【北师大版七年级数学下册同步训练】4.1 认识三角形同步训练(含解析)

4.1认识三角形同步训练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列命题中，错误的是（　　）
A．三角形的两边之和大于第三边
B．三角形的外角和等于360°
C．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形
D．三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分
2．用直角三角板，作△ABC的高，下列作法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．如图，直线AB、CD被直线EF所截，AB∥CD，DG⊥BF于点G，若∠1＝130°，则∠2的度数为（　　）
A．25° B．30° C．35° D．40°
4．下列图形具有稳定性的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知三角形三边长分别为2，x，13，若x为正整数，则这样的三角形个数为
A．2 B．3 C．5 D．13
6．如图，已知BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，△ABD和△BCD的周长的差是( )
A．2 B．3 C．6 D．不能确定
7．如图，AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B＝32°，则∠C的度数是（　　）
A．64° B．32°
C．30° D．40°
8．已知三角形的两边长分别为8和4，则第三边长可能是（ ）
A．3 B．4 C．8 D．12
二、填空题
9．工人师傅在安装木制门框时，为防止变形常常像图中所示，钉上两条斜拉的木条，这样做的原理是根据三角形的________性．
10．如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，若△ABC的面积为60，BD=5，则点E到BC边的距离为_______
11．在△ABC中，AB=3，BC=7，则AC的长x的取值范围是_____．
12．如图△ABC中，AD是BC上的中线，BE是△ABD中AD边上的中线，若△ABC的面积是24，则△ABE的面积是________.
13．如图，△ABC的面积为18，BD=2DC，AE=EC，那么阴影部分的面积是_______．
14．如图，在△AEC中，点D和点F分别是AC和AE上的两点，连接DF，交CE的延长线于点B，若∠A＝25°，∠B＝45°，∠C＝36°，则∠DFE＝_____．
三、解答题
15．如图，在△ABC中，BE，CD分别为其角平分线且交于点O.
(1)当∠A＝60°时，求∠BOC的度数；
(2)当∠A＝100°时，求∠BOC的度数；
(3)当∠A＝α时，求∠BOC的度数．
16．如图所示，已知 AD 是△ABC 的边 BC 上的中线．
（1）作出△ABD 的边 BD 上的高．
（2）若△ABC 的面积为 10，求△ADC 的面积．
（3）若△ABD 的面积为 6，且 BD 边上的高为 3，求 BC 的长．
17．如图，在△ABC中作出：
（1）AC边上的中线BE；
（2）AB边上的高CD．
18．已知三角形的两边，若第三边的长为偶数，求其周长.
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
根据三角形的性质即可作出判断．
【详解】
解：A、正确，符合三角形三边关系；
B、正确；三角形外角和定理；
C、错误，等边三角形既是轴对称图形，不是中心对称图形；
D、三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分，正确．
故选：C．
【点睛】
本题考查了命题真假的判断，属于基础题．根据定义：符合事实真理的判断是真命题，不符合事实真理的判断是假命题，不难选出正确项．
2．D
【解析】
分析：根据高的定义一一判断即可.
详解：三角形的高必须是从三角形的一个顶点向对边或对边的延长线作的垂线段.
可以判断A,B,C虽然都是从三角形的一个顶点出发的，但是没有垂直对边或对边的延长线.
故选D.
点睛：考查高的画法，是易错点，尤其注意钝角三角形高的画法.
3．D
【解析】
【分析】
先根据平行线的性质求得∠EFC，再根据三角形外角的性质和垂直的定义求得∠2的度数．
【详解】
解:∵AB∥CD，
∴∠EFC＝∠1＝130°，
∵DG⊥BF，
∴∠DGF＝90°，
∴∠2＝∠EFC﹣∠DGF＝130°﹣90°＝40°．
故选：D．
【点睛】
此题考查了平行线的性质、三角形外角的性质和垂线，熟练掌握性质和概念是解题的关键．
4．A
【解析】
【分析】
根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性进行判断．
【详解】
因为三角形具有稳定性．故选：A．
【点睛】
此题考查三角形的稳定性和四边形的不稳定性．解题关键在于掌握其性质.
