【北师大版七年级数学下册同步训练】4.5 利用三角形全等测距离同步训练(含解析)

4.5利用三角形全等测距离同步训练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图：若△ABE≌△ACF，且AB=7，AE=3，则EC的长为( )
A．3 B．4 C．4.5 D．5
2．如图，△OAC≌△OBD．若OC＝12，OB＝7，则AD＝（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．如图，已知，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图是两个全等三角形，则∠1的度数为(　　)
A．62° B．72° C．76° D．66°
5．下列结论是正确的是( )
A．全等三角形的对应角相等 B．对应角相等的两个三角形全等
C．有两条边和一角对应相等的两个三角形全等 D．相等的两个角是对顶角
6．如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交于点和，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则下列结论一定成立的个数为
①是的平分线；
②若，则；
③；
④点在的垂直平分线上.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，D，E分别是AB，AC上的点，BE与CD交于点F，给出下列三个条件：①∠DBF=∠ECF；②∠BDF=∠CEF； ③BD=CE．两两组合在一起，共有三种组合：（1）①②；（2）①③；（3）②③问能判定AB=AC的组合的是（ ）
A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（2）（3）
8．如图中的小正方形边长都相等，若△MNP≌△MEQ，则点Q可能是图中的（　　）
A．点A B．点B C．点C D．点D
二、填空题
9．已知：如图,点在同一直线上，，，则______.
10．如图，△ABD≌△CBD，若∠A=80°，∠ABC=70°，则∠ADC的度数为　 　．
11．如图，△ABC≌△DEB，AB=DE，∠E=∠ABC，则∠C的对应角为_______.，BD的对应边为_______.
12．如图，△ABC≌△ADE，∠EAC＝40°，则∠B＝_______°．
13．如图，在中，，三等分，，三等分.若，则_______.
14．如图，，．，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为．设点的运动速度为，若使得全等，则的值为_____．
三、解答题
15．已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，AF＝DC，AB∥DE，AB＝DE，求证：
(1)△ABC≌△DEF；
(2)BC∥EF．
16．小孟同学将等腰直角三角板ABC（AC＝BC）的直角顶点C放在一直线m上，将三角板绕C点旋转，分别过A，B两点向这条直线作垂线AD，BE，垂足为D，E．
（1）如图1，当点A，B都在直线m上方时，猜想AD，BE，DE的数量关系是　 　；
（2）将三角板ABC绕C点按逆时针方向旋转至图2的位置时，点A在直线m上方，点B在直线m下方．（1）中的结论成立吗？请你写出AD，BE，DE的数量关系，并证明你的结论．
（3）将三角板ABC继续绕C点逆时针旋转，当点A在直线m的下方，点B在直线m的上方时，请你画出示意图，按题意标好字母，直接写出AD，BE，DE的数量关系结论　 　．
17．在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“X型转动钳”按如图方法进行测量，其中OA＝OD，OB＝OC，只需测得AB＝a，EF＝b，就可以知道圆形容器的壁厚了．
（1）请你利用所学习的数学知识说明AB＝CD；
（2）求出圆形容器的壁厚．（用含有a，b的代数式表示）
18．如图，AD，BC相交于点O，AC=BD，∠C =∠D=90°．
（1）求证：OA=OB；
（2）若∠ABC=30°，OC=5，求BC的长．
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
因为△ABE≌△ACF，所以AB=AC，在结合题意AB=7，AE=3，且EC=AC-AE，计算即可得到答案.
【详解】
因为△ABE≌△ACF，所以AB=AC；又因为AB=7，AE=3，则AB=AE=7，而EC=AC-AE，则EC=AC-AE=7-3=4.故选择B.
【点睛】
本题考查全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的对应边相等.
2．A
【解析】
【分析】
先根据题意得到OC=5，再根据全等三角形的性质得到AD＝OD-OA＝OC-OB，则可得到答案.
【详解】
因为OC＝12，OB＝7，所以BC＝OC-OB＝12-7=5；因为△OAC≌△OBD，根据全等三角形的性质可知AD＝OD-OA＝OC-OB，则AD＝BC＝5，故选择A.
【点睛】
本题考查全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的性质.
3．B
【解析】
【分析】
首先根据全等三角形的性质，得出∠ABE=∠ACD，∠BAE=∠CAD，∠AEB=∠ADC，然后根据外角性质得出∠AEB，最后利用三角形内角和即可得出∠BAE=∠CAD.
【详解】
∵
∴∠ABE=∠ACD，∠BAE=∠CAD，∠AEB=∠ADC
∵，，
∴∠AEB=180°-∠AEC=180°-120°=60°
∴∠BAE=∠CAD=180°-∠ABE-∠AEB=180°-50°-60°=70°
故答案为B.
【点睛】
此题主要考查利用全等三角形的性质求解角的度数，熟练掌握，即可解题.
