袋中摸出1个球的所有可能结果用树形图表示如图:探究一探究二探究三随堂演练古典概型的多种求解策略
例2一个盒子中放有5个完全相同的小球,其上分别标有号码1,2,3,4,5.从中任取一个,记下号码后放回.再取出1个,记下号码后放回,按顺序记录为(x,y).
(1)求所得两球标号的和为6的概率;
(2)求所得两球标号的和是3的倍数的概率.探究一探究二探究三随堂演练解:列出所有的基本事件,共25个,如图所示.
(1)由图可直观地看出“所得两球标号的和为6”包含5个基本事件:(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),故所求概率为
(2)“两球标号的和为3的倍数”包含(2,1),(1,2),(1,5),(2,4),(3,3),(5,1),(4,2),(4,5),(5,4),共9个基本事件,
故所求概率为 .探究一探究二探究三随堂演练反思感悟 1.求解古典概型“四步法” 探究一探究二探究三随堂演练2.列表法求解基本事件个数的思路
列表法就是利用表格的形式列出所有的基本事件,通常用来解决试验中包含两个或两个以上的元素,且试验结果比较多的问题.表格的行与列分别代表不同的元素,根据试验的要求直接在表格中标出相应的结果,这种方法直观、简洁、不易出错.
3.用坐标系来表示基本事件多用于二维或三维问题,并且往往表达含有顺序问题的基本事件,但要求元素不宜过多.
4.树形图可以清晰准确地列出所有的基本事件,画树形图求概率的基本步骤:
(1)明确一次试验的几个步骤及顺序;
(2)画树形图列举一次试验的所有可能结果;
(3)明确基本事件,数出n(A),n(Ω);探究一探究二探究三随堂演练变式训练2甲、乙、丙三个盒中分别装有大小、形状相同的卡片若干,甲盒中装有2张卡片,分别写有字母A和B;乙盒中装有3张卡片,分别写有字母C、D和E;丙盒中装有2张卡片,分别写有字母H和I.现要从3个盒中各随机取出一张卡片.求:
(1)取出的3张卡片中恰好有1张,2张,3张写有元音字母的概率分别是多少?
(2)取出的3张卡片上全是辅音字母的概率是多少?探究一探究二探究三随堂演练解:根据题意,可画出如下树形图:
由树形图可以得到,所有可能出现的基本事件有12个,它们出现的可能性相等.探究一探究二探究三随堂演练古典概型与其他统计知识的交汇问题
例3某校从高一年级某次数学竞赛的成绩中随机抽取100名学生的成绩,分组为[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],统计后得到频率分布直方图如图所示.(1)试估计这组样本数据的众数和中位数(结果精确到0.1).(2)年级决定在成绩[70,100]中用分层随机抽样抽取6人组成一个调研小组,对高一年级学生课外学习数学的情况做一个调查,则在[70,80),[80,90),[90,100]这三组分别抽取了多少人?
(3)现在要从(2)中抽取的6人中选出正副2个小组长,求成绩在[80,90)中至少有1人当选为正副小组长的概率.探究一探究二探究三随堂演练分析(1)由频率分布直方图能求出众数、中位数.
(2)先求出成绩为[70,80),[80,90),[90,100)这三组的频率,由此能求出[70,80),[80,90),[90,100]这三组抽取的人数.
(3)由(2)知成绩在[70,80)有3人,分别记为a,b,c;成绩在[80,90)有2人,分别记为d,e;成绩在[90,100]有1人,记为f.由此利用列举法能求出成绩在[80,90)中至少有1人当选为正副小组长的概率.解:(1)由频率分布直方图得,众数为 =65.
成绩在[50,70)内的频率为(0.005+0.035)×10=0.4,
成绩在[70,80)内的频率为0.03×10=0.3,
∴中位数为70+ ×10≈73.3.
(2)成绩为[70,80),[80,90),[90,100]这三组的频率分别为0.3,0.2,0.1,
∴[70,80),[80,90),[90,100]这三组抽取的人数分别为3,2,1.探究一探究二探究三随堂演练(3)由(2)知成绩在[70,80)有3人,分别记为a,b,c;成绩在[80,90)有2人,分别记为d,e;成绩在[90,100]有1人,记为f.
∴从抽取的6人中选出正副2个小组长包含的基本事件有30个,分别为ab,ba,ac,ca,ad,da,ae,ea,af,fa,bc,cb,bd,db,be,eb,bf,fb,cd,dc,ce,
ec,cf,fc,de,ed,df,fd,ef,fe.
记“成绩在[80,90)中至少有1人当选为正副小组长”为事件Q,则事件Q包含的基本事件有18种,
∴成绩在[80,90)中至少有1人当选为正副小组长的概率
反思感悟 概率问题常常与统计问题综合考查,在此类问题中,概率与频率的区别并不是十分明显,通常直接用题目中的频率代替概率进行计算.探究一探究二探究三随堂演练延伸探究从某校高二年级800名男生中随机抽取50名测量其身高(单位:cm,被测学生的身高全部在 155 cm到195 cm之间),将测量结果按如下方式分成8组:第一组[155,160),第二组[160,165),…,第八组[190,195],绘制成的频率分布直方图如图所示,若从身高位于第六组和第八组的男生中随机抽取2名,记他们的身高分别为x,y,则|x-y|≤5的概率为( )探究一探究二探究三随堂演练答案:A
解析:由频率分布直方图,可知身高在[180,185)的人数为0.016×5×50=4,分别记为a,b,c,d;身高在[190,195)的人数为0.008×5×50=2,分别记为A,B,若x,y∈[180,185],则有ab,ac,ad,bc,bd,cd,共6种情况;若x,y∈[190,195],则有AB,共1种情况;若x∈[180,185),y∈[190,195]或x∈[190,195],y∈[180,185),则有aA,bA,cA,dA,aB,bB,cB,dB,共8种情况.所以基本事件的总数为6+1+8=15,而事件“|x-y|≤5”所包含的基本事件数为6+1=7,探究一探究二探究三随堂演练1.标有数字1,2,3,4,5的卡片各一张,从这5张卡片中随机抽取1张,不放回地再随机抽取1张,则抽取的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( )答案:A 解析:如图:
基本事件的总数为20,其中第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包括的基本事件个数是10个,故所求概率探究一探究二探究三随堂演练2.《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事.“田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马;田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马;田忌的下等马劣于齐王的下等马.”双方从各自的马匹中随机选一匹进行一场比赛,则田忌的马获胜的概率为( )
答案:A
解析:设齐王的上,中,下三个等次的马分别为a,b,c,田忌的上,中,下三个等次的马分别记为A,B,C,从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛的所有的可能为Aa,Ab,Ac,Ba,Bb,Bc,Ca,Cb,Cc,根据题意,其中Ab,Ac,Bc是田忌获胜,则田忌获胜的概率为 .故选A.探究一探究二探究三随堂演练3.将一颗骰子掷两次,观察出现的点数,并记第一次出现的点数为m,第二次出现的点数为n,向量p=(m,n),q=(2,6),则向量p与q共线的概率为 .?
解析:∵试验发生包含的事件是一颗骰子掷两次,共有6×6=36种结果,满足条件的事件是使向量p=(m,n)与q=(2,6)共线,即6m-2n=0,∴n=3m,
满足这种条件的有(1,3),(2,6),共有2种结果,探究一探究二探究三随堂演练4.现有5根竹竿,它们的长度(单位:m)分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,若从中一次随机抽取2根竹竿,则它们的长度恰好相差0.3 m的概率为 .?
解析:从5根竹竿中一次随机抽取2根的事件总数为10,它们的长度恰好相差0.3 m的事件数为2,分别是:2.5和2.8,2.6和2.9,所求概率为探究一探究二探究三随堂演练5.某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况,随机访问50名职工.根据这50名职工对该部门的评分,绘制频率分布直方图(如图所示),其中样本数据分组区间为[40,50),[50,60),…,[80,90),[90,100].
(1)求频率分布直方图中a的值;
(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的频率;
(3)从评分在[40,60)的受访职工中,随机抽取2人,求此2人的评分都在[40,50)的概率.探究一探究二探究三随堂演练解:(1)因为(0.004+a+0.018+0.022×2+0.028)×10=1,所以a=0.006.
(2)由所给频率分布直方图知,50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022+0.018)×10=0.4,所以估计该企业职工对该部门评分不低于80的频率为0.4.
(3)受访职工中评分在[50,60)的有50×0.006×10=3(人),记为A1,A2,A3;受访职工中评分在[40,50)的有50×0.004×10=2(人),记为B1,B2.从这5名受访职工中随机抽取2人,所有可能的结果共有10种,它们是(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2),又因为所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种,即(B1,B2),10.1.4 概率的基本性质
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基础巩固
1.从1,2,3,…,9中任取两数,其中:①恰有一个偶数和恰有一个奇数;②至少有一个奇数和两个都是奇数;③至少有一个奇数和两个都是偶数;④至少有一个奇数和至少有一个偶数.在上述事件中,两个事件互为对立的是 ( )
A.① B.②④ C.③ D.①③
答案C
解析从1~9中任取两数,有以下三种情况:(1)两个均为奇数;(2)两个均为偶数;(3)一个奇数和一个偶数.故选C.
2.在5张电话卡中,有3张移动卡和2张联通卡,从中任取2张,若事件“2张全是移动卡”的概率是310,那么概率是710的事件是( )
A.至多有一张移动卡 B.恰有一张移动卡
C.都不是移动卡 D.至少有一张移动卡
答案A
解析∵在5张电话卡中,有3张移动卡和2张联通卡,从中任取2张,若事件“2张全是移动卡”的概率是310,
∴概率是710的事件是“2张全是移动卡”的对立事件,
∴概率是710的事件是“至多有一张移动卡”.故选A.
3.从一批羽毛球产品中任取一个,其质量小于4.8 g的概率为0.3,质量不超过4.85 g的概率为0.32,那么质量在[4.8,4.85]范围内的概率是( )
A.0.62 B.0.38 C.0.02 D.0.68
答案C
解析设质量小于4.8 g为事件A,不超过4.85 g为事件B,在[4.8,4.85]范围内为事件C,则A∪C=B,又A与C互斥,所以P(A∪C)=P(A)+P(C)=P(B),即0.3+P(C)=0.32,所以P(C)=0.02.
4.甲、乙两人下棋,甲获胜的概率是40%,甲不输的概率为90%,那甲、乙二人下成和棋的概率为( )
A.60% B.40% C.10% D.50%
答案D
解析甲不输即为甲获胜或甲、乙二人下成和棋,设两人下成和棋的概率是P,则90%=40%+P,
∴P=50%.故选D.
5.盒子中有若干个红球和黄球,已知从盒子中取出2个球都是红球的概率为328,从盒子中取出2个球都是黄球的概率是514,则从盒子中任意取出2个球恰好是同一颜色的概率是( )
A.1328 B.57 C.1528 D.37
答案A
解析设A=“从中取出2个球都是红球”,B=“从中取出2个球都是黄球”,C=“任意取出2个球恰好是同一颜色”,则C=A∪B,且事件A与B互斥,所以P(C)=P(A)+P(B)=328+514=1328,
即任意取出2个球恰好是同一颜色的概率为1328.故选A.
