8.3.1频率与概率
1、教学目标
1．理解随机事件发生的可能性有大有小，概率的定义；
2．概率是随机事件自身的属性，它反映随机事件发生的可能性大小；
3． 在多次重复试验中，体会频率的稳定性．
2.教学重点
频率稳定性的理解．
3、教学难点
频率稳定性的理解．
4、教学过程：
1）课堂导入
飞机失事会给旅客造成意外伤害．一家保险公司要为购买机票的旅客进行保险，应该向旅客收取多少保费呢？为此，保险公司必须精确计算出飞机失事的可能性有多大？
类似这样的问题在我们的日常生活中也经常遇到．
例如：抛掷1枚均匀硬币，正面朝上．在装有彩球的袋子中，任意摸出的1个球恰好是红球．明天将会下雨．抛掷1枚均匀骰子，6点朝上．
……
2）重点讲解
随机事件发生的可能性有大有小．一个事件发生可能性大小的数值，称为这个事件的概率．若用A表示一个事件，则我们就用P（A）表示事件A发生的概率．
通常规定，必然事件发生的概率是1，记作P（A）＝1；不可能事件发生的概率为0，记作P（A）＝0；随机事件发生的概率是0和1之间的一个数，即0＜P（A）＜1．
3）问题探究
活动一 做“抛掷质地均匀的硬币试验”，每人10次．
1．分别汇总5人、10人、15人、…、50人……的试验结果，并将试验数据汇总填入下表：
4）难点剖析
观察课本P45折线统计图，当抛掷硬币次数很大时，正面朝上的频率是否比较稳定？
下表是自18世纪以来一些统计学家进行抛硬币试验所得的数据．
观察此表，你发现了什么？
活动二
表2是某批足球产品质量检验获得的数据．
（1）计算并填写表中“抽到优等品”的频率；
（2）画出“抽到优等品”的频率的折线统计图；
（3）当抽到的足球数很大时，你认为“抽到优等品”的频率在哪个常数附近摆动？
5）训练提升
1．公路上行驶的一辆汽车车牌为偶数的频率约是（ ）
A．50% B．100%
C．由各车所在单位或个人定 D．无法确定
2．实验的总次数、频数及频率三者的关系是（ ）
A．频数越大，频率越大
B．频数与总次数成正比
C．总次数一定时，频数越大，频率可达到很大
D．频数一定时，频率与总次数成反比
3．在一副（54张）扑克牌中，摸到“A”的频率是（ ）
A． B． C． D．无法估计
4．在做针尖落地的实验中，正确的是（ ）
A．甲做了4000次，得出针尖触地的机会约为46%，于是他断定在做第4001次时，针尖肯定不会触地
B．乙认为一次一次做，速度太慢，他拿来了大把材料、形状及大小都完全一样的图钉，随意朝上轻轻抛出，然后统计针尖触地的次数，这样大大提高了速度
C．老师安排每位同学回家做实验，图钉自由选取
D．老师安排同学回家做实验，图钉统一发（完全一样的图钉）．同学交来的结果，老师挑选他满意的进行统计，他不满意的就不要
5．通过实验的方法用频率估计概率的大小，必须要求实验是在 的条件下进行．
6．某灯泡厂在一次质量检查中，从2000个灯泡中随机抽查了100个，其中有10个不合格，则出现不合格灯泡的频率是 ，在这2000个灯泡中，估计有 个为不合格产品．
7．在红桃A至红桃K这13张扑克牌中，每次抽出一张，然后放回洗牌再抽，研究恰好抽到的数字小于5的牌的概率，若用计算机模拟实验，则要在 的范围中产生随机数，若产生的随机数是 ，则代表“出现小于5”，否则就不是．
8．抛一枚均匀的硬币100次，若出现正面的次数为45次，那么出现正面的频率是 ．
9．一个口袋中有10个红球和若干个白球，请通过以下实验估计口袋中白球的个数：从口袋中随机摸出一球，记下其颜色，再把它放回口袋中，不断重复上述过程．实验中总共摸了200次，其中有50次摸到红球．
10．如图，某商场设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据：
（1）计算并完成表格：
转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1 1000
落在“铅笔”的次数m 68 111 136 345 564 701
落在“铅笔”的频率
（2）请估计，当n很大时，频率将会接近多少？
（3）画出这个转盘落在“铅笔”的频率的折线统计图；
（4）假如你去转动转盘一次，你获的铅笔的概率是多少？
参考答案
1~4．ADBB
5．相同或同等（意思相近即可）
6．0.1，200
7．1~13，1，2，3，4
8．0.45
10．（1）0.68，0.74，0.68， 0.69，0.705，0. 701；