4．C
【解析】
分析：根据三角形内角和定理计算出∠2的度数，然后再根据全等三角形的对应角相等可得∠1=∠2．
详解：根据三角形内角和可得
因为两个三角形全等，
所以
故选C.
点睛：考查三角形全等的性质，掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等是解题的关键.
5．A
【解析】
【分析】
根据全等三角形的判定和性质以及对顶角的性质判定即可.
【详解】
、全等三角形的性质是全等三角形的对应角相等，正确；
、对应角相等的两个三角形相似，不一定全等，故错误；
、当两个三角形中两条边及一角对应相等时，其中如果这组角是两边的夹角时两三角形全等，如果不是这两边的夹角的时候不一定全等，故错误；
、相等的角不一定是对顶角，故错误.
故选：.
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质和判定以及对顶角的性质.注意：全等三角形的判定定理有：SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的性质是全等三角形的对应边相等，对应角相等.
6．C
【解析】
【分析】
连接PM，PN，证明?APN??APM，即可判断①；由，，得：∠BAC=60°，结合是的平分线，得∠BAD=∠ABD，即可判断②；过点D作DH⊥AB，由，得：，结合CD=HD，即可判断③；根据垂直平分线性质定理的逆定理，即可判断④.
【详解】
连接PM，PN，
在?APN和?APM中，
∵，
∴?APN??APM(SSS)，
∴∠PAN=∠PAM，
∴是的平分线，
故①正确；
∵在中，，，
∴∠BAC=60°，
∵是的平分线，
∴∠BAD=30°，
∴∠BAD=∠ABD，
∴，
故②正确；
过点D作DH⊥AB，
∵是的平分线，，
∴CD=HD，
∵∠C=∠BHD=90°
∴ ，
∴，即：，
∴，
故③正确；
∵AD和BD不一定相等，
∴点不一定在的垂直平分线上，
故④错误，
故选C.
【点睛】
本题主要考查角平分线的性质定理和三角形全等的判定和性质定理的综合，添加辅助线，利用面积法，列出等式，是解题的关键.
7．C
【解析】
【分析】
由图形得出∠A=∠A，再依据所给条件进行判断△ABE≌△ACD即可得出结论.
【详解】
∵∠DBF=∠ECF；∠BDF=∠CEF；∠A=∠A；
∴不能判断△ABE与△ACD全等，
∴（1）①②不能判定AB=AC；
在△BDF和△CEF中，
∠DBF=∠ECF，∠DFB=∠EFC，BD=CE，
∴△BDF≌△CEF
∴BF=CF，DF=EF，
∴BF+EF=CF+DF，即BE=CD,
在△ABE和△ACD中，
∠A=∠A，∠ABE=∠ACD，BE=CD，
∴△ABE≌△ACD，
∴AB=AC，
∴（2）①③能判断出AB=AC；
在△BDF和△CEF中，
∠BDF=∠CEF，∠DFB=∠EFC，BD=CE，
∴△BDF≌△CEF
∴BF=CF，DF=EF，
∴BF+EF=CF+DF，即BE=CD,
在△ABE和△ACD中，
∠A=∠A，∠ABE=∠ACD，BE=CD，
∴△ABE≌△ACD，
∴AB=AC，
∴（3）②③能判断出AB=AC.
故选：C.
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
8．D
【解析】
【分析】
根据全等三角形的性质和已知图形得出即可．
【详解】
解：∵△MNP≌△MEQ，
∴点Q应是图中的D点，如图，
故选：D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，能熟记全等三角形的性质的内容是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．
9．
【解析】
【分析】
先证明△ABC≌△DEF, 得到∠A=∠D,由即可求得∠F的度数.
【详解】
解：∵BE=CF，∴BE+EC=CF+EC，即BC=EF，在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF (SSS)，∴∠A=∠D
∵，
∴∠F=180°-62°-40°=78°，
故答案为78°.
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于基础题．
10．130°
【解析】
试题分析：∵△ABD≌△CBD，
∴∠C=∠A=80°，
∴∠ADC=360°﹣∠A﹣∠ABC﹣∠C=360°﹣80°﹣70°﹣80°=130°．
故答案为130°．
考点：全等三角形的性质
11．∠DBE CA
【解析】
【分析】
要找准对应边、对应角要根据告诉的已知条件，并结合图形，一般来说，大对大，小对小，中间对中间，本题中∠C，∠DBE是处于中间大小的角，是对应角，BD与CA时最短的边，是对应边．
【详解】
解：∵△ABC≌△DEB，AB=DE，∠E=∠ABC，∴∠C的对应角为∠DBE，BD的对应边为CA．
【点睛】
本题考查的知识点为：全等三角形的对应边，对应角的找法．应注意各对应顶点在书写时应在同一位置，解题关键是找准对应边和对应角．
12．70°
【解析】
【分析】
根据全等三角形的对应边相等、对应角相等得到∠BAC=∠DAE，AB=AD，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算即可．
【详解】
∵△ABC≌△ADE，
∴∠BAC=∠DAE，AB=AD，
∴∠BAD=∠EAC=40°，
∴∠B=（180°-40°）÷2=70°，
故答案为70．
【点睛】
本题考查的是全等三角形的性质和三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．
13．
【解析】
【分析】
根据三角形内角和先确定∠ABC+∠ACB的大小,然后确定∠ABC+∠ACB，最后根据三角形内角和解答即可.
