人教版七年级下数学教学讲义，复习补习资料（含典型例题，巩固练习）：19【提高】一元一次不等式的解法含答案

一元一次不等式的解法（提高）知识讲解

【学习目标】
1．理解一元一次不等式的概念；
2.会解一元一次不等式．
【典型例题】
类型一、一元一次不等式的概念
1．下列式子哪些是一元一次不等式？哪些不是一元一次不等式？为什么？
（1） （2） （3） （4） （5）
【思路点拨】根据一元一次不等式的定义判断．
【答案与解析】
解：(1)是一元一次不等式．（2）（3）(4)(5)不是一元一次不等式，因为：（2）中分母中含有字母，（3）未知量的最高次项不是1次，（4）不等式左边含有两个未知量，（5）不是不等式，是一元一次方程．
【总结升华】一元一次不等式的定义主要由三部分组成：①不等式的左右两边分母不含未知数；②不等式中只含一个未知数；③未知数的最高次数是1，三个条件缺一不可．
类型二、解一元一次不等式
2.解不等式：，并把解集在数轴上表示出来．
【思路点拨】先用分数的基本性质，将分母变为整数，再去分母，在去分母时注意分数线兼有括号的作用．
【答案与解析】
解：将分母变为整数，得：
去分母，得：
去括号，合并同类项，得：
系数化1，得：
这个不等式的解集表示在数轴上，如下图：
【总结升华】在不等式的两边同乘以(或除以)负数时，必须改变不等号的方向．
举一反三：
【变式】解不等式：
【答案】
解：去括号，得
移项、合并同类项得：
系数化1，得
故原不等式的解集是
3.m为何值时，关于x的方程：的解大于1？
【思路点拨】从概念出发，解出方程（用m表示x），然后解不等式．
【答案与解析】
解： x-12m+2=6x-15m+3
5x=3m-1
由
解得m＞2
【总结升华】此题亦可用x表示m，然后根据x的范围运用不等式基本性质推导出m的范围．
举一反三：
【变式】已知关于方程的解是非负数，是正整数，则 ．
【答案】1或2
4.已知关于的方程组的解满足，求的取值范围．
【思路点拨】先解出方程组再解不等式．
【答案与解析】
解：由，解得：
∵
∴
解得
∴的取值范围为
【总结升华】有时根据具体问题，可以不必解出的具体值．
类型三、解含字母的一元一次不等式
5．解关于x的不等式：(1-m)x>m-1
【思路点拨】由此不等式的结构，这里只需将未知数的系数化1即可，两边同时除以（1-m），但由不等式的基本性质我们知，若不等式两边同时除以一个负数，原不等号的方向得改变，这里1-m的符号我们不知道，故需分类讨论．
【答案与解析】
解：当1- m ＞0即 m ＜1时，原不等式的解集为：x＞-1；
当1- m ＜0即m ＞1时，原不等式的解集为：x＜-1；
当1-m=0即m=1时，没有数能使得不等式成立，故原不等式无解．
【总结升华】不难发现，我们可以总结概括，如下：
若ax＞b（a≠0），
当时，不等式的解集是；
当时，不等式的解集是．
举一反三：
【变式1】解关于x的不等式m（x-2）＞x-2. 【答案】
解: 化简，得（m-1）x＞2（m-1），　　① 当m-1＞0时，x＞2；　　② 当m-1＜0时，x＜2；　　③ 当m-1=0时，无解.