（2）接近0.7；
（3）略；
（4）0.7．
5、板书设计：
8.3.1 频率与概率
（一）知识回顾 （三）例题解析 （五）课堂小结
（二）探索新知
（四）课堂练习 练习设计
6、教学反思：
(共16张PPT)
>> 课程名称
8.3.1频率与概率
飞机失事会给旅客造成意外伤害．一家保险公司要为购买机票的旅客进行保险，应该向旅客收取多少保费呢？为此保险公司必须精确计算出飞机失事的可能性有多大．类似这样的问题在我们的日常生活中也经常遇到．例如：
抛掷1枚均匀硬币，正面朝上．
在装有彩球的袋子中，任意摸出的1个球恰好是红球．
明天将会下雨．
抛掷1枚均匀骰子，6点朝上．
……
>> 情景导入
3
一般地，在一定条件下大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率 会稳定地在某一个常数附近摆动，这个常数就是事件A发生的概率P(A)。
事实上，这类随机事件发生的概率的值是客观存在的，但我们无法确定它的精确值，因而在实际工作中，人们常把试验次数很大时事件发生的频率作为概率的近似值。
>> 要点学习
随机事件发生的可能性有大有小．一个事件发生可能性大小的数值，称为这个事件的概率．若用A表示一个事件，则我们就用P(A)表示事件发生的概率．
通常规定，必然事件发生的概率是1，记作P(A)＝1；不可能事件发生的概率为0，记作P(A)＝0；随机事件发生的概率是0和1之间的一个数，即0＜P(A)＜1．
>> 问题探究
1．分别汇总5人、10人、15人、…、50人……的试验结果，并将试验数据汇总填入下表：
>> 问题探究
观察课本P45折线统计图，当抛掷硬币次数很大时，正面朝上的频率是否比较稳定？
下表是自18世纪以来一些统计学家进行抛硬币试验所得的数据．
观察此表，你发现了什么？
>> 问题探究
7
１） 若袋中有3个红球、1个白球，同学们认为这名同学任摸一球，摸出的球可能是什么颜色？与同伴进行交流。
２）若将每个球都编上号码，分别为1号球（红）、2号球（红）、3号球（红）、4号球（白），那么这位同学摸到每个球的可能性一样吗？
３）任意摸出一球，你能说出所有可能出现的结果吗？
所有可能出现的结果有：1号球、2号球、3号球、4号球，摸到红球的可能出现的结果有：1号球、2号球、3号球。
>> 难点剖析
8
人们通常用
来表示摸到红球的可能性，也叫做摸到红球的概率（probability）。概率用英文（probability）的第一个字母p来表示。
摸到红球可能出现的结果数
摸到一球所有可能出现的结果数
>> 难点剖析
9
１）你能写出摸到白球的概率吗？
解：Ｐ（摸到白球）＝
－
１
４
２）若把摸球游戏换成4个红球，那么摸到红球、白球的概率分别是多少？
解：Ｐ（摸到红球）=1，
Ｐ（摸到白球）=0
３）你能写出必然事件和不可能事件的概率吗？
４）你能猜出不确定事件的概率的范围吗？
>> 难点剖析
随机事件发生的可能性有大有小．一个事件发生可能性大小的数值，称为这个事件的概率．若用A表示一个事件，则我们就用P(A)表示事件发生的概率．
通常规定，必然事件发生的概率是1，记作P(A)＝1；不可能事件发生的概率为0，记作P(A)＝0；随机事件发生的概率是0和1之间的一个数，即0＜P(A)＜1．
>> 难点剖析
1.抛掷100枚质地均匀的硬币，有下列一些说法:
①全部出现正面向上是不可能事件；
②至少有1枚出现正面向上是必然事件；
③出现50枚正面向上50枚正面向下是随机事件，
以上说法中正确说法的个数为 （ ）
A．0个 B.1个 C.2个 D.3个
2.下列说法正确的是 ( )
A.任何事件的概率总是在（0，1）之间
B.频率是客观存在的，与试验次数无关
C.随着试验次数的增加，频率一般会非常接近概率
D.概率是随机的，在试验前不能确定
B
C
>> 随堂巩固训练
3.某市统计近几年新生儿出生数及其中男婴数（单位：人）：
时间 2010年 2011年 2012年 2013年
出生婴儿数 21840 23070 20094 19982
出生男婴数 11453 12031 10297 10242
(1)试计算男婴各年出生频率（精确到0.001）；
(2)该市男婴出生的概率约是多少？
>> 随堂巩固训练
解：
(1)2010年男婴出生的频率为：
同理可求得2011年、2012年和2013年男婴出生的频率分别为：
0.521,0.512,0.512.
