人教版八年级数学下册 17.1勾股定理同步练习（解析版）

人教版八年级下册：17.1勾股定理 同步练习
一．选择题（共12小题）
1．下列各组数据是线段长，其中不能作为直角三角形的三边长的是（　　）
A．1，1， B．1， C．1，，2 D．
2．如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为（　　）

A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．以上答案都不对
3．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝12，AB＝5．分别以A，C为圆心，以大于线段AC长度的一半为半径作弧，两弧相交于点E，F，过点E，F作直线EF，交AC于点D，连结BD，则△ABD的周长为（　　）

A．13 B．17 C．18 D．25
4．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了下图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2019次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（　　）

A．1 B．2018 C．2019 D．2020
5．如图，AB＝AC，则数轴上点C所表示的数为（　　）

A．+1 B．﹣1 C．﹣+1 D．﹣﹣1
6．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若a+b＝14cm，c＝10cm，则Rt△ABC的面积是（　　）
A．24cm2 B．36cm2 C．48cm2 D．60cm2
7．如图，四边形ABCD中∠A＝60°，∠B＝∠D＝90°，AD＝8，AB＝7，则BC+CD等于（　　）

A． B．5 C．4 D．3
8．若等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则底边上的高为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
9．如图是我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形、如果大正方形的面积13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长的直角边为b，那么（a+b）2的值为（　　）

A．169 B．25 C．19 D．13
10．下列数学家中，用如图所示的“弦图”证明了勾股定理的是（　　）

A．刘徽 B．赵爽 C．祖冲之 D．秦九韶
11．勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，点D，E，F，G，H，I都是矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为（　　）

A．360 B．400 C．440 D．484
12．勾股定理是几何中的一个重要定理．而在西方，则是由著名数学家毕达哥拉斯用如图①的图形验证了勾股定理．故图①由此得名“毕达哥拉斯树”．图②是由图①放入长方形内得到的，∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，BC＝4，D、E、F、G、H、I都在长方形KLMJ的边上，则此长方形KLMJ的面积为（　　）

A．48+20 B．32+20 C．52+16 D．28+16
二．填空题（共6小题）
13．一个直角三角形的两条直角边长分别为3，4，则第三边为　 　．
14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝12cm，AC＝9cm，那么BD的长是　 　．

15．如图，字母A所代表的正方形面积为　 　．

16．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，则BC＝　 　．
17．在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则BC的长　 　．
18．由8个相同的直角三角形（图中带阴影的三角形）与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果最大的正方形的面积是25，最小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么222a3﹣333b3＝　 　．

三．解答题（共6小题）
19．如图，已知在△ABC中，AB＝12，AC＝10，BC边上的高AD＝8，求BC边的长．

20．正方形网格中的每个小正方形边长都是1，
（1）请在图中画出等腰△ABC，使AB＝AC＝，BC＝；
（2）在△ABC中，AB边上的高为　 　．

21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM是中线，MN⊥AB，垂足为点N，求证：AN2﹣BN2＝AC2．

22．在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C所对的边．
（1）若b＝2，c＝3，求a的值；
（2）若a：c＝3：5，b＝16，求△ABC的面积．
23．设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c
（1）已知a＝12，b＝5，求c；
（2）已知a＝3，c＝4，求b；
（3）已知c＝10，b＝9，求a．
24．如图，求图中字母所代表的正方形面积．




















参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．下列各组数据是线段长，其中不能作为直角三角形的三边长的是（　　）
A．1，1， B．1， C．1，，2 D．
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形．
【解答】解：A、12+12＝（）2，符合勾股定理的逆定理，故能作为直角三角形的三边长；
B、12+（）2＝（）2，符合勾股定理的逆定理，故能作为直角三角形的三边长；
C、12+（）2＝22，符合勾股定理的逆定理，故能作为直角三角形的三边长；
D、（）2+（）2≠（）2，不符合勾股定理的逆定理，故不能作为直角三角形的三边长．
故选：D．
2．如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为（　　）

A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．以上答案都不对
【分析】根据勾股定理求得△ABC各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其形状．
【解答】解：∵正方形小方格边长为1，

∴BC＝＝5，
AC＝＝，
AB＝＝，
在△ABC中，
∵AB2+AC2＝5+20＝25，BC2＝25，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形．
故选：A．
3．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝12，AB＝5．分别以A，C为圆心，以大于线段AC长度的一半为半径作弧，两弧相交于点E，F，过点E，F作直线EF，交AC于点D，连结BD，则△ABD的周长为（　　）