6.若事件A,B互斥,P(A)=3P(B),P(A∪B)=0.8,则P(A)= .?
答案0.6
解析∵A,B互斥,∴P(A∪B)=P(A)+P(B).
又∵P(A)=3P(B),∴4P(B)=0.8,P(B)=0.2.
∴P(A)=0.6.
7.同时抛掷两枚骰子,没有5点和6点的概率为49,则至少有一个5点或6点的概率是 .?
答案59
解析记事件A=“同时抛掷两枚骰子,没有5点和6点”,则有P(A)=49,则A为“同时抛掷两枚骰子,至少有一个5点或6点”,A与A为对立事件.所以P(A)=1-P(A)=1-49=59.
8.
(多空题)如图所示,靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成,射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为0.35,0.30,0.25,则射手命中圆环Ⅱ或Ⅲ的概率为 .不命中靶的概率是 .?
答案0.55 0.10
解析射手命中Ⅱ或Ⅲ的概率为P=0.30+0.25=0.55.射手命中圆面Ⅰ为事件A,命中圆环Ⅱ为事件B,命中圆环Ⅲ为事件C,不中靶为事件D,则A、B、C互斥,故射手中靶的概率为P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.35+0.30+0.25=0.90.
因为中靶和不中靶是对立事件,故不命中靶的概率为P(D)=1-P(A∪B∪C)=1-0.90=0.10.
9.某服务电话,打进的电话响第1声时被接的概率是0.1;响第2声时被接的概率是0.2;响第3声时被接的概率是0.3;响第4声时被接的概率是0.35.
(1)打进的电话在响5声之前被接的概率是多少?
(2)打进的电话响4声而不被接的概率是多少?
解(1)设事件“电话响第k声时被接”为Ak(k∈N),
那么事件Ak彼此互斥,
设“打进的电话在响5声之前被接”为事件A,
根据互斥事件概率加法公式,得
P(A)=P(A1∪A2∪A3∪A4)
=P(A1)+P(A2)+P(A3)+P(A4)
=0.1+0.2+0.3+0.35=0.95.
(2)事件“打进的电话响4声而不被接”是事件B,
“打进的电话在响5声之前被接”的对立事件,记为B,
根据对立事件的概率公式,得P(B)=1-P(B)=1-0.95=0.05.
能力提升
1.若A,B为互斥事件,则( )
A.P(A)+P(B)<1 B.P(A)+P(B)>1
C.P(A)+P(B)=1 D.P(A)+P(B)≤1
答案D
解析由已知中A,B为互斥事件,由互斥事件概率加法公式可得P(A)+P(B)≤1,
当A,B为对立事件时,P(A)+P(B)=1.故选D.
2.抛掷一枚质地均匀的骰子,向上的一面出现任意一种点数的概率都是16,记事件A为“向上的点数是奇数”,事件B为“向上的点数不超过3”,则概率P(A∪B)=( )
A.12 B.13 C.23 D.56
答案C
解析∵抛掷一枚质地均匀的骰子,向上的一面出现任意一种点数的概率都是16,
∴P(A)=36=12,P(B)=36=12,P(AB)=26=13,
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=12+12?13=23.故选C.
3.某医院一天要派出医生下乡义诊,派出的医生人数及其概率如下表所示:
人数
0
1
2
3
4
5人及5人以上
概率
0.1
0.16
0.3
0.2
0.2
0.04
(1)求派出医生至多2人的概率;
(2)求派出医生至少2人的概率.
解设“不派出医生”为事件A,“派出1名医生”为事件B,“派出2名医生”为事件C,“派出3名医生”为事件D,“派出4名医生”为事件E,“派出5名及5名以上医生”为事件F,事件A,B,C,D,E,F彼此互斥,且P(A)=0.1,P(B)=0.16,P(C)=0.3,P(D)=0.2,P(E)=0.2,P(F)=0.04.
(1)“派出医生至多2人”的概率为P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.
(2)方法一 “派出医生至少2人”的概率为P(C∪D∪E∪F)=P(C)+P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.2+0.2+0.04=0.74.
方法二 “派出医生至少2人”的概率为1-P(A∪B)=1-0.1-0.16=0.74.
4.某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如下表所示.
一次购
物量
1至
4件
5至
8件
9至
12件
13至
16件
17件及
以上
顾客数(人)
x
30
25
y
10
结算时间
(分钟/人)
1
1.5
2
2.5
3
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.
(1)确定x,y的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值;
(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.(将频率视为概率)
解(1)由已知得25+y+10=55,x+30=45,所以x=15,y=20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为一个容量为100的简单随机样本,顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计,其估计值为1×15+1.5×30+2×25+2.5×20+3×10100=1.9(分钟).
(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”,A1,A2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”,“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”,将频率视为概率,得
P(A1)=20100=15,P(A2)=10100=110.
P(A)=1-P(A1)-P(A2)=1-15?110=710.
故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为710.
课件27张PPT。10.1.4 概率的基本性质概率的基本性质
1.思考
在抛掷质地均匀的骰子试验中,我们定义如下事件:C1=“出现1点”,C2=“出现2点”,C3=“出现3点”,C4=“出现4点”,C5=“出现5点”,C6=“出现6点”,D1=“出现的点数不大于1”,D2=“出现的点数大于4”,D3=“出现的点数小于6”,E=“出现的点数小于7”,F=“出现的点数大于6”,G=“出现的点数为偶数”,H=“出现的点数为奇数”,等等.
(1)上述事件中哪些是必然事件?哪些是不可能事件?
提示E是必然事件;F是不可能事件.
(2)如果事件C1发生,那么一定有哪些事件发生?反之,成立吗?在集合中,集合C1与这些集合之间的关系怎样描述?
提示如果事件C1发生,那么一定发生的事件有D1,D3,E,H,反之,如果事件D1,D3,E,H分别成立,那么能推出事件C1发生的只有D1.所以从集合的观点看,事件C1是事件D3,E,H的子集,集合C1与集合D1相等.(3)如果事件A与事件B互斥,则事件A∪B发生的频数与事件A发生、事件B发生的频数有什么关系?fn(A∪B)与fn(A),fn(B)有什么关系?进一步得到P(A∪B)与P(A),P(B)有什么关系?
提示若事件A与事件B互斥,则A∪B发生的频数等于事件A发生的频数与事件B发生的频数之和,从而有fn(A∪B)=fn(A)+fn(B),由此得到P(A∪B)=P(A)+P(B),这就是概率的加法公式.
(4)如果事件A与事件B互为对立事件,P(A∪B)与P(A),P(B)又有什么关系?
提示因为事件A与事件B互为对立事件,所以A∪B为必然事件,所以P(A∪B)=1.由P(A∪B)=P(A)+P(B),得1=P(A)+P(B),从而得出P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B).2.填空 归纳提升 (1)对于P(A∪B)=P(A)+P(B)应用的前提是A,B互斥,并且该公式可以推广到多个事件的情况.如果事件A1,A2,…,Am两两互斥,那么事件A1∪A2∪…∪Am发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和,即
P(A1∪A2∪…∪Am)=P(A1)+P(A2)+…+P(Am).
该公式我们常称为互斥事件的概率加法公式.
(2)若A与B互为对立,则有P(A)+P(B)=1;若P(A)+P(B)>1,并不能得出A与B互为对立.
(3)对于概率加法的一般公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B),当A∩B=?时,就是性质3.3.做一做
(1)从装有20个红球和30个白球的罐子里任取两个球,下列情况中是互斥而不是对立的两个事件是( )
A.至少有一个红球与至少有一个白球
B.恰有一个红球与都是白球
C.至少有一个红球与都是白球
D.至多有一个红球与都是红球
(2)掷一枚均匀的正六面体骰子,设A=“出现3点”,B=“出现偶数点”,则P(A∪B)等于 .?
(3)甲、乙两人各射击一次,命中率分别为0.8和0.5,两人同时命中的概率为0.4,则甲、乙两人至少有一人命中的概率为 .?(4)判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
①互斥事件不一定是对立事件,但对立事件一定是互斥事件.( )
②在同一试验中的两个事件A与B,一定有P(A∪B)=P(A)+P(B).( )
③若事件A,B满足P(A)+P(B)=1,则A,B是对立事件.( )解析:(1)由题意所有的基本事件可分为三类:两个红球,一红一白,两个白球.易知A选项的事件不互斥;C、D两个选项中的事件为对立事件;而B项中的事件是互斥,同时还有“两个红球”的事件,故不对立.故选B.
(3)设事件A=“甲命中”,事件B=“乙命中”,则“甲、乙两人至少有一人命中”为事件A∪B,
∴P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=0.8+0.5-0.4=0.9.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练互斥、互为对立事件的判断
例1判断下列各事件是不是互斥事件,如果是互斥事件,那么是不是对立事件,并说明理由.
某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学去参加演讲比赛,其中:
(1)恰有1名男生和恰有2名男生;
(2)至少有1名男生和至少有1名女生;
(3)至少有1名男生和全是女生.
分析根据互斥事件、对立事件的定义来判断.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练解:(1)是互斥事件.理由是在所选的2名同学中,“恰有1名男生”实质是选出“1名男生和1名女生”,它与“恰有2名男生”不可能同时发生,所以是互斥事件.不是对立事件.理由是当选出的2名同学都是女生时,这两个事件都没有发生,所以不是对立事件.
(2)不是互斥事件.理由是“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”这两种结果,“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“2名都是女生”这两种结果,当选出的是1名男生、1名女生时,它们同时发生.这两个事件也不是对立事件.理由是这两个事件能同时发生,所以不是对立事件.
(3)是互斥事件.理由是“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”这两种结果,它与“全是女生”不可能同时发生.是对立事件.理由是这两个事件不能同时发生,且必有一个发生,所以是对立事件.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟 1.判断互斥事件和对立事件时,主要用定义来判断.当两个事件不能同时发生时,这两个事件是互斥事件;当两个事件不能同时发生且必有一个发生时,这两个事件是对立事件.
2.当事件的构成比较复杂时,可借助于集合的思想方法进行互斥事件、对立事件的判定.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练延伸探究在本例中,若从中任选3名同学呢?试分析问题(1),(2)的两个事件之间的关系.
解:(1)是互斥事件.理由是在所选的3名同学中“恰有1名男生”实质是选出“1名男生和2名女生”;“恰有2名男生”实质是选出“2名男生和1名女生”,显然两个事件不能同时发生,是互斥事件;
两个事件不是对立事件,因为当选出“3名男生”时,两个事件可以同时不发生.
综上,两个事件是互斥事件,但不是对立事件.
(2)不是互斥事件.理由是“至少有1名男生”包含“有1名男生2名女生”“有2名男生1名女生”“有3名男生”三种结果;“至少有1名女生”则包含“1名女生2名男生”“2名女生1名男生”,显然两个事件可以同时发生,所以不是互斥事件,更不是对立事件.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练互斥事件的概率加法公式的应用
例2已知事件E,F互斥,P(E)=0.2,P(E∪F)=0.8,则P(F)= .?
