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第十一章 机械振动
3 简谐运动的回复力和能量
[学习目标]
1.理解简谐运动的运动规律，掌握在一次全振动过程中位移、回复力、加速度、速度变化的规律．(重、难点)
2.掌握简谐运动回复力的特征．(重点)
3.对水平的弹簧振子，能定性地说明弹性势能与动能的转化过程．
1、描述简谐运动的物理量
振幅：描述振动强弱；
周期和频率：描述振动快慢;
相位：描述振动步调.
2、简谐运动的表达式：
复习回顾
思考与讨论
O
A
B
O
A
B
C
D
O
A
B
C
D
O
A
B
C
D
O
A
B
C
D
物体做简谐运动时，所受的合力有什么特点？
O
A
B
C
D
O
A
B
C
D
O
A
B
C
D
O
B
C
D
A
X
X
X
X
X
X
F
F
F
F
F
F
1、方向总是与位移方向相反
2、大小与位移大小成正比
O
A
B
C
D
O
A
B
C
D
X
X
F
F
由于力F的方向总是与物体偏离平衡位置的位移X的方向相反，即总是指向平衡位置。它的作用总是要把物体拉回到平衡位置。所以称为回复力
思考讨论：
物体做简谐运动时，所受的合力有什么特点？
1.定义:
振动物体受到的使它回到平衡位置的力
一、简谐运动的回复力
2.来源：
振动方向上的合外力
（“回复力”是按力的作用效果命名）可以是一个力也可以是某个力的分力，还可以是几个力的合力。
3.方向:
总是指向平衡位置
4.大小:
O
A
B
C
D
X
F
“-”表示回复力方向始终与位移方向相反
k—回复力与位移的比例系数.
注意： 式中 k 是比例系数，并不是弹簧的劲度系数（水平弹簧
振子中的k 才为弹簧的劲度系数），其值由振动系统决定，
与振幅无关。
5．回复力随时间的变化规律：
由x＝Asin(ωt＋φ)与F＝－kx得：F＝－kx＝－kAsin(ωt＋φ)，可见回复力随时间按正弦规律变化．
6.简谐运动的动力学特点:
如果质点所受的回复力与它偏离平衡位置的位移大小成正比，并且始终指向平衡位置（即与位移方向相反）,质点的运动就是简谐运动.即回复力满足 F=-kx 的运动就是简谐运动 .
7.简谐运动的运动学特点：
（1）当物体从最大位移处向平衡位置运动时，由于v与a的方向一致, 物体做加速度越来越小的加速运动。
（2）当物体从平衡位置向最大位移处运动时，由于v与a的方向相反，物体做加速度越来越大的减速运动。
简谐运动是变加速运动
“-”表示加速度方向与位移方向相反
例1 (多选)如图3所示，弹簧振子在光滑水平杆上的A、B之间做往复运动，下列说法正确的是
A.弹簧振子运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用
B.弹簧振子运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复力的作用
C.振子由A向O运动过程中，回复力逐渐增大
D.振子由O向B运动过程中，回复力的方向指向平衡位置
（ AD )
8.简谐运动的判断方法：
（1）运动学方法判断：找出质点的位移与时间关系，若遵从正弦函数的规律，即x—t图像是一条正弦曲线，即可判定为简谐运动。（基本不用这个方法）