A．13 B．17 C．18 D．25
【分析】利用勾股定理可得AC的长，然后根据题意可得EF是AC的垂直平分线，进而可得AD的长和CD的长，进而可得答案．
【解答】解：∵∠ABC＝90°，BC＝12，AB＝5，
∴AC＝＝13，
根据题意可得EF是AC的垂直平分线，
∴D是AC的中点，
∴AD＝AC＝6.5，BD＝AC＝6.5，
∴△ABD的周长为6.5+6.5+5＝18．
故选：C．
4．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了下图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2019次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（　　）

A．1 B．2018 C．2019 D．2020
【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式，知“生长”1次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，即所有正方形的面积和是2×1＝2；“生长”2次后，所有的正方形的面积和是3×1＝3，推而广之即可求出“生长”2019次后形成图形中所有正方形的面积之和．
【解答】解：设直角三角形的是三条边分别是a，b，c．
根据勾股定理，得a2+b2＝c2，
即正方形A的面积+正方形B的面积＝正方形C的面积＝1．
推而广之，“生长”了2019次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2020×1＝2020．
故选：D．

5．如图，AB＝AC，则数轴上点C所表示的数为（　　）

A．+1 B．﹣1 C．﹣+1 D．﹣﹣1
【分析】根据勾股定理列式求出AB的长，即为AC的长，再根据数轴上的点的表示解答．
【解答】解：由勾股定理得，AB＝＝，
∴AC＝，
∵点A表示的数是﹣1，
∴点C表示的数是﹣1．
故选：B．
6．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若a+b＝14cm，c＝10cm，则Rt△ABC的面积是（　　）
A．24cm2 B．36cm2 C．48cm2 D．60cm2
【分析】要求Rt△ABC的面积，只需求出两条直角边的乘积．根据勾股定理，得a2+b2＝c2＝100．根据勾股定理就可以求出ab的值，进而得到三角形的面积．
【解答】解：∵a+b＝14
∴（a+b）2＝196
∴2ab＝196﹣（a2+b2）＝96
∴ab＝24．
故选：A．
7．如图，四边形ABCD中∠A＝60°，∠B＝∠D＝90°，AD＝8，AB＝7，则BC+CD等于（　　）

A． B．5 C．4 D．3
【分析】延长DC至E，构建直角△ADE，解直角△ADE求得DE，BE，根据BE解直角△CBE可得BC，CE，∴CD+BC＝DE﹣CE+BC．
【解答】解：如图，延长AB、DC相交于E，
在Rt△ADE中，可求得AE2﹣DE2＝AD2，且AE＝2AD，
计算得AE＝16，DE＝8，
于是BE＝AE﹣AB＝9，
在Rt△BEC中，可求得BC2+BE2＝CE2，且CE＝2BC，
∴BC＝3，CE＝6，
于是CD＝DE﹣CE＝2，
BC+CD＝5．
故选：B．

8．若等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则底边上的高为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】先作底边上的高，由等腰三角形的性质和勾股定理即可求出此高的长度．
【解答】解：作底边上的高并设此高的长度为x，则根据勾股定理得：62+x2＝102；
解得：x＝8，
故选：C．
9．如图是我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形、如果大正方形的面积13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长的直角边为b，那么（a+b）2的值为（　　）

A．169 B．25 C．19 D．13
【分析】先求出四个直角三角形的面积，再根据再根据直角三角形的边长求解即可．
【解答】解：∵大正方形的面积13，小正方形的面积是1，
∴四个直角三角形的面积和是13﹣1＝12，即4×ab＝12，
即2ab＝12，a2+b2＝13，
∴（a+b）2＝13+12＝25．
故选：B．
10．下列数学家中，用如图所示的“弦图”证明了勾股定理的是（　　）

A．刘徽 B．赵爽 C．祖冲之 D．秦九韶
【分析】根据“弦图”判断即可．
【解答】解：用如图所示的“弦图”证明了勾股定理的是数学家赵爽，
故选：B．
11．勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，点D，E，F，G，H，I都是矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为（　　）

