湘教版九年级数学上册第4章《锐角三角函数》单元测试(有答案)

第4章《锐角三角函数》
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A＝α，AB＝5，那么AC等于（　　）
A．5 B．5 C．5 D．

A．5 B．5 C．5 D．
2．如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AB＝3，则下列结论正确的是（　　）
A．sinA＝ B．cosA＝ C．sinA＝ D．tanA＝
3．在Rt△ABC中，各边都扩大5倍，则∠A的三角函数值（　　）
A．不变 B．扩大5倍 C．缩小5倍 D．不能确定
4．当锐角A的cosA＞时，∠A的值为（　　）
A．小于45° B．小于30° C．大于45° D．大于30°
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cosA＝，则sinA的值为（　　）
A． B． C． D．
6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，则sinB的值为（　　）
A． B． C． D．2
7．如果，那么锐角α的度数是（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
8．△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA＝，cosB＝，则△ABC的形状是（　　）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形
9．下表是小丽填写的实践活动报告的部分内容：
题目 测量树顶端到地面的高度
测量目标示意图
相关数据 AB＝10m，α＝45°，β＝56°
设树顶端到地面的高度DC为xm，根据以上条件，可以列出求树高的方程为（　　）
A．x＝（x﹣10）cos56° B．x＝（x﹣10）tan56°
C．x﹣10＝xtan56° D．x＝（x+10）sin56°
10．如图，一科珍贵的乌稔树被台风“山竹”吹歪了，处于对它的保护，需要测量它的高度．现采取以下措施：在地面选取一点C，测得∠BCA＝45°，AC＝20米，
∠BAC＝60°，则这棵乌稔树的高AB约为（　　）（参考数据：1.4，≈1.7）

A．7米 B．14米 C．20米 D．40米
二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
11．在△ABC中，∠C＝90°，如果sinA＞cosA，那么∠A的度数范围是　 　．
12．△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则sinA+cosA＝　 　．
13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b分别是∠A、∠B的对边，如果sinA：sinB＝2：3，那么a：b等于　 　．
14．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AD⊥BC，垂足为D．给出下列四个结论：
①sinα＝sinB；②sinβ＝sinC；③sinB＝cosC；④sinα＝cosβ．其中正确的结论有　 　．

15．已知α为锐角，sinα+cos（90°﹣α）＝，则α＝　 　．
16．在Rt△ABC中，2sin（α+20°）＝，则锐角α的度数为　 　．
17．如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经过测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则CD的长为　 　米．（结果保留根号）
18．如图，一棵与地面垂直的笔直大树AB，在C点处被大风折断后，AC部分倒下，树的顶端A斜坡DF上的点G重合（BC、CG都保持笔直），经测量DG＝2米，BD＝3米，∠EDF＝30°，∠CGD＝60°，则树高AB为　 　米．（保留根号）

三．解答题（共7小题，满分46分，19、21每小题5分，20题6分，22、23、24每小题7分，25题9分）
19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上的一点，CD＝3，AD＝BD＝5．求∠A的三个三角函数值．

20．计算：（1）2cos30°+tan30°?cos60°﹣
（2）2|1﹣sin60°|+．

21．在△ABC中，已知∠C＝90°，sinA+sinB＝，求sinA﹣sinB的值．

22．如图，已知∠ABC和射线BD上一点P（点P与点B不重合），且点P到BA、BC的距离为PE、PF．
（1）若∠EBP＝40°，∠FBP＝20°，PB＝m，试比较PE、PF的大小；
（2）若∠EBP＝α，∠FBP＝β，α，β都是锐角，且α＞β．试判断PE、PF的大小，并给出证明．

23．如图，在Rt△BCD中，∠BDC＝30°，延长CD到点A，连接AB，∠A＝15°，求tan15°的值（结果保留根号）．

24．如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度1：，AB＝10米，AE＝21米，求广告牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，参考数据：tan53°≈，cos53°≈0.60）

25．某校组织学生到恩格贝A和康镇B进行研学活动，澄澄老师在网上查得，A和B分
别位于学校D的正北和正东方向，B位于A南偏东37°方向，校车从D出发，沿正北方向前往A地，行驶到15千米的E处时，导航显示，在E处北偏东45°方向有一服务区C，且C位于A，B两地中点处．
（1）求E，A两地之间的距离；
（2）校车从A地匀速行驶1小时40分钟到达B地，若这段路程限速100千米/时，计算校车是否超速？
（参考数据：sin37°＝，cos37°＝，tan37°＝）



参考简答
一．选择题（共10小题）
1． B． 2． D． 3． A． 4． A． 5． D． 6． A． 7． A． 8． C．
9． B． 10． B．
二．填空题（共8小题）
11．　45°＜∠A＜90°　． 12．　　． 13．　2：3　． 14．　①②③④　．
15．　60°　． 16．　40°　． 17．　4﹣4　．（结果保留根号）
18．　　米．（保留根号）