5．B
【解析】
【分析】
根据“三角形两边之和大于第三边, 两边之差小于第三边”，可得x的取值范围，一一判断可得答案.
【详解】
解：根据“三角形两边之和大于第三边, 两边之差小于第三边” 可得:13-2故本题正确答案为B.
【点睛】
本题主要考查构成三角形的三边的关系.
6．A
【解析】
试题分析：根据三角形的中线得出AD=CD，根据三角形的周长求出即可．
解：∵BD是△ABC的中线，
∴AD=CD，
∴△ABD和△BCD的周长的差是：（AB+BD+AD）﹣（BC+BD+CD）=AB﹣BC=5﹣3=2．
故选A．
考点：三角形的角平分线、中线和高．
7．B
【解析】
【分析】
根据平行线的性质求出∠EAD，根据角平分线的定义得到∠EAC=2∠EAD=64°，根据三角形的外角性质计算即可．
【详解】
解：∵AD∥BC，∴∠EAD=∠B=32°，∵AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，∴∠EAC=2∠EAD=64°，∵∠EAC是△ABC的外角，∴∠C=∠EAC-∠B=64°-32°=32°，故选：B．
【点睛】
本题考查的是平行线的性质、三角形的外角性质、角平分线的定义，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
8．C
【解析】
【分析】
设第三边的长为x，再由三角形的三边关系即可得出结论．
【详解】
解：设第三边的长为x，
∵三角形两边的长分别是4和8，
∴8-4＜x＜8+4，即4＜x＜12．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．
9．稳定
【解析】
试题分析：根据题目中为防止变形的做法，显然运用了三角形的稳定性．
解：为防止变形常常像图中所示，钉上两条斜拉的木条，这样做的原理是根据三角形的稳定性．
考点：三角形的稳定性．
10．6
【解析】
【分析】
过点E作EF⊥BC，垂足为F，先根据三角形中线将三角形分成面积相等的两个小三角形求出S△BDE的面积，继而利用三角形面积公式列式求出EF的长即可得.
【详解】
过点E作EF⊥BC，垂足为F，
∵S△ABC=60，BD=DC，
∴S△ABD=S△ADC=30，
∵AE=DE，
∴S△BDE=S△ABD=15=×BD×EF，
∴15=×5×EF，
∴EF=6，
即点E到BC边的距离是6，
故答案为：6.
【点睛】
本题考查了三角形中线，三角形的面积，熟练掌握三角形的一条中线将三角形分成面积相等的两个小三角形是解题的关键.
11．
【解析】
根据三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边；则
12．6
【解析】
【详解】
三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，则△ABD的面积=12△ABC的面积=12，△ABE的面积=12△ABD的面积=6.
考点：中线的性质
13．
【解析】
分析:作DG∥AC，交BE于点G，设阴影部分的面积a，由相似三角形的面积比等于对应边长比的平方得出△BGD的面积，△GDF的面积，再利用△BGD的面积+△GDF的面积+阴影部分的面积a=9，列出方程求解即可得出答案．
本题解析: 如图：
作DG∥AC，交BE于点G，设阴影部分的面积a，
∵DG∥AC，BD=2DC，
∴GD=EC,BD=BC，
∴△BGD的面积=△BCE的面积，
∵△ABC的面积为18，AE=EC，
∴△BCE的面积=△ABC的面积=9，
∴△BGD的面积=△BCE的面积=4，
又∵△GDF∽△EAF,且=，
∴△GDF的面积=△EAF的面积，
∵BD=2DC，
∴△ADC的面积=18×=6，
∴△EAF的面积=6?a，
∴△GDF的面积=△EAF的面积=(6?a)，
∴△BGD的面积+△GDF的面积+阴影部分的面积a=9，
∴4+ (6?a)+a=9,解得a=.