(2)各年男婴出生的频率在0.51～ 0.53之间，故该市男婴出生的概率约是0.52.
>> 随堂巩固训练
下表是某批足球产品质量检验获得的数据.
抽取的足球数n 50 100 200 500 1000 2000
优等品频数m 46 93 194 472 953 1903
优等品频率
（1）计算并填写表中“抽到优等品”的频率；
（2）画出“抽到优等品”的频率的折线统计图；
（3）当抽到的足球数很大时，你认为“抽到优等品”的频率在哪个常数附近摆动？
>> 知识拓展
从表1可以看到，当抽查的足球数很多时，抽到优等品的频率接近于某一个常数，并在它附近摆动.
通常，在多次重复试验中，一个随机事件发生的频率会在一个常数附近摆动，并且随着试验次数增多，摆动的幅度会减小，这个性质称为频率的稳定性.
>> 知识拓展
>>知识概括
1、频率本身是随机的，在试验前不能确定，做同样次数的重复试验得到事件的频率会不同.
2、概率是一个确定的数，与每次试验无关，是用来度量事件发生可能性大小的量.
3、频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率.
8.3.1频率与概率
1、基础夯实
单项选择题：（共10道需有答案和解析）
1. 一次数学测试后，某班40名学生的成绩被分为5组，第1～4组的频数分别为12、10、6、8，则第5组的频率是（ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
分析：根据第1～4组的频数，求出第5组的频数，即可确定出其频率．
解：根据题意得：40﹣（12+10+6+8）=40﹣36=4，
则第5组的频率为4÷40=0.1，
故选A．
2. 要了解八年级学生身高在某一范围内学生所占比例，需知道相应的（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．频数
分析：平均数、中位数是表示样本的平均水平，众数则表示哪一个身高的学生最多，只有频率分步直方图可以清晰地揭示各个身高的学生所占的比例．
解：频数分布直方图是用来显示样本在某一范围所占的比例大小，
故选D．
3. 在一次选举中，某候选人的选票没有超过半数，则其频率（ ）
A．大于 B．等于 C．小于 D．小于或等于
分析：根据频率=频数÷总数，进行分析．
解：根据题意，知
某候选人的选票没有超过半数，即频数小于或等于总数的一半；
故其频率小于或等于，故选D．
4. 八年级某班50位同学中，1月份出生的频率是0.30，那么这个班1月份出生的同学有（ ）
A．15 B．14 C．13 D．12
分析：根据频率的求法，频率=．计算可得答案．
解：50×0.30=15
故选A．
5. 将有100个个体的样本编成组号为①～⑧的八个组，如下表，那么第⑤组的频率为（ ）
组号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧
频数 14 11 12 13 ■■ 13 12 10
A.14 B．15 C．0.14 D．0.15
分析：根据总数和表格中的数据，可以计算得到第⑤组的频数；
再根据频率=频数÷总数进行计算．
解：根据表格中的数据，得
第5组的频数为100-（14+11+12+13+13+12+10）=15，
其频率为15：100=0.15．
故选D
6. 体育老师对九年级班学生“你最喜欢的体育项目是什么（只写一项）？”的问题进行了调查，把所得数据绘制成频数直方图（如图）．由图可知，最喜欢篮球的频率是（ ）
A. B. C. D.
分析：从图中可知总人数为50人，其中最喜欢篮球的有20人，故根据频率= 计算．
解：读图可知：共有（4+12+6+20+8）=50人，其中最喜欢篮球的有20人，故频率最喜欢篮球的频率是=0.4．故选D．
7. 某班有52名同学，在一次数学竞赛中，81﹣90这一分数段的人数所占的频率是0.25，那么成绩在这个分数段的人数有（ ）人．
A．13 B．12 C．14 D．15
分析：根据频数=频率×总数，进而可得答案．
解：52×0.25=13（人）．
故答案为：13．
8. 将一组数据分成5组，第一、二、三组共有个数据，第三、四、五组共有个数据，并且第三组的频率为，则第三组的频数为________.
A．60 B．70 C．80 D．90
分析：根据频数=频率×总数，进而可得答案．
解：设第三组的频数为，则解得故答案为70.