分析由E,F互斥,得到P(F)=P(E∪F)-P(E),由此能求出结果.
答案:0.6
解析:∵E,F互斥,P(E)=0.2,P(E∪F)=0.8,
∴P(F)=P(E∪F)-P(E)=0.8-0.2=0.6.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练例3玻璃盒子装有各种颜色的球共12个,其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球,从中任取1个球.设事件A=“取出1个红球”,事件B=“取出1个黑球”,事件C=“取出1个白球”,事件D=“取出1个绿球”,
(1)“取出1球为红球或黑球”的概率;
(2)“取出1球为红球或黑球或白球”的概率.
分析先判断各事件间的关系,再用公式求解.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟 1.将所求事件转化为彼此互斥的若干个事件的和,利用概率的加法公式求解.互斥事件的概率加法公式可以推广为P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An),其使用的前提条件仍然是A1,A2,…,An彼此互斥.在将事件拆分成若干个互斥事件时,注意不能重复和遗漏.
2.当所要拆分的事件非常烦琐,而其对立事件较为简单时,可先求其对立事件的概率,再运用公式求解.但是一定要找准其对立事件,避免错误.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练探究一探究二探究三思维辨析随堂演练概率一般加法公式的应用
例4甲、乙、丙、丁四人参加4×100米接力赛,他们跑每一棒的概率均为 .求甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟 (1)对于与古典概型有关的问题可直接结合A∪B,A,B,A∩B的含义进行求解.
(2)若该模型不是古典概型,则需要套用公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B),特别要注意P(A∩B)的数值.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练变式训练2在所有的两位数(10~99)中,任取一个数恰好能被2或3整除的概率是( )
答案:C探究一探究二探究三思维辨析随堂演练用逆向思维方法处理概率问题
典例甲、乙两人参加普法知识竞赛,共有5个不同的题目.其中,选择题3个,判断题2个,甲、乙两人各抽一题.
(1)甲、乙两人中有一个抽到选择题,另一个抽到判断题的概率是多少?
(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少?
解:把3个选择题记为x1,x2,x3,2个判断题记为p1,p2.总的事件数为20.
“甲抽到选择题,乙抽到判断题”的情况有:(x1,p1),(x1,p2),(x2,p1),(x2,p2),(x3,p1),(x3,p2),共6种;
“甲抽到判断题,乙抽到选择题”的情况有:(p1,x1),(p1,x2),(p1,x3),(p2,x1),(p2,x2),(p2,x3),共6种;
“甲、乙都抽到选择题”的情况有:(x1,x2),(x1,x3),(x2,x1),(x2,x3),(x3,x1),(x3,x2),共6种;
“甲、乙都抽到判断题”的情况有:(p1,p2),(p2,p1),共2种.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练归纳提升 在求解复杂的事件的概率时,通常有两种方法,一是将所求事件的概率转化成彼此互斥的概率之和.二是先求此事件的对立事件的概率,特别是在涉及“至多”或“至少”问题时,常常用此思维模式.再利用P(A)=1-P( )来得出原问题的解.这种处理问题的方法称为逆向思维,有时能使问题的解决事半功倍.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练1.给出以下结论:①互斥事件一定对立;②对立事件一定互斥;③互斥事件不一定对立;④事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率;⑤事件A与B互斥,则有P(A)=1-P(B).其中正确命题的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
答案:C
解析:对立必互斥,互斥不一定对立,故②③正确,①错;又当A∪B=A时,P(A∪B)=P(A),故④错;只有事件A与B为对立事件时,才有P(A)=1-P(B),故⑤错.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练答案:C 3.若事件A,B满足A∩B=?,A∪B=Ω,且P(A)=0.3,则P(B)= .?
答案:0.7探究一探究二探究三思维辨析随堂演练4.盒子中有大小、形状均相同的一些黑球、白球和黄球,从中摸出一个球,摸出黑球的概率是0.42,摸出黄球的概率是0.18,则摸出的球是白球的概率是 ,摸出的球不是黄球的概率是 ,摸出的球或者是黄球或者是黑球的概率是 .?
答案:0.40 0.82 0.60
5.一个电路板上装有甲、乙两根熔丝,甲熔断的概率为0.85,乙熔断的概率为0.74,两根同时熔断的概率为0.63,问至少有一根熔断的概率是多少?
解:设A=“甲熔丝熔断”,B=“乙熔丝熔断”,则“甲、乙两根熔丝至少有一根熔断”为事件A∪B.
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)
=0.85+0.74-0.63
=0.96.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练6.据统计,某储蓄所一个窗口排队等候的人数及相应概率如下表:
(1)求至多2人排队等候的概率;
(2)求至少2人排队等候的概率.
解:记在窗口排队等候的人数为0,1,2分别为事件A,B,C,则A,B,C两两互斥.
(1)至多2人排队等候的概率是P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.
(2)至少2人排队等候的对立事件是“排队等候人数为0或1”,而排队等候人数为0或1的概率为P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.1+0.16=0.26,故至少2人排队等候的概率为1-0.26=0.74.10.2 事件的相互独立性
课后篇巩固提升
基础巩固
1.如图,在两个圆盘中,指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等,那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )
A.49 B.29 C.23 D.13
答案A
解析左边圆盘指针落在奇数区域的概率为46=23,右边圆盘指针落在奇数区域的概率也为23,则两个指针同时落在奇数区域的概率为23×23=49.
2.种植两株不同的花卉,若它们的成活率分别为p和q,则恰有一株成活的概率为( )
A.pq B.p+q
C.p+q-pq D.p+q-2pq
答案D
解析恰有一株成活的概率为p(1-q)+(1-p)q=p+q-2pq.
3.在某道路A,B,C三处设有交通灯,这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒.某辆车在这条道路上匀速行驶,则三处都不停车的概率为( )
A.21192 B.25192 C.35192 D.35576
答案C
解析由题意可知,每个交通灯开放绿灯的概率分别为512,712,34.在这条道路上匀速行驶,则三处都不停车的概率为512×712×34=35192.
4.袋内有除颜色外其他都相同的3个白球和2个黑球,从中有放回地摸球,用事件A表示“第一次摸得白球”,如果“第二次摸得白球”记为事件B,否则记为事件C,那么事件A与B,A与C间的关系是( )
A.A与B,A与C均相互独立
B.A与B相互独立,A与C互斥
C.A与B,A与C均互斥
D.A与B互斥,A与C相互独立
答案A
解析由于摸球是有放回的,则第一次摸球的结果对第二次摸球的结果没有影响,故A与B,A与C均相互独立.而A与B,A与C均能同时发生,从而不互斥.
5.设两个相互独立的事件A,B都不发生的概率为19,A发生B不发生的概率等于B发生A不发生的概率,则事件A发生的概率P(A)是 .?
答案23
解析由已知可得
[1-P(A)][1-P(B)]=19,P(A)[1-P(B)]=P(B)[1-P(A)],
解得P(A)=P(B)=23.
6.台风在危害人类的同时,也在保护人类.台风给人类送来了淡水资源,大大缓解了全球水荒,另外还使世界各地冷热保持相对均衡.甲、乙、丙三颗卫星同时监测台风,在同一时刻,甲、乙、丙三颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8,0.7,0.9,各卫星间相互独立,则在同一时刻至少有两颗卫星预报准确的概率是 .?
答案0.902
解析设甲、乙、丙预报准确依次记为事件A,B,C,不准确记为事件A,B,C,则P(A)=0.8,P(B)=0.7,P(C)=0.9,P(A)=0.2,P(B)=0.3,P(C)=0.1,至少两颗预报准确的事件有ABC,ABC,ABC,ABC,这四个事件两两互斥.
∴至少两颗卫星预报准确的概率为
P=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=0.8×0.7×0.1+0.8×0.3×0.9+0.2×0.7×0.9+0.8×0.7×0.9=0.056+0.216+0.126+0.504=0.902.
7.从甲袋中摸出1个红球的概率是13,从乙袋中摸出1个红球的概率是12,从两袋内各摸出1个球,则
(1)2个球不都是红球的概率为 .?
(2)2个球都是红球的概率为 .?
(3)至少有1个红球的概率为 .?
(4)2个球中恰好有1个红球的概率为 .?
答案(1)56 (2)16 (3)23 (4)12
解析(1),(2),(3),(4)中的事件依次记为A,B,C,D,
则P(A)=1-12×13=56;
P(B)=13×12=16;
P(C)=1-1-12×1-13=23;
P(D)=13×1-12+1-13×12=12.
8.某人有8把外形相同的钥匙,其中只有一把能打开家门.一天该人醉酒回家,每次从8把钥匙中随便拿一把开门,试用后又不加记号放回,则该人第三次打开家门的概率是 .?
答案49512
解析由已知每次打开家门的概率为18,则该人第三次打开家门的概率为1-181-18×18=49512.
9.某同学参加科普知识竞赛,需回答3个问题.竞赛规则规定:答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分,答错得零分.假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8,0.7,0.6,且各题答对与否相互之间没有影响.
(1)求这名同学得300分的概率;
(2)求这名同学至少得300分的概率.
解设事件A为“答对第一题”,事件B为“答对第二题”,事件C为“答对第三题”,则P(A)=0.8,P(B)=0.7,P(C)=0.6.
(1)这名同学得300分这一事件可表示为(ABC)∪(ABC),则P((ABC)∪(ABC))=P(ABC)+P(ABC)=0.8×(1-0.7)×0.6+(1-0.8)×0.7×0.6=0.228.
(2)这名同学至少得300分包括得300分或400分,该事件表示为(ABC)∪(ABC)∪(ABC),
则P((ABC)∪(ABC)∪(ABC))=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=0.228+0.8×0.7×0.6=0.564.
10.甲、乙、丙三位大学毕业生同时应聘一个用人单位,其能被选中的概率分别为25,34,13,且各自能否被选中相互之间没有影响.
(1)求三人都被选中的概率;
(2)求只有两人被选中的概率.
解记甲、乙、丙被选中的事件分别为A,B,C,则P(A)=25,P(B)=34,P(C)=13.
(1)∵A,B,C是相互独立事件,
∴三人都被选中的概率为P1=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=25×34×13=110.
(2)三种情形:
①甲未被选中,乙、丙被选中,概率为P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=1-25×34×13=320.
②乙未被选中,甲、丙被选中,概率为P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=25×1-34×13=130.
③丙未被选中,甲、乙被选中,概率为P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=25×34×1-13=15.
以上三种情况是互斥的.因此,只有两人被选中的概率为P2=320+130+15=2360.
能力提升
1.从某地区的儿童中预选体操学员,已知这些儿童体型合格的概率为15,身体关节构造合格的概率为14.从中任挑一名儿童,这两项至少有一项合格的概率是(假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响)( )
A.1320 B.15 C.14 D.25
答案D
解析这两项都不合格的概率是1-15×1-14=35,则至少有一项合格的概率是1-35=25.
