课件12张PPT。第六章 实数 6.1 第1课时 算术平方根 问题 学校要举行美术作品比赛，小鸥想裁出一块面积为25 dm2 的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少? 6.1 第1课时 算术平方根 因为52=25，所以这个正方形画布的边长应取5 dm.
如果正方形画布的面积变化呢，边长又会是多少？
填表：
上面的问题，实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题.
6.1 第1课时 算术平方根 一般地，如果一个正数 x 的平方等于a，即 x2=a，那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根(arithmetic square root).
a的算术平方根记为 ，读作“根号a”，a叫做被开方数（radicand).
规定：0的算术平方根是0. 6.1 第1课时 算术平方根 例1 求下列各数的算术平方根：
（1）100；（2） ；（3）0.0001.
解：（1）因为 102=100，所以 100 的算术平方根是10，即 =10. 6.1 第1课时 算术平方根 （2）因为 ，所以 的算术平方根是 ，即
;
（3）因为0.012=0.0001，所以0.0001的算术平方根是0.01，即 =0.01.
从例1可以看出：被开方数越大，对应的算术平方根也越大.这个结论对所有正数都成立. 6.1 第1课时 算术平方根
1 求下列各数的算术平方根：
（1）0.0025； （2）81； （3）32； （4）0.
答案：（1）0.05 （2）9 （3）3 （4）0
课内练习 6.1 第1课时 算术平方根2 求下列各式的值：
（1） （2） （3） （4）
答案：（1）1 （2） （3）2 （4）0 6.1 第1课时 算术平方根
能否用两个面积为 1 dm2 的小正方形拼成一个面积为
2 dm2 的大正方形？
探 究 6.1 第1课时 算术平方根 如图，把两个小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为2dm2的大正方形.你知道这个大正方形的边长是多少吗？
6.1 第1课时 算术平方根 设大正方形的边长为 x dm，则
x2=2.
由算术平方根的意义可知
x= ，
所以大正方形的边长是 dm.
小正方形的对角线的长是多少呢？
谢 谢 观 看！课件18张PPT。第六章 实数 6.1 第2课时 用计算器求一个正数的算术平方根
有多大呢?探 究 6.1 第2课时 用计算器求一个正数的算术平方根 因为 12 = 1，22 = 4，
所以 1 < < 2；
因为 1.42 = 1.96，1.52 = 2.25，
所以 1.4 < < 1.5；
因为 1.412 = 1.9881，1.422 = 2.0164，
所以 1.41 < < 1.42；
因为 1.4142 = 1.999396，1.4152 = 2.002225，
所以 1.414 < < 1.415；
……
6.1 第2课时 用计算器求一个正数的算术平方根 如此进行下去，可以得到 更精确的近似值.事实上，
= 1.414 213 562 373…，它是一个无限不循环小数.
实际上，许多正有理数的算术平方根（例如 ， 等）都是无限不循环小数.
无限不循环小数是指小数位数无限，且小数部分不循环的小数.你以前见过这种数吗？
6.1 第2课时 用计算器求一个正数的算术平方根 大多数计算器都有 键，用它可以求出一个正有理数的算术平方根（或其近似值）.
6.1 第2课时 用计算器求一个正数的算术平方根 例2 用计算器求下列各式的值：
（1） ； （2） （精确到0.001）.
解：（1）依次按键 3136 ，显示：56.
所以 = 56.
不同品牌的计算器，按键顺序有所不同. 6.1 第2课时 用计算器求一个正数的算术平方根 （2）依次按键 2 ，显示：1.414213562.
所以 ≈ 1.414.
计算器上显示的1.414213562是 的近似值. 6.1 第2课时 用计算器求一个正数的算术平方根 你知道宇宙飞船离开地球进入地面附近轨道正常运行的速度在什么范围吗？这时它的速度要大于第一宇宙速度 （单位： ）而小于第二宇宙速度 （单位： ）． ， 的大小满足 ， ，其中 ，
R是地球半径， ．怎样求 ， 呢？ 你会表示和 吗？ 6.1 第2课时 用计算器求一个正数的算术平方根
你会计算吗？ 6.1 第2课时 用计算器求一个正数的算术平方根
（1）利用计算器计算下表中的算术平方根，并将计算结果填在表中，你发现了什么规律?你能说出其中的道理吗？
探 究 6.1 第2课时 用计算器求一个正数的算术平方根
（2）用计算器计算 (精确到0.001),并利用你在（1）中发现的规律说出 的近似值,你能根据 的值说出 是多少吗?