【详解】
解：∵
∴∠ABC+∠ACB=180°-n°
∵，三等分，，三等分
∴∠ABC+∠ACB=120°-n°
∴180°-（∠ABC+∠ACB）=60°+n°=(60+n) °
故答案为(60+n) °.
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理以及角的等分线,灵活应用三角形的内角和定理是解答本题的关键.
14．2
【解析】
【分析】
根据全等三角形的性质可知PA=BQ，根据路程、速度、时间之间的关系即可判断；
【详解】
解：，
，
运动时间相同，
，的运动速度也相同，
．
故答案为
【点睛】
本题考查全等三角形的性质，路程、速度、时间之间的关系等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
15．（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】
试题分析：（1）由AF=CD，可求得AC=DF，由AB∥DE，可得∠A=∠D，利用SAS可证明△ABC≌△DEF；（2）由全等三角形的性质可得∠ACB=∠DFE，再利用平行线的判定可证明BC//EF.
证明：(1)∵AF=CD，
∴AF?FC=CD?FC，
即AC=DF.
∵AB∥DE，
∴∠A=∠D.
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF(SAS)；
(2)∵△ABC≌△DEF(已证)，
∴∠ACB=∠DFE，
∴∠BCF=∠EFC，
∴BC∥EF.
16．（1）DE＝BE+AD；（2）DE＝AD﹣BE，证明详见解析；（3）DE＝AD+BE或DE＝|AD﹣BE|．
【解析】
【分析】
（1）先判断出∠CAD=∠BCE，进而得出△ACD≌△CBE，即可得出AD=CE，CD=BE，最后利用线段的和即可得出结论；（2）先判断出∠CAD=∠BCE，进而得出△ACD≌△CBE，即可得出AD=CE，CD=BE，最后利用线段的差即可得出结论；（3）先判断出∠CAD=∠BCE，进而得出△ACD≌△CBE，即可得出AD=CE，CD=BE，最后利用线段的和差即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，∠ACD+∠BCE＝90°，
∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠ACD+∠CAD＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE，
∴△ACD≌△CBE，
∴CD＝BE，AD＝CE，
∴DE＝CD+CE＝BE+AD；
故答案为DE＝BE+AD；
（2）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，∠ACD+∠BCE＝90°，
∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠ACD+∠CAD＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE，
∴△ACD≌△CBE，
∴CD＝BE，AD＝CE，
∴
（3）如图3，
当点A，B在直线m同侧时，同（1）的方法得，△ACD≌△BCE，
∴CD＝BE，AD＝CE，
∴DE＝CE+CD＝AD+BE，
Ⅰ、当点A，B在直线m异侧时，如图4，同（2）的方法得，△ACD≌△BCE，
∴CD＝BE，AD＝CE，
∴
Ⅱ、如图5，
同Ⅰ的方法得，
故答案为DE＝AD+BE或
【点睛】
考查全等三角形的的判断与性质，掌握全等三角形的判断方法是解题的关键.
17．（1）详见解析；（2）（b﹣a）．
【解析】
【分析】
（1）连接AB，只要证明△AOB≌△DOC，可得AB＝CD，即可解决问题；
（2）利用（1）中所求即可得出圆形容器的壁厚．
【详解】
解：（1）连接AB．
在△AOB和△DOC中，
，
∴△AOB≌△DOC（SAS），
∴AB＝CD；
（2）∵EF＝b，AB＝CD＝a，
∴圆形容器的壁厚是（b﹣a）．
【点睛】
本题考查全等三角形的应用，解题的关键是利用全等三角形的性质解决实际问题．属于中考常考题型，难度一般．
18．（1）见解析；（2）15
【解析】
【分析】
(1)用HL证明Rt△ABC和Rt△BAD全等，然后用全等三角形的性质即可证明；
（1）先说明∠ABC=∠DAB=30°，再得到∠AOC=60°，再求得∠OAC=30°，可得AO=2OC,最后根据线段的和差即可解答.
【详解】
（1）证明：在Rt△ABC和Rt△BAD中，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）
∴∠ABC=∠DAB．
∴OA=OB．
（2）∵∠ABC=30°，
∴∠ABC=∠DAB=30°．
∴∠AOC=∠ABC+∠DAB=30°+30°=60°．
在Rt△AOC中，
∴∠OAC=90°－60°=30°．
∴OA=2OC=5×2=10．
∴OB=OA=10．
∴BC=OB+OC=5+10=15
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质以及含30°直角三角形的性质，掌握直角三角形中30°角所对的边是斜边的一半是解答本题的关键.