2.荷花池中,有一只青蛙在成“品”字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时,均从一片荷叶跳到另一片荷叶),而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍,如图.假设现在青蛙在X荷叶上,则跳三次之后停在X荷叶上的概率是( )
A.13 B.29 C.49 D.827
答案A
解析由题知逆时针跳一次的概率为23,顺时针跳一次的概率为13.则逆时针跳三次停在X上的概率为P1=23×23×23=827,顺时针跳三次停在X上的概率为P2=13×13×13=127.所以跳三次之后停在X上的概率为P=P1+P2=827+127=13.
3.在电路图中(如图),开关a,b,c闭合与断开的概率都是12,且是相互独立的,则灯亮的概率是( )
A.18 B.38 C.14 D.78
答案B
解析设开关a,b,c闭合的事件分别为A,B,C,则灯亮这一事件E=ABC∪ABC∪ABC,且A,B,C相互独立,ABC,ABC,ABC互斥,则P(E)=P((ABC)∪(ABC)∪(ABC))=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)
=12×12×12+12×12×1-12+12×1-12×12=38.
4.甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩的茎叶图如图所示.现从这20名学生中随机抽取一人,将“抽出的学生为甲小组学生”记为事件A;“抽出的学生英语口语测试成绩不低于85分”记为事件B,则P(A|B)的值是 .?
答案59
解析从这20名学生中随机抽取一人,基本事件总数为20个.事件A包含的基本事件有10个,故P(A)=12;事件B包含的基本事件有9个,P(B)=920,事件AB包含的基本事件有5个,故P(AB)=14,故P(A|B)=P(AB)P(B)=59.
5.某种电子玩具按下按钮后,会出现红球或绿球,已知按钮第一次被按下后,出现红球与绿球的概率都是12,从按钮第二次被按下起,若前一次出现红球,则下一次出现红球、绿球的概率分别为13,23;若前一次出现绿球,则下一次出现红球、绿球的概率分别为35,25.记第n(n∈N,n≥1)次按下按钮后出现红球的概率为Pn.
(1)求P2的值;
(2)当n∈N,n≥2时,求用Pn-1表示Pn的表达式.
解(1)P2=12×13+12×35=715.
(2)Pn=Pn-1×13+(1-Pn-1)×35
=-415Pn-1+35(n∈N,n≥2).
6.甲、乙二人进行一次围棋比赛,一共赛5局,约定先胜3局者获得这次比赛的胜利,同时比赛结束.假设在一局中,甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,各局比赛结果相互独立.已知前2局中,甲、乙各胜1局.
(1)求再赛2局结束这次比赛的概率;
(2)求甲获得这次比赛胜利的概率.
解记Ai表示事件“第i局甲获胜”,i=3,4,5,
Bj表示事件“第j局乙获胜”,j=3,4,5.
(1)记A表示事件“再赛2局结束比赛”.
A=(A3A4)∪(B3B4).
由于各局比赛结果相互独立,故
P(A)=P((A3A4)∪(B3B4))=P(A3A4)+P(B3B4)=P(A3)P(A4)+P(B3)P(B4)=0.6×0.6+0.4×0.4=0.52.
(2)记事件B表示“甲获得这次比赛的胜利”.
因前两局中,甲、乙各胜一局,故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中,甲先胜2局,从而B=(A3A4)∪(B3A4A5)∪(A3B4A5),由于各局比赛结果相互独立,故P(B)=P(A3A4)+P(B3A4A5)+P(A3B4A5)
=P(A3)P(A4)+P(B3)P(A4)P(A5)+P(A3)P(B4)P(A5)=0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6=0.648.
课件24张PPT。10.2 事件的相互独立性一二一、两个事件相互独立
1.思考
甲坛子中有3个白球,2个黑球;乙坛子中有1个白球,3个黑球,从这两个坛子中分别摸出1个球,假设每一个球被摸出的可能性相等.请问从甲坛子中摸出白球与从乙坛子中摸出白球的概率?并且想一想从甲坛子摸出的是否为白球受不受从乙坛子摸出的是否为白球的影响?你还有其他发现吗?一二2.填空:
对任意两个事件A与B,如果P(AB)=P(A)P(B)成立,则称事件A与事件B相互独立,简称为独立.
3.做一做
若事件A与B相互独立,则下面的事件不相互独立的是( )
答案:A
解析:A与 是对立事件.一二二、两个相互独立事件同时发生的概率乘法公式
1.思考
如果连续10次掷一枚骰子,结果都是出现1点,你认为这枚骰子的质地均匀吗?为什么?2.填空
若A,B是两个相互独立事件,则有P(AB)=P(A)P(B)成立.一二3.做一做
答案:B探究一探究二探究三思维辨析随堂演练相互独立事件的判断
例1抛掷一枚均匀的骰子一次,记事件A=“出现偶数点”,B=“出现3点或6点”,则事件A与B的关系是 ( )
A.互斥
B.相互独立
C.既相互互斥又相互独立事件
D.既不互斥又不相互独立事件
答案:B
解析:因为A={2,4,6},B={3,6},A∩B={6},所以探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟 判断两个事件A,B是否相互独立,一般有两种思路,一种是从是否相互影响其发生(偏感性认识)判断;第二种是利用定义P(AB)=P(A)P(B)进行理性判断.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练变式训练1袋内有3个白球和2个黑球,从中不放回地摸球,记A=“第一次摸的白球”,B=“第二次摸的白球”,则A与B( )
A.互斥 B.相互独立
C.对立 D.不相互独立
答案:D探究一探究二探究三思维辨析随堂演练相互独立事件和互斥事件的概率问题
例2已知甲袋中装有大小、形状、质地相同的3个白球和2个红球,乙袋中装有1个白球和4个红球.现从甲、乙两袋中各摸一个球,试求:
(1)两球都是红球的概率;
(2)恰有一个是红球的概率;
(3)至少有一个是红球的概率.
分析判断基本事件的构成,及各事件间的关系,选择合适的公式计算.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练解:记事件A表示“从甲袋中摸出一个红球”,事件B表示“从乙袋中摸出一个红球”,事件C表示“从甲、乙两袋中各摸一个球,恰好摸出一个红球”,事件D表示“至少摸出一个红球”.
(3)由已知D=C∪AB,且C与AB为互斥事件,则P(D)=P(C∪AB)=P(C)+P(AB)=0.56+0.32=0.88.
反思感悟 求复杂事件的概率,应先列出题中涉及的各事件,并用适当的符号表示,再理清各事件之间的关系,最后根据事件之间的关系选取相应的公式进行计算.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练变式训练2甲、乙两人独立地破译一个密码,他们能译出密码的概率分别为
(1)2人都译出密码的概率;
(2)2人都译不出密码的概率;
(3)恰有1人译出密码的概率;
(4)至多有1人译出密码的概率;
(5)至少有1人译出密码的概率.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练探究一探究二探究三思维辨析随堂演练探究一探究二探究三思维辨析随堂演练相互独立事件同时发生的概率
例3某项选拔共有四轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答问题者进入下一轮考核,否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为 ,且各轮问题能否正确回答互不影响.
(1)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率;
(2)求该选手至多进入第三轮考核的概率.
分析把所求事件分解成几个独立事件或互斥事件.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟 求相互独立事件同时发生的概率时,可运用公式P(AB)=P(A)P(B).在解决问题时,要搞清事件是否独立,把复杂事件分解为若干简单事件来处理,同时还要注意运用对立事件把问题简单化.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练变式训练3
如图,用K,A1,A2三类不同的元件连接成一个系统.当K正常工作且A1,A2至少有一个正常工作时,系统正常工作.已知K,A1,A2正常工作的概率依次为0.9,0.8,0.8,则系统正常工作的概率为( )
A.0.960 B.0.864
C.0.720 D.0.576
答案:B探究一探究二探究三思维辨析随堂演练探究一探究二探究三思维辨析随堂演练对相互独立事件理解有误而致错探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟 对于此类题目,应先搞清楚各事件之间的关系,再利用相互独立事件同时发生的概率公式列方程组求解.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练答案:B 探究一探究二探究三思维辨析随堂演练2.甲、乙两人各进行1次射击,如果两人击中目标的概率都是0.7,则其中恰有1人击中目标的概率是( )
A.0.49 B.0.42 C.0.7 D.0.91
答案:B
3.一件产品要经过2道独立的加工程序,第一道工序的次品率为a,第二道工序的次品率为b,则产品的正品率为( )
A.1-a-b B.1-ab C.(1-a)(1-b) D.1-(1-a)(1-b)
答案:C
解析:设A表示“第一道工序的产品为正品”,B表示“第二道工序的产品为正品”,且P(AB)=P(A)P(B)=(1-a)(1-b).探究一探究二探究三思维辨析随堂演练5.某天上午,李明要参加“青年文明号”活动.为了准时起床,他用甲、乙两个闹钟叫醒自己.假设甲闹钟准时响的概率是0.80,乙闹钟准时响的概率是0.90,则两个闹钟至少有一个准时响的概率是 .?
答案:0.98
解析:至少有一个准时响的概率为1-(1-0.90)×(1-0.80)=1-0.10×0.20=0.98.10.3 频率与概率
10.3.1 频率的稳定性 10.3.2 随机模拟
课后篇巩固提升
基础巩固
1.掷两枚质地均匀的骰子,用随机模拟方法估计出现点数之和为10的概率时产生的整数随机数中,每几个数为一组( )
A.1 B.2 C.3 D.10
答案B
解析因为要考查两枚骰子得出的点数之和,所以在产生的整数随机数中,应每两个数字一组.
2.在n次重复进行的试验中,事件A发生的频率为mn,当n很大时,那么P(A)与mn的大小关系是( )
A.P(A)≈mn B.P(A)<mn
C.P(A)>mn D.P(A)=mn
答案A
解析在n次重复进行的试验中,事件A发生的频率为mn,当n很大时,mn越来越接近P(A),因此我们可以用mn近似地代替P(A).故选A.
3.从存放号码分别为1,2,…,10的卡片的盒子里,有放回地取100次,每次取一张卡片,并记下号码,统计结果如下:
卡片号码
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
取到的次数
13
8
5
7
6
13
18
10
11
9
则取到号码为奇数的频率是( )
A.0.53 B.0.5 C.0.47 D.0.37
答案A
解析13+5+6+18+11100=53100=0.53.
4.关于天气预报中的“某地降水概率为10%”,下列解释正确的是( )
A.有10%的区域降水
B.10%太小,不可能降水
C.降水的可能性为10%
D.是否降水不确定,10%没有意义
答案C
解析根据概率的含义判定.
5.(多选)抛掷一枚质地均匀的正方体骰子(六个面上分别写有1,2,3,4,5,6),若前3次连续抛到“6点朝上”,则对于第4次抛掷的结果的预测,下列说法中不正确的是 ( )
A.一定出现“6点朝上”
B.出现“6点朝上”的概率大于16
C.出现“6点朝上”的概率等于16
D.无法预测“6点朝上”的概率
答案ABD
解析随机事件具有不确定性,与前面的试验结果无关.由于正方体骰子的质地是均匀的,所以它出现哪一个面朝上的可能性都是相等的,概率都为16.