A．360 B．400 C．440 D．484
【分析】延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，可得四边形AOLP是正方形，然后求出正方形的边长，再求出矩形KLMJ的长与宽，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】解：如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，
所以，四边形AOLP是正方形，
边长AO＝AB+AC＝6+8＝14，
所以，KL＝6+14＝20，LM＝8+14＝22，
因此，矩形KLMJ的面积为20×22＝440．
故选：C．

12．勾股定理是几何中的一个重要定理．而在西方，则是由著名数学家毕达哥拉斯用如图①的图形验证了勾股定理．故图①由此得名“毕达哥拉斯树”．图②是由图①放入长方形内得到的，∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，BC＝4，D、E、F、G、H、I都在长方形KLMJ的边上，则此长方形KLMJ的面积为（　　）

A．48+20 B．32+20 C．52+16 D．28+16
【分析】延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，可得四边形AOLP是正方形，然后求出正方形的边长，再求出矩形KLMJ的长与宽，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，BC＝4，
∴AC＝BC＝2，AB＝2．
如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，则四边形OALP是矩形．
∵∠CBF＝90°，
∴∠ABC+∠OBF＝90°，
又∵直角△ABC中，∠ABC+∠ACB＝90°，
∴∠OBF＝∠ACB，
在△OBF和△ACB中，，
∴△OBF≌△ACB（AAS），
∴AC＝OB，
同理：△ACB≌△PGC，
∴PC＝AB，
∴OA＝AP，
所以，矩形AOLP是正方形，
边长AO＝AB+AC＝2+2，
所以，KL＝2+2+2＝4+2，LM＝4+2，
因此，矩形KLMJ的面积为（4+2）×（4+2）＝32+20．
故选：B．

二．填空题（共6小题）
13．一个直角三角形的两条直角边长分别为3，4，则第三边为　5　．
【分析】根据勾股定理计算即可．
【解答】解：由勾股定理得：第三边为：＝5，
故答案为：5．
14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝12cm，AC＝9cm，那么BD的长是　cm　．

【分析】作DE⊥AB于E，根据勾股定理求出AB，证明△ACD≌△AED，根据全等三角形的性质得到CD＝ED，AE＝AC＝9，根据角平分线的性质、勾股定理列式计算即可．
【解答】解：作DE⊥AB于E，
由勾股定理得，AB＝＝＝15，
在△ACD和△AED中，
，
∴△ACD≌△AED（AAS）
∴CD＝ED，AE＝AC＝9，
∴BE＝AB﹣AE＝6，
在Rt△BED中，BD2＝DE2+BE2，即BD2＝（12﹣BD）2+62，
解得，BD＝，
故答案为：cm．

15．如图，字母A所代表的正方形面积为　64　．

【分析】根据正方形的面积等于边长的平方，由正方形PQED的面积和正方形PRQF的面积分别表示出PR的平方及PQ的平方，又三角形PQR为直角三角形，根据勾股定理求出QR的平方，即为所求正方形的面积．
【解答】解：∵正方形PQED的面积等于225，
∴即PQ2＝225，
∵正方形PRGF的面积为289，
∴PR2＝289，
又△PQR为直角三角形，根据勾股定理得：
PR2＝PQ2+QR2，
∴QR2＝PR2﹣PQ2＝289﹣225＝64，
则正方形QMNR的面积为64．
故答案为：64．

16．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，则BC＝　4　．
【分析】直接根据勾股定理求解即可．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，
∴BC＝＝＝4．
故答案为4．
17．在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则BC的长　14和4　．
【分析】分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得BD，CD，再由图形求出BC，在锐角三角形中，BC＝BD+CD，在钝角三角形中，BC＝BD﹣CD．
【解答】解：（1）如图，锐角△ABC中，AC＝13，AB＝15，BC边上高AD＝12，
∵在Rt△ACD中AC＝13，AD＝12，
∴CD2＝AC2﹣AD2＝132﹣122＝25，
∴CD＝5，
在Rt△ABD中AB＝15，AD＝12，由勾股定理得
BD2＝AB2﹣AD2＝152﹣122＝81，
∴CD＝9，
∴BC的长为BD+DC＝9+5＝14；
（2）钝角△ABC中，AC＝13，AB＝15，BC边上高AD＝12，
在Rt△ACD中AC＝13，AD＝12，由勾股定理得
CD2＝AC2﹣AD2＝132﹣122＝25，
∴CD＝5，
在Rt△ABD中AB＝15，AD＝12，由勾股定理得
BD2＝AB2﹣AD2＝152﹣122＝81，
∴BD＝9，
∴BC的长为DB﹣BC＝9﹣5＝4．
故答案为14或4．