6.1 第2课时 用计算器求一个正数的算术平方根 在生活中，我们经常遇到估计一个数的大小的问题.
请看下面的例子.
6.1 第2课时 用计算器求一个正数的算术平方根 例3 小丽想用一块面积为400 cm2 的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300 cm2 的长方形纸片，使它的长宽之比为 3：2.她不知能否裁得出来，正在发愁.小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片.”你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗? 6.1 第2课时 用计算器求一个正数的算术平方根 解：设长方形纸片的长为3x cm，宽为2x cm.
根据边长与面积的关系得
3x·2x = 300，
6x2 = 300，
x2 = 50，
x = .
因此长方形纸片的长为 cm.
6.1 第2课时 用计算器求一个正数的算术平方根 因为 50 > 49，所以 > 7.
由上可知 > 21，即长方形纸片的长应该大于21 cm.
因为 = 20，所以正方形纸片的边长只有 20 cm.这样，长方形纸片的长将大于正方形纸片的边长.
答：不能同意小明的说法.小丽不能用这块正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片. 6.1 第2课时 用计算器求一个正数的算术平方根
用计算器求下列各式的值：
（1） ；（2） ；（3） （精确到0.01）.
解：（1） = 37
（2） = 10.06
（3） ≈ 2.24
课内练习 1 6.1 第2课时 用计算器求一个正数的算术平方根 比较下列各组数的大小：
（1） 与 ； （2） 与 8；
（3） 与 0.5； （4） 与 1.
解：（1） < (2) > 8
(3) > 0.5 (4) < 12谢 谢 观 看！课件17张PPT。第六章 实数 6.1 第3课时 平方根
如果一个数的平方等于 9，这个数是多少?
从前面我们知道，这个数可以是 3.除了 3 以外，还有没有别的数的平方也等于 9 呢?
由于（-3）2 = 9，这个数也可以是 -3.
因此，如果一个数的平方等于 9，那么这个数是 3 或 -3.
思 考 6.1 第3课时 平方根
填表：
6.1 第3课时 平方根 一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a的平方根（square root)或二次方根.
这就是说，如果 x 2= a，那么 x 叫做 a 的平方根.
例如，3 和 -3 是 9 的平方根，简记为 ±3 是 9 的平方根.
求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方（extraction of square root).
几千年前，古埃及人就已经知道了平方根. 6.1 第3课时 平方根 我们看到， 的平方等于 9，9 的平方根是 ，所以平方与开平方互为逆运算.根据这种互逆关系，可以求一个数的平方根.
+1
- 1
+2
- 2
+3
- 3
1
4
9
平方
1
4
9
开方+1
- 1
+2
- 2
+3
- 3
±3±3 6.1 第3课时 平方根 例4 求下列各数的平方根：
（1）100； （2） ； （3）0.25.
解：（1）因为（±10）2 = 100，所以100的平方根是±10；
（2）因为 ，所以 的平方根是 ；
（3）因为（±0.5）2 = 0.25，所以0.25的平方根是±0.5.
6.1 第3课时 平方根
正数的平方根有什么特点?
0 的平方根是多少？
负数有平方根吗?
思 考 6.1 第3课时 平方根 我们发现，正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的平方根就是这个数的算术平方根.
因为 02 = 0，并且任何一个不为 0 的数的平方都不等于 0，所以 0 的平方根是 0.
正数的平方是正数，0 的平方是 0，负数的平方也是正数，即在我们所认识的数中，任何一个数的平方都不会是负数，所以负数没有平方根. 6.1 第3课时 平方根
正数有两个平方根，它们互为相反数；
0 的平方根是 0；
负数没有平方根.
归 纳 6.1 第3课时 平方根 我们知道，正数 a 的算术
平方根可以用 表示；正数 a
的负的平方根，可以用符号
表示，故正数a的平方根可以用
符号“ ”表示，读作“正、
负根号a”.例如 ， .
符号 只有当 a≥0时有意义，a<0时无意义，你知道为什么吗？
6.1 第3课时 平方根 例5 求下列各式的值：
（1） ； （2） ； （3） .
解：（1）因为 62 = 36，所以 = 6；
（2）因为 0.92 = 0.81，所以 ；
（3）因为 ，所以 .