6.有一个样本量为66的样本,数据的分组及各组的频数如下:[11.5,15.5)2;[15.5,19.5)4;[19.5,23.5)9;[23.5,27.5)18;[27.5,31.5)11;[31.5,35.5)12;[35.5,39.5)7;[39.5,43.5]3.根据样本的频率分布估计,数据在范围[31.5,43.5]内的概率是( )
A.16 B.13 C.12 D.23
答案B
解析数据在范围[31.5,43.5]内的有12+7+3=22(个),总的数据有66个,根据频率估计概率得到P=2266=13.故选B.
7.(多空题)一袋中有红球3只,白球5只,还有黄球若干只,某人随意有放回地摸100次,其摸到红球的频数为30,那么袋中的黄球约有 只.每次摸球,摸到白球的概率为 .?
答案2 12
解析设x为袋中黄球的只数,则由35+3+x=30100,解得x=2.每次摸球,摸到白球的概率为53+5+2=12.
8.一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率,公司收集了20 000部汽车的相关信息,时间是从某年的5月1日到下一年的5月1日,共发现有600部汽车的挡风玻璃破碎,则一部汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率近似是 .?
答案0.03
解析P=60020 000=0.03.
9.李老师在某大学连续3年主讲经济学院的《高等数学》,下表是李老师统计的这门课3年来的学生考试成绩分布:
成绩
人数
90分以上
43
80分~89分
182
70分~79分
260
60分~69分
90
50分~59分
62
50分以下
8
经济学院一年级的学生王小慧下学期将选修李老师的《高等数学》,用已有的信息估计她得以下分数的概率(结果保留到小数点后三位).
(1)90分以上;(2)60分~69分;(3)60分以上.
解总人数为43+182+260+90+62+8=645,根据公式可计算出选修李老师的《高等数学》的人的考试成绩在各个段上的频率依次为:43645≈0.067,182645≈0.282,260645≈0.403,90645≈0.140,62645≈0.096,8645≈0.012.
用已有的信息,可以估计出王小慧下学期选修李老师的《高等数学》得分的概率如下:
(1)将“90分以上”记为事件A,则P(A)≈0.067.
(2)将“60分~69分”记为事件B,则P(B)≈0.140.
(3)将“60分以上”记为事件C,则P(C)≈0.067+0.282+0.403+0.140=0.892.
能力提升
1.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率:先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定1,2,3,4表示命中,5,6,7,8,9,0表示未命中;再以每三个随机数为一组代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数:
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计,该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 ( )
A.0.35 B.0.25 C.0.20 D.0.15
答案B
解析易知20组随机数中表示恰有两次命中的数据有191,271,932,812,393,所以P=520=0.25.
2.某公司有5万元资金用于投资开发项目,如果成功,一年后可获收益12%,一旦失败,一年后将丧失全部资金的50%,下表是去年200例类似项目开发的实施结果:
投资成功
投资失败
192次
8次
则该公司一年后估计可获收益的平均数是 元.?
答案4 760
解析设可获收益为x,如果成功,x的取值为5×12%,如果失败,x的取值为-5×50%,一年后公司成功的概率为192200=2425,失败的概率为8200=125,所以一年后公司收益的平均数是5×12%×2425-5×50%×125×10 000=4 760(元).
3.某超市随机选取1 000位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理成如下统计表,其中“√”表示购买,“×”表示未购买.
商品
顾客人数
甲
乙
丙
丁
100
√
×
√
√
217
×
√
×
√
200
√
√
√
×
300
√
×
√
×
85
√
×
×
×
98
×
√
×
×
(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率;
(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率;
(3)若顾客购买了甲,则该顾客同时购买了乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大?
解(1)从统计表可以看出,在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙,所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001 000=0.2.
(2)从统计表可以看出,在这1 000位顾客中,有100位顾客同时购买了甲、丙、丁,另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙,其他顾客最多购买了2种商品.所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100+2001 000=0.3.
(3)与(1)同理,可得,顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001 000=0.2,顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100+200+3001 000=0.6,顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1001 000=0.1,所以,若顾客购买了甲,则该顾客同时购买丙的可能性最大.
课件30张PPT。10.3.1 频率的稳定性 10.3.2 随机模拟一二一、随机事件的频率与概率的关系
1.思考
历史上曾有人做过抛掷一枚质地均匀的硬币的大量重复试验,结果如下表所示:在上述抛掷硬币的试验中,你会发现怎样的规律?
提示当试验次数很多时,出现正面的比例在0.5附近摆动.一二2.填空
大量试验表明,在任何确定次数的随机试验中,一个随机事件A发生的频率具有随机性.一般地,随着试验次数n的增大,频率偏离概率的幅度会缩小,即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此可以用频率fn(A)估计P(A).一二名师点拨 对于频率与概率的区别和联系的剖析
(1)频率本身是随机的,是一个变量,在试验前不能确定,做同样次数的重复试验得到的事件发生的频率会不同.比如,全班每个人都做了10次掷硬币的试验,但得到正面朝上的频率可以是不同的.
(2)概率是一个确定的数,是客观存在的,与每次的试验无关.比如,若一个硬币是质地均匀的,则掷硬币出现正面朝上的概率是0.5,与做多少次试验无关.
(3)频率是概率的近似值,随着试验次数的增加,频率会越来越接近于概率.在实际问题中,通常事件发生的概率未知,常用频率作为它的估计值.一二3.做一做
(1)某射击运动员射击20次,恰有18次击中目标,则该运动员击中目标的频率是 .?
答案:0.9
解析:设击中目标为事件A,则n=20,nA=18,则f20(A)=1820=0.9.
(2)判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
①频率是客观存在的,与试验次数无关.( )
②概率是随机的,在试验前不能确定.( )
③随着试验次数的增加,频率一般会越来越接近概率.( )
答案:①× ②× ③√一二二、随机模拟
1.思考
以下是用随机模拟法求“同时抛掷两枚质地均匀的骰子,所得点数之和是偶数概率”的错解过程
以上错解中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何订正?
提示错因:骰子的点数为1~6之间的整数,故随机数的范围应设为1~6,并且每个数代表骰子出现的点数.错解中,没有理解随机数产生范围的含义,错误地把随机数的范围当作1~10,因此所求结果是错的.(1)用计算器产生1~10之间取整数值的随机数.
(2)统计所产生的随机数总个数N.
(3)把所产生的随机数两两分组,再相加,统计和是偶数的个数N1.
(4) 即是点数之和是偶数的概率近似值.一二正解抛掷两枚骰子,可以看作一枚骰子抛掷两次,用两个随机数字作为一组即可.
(1)抛掷一次只能出现6个等可能基本事件,所以用1~6之间的数字进行标注.
(2)用计算器或计算机产生1~6之间的取整数值的随机数,并用两个随机数值作为一组.一二2.填空
(1)随机数与伪随机数
①例如我们要产生0~9之间的随机整数,像彩票摇奖那样,把10个质地和大小相同的号码球放入摇奖器中,充分搅拌后摇出一个球,这个球上的号码就称为随机数.
②计算器或计算机产生的随机数是按照确定的算法产生的数,具有周期性(周期很长),它们具有类似随机数的性质.因此,计算器或计算机产生的随机数不是真正的随机数,我们称它们为伪随机数.
(2)蒙特卡洛方法
利用计算器或计算机软件可以产生随机数,我们可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验,这种利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛方法.一二3.做一做
(1)用抛质地均匀的硬币的方法可产生 个随机数,抛质地均匀的骰子可产生 个随机数.?
答案:2 6
解析:抛硬币,用正面表示一个数,反面表示一个数,则可产生两个随机数,类似地,抛骰子可产生六个随机数.一二(2)通过模拟试验,产生了20组随机数:
6830 3013 7055 7430 7740 4422 7884
2604 3346 0952 6807 9706 5774 5725
6576 5929 9768 6071 9138 6754
如果恰有三个数在1,2,3,4,5,6中,表示恰有三次击中目标,则四次射击中恰有三次击中目标的概率约为 .?
答案:25%
解析:表示三次击中目标分别是3013,2604,5725,6576,6754,共5组数,而随机数总共20组,所以所求的概率约为 =25%.一二(3)判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
①随机数是用计算机或计算器随便按键产生的数.( )
②用计算器或计算机产生的随机数是伪随机数.( )
③不能用伪随机数估计概率.( )
答案:①× ②√ ③×探究一探究二探究三思维辨析随堂演练随机事件的频率与概率
例1近年来,某市为了促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱.为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾,数据统计如下(单位:吨):
(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率;
(2)试估计生活垃圾投放错误的概率.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练解:(1)厨余垃圾投放正确的概率为
(2)设生活垃圾投放错误为事件A,则A的概率为“厨余垃圾”箱里可回收物量和其他垃圾量、“可回收物”箱里厨余垃圾量和其他垃圾量、“其他垃圾”箱里厨余垃圾量和可回收物量的总和除以生活垃圾总量,探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟 1.由统计定义求概率的一般步骤:
(1)确定随机事件A的频率nA(n为试验的总次数);
(3)由频率fn(A)估计概率P(A).
2.概率可看成频率在理论上的稳定值,从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小.概率是频率的科学抽象,当试验次数越来越多时频率向概率靠近,只要次数足够多,所得频率就近似地当作随机事件的概率.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练变式训练1某质检员从一大批种子中抽取若干批,在同一条件下进行发芽试验,有关数据如下:
(1)计算各批种子的发芽频率,填入上表;
(2)根据频率的稳定性估计种子发芽的概率.
解:(1)发芽频率从左到右依次为:0.79,0.78,0.81,0.79,0.80,0.82.
(2)由(1)知,发芽频率逐渐稳定在0.80,因此可以估计种子发芽的概率为0.80.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练随机数的产生
例2某校高一全年级20个班共1 200人,期中考试时如何把学生分配到40个考场去?
分析用计算机产生的随机数给1 200名学生编号,把学生按分到的随机数从小到大排列.
解:(1)按班级、学号顺序把学生档案输入计算机;
(2)用随机函数RANDBETWEEN(1,1 200)按顺序给每个学生一个随机数(每人的都不同);
(3)使用计算机排序功能按随机数从小到大排列,即可得到考试号从1到1 200人的考试序号.(注:1号应为0001,2号应为0002,用0补足位数.前面再加上有关信息号码即可)探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟 1.产生随机数的方法有抽签法、利用计算机或计算器产生随机数的随机模拟方法等.抽签法产生的随机数能保证机会均等,而计算器或计算机产生的随机数是伪随机数,不能保证等可能性,但是后者较前者速度快,操作简单,省时省力.
2.用产生随机数的方法抽取样本要注意以下两点:(1)进行正确的编号,并且编号要连续;(2)正确把握抽取的范围和容量.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练变式训练2一体育代表队共有21名水平相当的运动员,现从中抽取11人参加某场比赛,其中运动员甲必须参加.写出利用随机数抽取的过程.
解:(1)把除甲之外的20名运动员编号,号码为1,2,3,…,19,20;
(2)用计算器的随机函数RandInt (1,20)或计算机的随机函数RANDBETWEEN(1,20)产生10个1~20之间的整数值随机数,如果有重复,就重新产生一个;
(3)以上号码对应的10名运动员与甲运动员就是要抽取的对象.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练利用随机数求事件的概率
例3一个盒子中有除颜色外其他均相同的5个白球和2个黑球,用随机模拟法求下列事件的概率:
(1)任取一球,得到白球;
(2)任取三球,都是白球.