18．由8个相同的直角三角形（图中带阴影的三角形）与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果最大的正方形的面积是25，最小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么222a3﹣333b3＝　﹣7215　．

【分析】根据大正方形的面积和小正方形的面积，即可求得边长，则可以得到a、b的关系，求得a、b的值，然后代入求解即可．
【解答】解：根据题意得：b﹣a＝1，a+b＝5，
解得：a＝2，b＝3，
则原式＝111（2a3﹣3b3）＝111×（2×8﹣3×27）＝﹣7215．
故答案是：﹣7215．
三．解答题（共6小题）
19．如图，已知在△ABC中，AB＝12，AC＝10，BC边上的高AD＝8，求BC边的长．

【分析】如图，运用勾股定理直接求出BD、CD的长度，即可解决问题．
【解答】解：如图，∵AD⊥BC，
∴BD2＝122﹣82，CD2＝102﹣82，
∴BD＝，CD＝6，
∴BC＝6+．

20．正方形网格中的每个小正方形边长都是1，
（1）请在图中画出等腰△ABC，使AB＝AC＝，BC＝；
（2）在△ABC中，AB边上的高为　　．

【分析】（1）利用数形结合的思想解决问题即可；
（2）利用三角形的面积，构建方程求解即可；
【解答】解：（1）△ABC如图所示．

（2）设CD⊥AB，
∵S△ABC＝?AB?CD＝4﹣×2×1﹣×2×1﹣×1×1，
∴CD＝，
故答案为．
21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM是中线，MN⊥AB，垂足为点N，求证：AN2﹣BN2＝AC2．

【分析】在直角三角形BNM和ANM中利用勾股定理可以得到BN2＝BM2﹣MN2，AN2＝AM2﹣MN2，然后得到BN2﹣AN2＝（BM2﹣MN2）﹣（AM2﹣MN2）＝BM2﹣AM2；又在直角三角形AMC中，AM2＝AC2+CM2，代入前面的式子中即可得出结论．
【解答】证明：∵MN⊥AB于N，
∴BN2＝BM2﹣MN2，AN2＝AM2﹣MN2
∴BN2﹣AN2＝BM2﹣AM2，
又∵∠C＝90°，
∴AM2＝AC2+CM2
∴BN2﹣AN2＝BM2﹣AC2﹣CM2，
又∵BM＝CM，
∴BN2﹣AN2＝﹣AC2，
即AN2﹣BN2＝AC2．
22．在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C所对的边．
（1）若b＝2，c＝3，求a的值；
（2）若a：c＝3：5，b＝16，求△ABC的面积．
【分析】（1）利用勾股定理直接计算即可；
（2）设a＝3x，c＝5x，由勾股定理可求出x的值，进而可求出求△ABC的面积．
【解答】解：
（1）∵△ABC中，∠C＝90°，b＝2，c＝3，
∴a＝＝；
（2）∵a：c＝3：5，
∴设a＝3x，c＝5x，
∵b＝16，
∴9x2+162＝25x2，
解得：x＝4，
∴a＝12，
∴△ABC的面积＝×12×16＝96．

23．设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c
（1）已知a＝12，b＝5，求c；
（2）已知a＝3，c＝4，求b；
（3）已知c＝10，b＝9，求a．
【分析】（1）根据c＝即可得出结论；
（2）根据b＝即可得出结论；
（3）根据a＝即可得出结论．
【解答】解：（1）∵直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c，a＝12，b＝5，
∴c＝＝＝13；

（2）∵直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c，a＝3，c＝4，
∴b＝＝＝；

（3）∵直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c，c＝10，b＝9，
∴a＝＝＝．
24．如图，求图中字母所代表的正方形面积．

【分析】从图一中，我们可以知道三角形的两边分别是9和9，所以第三边就可由勾股定理求出是9．所以面积是81．同理，图二中我们可求出未知的边长是8，所以面积是64．图三中我们可求出未知的边长是10，所以面积是100．
【解答】解：SA＝162﹣81＝81；SB＝172﹣152＝64；SC＝64+36＝100．