9. 在对25个数据进行整理的频数分布表中，各组的频数之和等于________，各组的频率之和等于________．下面答案正确的是( )
A．25；1 B．24；2 C25；2 D．24；1
分析：根据各小组频数之和等于数据总和，各小组频率之和等于1求解。
解：在一组数据中，频数之和等于数据总数，故频数之和等于25；频率之和等于1。
故答案为25；1
10. 某校为了了解学生在校午餐所需的时间，随机抽取了名学生在校午餐所需的时间，获得如下的数据（单位：min）：10，12，15，10，16，18，19，18，20，28，22，25，20，18，18，20，15，16，21，16．若将这些数据以4 min为组距进行分组，则组数是（ ）。
A．5 B．6 C、7 D．8
分析：根据组数=（最大值-最小值）÷组距计算，注意小数部分要进位．则（30-10）÷4=5，所以组数为5+1=6．
解：根据组数=（最大值-最小值）÷组距（小数部分要进位），
则（30-10）÷4=5，
所以组数为5+1=6．
2、能力提升
非选择题（共5道）
1. 明明连续记录了天以来爸爸每天看报的时间，结果（单位：）如下：
那么出现次数最多的时间的频数是 ，频率是 ．
分析：结合频数和频率的定义进行解答即可。
解析：在这组数据中，20出现了3次，出现的次数最多，所以它的频数为3，频率为
故答案是：3,0.3.
2. 某市为了解中学生参加体育训练的情况，组织部分学生参加测试进行抽样调查，其过程如下：
从全市抽取2000名学生进行体育测试：
①从某所初中学校抽取2000名学生；
②从全市九年级学生中随机抽取2000名学生；
③从全市初中生中随机抽取2000名学生．
其中你认为合理的抽样方法为 （填数学序号）
整理数据：
对测试结果进行整理，分为四个等级：优秀；良好；及格；不及格，并将测试结果绘成了如图两幅不完整的统计图．请补全频数分布表和扇形统计图：
测试结果 频数 频率
优秀 200 0.1
良好 480 0.24
及格 1020 0.51
不及格 300 0.15
分析数据：
若该市共有3万名初中学生，根据测试情况请你估计不及格的人数有多少？
针对本次测试得到的相关信息，你有何看法和建议？（字数不超过30字）
分析：（1）根据抽取的学生必须有代表性，能反映全年级学生的情况，可以采取随机抽样或随机分层抽样，据此即可得出正确答案；
（2）根据频率=，即可求得不及格类部分的频率，频数=总数×频率；算出对应数据填表；
①利用频数=总数×频率计算得出估计不及格的人数；
②根据数据提出合理的建议即可．
解：（1）合理的抽样方法为③；
（2）2000×0.51=1020，300÷2000=0.15；1﹣0.24﹣0.1=66%；
填表如下：
测试结果 频数 频率
优秀 200 0.1
良好 480 0.24
及格 1020 0.51
不及格 300 0.15
补充图如下：
①30000×0.15=4500（人）．
答：估计不及格的人数有4500人．
②建议：同学们要多参加体育锻炼，增强自身的体质
3. 为增强学生环保意识，某中学组织全校2000名学生参加环保知识大赛，比赛成绩均为整数，从中抽取部分同学的成绩进行统计，并绘制成如图统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）若抽取的成绩用扇形图来描述，则表示“第三组（79.5～89.5）”的扇形的圆心角为 144 度；
（2）若成绩在90分以上（含90分）的同学可以获奖，请估计该校约有多少名同学获奖？
第1题
分析：（1）由第三组（79.5～89.5）的人数即可求出其扇形的圆心角；
（2）首先求出50人中成绩在90分以上（含90分）的同学可以获奖的百分比，进而可估计该校约有多少名同学获奖；
解：（1）由直方图可知第三组（79.5～89.5）所占的人数为20人，
所以“第三组（79.5～89.5）”的扇形的圆心角==144°，
故答案为：144；
（2）估计该校获奖的学生数=×2000=640（人）；
4. 在对某班的一次英语测验成绩进行统计分析中，各分数段的人数如图所示（分数取正整数，满分分）．
（1）该班有多少名学生．
（2）分这一组的频数是多少？频率是多少？
解：（1）根据直方图的意义，总人数为各组频数之和：即6+8+10+18+16+2=60（人），故该班有60名学生；
（2）读图可得：69.5～79.5这一组的频数是18，频率是0.3；
（3）根据平均数的计算方法，
平均成绩==71（分）；
故答案为（1）60，（2）18，0.3；（3）71分．
5. 有一学校为了解九年级学生某次体育测试成绩，现对这次体育测试成绩进行抽样调查，结果统计如下，其中扇形统计图中C组所在的扇形的圆心角为36°.