分析将这7个球编号,产生1到7之间的整数值的随机数,(1)一个随机数看成一组即代表一次试验;(2)每三个随机数看成一组即代表一次试验.统计组数和事件发生的次数即可.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练解:用1,2,3,4,5表示白球,6,7表示黑球.
(1)步骤:
①利用计算器或计算机产生1到7之间的整数随机数,每一个数一组,统计组数为n;
②统计这n组数中小于6的组数m;
③则任取一球,得到白球的概率近似为 .
(2)步骤:
①利用计算器或计算机产生1到7之间的整数随机数,每三个数一组(每组中数不重复),统计组数为n';
②统计这n'组数中,每组三个数字均小于6的组数m';
③则任取三球,都是白球的概率近似为 .探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟 用整数随机模拟试验估计古典概型的概率时,首先要确定整数随机数的范围和用哪些数代表不同的试验结果.可以从以下几个方面考虑:
(1)试验的基本事件是等可能的时,基本事件总数就是产生随机数的范围,每组随机数字代表一个基本事件;
(2)按比例确定表示各个结果的数字个数及总个数;
(3)产生的整数随机数的组数n越大,估计的概率准确性越高;
(4)这种用模拟试验来求概率的方法所得结果是不精确的,且每次模拟试验最终得到的概率值不一定是相同的. 探究一探究二探究三思维辨析随堂演练延伸探究从甲、乙、丙、丁4人中,任选3人参加志愿者活动,请用随机模拟的方法估计甲被选中的概率.
解:用1,2,3,4分别表示甲、乙、丙、丁四人.
利用计算器或计算机产生1到4之间的随机数,每三个一组,每组中数不重复,得到n组数,统计这n组数中含有1的组数m,则估计甲被选中的概率为 .探究一探究二探究三思维辨析随堂演练对频率与概率关系问题的多方位辨析
典例1某射手射击一次击中靶心的概率是0.9,是不是说明他射击10次就一定能击中9次?探究一探究二探究三思维辨析随堂演练典例2某同学掷一枚硬币10次,共有7次反面向上,于是他指出:“掷一枚硬币,出现反面向上的概率应为0.7”.你认为他的结论正确吗?为什么?
解:不正确,掷一枚硬币10次,有7次反面向上,就此得出“反面向上”的概率为0.7,显然是对概率的统计性定义的曲解.因为概率是随机事件的本质属性,不随试验次数的改变而改变,用频率的稳定值估计概率时,要求试验的次数足够多.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练归纳提升 1.随机事件在一次试验中发生与否是随机的,但随机中含有规律性,而概率恰是其规律性在数量上的反映,概率是客观存在的,它与试验次数、哪一个具体的试验都没有关系,概率是一种可能性,往往通过频率估算一个随机事件发生的可能性,可以看作频率理论上的期望值,因此,可以用频率的趋向近似值来表示随机事件发生的概率.
2.概率定义中用频率的近似值刻画概率,要求试验次数足够多,即只有“在相同条件下,随着试验次数的增加,随机事件发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定”时,才用这个常数来刻画该随机事件发生的可能性大小,即称为这一事件发生的概率的近似值.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练1.用随机模拟方法估计概率时,其准确程度取决于( )
A.产生的随机数的大小 B.产生的随机数的个数
C.随机数对应的结果 D.产生随机数的方法
答案:B
解析:随机数容量越大,频率越接近概率.
2.某人将一枚硬币连续抛掷了10次,正面朝上的情形出现了6次,则( )
A.正面朝上的概率为0.6
B.正面朝上的频率为0.6
C.正面朝上的频率为6
D.正面朝上的概率接近于0.6
答案:B
解析:0.6是正面朝上的频率不是概率.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练3.下列说法:①频率是反映事件发生的频繁程度,概率反映事件发生的可能性的大小;②做n次随机试验,事件A发生m次,则事件A发生的频率就是事件的概率;③频率是不能脱离具体的n次试验的实验值,而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值;④频率是概率的近似值,概率是频率的稳定值.其中正确的说法有 .(填序号)?
答案:①③④
解析:由频率和概率的关系知只有①③④正确.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练4.在用随机模拟方法解决“盒中仅有4个白球和5个黑球,从中取4个,求取出2个白球2个黑球的概率”问题时,可让计算机产生1~9的随机整数,并用1~4代表白球,用5~9代表黑球.因为是摸出4个球,所以每4个随机数作为一组.若得到的一组随机数为“4678”,则它代表的含义是 .?
答案:摸出的4个球中,只有1个白球
解析:分析题意,易知数字4代表白球,数字6,7,8代表黑球,因此这组随机数的含义为摸出的4个球中,只有1个白球.
5.某种病治愈的概率是0.3,有10个人来就诊,那么前7个人没有治愈,后3个人一定能治愈吗?
解:不一定,有可能1个人治愈,有可能2个人治愈,有可能3个人都治愈,也有可能3个人都没有治愈.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练6.某公司在过去几年内使用了某种型号的灯管1 000支,该公司对这些灯管的使用寿命(单位:h)进行了统计,统计结果如表所示:
(1)将各组的频率填入表中;
(2)根据上述统计结果,估计灯管使用寿命不足1 500 h的概率.
解:(1)频率依次填0.048,0.121,0.208,0.223,0.193,0.165,0.042.
(2)样本中使用寿命不足1 500 h的频数是48+121+208+223=600,所以样本中使用寿命不足1 500 h的频率是 =0.6,即灯管使用寿命不足1 500 h的概率约为0.6.课件31张PPT。章末整合例1任取一个三位正整数N,则对数log2N是一个正整数的概率是( )
答案:C
解析:三位正整数有100~999,共900个,而满足log2N为正整数的N有27,28,29,共3个,故所求事件的概率为例2如果有两组牌,它们的牌面数字分别为1,2,3,那么从每组牌中摸出一张牌,两张牌的牌面数字和等于4的概率是多少呢?两张牌的牌面数字和为几时概率最大?
分析解古典概型问题的关键在于选择正确的基本事件,并能正确地数出基本事件的个数,数事件的个数可以通过列表、树状图、坐标系等使问题变得形象直观.反思感悟 古典概型的解题方法主要有以下两种:
(1)采取适当的方法,按照一定的顺序,把试验的所有结果一一列举出来,正确理解基本事件与事件A的关系.应用公式P(A)= 计算概率.
(2)若所求概率的事件比较复杂,可把它分解成若干个互斥的事件,利用概率的加法公式求解;或求其对立事件,利用对立事件的概率求解.变式训练1(2019全国Ⅱ高考)生物实验室有5只兔子,其中只有3只测量过某项指标.若从这5只兔子中随机取出3只,则恰有2只测量过该指标的概率为( )
答案:B
解析:设测量过该指标的3只兔子为a,b,c,剩余2只为A,B,则从这5只兔子中任取3只的所有取法有{a,b,c},{a,b,A},{a,b,B},{a,c,A},{a,c,B},{a,A,B},{b,c,A},{b,c,B},{c,A,B},{b,A,B}共10种,其中恰有2只测量过该指标的取法有{a,b,A},{a,b,B},{a,c,A},{a,c,B},{b,c,A},{b,c,B}共6种,所以恰有2只测量过该指标的概率为 ,故选B.变式训练2(2019天津高考)2019年,我国施行个人所得税专项附加扣除办法,涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72,108,120人,现采用分层抽样的方法,从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.
(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人?
(2)抽取的25人中,享受至少两项专项附加扣除的员工有6人,分别记为A,B,C,D,E,F.享受情况如下表,其中“○”表示享受,“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;
②设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”,求事件M发生的概率.解:(1)由已知,老、中、青员工人数之比为6∶9∶10,由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工,因此应从老、中、青员工中分别抽取6人,9人,10人.
(2)①从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{C,D},{C,E},{C,F},{D,E},{D,F},{E,F},共15种.
②由表格知,符合题意的所有可能结果为{A,B},{A,D},{A,E},{A,F},{B,D},{B,E},{B,F},{C,E},{C,F},{D,F},{E,F},共11种.
所以,事件M发生的概率P(M)= .例3某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅,记事件A=“只订甲报”,事件B=“至少订一种报”,事件C=“至多订一种报”,事件D=“不订甲报”,事件E=“一种报也不订”,判断下列每对事件是不是互斥事件,如果是,再判断它们是不是对立事件.
(1)A与C;(2)B与E;(3)B与D;(4)B与C;(5)C与E.
分析利用互斥事件、对立事件的定义并结合具体情况,要先弄清楚样本空间中所有的样本点.解:(1)由于事件C“至多订一种报”中有可能只订甲报,即事件A与事件C有可能同时发生,故A与C不互斥.
(2)事件B“至少订一种报”与事件E“一种报也不订”是不可能同时发生的,故B与E是互斥事件;由于事件B与事件E在一次试验中有且仅有一个发生,故B与E还是对立事件.
(3)事件B“至少订一种报”中有可能只订乙报,即有可能不订甲报,即事件B发生时,事件D也可能发生,故B与D不互斥.
(4)事件B“至少订一种报”中包括“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”,事件C“至多订一种报”中包括“什么也不订”“只订甲报”“只订乙报”.由于这两个事件可能同时发生,故B与C不互斥.
(5)由(4)的分析知,事件E“一种报也不订”只是事件C的一种可能,事件C与事件E有可能同时发生,故C与E不互斥.例4黄种人群中各种血型的人所占的比例如下:
已知同种血型的人可以输血,O型血可以输给任一种血型的人,其他不同血型的人不能互相输血,小明是B型血,若小明因病需要输血,问:
(1)任找一个人,其血可以输给小明的概率是多少?
(2)任找一个人,其血不能输给小明的概率是多少?
分析(1)可以输给小明的血是B型或O型,注意解题时要说明事件的互斥;
(2)不能输给小明的血型是A型和AB型,此问题中还可以用对立事件的概率来间接求解.解:(1)对任一人,其血型为A,B,AB,O型血的事件分别记为A',B',C',D',它们是互斥的,由已知,有P(A')=0.28,P(B')=0.29,P(C')=0.08,P(D')=0.35.
因为B,O型血可以输给B型血的人,故“可以输给B型血的人”为事件B'∪D',根据互斥事件的加法公式有任找一个人其血可以输给小明的概率:P(B'∪D')=P(B')+P(D')=0.29+0.35=0.64.
(2)由于A,AB型血不能输给B型血的人,故“不能输给B型血的人”为事件A'∪C',且P(A'∪C')=P(A')+P(C')=0.28+0.08=0.36.
任找一个人其血不能输给小明的概率为0.36.反思感悟 1.互斥事件与对立事件的联系与区别
(1)不可能同时发生的两个事件称为互斥事件.
(2)对立事件则要同时满足两个条件:一是不可能同时发生;二是必有一个发生.
(3)在一次试验中,两个互斥事件有可能都不发生,也可能只有一个发生,而两个对立事件则必有一个发生且不可能同时发生.
(4)对立事件一定是互斥事件,而互斥事件不一定是对立事件.