知道一个数的算术平方根，就可以立即写出它的负的平方根.为什么？ 6.1 第3课时 平方根
判断下列说法是否正确：
（1）0 的平方根是 0；
（2）1 的平方根是 1；
（3）-1 的平方根是 -1；
（4）0.01 是 0.1 的一个平方根.
解：（1）正确，（2）（3）（4）不正确. 课内练习 1 6.1 第3课时 平方根 填表：
2 6.1 第3课时 平方根 填表：
2 6.1 第3课时 平方根 计算下列各式的值：
（1） ； （2） ； （3） .
解：（1）3 （2）-0.7 （3）
3 6.1 第3课时 平方根 平方根概念的起源与几何中的正方形有关.如果一个正
方形的面积为A，那么这个正方形的边长是多少？
解：4谢 谢 观 看！课件17张PPT。第六章 实数 6.2 立方根 问题 要制作一种容积为 27 m3 的正方体形状的包装箱，这种包装箱的棱长应该是多少?
设这种包装箱的棱长为 x m，则
x3 = 27.
这就是要求一个数，使它的立方等于 27.
因为 33 = 27，所以 x = 3.
因此这种包装箱的棱长应为 3 m. 6.2 立方根 一般地，如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫做 a的立方根(cube root)或三次方根.
这就是说，如果 x3 = a，那么 x 叫做 a 的立方根.
在上面的问题中，由于 33 = 27，所以 3 是 27 的立方根.
6.2 立方根 求一个数的立方根的运算，叫做开立方（extraction of cube root).
正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算.我们可以根据这种关系求一个数的立方根.
6.2 立方根
根据立方根的意义填空.你能发现正数、0和负数的立方根各有什么特点吗？
因为 23 = 8，所以 8 的立方根是（ ）；
因为（ ）3 = 0.064，所以 0.064 的立方根是（ ）；
因为（ ）3 = 0，所以 0 的立方根是（ ）；
因为（ ）3 = -8，所以 -8 的立方根是（ ）；
因为（ ）3 = ，所以 的立方根是（ ）. 探 究 6.2 立方根
正数的立方根是正数，
负数的立方根是负数，
0 的立方根是 0.
归 纳
你能说说数的平方根与数的立方根有什么不同吗？
6.2 立方根 类似于平方根，一个数 a 的立方根，用符号“ ”
表示，读作“三次根号 a”，其中 a 是被开方
数，3 是根指数（radical exponent).
例如， 表示 8 的立方根， ；
表示 -8 的立方根， .
中的根指数 3 不能省略.
算术平方根 的符号 ，实际上省略了
中的根指数2.因此
也可读作“二次根号a”. 6.2 立方根
因为 = ( )， = ( )， 所以 ( ) ；
因为 = ( )， = ( )， 所以 ( ) ；
一般地，
探 究-2-2=-3-3= 6.2 立方根 例 求下列各式的值：
（1） （2） （3）
解：（1）
（2）
（3）
6.2 立方根 实际上，很多有理数的立方根是无限不循环小数.例如
， 等都是无限不循环小数.我们可以用有理数近似地表示它们.
一些计算器设有 键，用它可以求出一个数的立方根（或其近似值）. 6.2 立方根 例如，用计算器求 ，可以按照下面的步骤进行：
依次按键 1845 ，显示：12.26494081.
这样就得到 的近似值12.264 940 81.
有些计算器需要用第二功能键求一个数的立方根.例如用这种计算器求 ，可依次按键 1845 ，
显示：12.26494081.
6.2 立方根
用计算器计算…， ， ， ，
，…，你能发现什么规律？用计算器计算 （精确到0.001)，并利用你发现的规律求 ， ， 的近似值.
探 究 6.2 立方根
求下列各式的值：
（1） （2） （3） （4）
解：（1）10 （2）-0.1 （3）-1 （4）
课内练习 1 6.2 立方根 用计算器求下列各式的值：
（1） ； （2） ； （3） .
解：（1）12 （2）25 （3）±132 6.2 立方根 比较3，4， 的大小.
解：因为 33 = 27，43 = 64，
所以 3 < < 4.
3 6.2 立方根 立方根概念的起源与几何中的正方体有关.如果一个正
方体的体积为 V，这个正方体的棱长为多少?
解：这个正方体的棱长为 4谢 谢 观 看！课件14张PPT。第六章 实数 6.3 第1课时 实数的概念
我们知道有理数包括整数和分数，请把下列分数写成小数的形式，你有什么发现?