三．解答题（共7小题）
19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上的一点，CD＝3，AD＝BD＝5．求∠A的三个三角函数值．

【解】：在Rt△BCD中，∵CD＝3、BD＝5，
∴BC＝＝＝4，
又AC＝AD+CD＝8，
∴AB＝＝＝4，
则sinA＝＝＝，
cosA＝＝＝，
tanA＝＝＝．
20．计算：（1）2cos30°+tan30°?cos60°﹣
（2）2|1﹣sin60°|+．
【解】：（1）原式＝2×+×﹣+1
＝+1．
（2）原式＝2（1﹣）+
＝2﹣+
＝2﹣++
＝2+．
21．在△ABC中，已知∠C＝90°，sinA+sinB＝，求sinA﹣sinB的值．
【解】：∵sinA+sinB＝，
∴（sinA+sinB）2＝，
∴sin2A+sin2B+2sinA?sinB＝，
∵sinB＝cosA，
∴sin2A+cos2A+2sinA?sinB＝，
∴2sinA?sinB＝，
∴（sinA﹣sinB）2＝1﹣＝，
∴sinA﹣sinB＝±．
22．如图，已知∠ABC和射线BD上一点P（点P与点B不重合），且点P到BA、BC的距离为PE、PF．
（1）若∠EBP＝40°，∠FBP＝20°，PB＝m，试比较PE、PF的大小；
（2）若∠EBP＝α，∠FBP＝β，α，β都是锐角，且α＞β．试判断PE、PF的大小，并给出证明．

【解】：（1）在Rt△BPE中，sin∠EBP＝＝sin40°
在Rt△BPF中，sin∠FBP＝＝sin20°
又sin40°＞sin20°
∴PE＞PF；
（2）根据（1）得
sin∠EBP＝＝sinα，sin∠FBP＝＝sinβ
又∵α＞β
∴sinα＞sinβ
∴PE＞PF．
23．如图，在Rt△BCD中，∠BDC＝30°，延长CD到点A，连接AB，∠A＝15°，求tan15°的值（结果保留根号）．

【解】：∵∠A＝15°，∠BDC＝30°，
∴∠ABD＝15°，
∴AD＝BD，
设BC＝x，在Rt△BDC中，
∵∠BDC＝30°，
∴BD＝2x，
∴DC＝＝x，
∴AD＝BD＝2x，AC＝AD+DC＝2x+x＝（2+）x，
在Rt△ABC中，tan15°＝＝＝2﹣．
24．如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度1：，AB＝10米，AE＝21米，求广告牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，参考数据：tan53°≈，cos53°≈0.60）

【解】：过B作BG⊥DE于G，BH⊥AE，

Rt△ABF中，i＝tan∠BAH＝＝，
∴∠BAH＝30°，
∴BH＝AB＝5米；
∴AH＝5米，
∴BG＝AH+AE＝（5+21）米，
Rt△BGC中，∠CBG＝45°，
∴CG＝BG＝（5+21）米．
Rt△ADE中，∠DAE＝53°，AE＝21米，
∴DE＝AE＝28米．
∴CD＝CG+GE﹣DE＝26+5﹣28＝（5﹣2）m．
答：宣传牌CD高为（5﹣2）米．
25．某校组织学生到恩格贝A和康镇B进行研学活动，澄澄老师在网上查得，A和B分
别位于学校D的正北和正东方向，B位于A南偏东37°方向，校车从D出发，沿正北方向前往A地，行驶到15千米的E处时，导航显示，在E处北偏东45°方向有一服务区C，且C位于A，B两地中点处．
（1）求E，A两地之间的距离；
（2）校车从A地匀速行驶1小时40分钟到达B地，若这段路程限速100千米/时，计算校车是否超速？
（参考数据：sin37°＝，cos37°＝，tan37°＝）

【解】：（1）如图，作CH⊥AD于H．

由题意∠HEC＝45°，可得CH＝EH，设CH＝HE＝x千米，
∵点C是AB的中点，CH∥BD，
∴AH＝HD＝（x+15）千米，
在Rt△ACH中，tan37°＝，
∴＝，
∴x＝45，
∴CH＝45（千米），AH＝60（千米），AD＝120（千米），
∴EA＝AD﹣DE＝120﹣15＝105（千米）．
（2）在Rt△ACH中，AC＝＝75（千米），
∴AB＝2AC＝150（千米），
∵150÷＝90千米/小时，
∵90＜100，
∴校车没有超速．



第2题图

第1题图

第17题图

第14题图

第19题图

第18题图






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