根据上面的图表提供的信息，回答下列问题：
(1)计算频数分布表中a与b的值；
(2)根据C组28＜x≤32的组中值30，估计C组中所有数据的和为__________；
(3)请估计该校九年级学生这次体育测试成绩的平均分(结果取整数).
分析：（1）首先根据圆心角的度数=360°×百分比可算出C部分所占百分比，再利用总数=频数÷百分比可得总数a；利用总数减去各部分的频数和可得b的值；
（2）首先利用平均数的求法计算出样本平均数，再利用样本估计总体的方法可得该校九年级学生这次体育测试成绩的平均分；
（3）先算得圆锥体底面圆的周长，计算出底面圆的半径，再计算圆锥体的高即可．
解：（1）a=20÷144°360°=50
b=50-（2+3+5+20）=20；
（2）22×2+26×3+30×5+34×20+38×2050=34.24≈34
可用样本的平均分来估计总体的平均分，
因此该校九年级学生这次体育测试成绩平均分约为34．
（3）∵C底面圆＝20+2050×2×5π＝8π＝2πr，
∴r=4，
∴h＝52?42＝3．
3、个性创新
选答题（共1-3个）
1．在一个不透明的布袋中装有相同的三个小球，其上面分别标注数字1、2、3，现从中任意摸出一个小球，将其上面的数字作为点M的横坐标；将球放回袋中搅匀，再从中任意摸出一个小球，将其上面的数字作为点M的纵坐标．
（1）写出点M坐标的所有可能的结果；
（2）求点M的横坐标与纵坐标之和是偶数的概率．
【答案】（1）所有可能结果见解析；（2）．
分析：（1）列表得出所有等可能的情况结果即可；
（2）列表得出点M的横坐标与纵坐标之和是偶数的情况数，即可求出所求的概率．
试题解析：（1）列表如下：
1 2 3
1 （1，1） （2，1） （3，1）
2 （1，2） （2，2） （3，2）
3 （1，3） （2，3） （3，3）
则点M坐标的所有可能的结果有9个：（1，1）、（1，2）、（1，3）、（2，1）、（2，2）、（2，3）、（3，1）、（3，2）、（3，3）；
（2）求出横纵坐标之和，如图所示：
1 2 3
1 2 3 4
2 3 4 5
3 4 5 6
得到之和为偶数的情况有5种，
故P（点M的横坐标与纵坐标之和是偶数）=．
2．有5张形状、大小和质地都相同的卡片，正面分别写有字母：A，B，C，D，E和一个等式，背面完全一致．现将5张卡片分成两堆，第一堆：A，B，C；第二堆：D，E，并从第一堆中抽出第一张卡片，再从第二堆中抽出第二张卡片．
（1）请用画树形图或列表法表示出所有可能结果；（卡片可用A，B，C，D，E表示）
（2）将“第一张卡片上x的值是第二张卡片中方程的解”记作事件M，求事件M的概率．
【答案】（1）见解析画图；（2）．
分析：（1）利用列表法列举出符合题意的各种情况即可；（2）由（1）可知总数n，再找到第一张卡片上x的值是第二张卡片中方程的解的个数m，利用概率公式计算即可．
试题解析：（1）画树形图得：
共有6种等可能情况，（A，D）（A，E）（B，D）（B，E）（C，D）（C，E）；
（2）由（1）中的树形图可知符合条件的有3种，P（事件M）=．
3．设点A的坐标（x，y），其中横坐标x可取-1，2，纵坐标y可取-1，1，2。
（1）求出点A的坐标的所有等可能结果（用树形图或列表法求解）；
（2）求点A与点B（1，-1）关于原点对称的概率。
【答案】（1）所有等可能结果见解析；（2）.
分析：列举出所有情况，让所求的情况数除以总情况数即为所求的概率．
试题解析：（1）列表如下
-1 1 2
-1 （-1，-1） （-1，1） （-1，2）
2 （2，-1） （2，1） （2，2）
由一表可知，点A的坐标的所有等可能结果为：（-1，-1）、（-1，1）、（-1，2）、
（2，-1）、（2，1）、（2，2），共有6种，
（2）由（1）知，能与点B（1，-1）关于原点对称的结果有1种．
∴P（点A与点B关于原点对称）=.