探 究 6.3 第1课时 实数的概念 我们发现，上面的分数都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式，即
6.3 第1课时 实数的概念 事实上，如果把整数看成小数点后是 0 的小数（例如，将 3 看成 3.0），那么任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式.反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数. 6.3 第1课时 实数的概念 通过前两节的学习，我们知道，很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数，无限不循环小数又叫做无理数（irrational number).例如 等都是无理数，π = 3.141 592 6… 也是无理数.
6.3 第1课时 实数的概念 像有理数一样，无理数也有正负之分.例如，
是正无理数， 是负无理数. 6.3 第1课时 实数的概念 有理数和无理数统称实数（real number).
实数有理数无理数整数分数正整数负整数0负分数正分数有限小数或无限循环小数正无理数负无理数无限不循环小数 6.3 第1课时 实数的概念 由于非 0 有理数和无理数都有正负之分，实数也有正负之分，所以实数还可以按大小分类如下： 6.3 第1课时 实数的概念 我们知道，每个有理数都可以用数轴上的点来表示.
无理数是否也可以用数轴上的点表示出来呢?
6.3 第1课时 实数的概念
如图,直径为 1 个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点 O'，点 O' 对应的数是多少?
探 究O? 6.3 第1课时 实数的概念 从图中可以看出，OO' 的长是这个圆的周长 π，所以点O' 对应的数是 π.
这样，无理数 π 可以用数轴上的点表示出来.
6.3 第1课时 实数的概念 又如，在下图中，以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与正半轴的交点就表示 ，与负半轴的交点就表示 － （为什么？）
6.3 第1课时 实数的概念 事实上，每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来.
当数的范围从有理数扩充到实数后，实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数.
与规定有理数的大小一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大.
有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.
谢 谢 观 看！课件15张PPT。第六章 实数 6.3 第2课时 实数的运算
（1） 的相反数是________， π 的相反数是________，0 的相反数是________；
（2）| |= ____ ， |-π|=____ ，|0|= ____ .
思 考 6.3 第2课时 实数的运算 数 a 的相反数是 -a，这里 a 表示任意一个实数.
一个正实数的绝对值是它本身；
一个负实数的绝对值是它的相反数；
0 的绝对值是 0.
6.3 第2课时 实数的运算 即设 a 表示一个实数，则
6.3 第2课时 实数的运算 例1 （1）分别写出 ， 的相反数；
（2）指出 ， 分别是什么数的相反数；
（3）求 的绝对值；
（4）已知一个数的绝对值是 ，求这个数.
6.3 第2课时 实数的运算(1)因为 ，
所以 的相反数分别为 ；
(2)因为 ，
所以 分别是 的相反数；
(3)因为 ，
所以 ；
(4)因为 ，
所以绝对值为 的数是 或 .解： 6.3 第2课时 实数的运算 实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为 0）、乘方运算，而且正数及 0 可以进行开
平方运算，任意一个实数可以进行
开立方运算.在进行实数的运算时，
有理数的运算法则及运算性质等同
样适用.
随着数的进一步扩充，负数将可以进行开方运算，这是我们今后要学的.
6.3 第2课时 实数的运算例2 计算下列各式的值：
(1) ； (2) .(1)
(2)
解：(加法结合律)(分配律) 6.3 第2课时 实数的运算 在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算. 6.3 第2课时 实数的运算 例3 计算（结果保留小数点后两位）：
(1) (2)
(1)
(2)解： 6.3 第2课时 实数的运算请将图中数轴上标有字母的各点与下列实数对应起来：A表示－1.5，B表示 ，C表示 ，
D表示3，E表示π.解： 课内练习 1 6.3 第2课时 实数的运算 2.求下列各数的相反数与绝对值：
2.5 的相反数是－2.5，绝对值是2.5；
－ 的相反数是 ，绝对值是 ；
－ 的相反数是 ，绝对值是 ；
的相反数是 ，绝对值是 ；
0 的相反数是 0，绝对值是 0.解 6.3 第2课时 实数的运算 3.求下列各式中的实数x：
(1) |x|＝ ； (2) |x|＝0；
(3) |x|＝ ； (4) |x|＝π .
(1)x＝± ； (2)x＝0；
(3)x＝± ； (4)x＝±π.解： 6.3 第2课时 实数的运算 4.计算：
解：谢 谢 观 看！