（2）动力学方法判断：找出质点振动方向上的合力与位移关系，若满足F=-kx，就可判定此振动为简谐运动。
动力学方法判断步骤：
（1）确定平衡位置;
（2）在振动过程中任选一位置（偏离平衡位置的位移为x）， 对质点进行受力分析;
（3）规定正方向(一般规定位移的方向为正)，对力沿振动方向进行分解，求出振动方向上的合力;
(4) 判断振动方向上的合力与位移的关系是否符合F=-kx即可。
O
分析：沿振动方向有两个力，弹簧的弹力和重力的 分力，二者的合力提供回复力
解：设平衡时弹簧的伸长量为x0，则有
此时回复力为零，该位置为平衡位置记为O。
若拉长x，则弹力为F∕=k(x0+x)
物体的回复力 F = -k(x0+x)+mgsinθ = -kx
由此可判定物体是做简谐运动。
例2
证明：光滑斜面上的小球连在弹簧上，把原来静止的小球沿斜面拉下一段距离后释放，小球的运动是简谐运动。
规定沿斜面向下为正方向
AD
O
A
A A－O O O－B B
x
v
F、a
动能
势能
总能量
向左减小
向右增大
向右减小
动能增大
势能减小
B
向右增大
向右减小
向左增大
动能减小
势能增大
不变
向左最大
向右最大
0
0
向右最大
0
0
向右最大
向左最大
动能最大
势能为0
动能为0
势能最大
动能为0
势能最大
O
B
A
F
F
二、简谐运动中的各个物理量变化规律
简谐振动中的对称关系
（1）关于平衡位置的对称点
①a、F、X大小相同，方向相反；动能势能相同
②V大小相同，方向不一定
（2）先后通过同一位置
①a、F、X，动能势能相同
②V大小相同，方向相反
2.理解：
(1)决定因素:对于一个确定的振动系统，简谐运动的能量由振幅决定，振幅越大，系统的能量越大。
(2)能量获得
最初振动系统的能量是通过外力做功由其他形式的能转化的。
(3)能量转化:当振动系统自由振动后，如果不考虑阻力作用，系统只发生动能和势能的相互转化，总能量保持不变。
(4)理想化模型：（简谐运动是一种理想化的模型）
a．从力的角度分析，简谐运动没考虑摩擦阻力。
b.从能量转化角度分析，简谐运动没考虑因阻力做功能量损耗。
三、简谐运动的能量
1.概念：
做简谐运动的物体在振动中经过某一位置时所具有的动能和势能之和，称为简谐运动的能量。
例4.(简谐运动的能量)(多选)如图所示，弹簧下端挂一质量为m的物体，物体在竖直方向上做振幅为A的简谐运动，当物体振动到最高点时，弹簧正好为原长，则物体在振动过程中 ( ）
A.物体在最低点时所受的弹力大小应为2mg
B.弹簧的弹性势能和物体的动能之和不变
C.弹簧的最大弹性势能等于2mgA
D.物体的最大动能应等于mgA
AC
解析 物体做简谐运动，最高点和最低点关于平衡位置对称，最高点加速度为g，最低点加速度也为g，方向向上，F－mg＝ma，a＝g，故F＝2mg，A正确；
根据物体和弹簧总的机械能守恒，弹簧的弹性势能、物体的动能、物体的重力势能之和不变，B错误；
物体下落到最低点时，重力势能的减少量全部转化为弹簧的弹性势能，所以弹簧的最大弹性势能为Ep＝mg×2A＝2mgA，C正确；
当弹簧的弹力等于物体的重力时，物体速度最大，动能最大，此时弹簧处于拉伸状态，弹性势能Ep′不为零，根据系统机械能守恒，可知此时物体的动能为Ek＝mgA－Ep′，即Ek小于mgA，D错误.
小结
1．回复力：使振动物体回到平衡位置的力.