【变式2】已知x＞a的解集中最小整数为－2，则a的取值范围是______．
【答案】﹣3≤a＜﹣2．
类型四、逆用不等式的解集
6.（2019?江都市模拟）如果关于x的不等式（a+1）x＞a+1的解集为x＜1，那么a的取值范围是　 　．
【思路点拨】本题是关于x的不等式，应先只把x看成未知数，求得x的解集，从而来求得a的值．
【答案】a＜﹣1
【解析】
解：∵（a+1）x＞a+1的解集为x＜1，
∴a+1＜0，
∴a＜﹣1．
【总结升华】解答本题的关键是根据不等号的方向改变确定a+1＜0．
举一反三：
【变式】（2019?滨湖区二模）已知不等式3x﹣a≤0的解集为x≤5，则a的值为　　．
【答案】15.
【解析】解：3x﹣a≤0，
x≤，
∵不等式的解集为x≤5，
∴=5，
解得a=15．
故答案为：15．
一元一次不等式的解法（提高）巩固练习
【巩固练习】
一、选择题
1．已知关于x的不等式是一元一次不等式，那么m的值是 ( ) .
A．m＝1 B．m＝±1 C．m＝-1 D．不能确定
2．由得到，则a应该满足的条件是（ ）.
A．a＞0 B．a＜0 C．a≠0 D．a为任意实数
3．（2019?南通）关于x的不等式x﹣b＞0恰有两个负整数解，则b的取值范围是（　　）
A．﹣3＜b＜﹣2 B．﹣3＜b≤﹣2 C．﹣3≤b≤﹣2 D．﹣3≤b＜﹣2
4．不等式的解集是，则a为（ ）.
A．-2 B．2 C．8 D．5
5．如果1998a+2003b=0，那么ab是（ ）
A．正数 B．非正数 C．负数 D．非负数
6.关于的不等式的解集如图所示，则的值是 （ ）.
A．0 B．2 C． -2 D．-4
二、填空题
7．若为非负数，则 的解集是 .
8．（2019?铜仁市）不等式5x﹣3＜3x+5的最大整数解是　 　．
9．比较大小：________.
10．已知-4是不等式的解集中的一个值，则的范围为________.
11．若关于x的不等式只有六个正整数解，则a应满足________.
12.已知的解集中的最小整数为，则的取值范围是 .
三、解答题
13．若m、n为有理数，解关于x的不等式(－m2－1)x＞n．
14. 适当选择a的取值范围，使1.7＜x＜a的整数解：
（1）x只有一个整数解；
(2) x一个整数解也没有．
15.当时，求关于x的不等式的解集．
16.（2019秋?相城区期末）已知关于x的方程4x+2m+1=2x+5的解是负数．
（1）求m的取值范围；
（2）在（1）的条件下，解关于x的不等式2（x﹣2）＞mx+3．
【答案与解析】
一、选择题
1. 【答案】C；
【解析】，所以；
2. 【答案】C；
【解析】由得到，不等式两边同乘以，不等号方向没变，所以；
3. 【答案】D；
【解析】不等式x﹣b＞0，解得：x＞b，
∵不等式的负整数解只有两个负整数解，
∴﹣3≤b＜﹣2
故选D．
4. 【答案】A；
【解析】由，可得，它与表示同一解集，所以，解得；
5. 【答案】B；
【解析】1998a+2003b=0，可得均为0或异号；
6. 【答案】A；
【解析】因为不等式的解集为，再观察数轴上表示的解集为，因此，解得
二、填空题
7. 【答案】；
【解析】为非负数，所以，解得：.
8. 【答案】3；
【解析】不等式的解集是x＜4，
故不等式5x﹣3＜3x+5的正整数解为1，2，3，
则最大整数解为3．故答案为：3．
9. 【答案】＞；
【解析】，
所以.
10．【答案】；
【解析】将-4代入得：，所以.
11.【答案】；
【解析】由已知得：，，即.
12.【答案】
【解析】画出数轴分析得出正确答案.
三、解答题
13.【解析】
解：
∴(－m2－1)x＞n ，
两边同除以负数（－m2－1）得：.
∴原不等式的解集为：.
14.【解析】
解：(1) ；(2)．
15.【解析】
解：
．
16.【解析】
解：（1）方程4x+2m+1=2x+5的解是：x=2﹣m．
由题意，得：2﹣m＜0，
所以m＞2．
（2）2（x﹣2）＞mx+3，
2x﹣4＞mx+3，
2x﹣mx＞3+4，
（2﹣m）x＞7，
因为m＞2，
所以2﹣m＜0，
所以x＜．