故答案为.
14．106°．
【解析】
【分析】
根据三角形的外角的性质求出∠FEB的度数，再根据三角形外角的性质计算即可．
【详解】
∵∠FEB是△AEC的一个外角，
∴∠FEB＝∠A+∠C＝61°，
∵∠DFE是△BFE的一个外角，
∴∠DFE＝∠B+∠FEB＝106°，
故答案为106°．
【点睛】
本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
15．（1）∠BOC＝120°；（2）∠BOC＝140°；（3）∠BOC＝90°＋α.
【解析】
试题分析：（1）先根据角平分线的性质得出∠OBC+∠OCB的度数，再根据三角形内角和定理即可得出结论；（2）先根据∠A=100°求出∠ABC+∠ACB的度数，再由角平分线的定义得出∠OBC+∠OCB的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论；（3）根据∠A=α°求出∠ABC+∠ACB的度数，再由角平分线的定义得出∠OBC+∠OCB的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论．
试题解析：(1)因为∠A＝60°，
所以∠ABC＋∠ACB＝120°.
因为BE，CD为△ABC的角平分线，
所以∠EBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB.
所以∠EBC＋∠DCB＝∠ABC＋∠ACB＝ (∠ABC＋∠ACB)＝60°，
所以∠BOC＝180°－(∠EBC＋∠DCB)＝180°－60°＝120°.
(2)因为∠A＝100°，
所以∠ABC＋∠ACB＝80°.
因为BE，CD为△ABC的角平分线，
所以∠EBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB.
所以∠EBC＋∠DCB＝∠ABC＋∠ACB＝ (∠ABC＋∠ACB)＝40°，所以∠BOC＝180°－(∠EBC＋∠DCB)＝180°－40°＝140°.
(3)因为∠A＝α，
所以∠ABC＋∠ACB＝180°－α.
因为BE，CD为△ABC的角平分线，
所以∠EBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB.
所以∠EBC＋∠DCB＝∠ABC＋∠ACB＝ (∠ABC＋∠ACB)＝90°－α，
所以∠BOC＝180°－(∠EBC＋∠DCB)＝180°－（90°-α.）＝90°＋α.
16．（1）如图所示见解析；（2）5；（3）8．
【解析】
【分析】
（1）根据三角形中高的定义来作高线；
（2）根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分即可求解；
（3）先求出△ABC的面积，再根据三角形的面积公式求得即可．
【详解】
（1）如图所示：
（2）∵AD是△ABC的边BC上的中线，△ABC的面积为10，∴△ADC的面积=12△ABC的面积=5．
（3）∵AD是△ABC的边BC上的中线，△ABD的面积为6，∴△ABC的面积为12．
∵BD边上的高为3，∴BC=12×2÷3=8．
【点睛】
本题考查了三角形的角平分线、中线和高．
（1）理解三角形高的定义；
（2）熟悉三角形中线的性质；
（3）根据三角形的面积公式求解．
17．见详解
【解析】
【分析】
（1）作AC的垂直平分线交AC于E，连接BE即是AC边上的中线；（2）延长AB，按照过直线外一点作直线的垂线步骤作CD⊥AB．
【详解】
解：（1）如图所示：BE即为AC边上的中线
（2）如图所示，CD即为AB边上的高
．
【点睛】
本题主要考查的实际是尺规作图的基本方法，熟练掌握五种基本作图法是解决问题的关键．
18．16或18．
【解析】
【分析】
先根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，确定第三边的取值范围，再选择符合条件的偶数，从而求得其周长．
【详解】
∵三角形的两边的长分别为3和7，
∴第三边c的取值范围为：4＜c＜10，
∴符合条件的偶数为6或8，
∴当c=6时，这个三角形周长为：3+6+7=16；
当c=8时，这个三角形周长为：3+8+7=18．
∴这个三角形周长为16或18．
【点睛】
此题主要考查学生对三角形三边关系的理解及运用．