2．简谐运动回复力的特点：如果质点所受的回复力与它的偏离平衡位置的位移大小成正比，并且始终指向平衡位置（即与位移方向相反）,质点的运动就是简谐运动。
3．简谐运动中动能和势能在发生相互转化，但总能量保持不变
4.简谐运动中的各个物理量变化规律
V、a 、x 、Ek 、Ep 都随物体的振动做周期性的变化
课堂练习
C
1.如图为某个弹簧振子做简谐运动的振动图象，由图象可知 （ ）
A.在0.1 s时，由于位移为零，所以振动能量为零
B.在0.2 s时，振子具有最大势能
C.在0.35 s时，振子具有的能量尚未达到最大值
D.在0.4 s时，振子的动能最大
B
D
4.当一弹簧振子在竖直方向上做简谐运动时，下列说法正确的（ ）
A．振子在振动过程中，速度相同时，弹簧的长度一定相等
B．振子从最低点向平衡位置运动过程中，弹簧弹力始终做负功
C．振子在振动过程中的回复力由弹簧的弹力和振子的重力的合力提供
D．振子在振动过程中，系统的机械能一定守恒
CD
5.如图所示，一根用绝缘材料制成的劲度系数为k的轻质弹簧，左端固定，右端与质量为m、带电荷量为＋q的小球相连，静止在光滑、绝缘的水平面上.在施加一个场强为E、方向水平向右的匀强电场后，小球开始做简谐运动.那么 ( )
C.运动过程中小球的机械能守恒
D.运动过程中小球的电势能和弹簧的弹性势能的总量不变
A
电场力做功，故机械能不守恒，C错.
运动过程中，小球的动能、电势能和弹簧的弹性势能的总量不变，D错.
作业
1、完成本节课后习题；
2、整理笔记；
3、复习前三节。
20200213物理作业11.3简谐运动的回复力和能量
11.3简谐运动的回复力和能量习题
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．做简谐运动的物体每次经过同一点时具有相同的物理量的是（ ）
A．位移、速度和加速度 B．速度、位移和动能
C．加速度、位移和动能 D．回复力、位移和速度
【解答】解：做简谐运动的物体，每次通过同一位置时，速度可能有两种方向，而速度是矢量，所以速度不一定相同。
根据简谐运动的特征：F＝﹣kx，a＝﹣，物体每次通过同一位置时，位移一定相同，回复力一定相等，加速度也一定相同。
动能是标量，经过同一位置时，弹性势能相同，故动能相同；
故选：C。
2．下列各图中能够正确描述简谐运动的物体加速度与位移的关系图象是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：物体做简谐运动，加速度与位移的关系是：a＝﹣，k是定值，根据数学知识可知：图象B正确。
故选：B。
3．一质点做简谐运动，其振动图象如图所示，在0.3s～0.4s这段时间内质点的运动情况是（ ）
A．沿x负方向运动，位移不断增大
B．沿x正方向运动，速度不断减小
C．动能不断增大，势能不断减小
D．动能不断减小，加速度不断减小
【解答】解：由图可知，在0.3s～0.4s的时间内，质点正在由平衡位置向正的最大位移处运动，所速度方向沿正方向，大小不断减小，动能减小，势能在增大；由于位移在增大，所以回复力增大，加速度也增大，故B正确，ACD错误。
故选：B。
4．弹簧振子的质量是2kg，当它运动到平衡位置左侧2cm时，受到的回复力是4N，当它运动到平衡位置右侧4cm时，它的加速度是（ ）
A．2 m/s2，向右 B．2 m/s2，向左
C．4 m/s2，向右 D．4 m/s2，向左
【解答】解：在光滑水平面上做简谐振动的物体质量为2kg，当它运动到平衡位置左侧2cm时，受到的回复力是4N，有：
F1＝kx1…①
当它运动到平衡位置右侧4cm时，回复力为：
F2＝kx2…②
联立①②解得：F2＝8N，向左；
故加速度：a＝＝＝4m/s2，向左；故ABC错误，D正确
故选：D。
二．多选题（共4小题）
5．关于简谐运动的动力学公式F＝﹣kx，以下说法正确的是（ ）
A．k是弹簧的劲度系数，x是弹簧长度
B．k是回复力跟位移的比例常数，x是做简谐运动的物体离开平衡位置的位移