4、其他题型（自由添加）
x=2 B
x=1 A
x=3 C
8.3.1频率与概率
概率论的起源与发展
一、概率的起源：
三四百年前在欧洲许多国家，贵族之间盛行赌博之风。掷骰子是他们常用的一种赌博方式。因骰子的形状为小正方体，当它被掷到桌面上时，每个面向上的可能性是相等的，即出现1点至6点中任何一个点数的可能性是相等的。有的参赌者就想：如果同时掷两颗骰子，则点数之和为9与点数之和为10，哪种情况出现的可能性较大？
17世纪中叶，法国有一位热衷于掷骰子游戏的贵族德·梅耳，发现了这样的事实：将一枚骰子连掷四次至少出现一个六点的机会比较多，而同时将两枚骰子掷24次，至少出现一次双六的机会却很少。
这是什么原因呢？后人称此为著名的德·梅耳问题。
二、数学家们参与赌博：
又有人提出了“分赌注问题”：两个人决定赌若干局，事先约定谁先赢得5局便算赢家。如果在一个人赢3局，另一人赢4局时因故终止赌博，应如何分赌本？诸如此类的需要计算可能性大小的赌博问题提出了不少，但他们自己无法给出答案。
参赌者将他们遇到的上述问题请教当时法国数学家帕斯卡，帕斯卡接受了这些问题，他没有立即回答，而把它交给另一位法国数学家费尔马。他们频频通信，互相交流，围绕着赌博中的数学问题开始了深入细致的研究。后来，这些问题被来到巴黎的荷兰科学家惠更斯获悉，回荷兰后，他独立地进行研究。
帕斯卡和费尔马两人一边亲自做赌博实验，一边仔细分析计算赌博中出现的各种问题，终于完整地解决了“分赌注问题”—— 正确的答案是：赢了4局的拿这个钱的，赢了3局的拿这个钱的。为什么呢？假定他们俩再赌一局，或者 A赢，或者 B赢。若是 A赢满了5局，钱应该全归他；A如果输了，即 A、B各赢4局，这个钱应该对半分。现在，A赢、输的可能性都是，所以，他拿的钱应该是×1+×=；当然，B就应该得。
他们将此题的解法向更一般的情况推广，从而建立了概率论的一个基本概念——数学期望，这是描述随机变量取值的平均水平的一个量。
三、概率论的初步形成：
惠更斯经过多年的潜心研究，解决了掷骰子中的一些数学问题。1657年，他将自己的研究成果写成了专著《论掷骰子游戏中的计算》。这本书迄今为止被认为是概率论中最早的论著。因此可以说早期概率论的真正创立者是帕斯卡、费尔马和惠更斯。这一时期被称为组合概率时期，计算各种古典概率。
在他们之后，对概率论这一学科做出贡献的是瑞士数学家族——贝努利家族的几位成员。雅可布·贝努利在前人研究的基础上，继续分析赌博中的其他问题，给出了“赌徒输光问题”的详尽解法，并证明了被称为“大数定律”的一个定理，这是研究等可能性事件的古典概率论中的极其重要的结果。大数定律证明的发现过程是极其困难的，他做了大量的实验计算，首先猜想到这一事实，然后为了完善这一猜想的证明，雅可布花了20年的时光。雅可布将他的全部心血倾注到这一数学研究之中，从中他发展了不少新方法，取得了许多新成果，终于将此定理证实。
四、著名的“圣彼得堡问题”：
1713年，雅可布的著作《猜度术》出版。遗憾的是在他的大作问世之时，雅可布已谢世8年之久。雅可布的侄子尼古拉·贝努利也真正地参与了“赌博”。他提出了著名的“圣彼得堡问题”：甲乙两人赌博，甲掷一枚硬币到掷出正面为一局。若甲掷一次出现正面，则乙付给甲一个卢布；若甲第一次掷得反面，第二次掷得正面，乙付给甲2个卢布；若甲前两次掷得反面，第三次得到正面，乙付给甲5个卢布。一般地，若甲前n－1次掷得反面，第n次掷得正面，则乙需付给甲2n-1个卢布。问在赌博开始前甲应付给乙多少卢布才有权参加赌博而不致亏损乙方？尼古拉同时代的许多数学家研究了这个问题，并给出了一些不同的解法。但其结果是很奇特的，所付的款数竟为无限大。即不管甲事先拿出多少钱给乙，只要赌博不断地进行，乙肯定是要赔钱的。