2.互斥事件与对立事件的概率计算
(1)若事件A1,A2,…,An彼此互斥,则P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).
3.求复杂事件的概率通常有两种方法
(1)将所求事件转化成彼此互斥的事件的和.
(2)先求其对立事件的概率,然后再应用公式P(A)=1-P( )求解.变式训练3从四双不同的鞋中任意摸出4只,事件“4只全部成对”的对立事件是( )
A.至多有两只不成对 B.恰有两只不成对
C.4只全部不成对 D.至少有两只不成对
答案:D
解析:从四双不同的鞋中任意摸出4只,可能的结果为“恰有2只成对”,“4只全部成对”,“4只都不成对”,
∴事件“4只全部成对”的对立事件是“恰有2只成对”与“4只都不成对”的并事件“至少有两只不成对”,故选D.变式训练4现有8名数理化成绩优秀者,其中A1,A2,A3数学成绩优秀,B1,B2,B3物理成绩优秀,C1,C2化学成绩优秀,从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名,组成一个小组代表学校参加竞赛.
(1)求C1被选中的概率.
(2)求A1和B1不全被选中的概率.解:(1)从8人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名,其一切可能的结果组成的样本空间Ω={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1),(A1,B3,C2),(A2,B1,C1),(A2,B1,C2),(A2,B2,C1),(A2,B3,C2),(A2,B3,C1),(A2,B3,C2),(A3,B1,C1),(A3,B1,C2),(A3,B2,C1),(A3,B2,C2),(A3,B3,C1),(A3,B3,C2)}.由18个基本事件组成.由于每一个基本事件被抽取的机会均等.因此这些基本事件的发生是等可能的.
用M表示“C1恰被选中”这一事件,则M={(A1,B1,C1),(A1,B2,C1),(A1,B3,C1),(A2,B1,C1),(A2,B2,C1),(A2,B3,C1),(A3,B1,C1),(A3,B2,C1),(A3,B3,C1)}.事件M由9个基本事件组成,因而例5如图,已知电路中4个开关闭合的概率都是 ,且是相互独立的,则灯亮的概率为( )答案:C 反思感悟 求相互独立事件同时发生的概率的主要方法
(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解.
(2)正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时,可从其对立事件入手计算.变式训练5(2019全国Ⅰ,理15)甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4∶1获胜的概率是 .?
答案:0.18
解析:前五场中有一场客场输时,甲队以4∶1获胜的概率是0.63×0.5×0.5×2=0.108;
前五场中有一场主场输时,甲队以4∶1获胜的概率是0.4×0.6×2×0.52×0.6=0.072.
综上所述,甲队以4∶1获胜的概率是0.108+0.072=0.18.变式训练6(2019全国Ⅱ,理18)11分制乒乓球比赛,每赢一球得1分.当某局打成10∶10平后,每球交换发球权,先多得2分的一方获胜,该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时甲得分的概率为0.4,各球的结果相互独立.在某局双方10∶10平后,甲先发球,两人又打了X个球该局比赛结束.
(1)求P(X=2);
(2)求事件“X=4且甲获胜”的概率.
(1)证明:X=2就是10∶10平后,两人又打了两个球该局比赛结束,则这两个球均由甲得分,或者均由乙得分.因此P(X=2)=0.5×0.4+(1-0.5)×(1-0.4)=0.5.
(2)解:X=4且甲获胜,就是10∶10平后,两人又打了4个球该局比赛结束,且这4个球的得分情况为:前两球是甲、乙各得1分,后两球均为甲得分.因此所求概率为[0.5×(1-0.4)+(1-0.5)×0.4]×0.5×0.4=0.1.例7中华文明,源远流长;中华汉字,寓意深广.为了传承中华民族优秀传统文化,我市某中学举行“汉字听写”比赛,赛后整理参赛学生的成绩,将学生的成绩分为A,B,C,D四个等级,并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图,但均不完整.请你根据统计图解答下列问题:
(1)参加比赛的学生共有 名;?
(2)在扇形统计图中,m的值为 ,表示D等级的扇形的圆心角为 度;?
(3)组委会决定从本次比赛获得A等级的学生中,选出2名去参加全市中学生“汉字听写”大赛.已知A等级学生中男生有1名,请用列表法或画树状图法求出所选2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率.
分析(1)根据等级为A的人数除以所占的百分比求出总人数;(2)求出等级B的人数,补全条形统计图即可;根据D级的人数求得D等级扇形圆心角的度数,根据C等级的人数求出m的值;(3)列表得出所有等可能的情况数,找出一男一女的情况数,即可得出所求的概率.解:(1)3÷15%=20(人);
(3)列表如下
所有可能的结果共有6种情况,其中恰好是一名男生和一名女生的情况有4种,所以反思感悟 1.概率和统计的交汇题在统计方面一般考查简单随机抽样和一些统计的图示,在概率方面一般是归结为古典概型的知识.
2.求解古典概型的交汇问题,关键是把相关的知识转化为事件,然后利用古典概型的有关知识解决,一般步骤为:
(1)将题目条件中的相关知识转化为事件;
(2)判断事件是否为古典概型;
(3)选用合适的方法确定基本事件个数;
(4)代入古典概型的概率公式求解.变式训练7(2017北京,文17)某大学艺术专业400名学生参加某次测评,根据男女学生人数比例,使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生,记录他们的分数,将数据分成7组:[20,30),[30,40),…,[80,90],并整理得到如下频率分布直方图:(1)从总体的400名学生中随机抽取一人,估计其分数小于70的概率;
(2)已知样本中分数小于40的学生有5人,试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数;
(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70,且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.解:(1)根据频率分布直方图可知,样本中分数不小于70的频率为(0.02+0.04)×10=0.6,所以样本中分数小于70的频率为1-0.6=0.4.
所以从总体的400名学生中随机抽取一人,其分数小于70的概率估计为0.4.
(2)根据题意,样本中分数不小于50的频率为(0.01+0.02+0.04+0.02)×10=0.9,分数在区间[40,50)内的人数为100-100×0.9-5=5.
所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为400× =20.(3)由题意可知,样本中分数不小于70的学生人数为(0.02+0.04)×10×100=60,所以样本中分数不小于70的男生人数为60× =30.
所以样本中的男生人数为30×2=60,女生人数为100-60=40,男生和女生人数的比例为60∶40=3∶2.
所以根据分层随机抽样原理,总体中男生和女生人数的比例估计为3∶2.第十章测评
(时间:120分钟 满分:150分)
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.“某点P到点A(-2,0)和点B(2,0)的距离之和为3”这一事件是( )
A.随机事件 B.不可能事件
C.必然事件 D.以上都不对
答案B
解析由于“某点P到点A(-2,0)和点B(2,0)的距离之和必大于等于4”,故这一事件是不可能事件.故选B.
2.某种彩票中奖的概率为110 000,这是指( )
A.买10 000张彩票一定能中奖
B.买10 000张彩票只能中奖1次
C.若买9 999张彩票未中奖,则第10 000张必中奖
D.买一张彩票中奖的可能性是110 000
答案D
解析如果某种彩票的中奖概率为110 000,则买10 000张这种彩票仍然是随机事件,即买10 000张彩票,可能有多张中奖,也可能不中奖,排除A,B;
若买9 999张彩票未中奖,则第10 000张也是随机事件,且发生概率仍然是110 000,故C错误,这里的中奖的概率为110 000,是指买一张彩票中奖的可能性是110 000,故D正确.故选D.
3.一个家庭有3个小孩,设这个家庭生男孩或女孩的概率均为12,则这个家庭有3个男孩的概率是( )
A.18 B.14 C.38 D.12
答案A
解析根据题意画树状图如下.∴一共有8种情况,∴这个家庭有3个男孩的概率是18,故选A.
4.甲、乙同时参加某次法语考试,甲、乙考试达到优秀的概率分别为0.6,0.7,两人考试相互独立,则甲、乙两人都未达到优秀的概率为( )
A.0.42 B.0.28 C.0.18 D.0.12
答案D
解析∵甲、乙考试达到优秀的概率分别为0.6,0.7,两人考试相互独立,∴甲、乙两人都未达到优秀的概率为:P=(1-0.6)(1-0.7)=0.12.故选D.
5.某产品分甲、乙、丙三级,其中乙、丙两级均属次品,在正常生产情况下,出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%,则抽验一只是正品(甲级)的概率为( )
A.0.95 B.0.97 C.0.92 D.0.08
答案C
解析记抽验的产品是甲级品为事件A,是乙级品为事件B,是丙级品为事件C,这三个事件彼此互斥,
因而抽验产品是正品(甲级)的概率为P(A)=1-P(B)-P(C)=1-5%-3%=92%=0.92.故选C.
6.某城市一年的空气质量状况如下表所示:
污染指
数T
不大
于30
(30,60]
(60,
100]
(100,
110]
(110,
130]
(130,
140]
概率P
110
16
13
730
215
130
其中当污染指数T≤50时,空气质量为优;当50A.118 B.23 C.35 D.56
答案C
解析空气质量为优、良、轻微污染彼此互斥,所求概率为110+16+13=35.
7.若从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a,从{1,2,3}中随机选取一个数为b,则b>a的概率是( )
A.45 B.35 C.25 D.15
答案D
解析所有的基本事件是(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),共有15个,b>a包含的基本事件有(1,2),(1,3),(2,3),共3个,所以b>a的概率是315=15.
8.甲袋装有m个白球,n个黑球,乙袋装有n个白球,m个黑球(m≠n),现从两袋中各摸一个球,A=“两球同色”,B=“两球异色”,则P(A)与P(B)的大小关系为( )
A.P(A)C.P(A)>P(B) D.视m,n的大小而定
答案A
解析设A1=“取出的都是白球”,A2=“取出的都是黑球”,则A1,A2互斥且A=A1∪A2,
P(A)=P(A1)+P(A2)=mn(m+n)2+mn(m+n)2=2mn(m+n)2.
设B1=“甲袋取出白球乙袋取出黑球”,
B2=“甲袋取出黑球乙袋取出白球”,
则B1、B2互斥且B=B1∪B2,P(B)=P(B1)+P(B2)=m2(m+n)2+n2(m+n)2=m2+n2(m+n)2.
由于m≠n,故2mn二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)
9.设靶子上的环数取1~10这10个正整数,脱靶计为0环.某人射击一次,设事件A=“中靶”;事件B=“击中环数大于5”;事件C=“击中环数大于1且小于6”;事件D=“击中环数大于0且小于6”,则错误的关系是( )
A.B与C互斥 B.B与C互为对立
C.A与D互斥 D.A与D互为对立
答案BCD
解析事件B“击中环数大于5”和事件C“击中环数大于1且小于6”,不会同时发生,两事件互斥,但可能会同时不发生,故不互为对立.事件A“中靶”与事件D“击中环数大于0且小于6”会同时发生,不互斥,也不互为对立.