C．对于弹簧振子系统，k是劲度系数，它由弹簧的性质决定
D．因为k＝，所以k与F成正比
【解答】解：k是回复力跟位移的比例常数，对弹簧振子系统，k是弹簧的劲度系数，由弹簧的性质决定； x是弹簧形变的长度，也是做简谐运动的物体离开平衡位置的位移，故B、C正确，AD错误；
故选：BC。
6．一质点做简谐运动，其振动图象如图所示，在0.2s～0.3s这段时间内质点的运动情况是（ ）
A．沿x负方向运动，速度不断增大
B．沿x负方向运动，位移不断增大
C．沿x正方向运动，速度不断增大
D．沿x正方向运动，位移不断减小
【解答】解：在0.2s～0.3s这段时间内，质点正负向最大位移处向平衡位置运动，速度沿x正方向，位移不断减小，速度不断增大。故AB错误，CD正确。
故选：CD。
7． 如图所示，轻弹簧的下端系着A、B两球，mA＝100g，mB＝500g，系统静止时弹簧伸长x＝15cm，未超出弹性限度．若剪断A、B间的细绳，则A在竖直方向做简谐运动，求：
（1）A的振幅多大？
（2）A球的最大加速度多大？（g取10m/s2）
【解答】解：（1）只挂A球时弹簧伸长量由F＝kx
得x1＝
挂A、B两物体时有：kx＝（mA+mB）g；
k＝＝40N/m
剪断A、B间细线后，A球静止悬挂时的弹簧的伸长量为xA＝＝0.025m
弹簧下端的这个位置就是A球振动中的平衡位置．
悬挂B球后又剪断细线，相当于用手把A球下拉后又突然释放，刚剪断细线时弹簧比静止悬挂A球多伸长的长度就是振幅，
即A＝x﹣xA＝15cm﹣2.5cm＝12.5cm
（2）振动中A球的最大加速度为最大加速度为：
amax＝＝×10m/s2＝50m/s2
答：（1）最大振幅为12.5cm；
（2）最大加速度为50m/s2．
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日期：2020/2/10 14:55:04；用户：石永生；邮箱：42254019@qq.com；学号：21018404
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20200213物理作业11.3简谐运动的回复力和能量
一．选择题（共4小题）
1．做简谐运动的物体每次经过同一点时具有相同的物理量的是（ ）
A．位移、速度和加速度 B．速度、位移和动能
C．加速度、位移和动能 D．回复力、位移和速度
2．下列各图中能够正确描述简谐运动的物体加速度与位移的关系图象是（ ）
A． B．
C． D．
3．一质点做简谐运动，其振动图象如图所示，在0.3s～0.4s这段时间内质点的运动情况是（ ）
A．沿x负方向运动，位移不断增大
B．沿x正方向运动，速度不断减小
C．动能不断增大，势能不断减小
D．动能不断减小，加速度不断减小
4．弹簧振子的质量是2kg，当它运动到平衡位置左侧2cm时，受到的回复力是4N，当它运动到平衡位置右侧4cm时，它的加速度是（ ）
A．2 m/s2，向右 B．2 m/s2，向左
C．4 m/s2，向右 D．4 m/s2，向左
二．多选题（共4小题）
5．关于简谐运动的动力学公式F＝﹣kx，以下说法正确的是（ ）
A．k是弹簧的劲度系数，x是弹簧长度
B．k是回复力跟位移的比例常数，x是做简谐运动的物体离开平衡位置的位移
C．对于弹簧振子系统，k是劲度系数，它由弹簧的性质决定
D．因为k＝，所以k与F成正比
6．一质点做简谐运动，其振动图象如图所示，在0.2s～0.3s这段时间内质点的运动情况是（ ）
A．沿x负方向运动，速度不断增大
B．沿x负方向运动，位移不断增大
C．沿x正方向运动，速度不断增大
D．沿x正方向运动，位移不断减小
7．如图所示，轻弹簧的下端系着A、B两球，mA＝100g，mB＝500g，系统静止时弹簧伸长x＝15cm，未超出弹性限度．若剪断A、B间的细绳，则A在竖直方向做简谐运动，求：
（1）A的振幅多大？
（2）A球的最大加速度多大？（g取10m/s2）
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