五、走出赌博—— 概率的发展：
随着18、19世纪科学的发展，人们注意到某些生物、物理和社会现象与机会游戏相似，从而由机会游戏起源的概率论被应用到这些领域中，同时也大大推动了概率论本身的发展。
法国数学家拉普拉斯将古典概率论向近代概率论进行推进，他首先明确给出了概率的古典定义，并在概率论中引入了更有力的数学分析工具，将概率论推向一个新的发展阶段。他还证明了“棣莫弗——拉普拉斯定理”，把棣莫弗的结论推广到一般场合，还建立了观测误差理论和最小二乘法。拉普拉斯于1812年出版了他的著作《分析的概率理论》，这是一部继往开来的作品。这时候人们最想知道的就是概率论是否会有更大的应用价值？是否能有更大的发展成为严谨的学科。
概率论在20世纪再度迅速地发展起来，则是由于科学技术发展的迫切需要而产生的。1906年，俄国数学家马尔科夫提出了所谓“马尔科夫链”的数学模型。1934年，前苏联数学家辛钦又提出一种在时间中均匀进行着的平稳过程理论。
如何把概率论建立在严格的逻辑基础上，这是从概率诞生时起人们就关注的问题，这些年来，好多数学家进行过尝试，终因条件不成熟，一直拖了三百年才得以解决。
六、概率体系正式建立与应用：
20世纪初完成的勒贝格测度与积分理论及随后发展的抽象测度和积分理论，为概率公理体系的建立奠定了基础。在这种背景下柯尔莫哥洛夫1933年在他的《概率论基础》一书中首次给出了概率的测度论式定义和一套严密的公理体系。他的公理化方法成为现代概率论的基础，使概率论成为严谨的数学分支。
现在，概率论与以它作为基础的数理统计学科一起，在自然科学，社会科学，工程技术，军事科学及工农业生产等诸多领域中都起着不可或缺的作用。
直观地说，卫星上天，导弹巡航，飞机制造，宇宙飞船遨游太空等都有概率论的一份功劳；及时准确的天气预报，海洋探险，考古研究等更离不开概率论与数理统计；电子技术发展，影视文化的进步，人口普查及教育等同概率论与数理统计也是密不可分的。
根据概率论中用投针试验估计π值的思想产生的蒙特卡罗方法，是一种建立在概率论与数理统计基础上的计算方法。借助于电子计算机这一工具，使这种方法在核物理、表面物理、电子学、生物学、高分子化学等学科的研究中起着重要的作用。
概率论作为理论严谨、应用广泛的数学分支正日益受到人们的重视，并将随着科学技术的发展而得到发展。
2.图片素材
8.3.1频率与概率
1.学习目标：
1)知识目标
1．理解随机事件发生的可能性有大有小，概率的定义；
2．概率是随机事件自身的属性，它反映随机事件发生的可能性大小；
2)能力目标
3．在多次重复试验中，体会频率的稳定性．
2.学习重难点：
理解随机事件发生的可能性有大有小，概率的定义；
3.学习过程
1）自主学习：
阅读课本内容，找出重点概念并整理：
附加：随机事件发生的可能性有大有小．一个事件发生可能性大小的数值，称为这个事件的概率．若用A表示一个事件，则我们就用P（A）表示事件A发生的概率．
通常规定，必然事件发生的概率是1，记作P（A）＝1；不可能事件发生的概率为0，记作P（A）＝0；随机事件发生的概率是0和1之间的一个数，即0＜P（A）＜1．
2）即时巩固：
1.抛掷一枚均匀的骰子，它落地时，朝上的点数为1的概率为______。朝上的点数为偶数的概率为_______ 。朝上的点数不大于6的概率为______，朝上的点数大于4的概率为______。
2.从一副扑克牌(去掉大小王)中随意抽取一张,抽到红桃的概率为________,抽到10的概率为_______,抽到梅花4的概率为_____________.