10.甲、乙两人下棋,和棋的概率为12,乙获胜的概率为13,则下列说法错误的是( )
A.甲获胜的概率是16 B.甲不输的概率是12
C.乙输了的概率是23 D.乙不输的概率是12
答案BCD
解析∵甲、乙两人下棋,和棋的概率为12,乙获胜的概率为13,
∴甲获胜的概率是1-12?13=16,故A正确;
甲不输的概率是1-13=23,故B不正确;
乙输了的概率是1-13?12=16,故C不正确;
乙不输的概率是12+13=56.故D不正确.
故选BCD.
11.(2019化州期末)若干个人站成一排,其中不是互斥事件的是( )
A.“甲站排头”与“乙站排头”
B.“甲站排头”与“乙不站排尾”
C.“甲站排头”与“乙站排尾”
D.“甲不站排头”与“乙不站排尾”
答案BCD
解析对于A,“甲站排头”与“乙站排头”不可能同时发生,是互斥事件,对于B,“甲站排头”时,乙可以“不站排尾”,两者可以同时发生,不是互斥事件,对于C,“甲站排头”时,乙可以“站排尾”,两者可以同时发生,不是互斥事件,对于D,“甲不站排头”时,乙可以“不站排尾”,两者可以同时发生,不是互斥事件.
12.已知袋中有大小相同的黄、红、白球各一个,每次任取一个,有放回地取3次,则下列事件的概率不为89的是 ( )
A.颜色相同 B.颜色不全相同
C.颜色全不相同 D.无红球
答案ACD
解析有放回地取球3次,共27种可能结果,其中颜色相同的结果有3种,其概率为327=19;颜色不全相同的结果有24种,其概率为2427=89;颜色全不相同的结果有6种,其概率为627=29;无红球的结果有8种,其概率为827.故选ACD.
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.下列试验是古典概型的为 .?
①从6名同学中选出4人参加竞赛,每人被选中的概率;②同时掷两颗骰子,点数和为6的概率;③近三天中有一天降雨的概率;④10人站成一排,其中甲、乙相邻的概率.
答案①②④
解析在①中,从6名同学中选出4人参加竞赛,每人被选中的概率,
这个试验具有古典概型的两个特征:有限性和等可能性,故①是古典概型;
在②中,同时掷两颗骰子,点数和为6的概率,
这个试验具有古典概型的两个特征:有限性和等可能性,故②是古典概型;
在③中,近三天中有一天降雨的概率,没有等可能性,故③不是古典概型;
④10人站成一排,其中甲、乙相邻的概率,
这个试验具有古典概型的两个特征:有限性和等可能性,故④是古典概型.
14.管理人员从一池塘中捞出30条鱼做上标记,然后放回池塘,将带标记的鱼完全混合于鱼群中.10天后,再捕上50条,发现其中带标记的鱼有2条.根据以上数据可以估计该池塘约有 条鱼.?
答案750
解析设池塘约有n条鱼,则含有标记的鱼的概率为30n,由题意得30n×50=2,∴n=750.
15.甲乙二人进行射击游戏,目标靶上有三个区域,分别涂有红、黄、蓝三色,已知甲击中红、黄、蓝三区域的概率依次是15、25、15,乙击中红、黄、蓝三区域的概率依次是16、12、14,二人射击情况互不影响,若甲乙各射击一次,则二人命中同色区域的概率为 ,二人命中不同色区域的概率为 .?
答案1760 2760
解析设甲射中红、黄、蓝三色的事件分别为A1,A2,A3,
乙射中红、黄、蓝三色的事件分别为B1,B2,B3;
∴P(A1)=15,P(A2)=25,P(A3)=15,P(B1)=16,P(B2)=12,P(B3)=14.
∵二人射击情况互不影响相互独立,
∴二人命中同色区域的概率P(A1B1+A2B2+A3B3)=P(A1)P(B1)+P(A2)P(B2)+P(A3)P(B3)=15×16+25×12+15×14=1760.
二人命中不同色区域的概率P(A1B2+A1B3+A2B1+A2B3+A3B1+A3B2)=P(A1)P(B2)+P(A1)P(B3)+P(A2)P(B1)+P(A2)P(B3)+P(A3)P(B1)+P(A3)P(B2)=15×12+15×14+25×16+25×14+15×16+15×12=2760.
16.为了了解学生遵守《中华人民共和国交通安全法》的情况,调查部门在某学校进行了如下的随机调查:向被调查者提出两个问题:(1)你的学号是奇数吗?(2)在过路口的时候你是否闯过红灯?要求被调查者背对调查人抛掷一枚硬币,如果出现正面,就回答第(1)个问题;否则就回答第(2)个问题.被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题,只需要回答“是”或“不是”,因为只有被调查本人知道回答了哪个问题,所以都如实做了回答.如果被调查的600人(学号从1到600)中有180人回答了“是”,由此可以估计在这600人中闯过红灯的人数是 .?
答案60
解析设闯红灯的概率为p,
由已知中被调查者回答的两个问题,
(1)你的学号是奇数吗?(2)在过路口的时候你是否闯过红灯?
再由调查人抛掷一枚硬币,如果出现正面,就回答第(1)个问题;否则就回答第(2)个问题,
可得回答是有两种情况:
①正面朝上且学号为奇数,其概率为12×12=14;
②反面朝上且闯了红灯,其概率为12×p.
则回答是的概率为14+p2=180600,
解得p=0.1.所以闯灯人数为600×0.1=60.
四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)袋中有大小、形状相同的红球、黑球各一个,现依次有放回地随机摸取3次,每次摸取一个球.
(1)一共有多少种不同的结果?请列出所有可能的结果.
(2)若摸到红球时得2分,摸到黑球时得1分,求3次摸球所得总分为5分的概率.
解(1)一共有8种不同的结果,列举如下:(红、红、红),(红、红、黑),(红、黑、红),(红、黑、黑),(黑、红、红),(黑、红、黑),(黑、黑、红),(黑、黑、黑).
(2)记“3次摸球所得总分为5分”为事件A,事件A包含的基本事件为:(红、红、黑),(红、黑、红),(黑、红、红),事件A包含的基本事件数为3.
由(1)可知,基本事件总数为8,
所以发生事件A的概率为P(A)=38.
18.(12分)将一枚质地均匀且四个面上分别标有1,2,3,4的正四面体先后抛掷两次,其底面落于桌面上,记第一次朝下面的数字为x,第二次朝下面的数字为y.
(1)求满足条件“xy为整数”的事件的概率;
(2)求满足条件“x-y<2”的事件的概率.
解根据题意,可以用(x,y)来表示得到的点数情况,则得到的点数有(1,1)、(1,2)、(1,3)、(1,4)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(2,4)、(3,1)、(3,2)、(3,3)、(3,4)、(4,1)、(4,2)、(4,3)、(4,4),共16种情况;
(1)记“xy为整数”为事件A,则A包括(1,1)、(2,1)、(2,2)、(3,1)、(3,3)、(4,1)、(4,2)、(4,4),共8种情况,则P(A)=816=12;
(2)记“x-y<2”为事件B,则B包括(1,1)、(1,2)、(1,3)、(1,4)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(2,4)、(3,2)、(3,3)、(3,4)、(4,3)、(4,4),共13种情况,则P(B)=1316.
19.(12分)为了对某课题进行研究,用分层抽样方法从三所高校A,B,C的相关人员中,抽取若干人组成研究小组,有关数据见下表(单位:人).
高校
相关人数
抽取人数
A
18
x
B
36
2
C
54
y
(1)求x,y;
(2)若从高校B,C抽取的人中选2人作专题发言,求这2人都来自高校C的概率.
解(1)由题意可得,x18=236=y54,
所以x=1,y=3.
(2)记从高校B抽取的2人为b1,b2,从高校C抽取的3人为c1,c2,c3,则从高校B,C抽取的5人中选2人作专题发言的基本事件有(b1,b2),(b1,c1),(b1,c2),(b1,c3),(b2,c1),(b2,c2),(b2,c3),(c1,c2),(c1,c3),(c2,c3),共10种.
设选中的2人都来自高校C的事件为X,则X包含的基本事件有(c1,c2),(c1,c3),(c2,c3),共3种.因此P(X)=310.故选中的2人都来自高校C的概率为310.
20.(12分)某保险公司利用简单随机抽样方法,对投保车辆进行抽样,样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下:
赔付金额/元
0
1 000
2 000
3 000
4 000
车辆数/辆
500
130
100
150
120
(1)若平均每辆车的投保金额为2 800元,估计赔付金额大于投保金额的概率;
(2)在样本车辆中,车主是新司机的占10%,在赔付金额为4 000元的样本车辆中,车主是新司机的占20%,估计在已投保车辆中,新司机获赔金额为4 000元的概率.
解(1)设A表示事件“赔付金额为3 000元”,B表示事件“赔付金额为4 000元”,以频率估计概率得P(A)=1501 000=0.15,P(B)=1201 000=0.12.
由于投保金额为2 800元,赔付金额大于投保金额对应的情形是3 000元和4 000元,所以估计其概率为P(A)+P(B)=0.15+0.12=0.27.
(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔金额为4 000元”,由已知,样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000=100(辆),而赔付金额为4 000元的车辆中,车主为新司机的有0.2×120=24(辆).
所以样本车辆中新司机获赔金额为4 000元的频率为24100=0.24,由频率估计概率得P(C)=0.24.
21.(12分)随着共享单车的成功运营,更多的共享产品逐步走入大家的世界,共享汽车、共享篮球、共享充电宝等各种共享产品层出不穷.广元某景点设有共享电动车租车点,共享电动车的收费标准是每小时2元(不足1小时的部分按1小时计算).甲、乙两人各租一辆电动车,若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为14,12;一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为12,14;两人租车时间都不会超过三小时.
(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率;
(2)求甲、乙两人所付的租车费用之和大于或等于8的概率.
解(1)甲、乙两人所付费用相同即同为2,4,6元,
都付2元的概率P1=14×12=18,
都付4元的概率P2=12×14=18,
都付6元的概率P3=14×14=116,
∴所付费用相同的概率为P=P1+P2+P3=18+18+116=516.
(2)设两人费用之和为8、10、12的事件分别为A、B、C,
P(A)=14×14+12×14+12×14=516
P(B)=14×14+12×14=316,
P(C)=14×14=116,
设两人费用之和大于或等于8的事件为W,则W=A+B+C,∴两人费用之和大于或等于8的概率P(W)=P(A)+P(B)+P(C)=516+316+116=916.
22.(12分)某小组共有A,B,C,D,E五名同学,他们的身高(单位:m)以及体重指标(单位:kg/m2)如下表所示:
A
B
C
D
E
身高
1.69
1.73
1.75
1.79
1.82
体重指标
19.2
25.1
18.5
23.3
20.9
(1)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人,求选到的2人身高都在1.78以下的概率;
(2)从该小组同学中任选2人,求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率.
解(1)从身高低于1.80的同学中任选2人,其一切可能的结果组成的基本事件有(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D),共6个.
由于每个人被选到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的.选到的2人身高都在1.78以下的事件有(A,B),(A,C),(B,C),共3个.因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为P=36=12.
(2)从该小组同学中任选2人,其一切可能的结果组成的基本事件有(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E),共10个.
由于每个人被选到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的.
选到的2人身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的事件有(C,D),(C,E),(D,E),共3个.
因此选到的2人身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率为P1=310.