3.一只不透明的布袋中有三种小球（除颜色以外没有任何区别），分别是2个红球，3个白球和5个黑球，每次只摸出一只小球，观察后均放回搅匀．在连续9次摸出的都是黑球的情况下，第10次摸出红球的概率是 ．
4.小华和父母一同从重庆乘火车到广安邓小平故居参观，火车车厢里每排有左、中、右三个座位，小华一家三口随意坐某排的三个座位，则小华坐在中间的概率是____________。
5.初三（1）班50名学生中有35名团员，他们都积极报名参加志愿者活动，根据要求，该班从团员中随机选取1名团员参加，则该班团员李明被选中的概率是_________。
3）要点理解：
小组活动方法：准备两组相同的牌，每组两张，两张牌的牌面数字分别是1和2，从每组牌中各摸出一张，称为一次实验。
合作探究问题：
（1）一次实验中两张牌的牌面数字和可能有哪些值？
（2）每人做30次实验，根据实验结果填写下面表格：
牌面数字积 2 3 4
频数
频率
（3）根据上表，制作相应的频数分布直方图。
（4）你认为哪种情况的频率最大？
（5）两张牌的牌面数字和等于3的频率是多少？
（6）六个同学组成一个小组，分别汇总其中的两人、三人、四人、五人、六人的实验数据，相应得到实验60次、90次、120次、150次、180次时两张牌的牌的数字和等于3的频率，填写下表，并绘制相应的折线统计图。
实验次数 60 90 120 150 180
两张牌的牌面数字和等于3的频数
两张牌的牌面数字和等于3的频率
学生合作探讨，小组实验，发现规律。
4）难点探究：
议一议
（1）在上面的实验中，你发现了什么？增加实验数据后频率渐趋于哪一个稳定值？
（2）与其他小组交流所绘制的图表和发现的结论。
学生小组合作与全班性合作相结合，积极探究。
做一做
（1）将各组的数据集中起来，求出两张牌的牌面数字和等于3的频率，它与你们的估计相近吗？
（2）计算两张牌的牌面数字和等于3的概率。
学生小组合作实验，发现规律。
5）点评答疑：
想一想
两张牌的牌面数字和等于3的频率与两张牌的牌面数字和等于3的概率有什么关系？
学生归纳、小结规律。
结论：当实验次数很大时，两张牌的牌面数字和等于3的频率稳定在相应的概率附近，因此可以通过多次实验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率。
6）训练提升：
1．公路上行驶的一辆汽车车牌为偶数的频率约是（ ）
A．50% B．100%
C．由各车所在单位或个人定 D．无法确定
2．实验的总次数、频数及频率三者的关系是（ ）
A．频数越大，频率越大
B．频数与总次数成正比
C．总次数一定时，频数越大，频率可达到很大
D．频数一定时，频率与总次数成反比
3．在一副（54张）扑克牌中，摸到“A”的频率是（ ）
A． B． C． D．无法估计
4．在做针尖落地的实验中，正确的是（ ）
A．甲做了4000次，得出针尖触地的机会约为46%，于是他断定在做第4001次时，针尖肯定不会触地
B．乙认为一次一次做，速度太慢，他拿来了大把材料、形状及大小都完全一样的图钉，随意朝上轻轻抛出，然后统计针尖触地的次数，这样大大提高了速度
C．老师安排每位同学回家做实验，图钉自由选取
D．老师安排同学回家做实验，图钉统一发（完全一样的图钉）．同学交来的结果，老师挑选他满意的进行统计，他不满意的就不要
5．通过实验的方法用频率估计概率的大小，必须要求实验是在 的条件下进行．
6．某灯泡厂在一次质量检查中，从2000个灯泡中随机抽查了100个，其中有10个不合格，则出现不合格灯泡的频率是 ，在这2000个灯泡中，估计有 个为不合格产品．
7．在红桃A至红桃K这13张扑克牌中，每次抽出一张，然后放回洗牌再抽，研究恰好抽到的数字小于5的牌的概率，若用计算机模拟实验，则要在 的范围中产生随机数，若产生的随机数是 ，则代表“出现小于5”，否则就不是．
8．抛一枚均匀的硬币100次，若出现正面的次数为45次，那么出现正面的频率是 ．
9．一个口袋中有10个红球和若干个白球，请通过以下实验估计口袋中白球的个数：从口袋中随机摸出一球，记下其颜色，再把它放回口袋中，不断重复上述过程．实验中总共摸了200次，其中有50次摸到红球．
10．如图，某商场设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据：
（1）计算并完成表格：
转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1 1000
落在“铅笔”的次数m 68 111 136 345 564 701
落在“铅笔”的频率
（2）请估计，当n很大时，频率将会接近多少？
（3）画出这个转盘落在“铅笔”的频率的折线统计图；
（4）假如你去转动转盘一次，你获的铅笔的概率是多少？
参考答案
1~4．ADBB
5．相同或同等（意思相近即可）
6．0.1，200
7．1~13，1，2，3，4
8．0.45
10．（1）0.68，0.74，0.68， 0.69，0.705，0. 701；
（2）接近0.7；
（3）略；
（4）0.7．
7）课堂小结：
谈谈这节课你的收获有哪些?
