6.1 平方根
第1课时 算术平方根
课题
第1课时 算术平方根
授课人
教
学
目
标
知识技能
1.理解算术平方根的概念,会求一个数的算术平方根;
2.能运用算术平方根进行计算求值.
数学思考
通过平方运算,理解算术平方根的意义.
问题解决
从实际情景出发,会求一个数的算术平方根.
情感态度
使学生初步了解数学之间的对立统一的辩证唯物主义观点.
教学
重点
理解算术平方根的概念,会求一个数的算术平方根.
教学
难点
理解算术平方根的概念.
授课
类型
新授课
课时
教具
多媒体
教学活动
教学
步骤
师生活动
设计意图
活动
一:
创设
情境
导入
新课
【课堂引入】
2003年10月15日,这是我们每个中国人都值得骄傲的日子.因为这一天,“神舟五号”飞船载人航天飞行取得圆满成功,实现了中华民族千年的飞天梦想.那么,你们知道宇宙飞船离开地球进入轨道正常运行的速度是在什么范围吗?这时它的速度要大于第一宇宙速度v1(m/s)而小于第二宇宙速度v2(m/s).v1,v2的大小满足v12=gR,v22=2gR.怎样求v1,v2的值呢?这就要用到平方根的概念,也就是本章的主要学习内容.
由中国载人飞船引入本节学习内容,激发学生的民族自信心.
活动
二:
实践
探究
交流
新知
【探究1】 算术平方根的概念
(1)填表:
正方形的面积
1
9
16
36
正方形的边长
1 ?
3 ?
4 ?
6 ?
(2)你能指出它们的共同特点吗?
都是已知一个正数的平方,求这个正数.
一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根.a的算术平方根记为a,读作“根号a”,a叫做被开方数.规定:0的算术平方根是0.
也就是,在等式x2=a(x≥0)中,规定x=a. 是算术平方根的运算符号.
【探究2】 1.a中a可以取任何数吗?
因为x2=a,x2≥0,所以a≥0,故a只能为非负数.
2.a是什么数?
a是非负数,即a≥0.
也就是说,非负数的算术平方根是非负数.负数不存在算术平方根,即当a<0时,a无意义.
如-6无意义;8是64的算术平方根或64=8.
【探究3】 1.下列各式哪些有意义,哪些没有意义?
(1)-4;(2)(-3)2;(3)(-3)2;(4)-4.
解:(1)有;(2)没有;(3)有;(4)没有.
1.由学生通过填表进一步体会求算术平方根的过程,进而归纳算术平方根的概念.
活动
二:
实践
探究
交流
新知
2.求下列各数的算术平方根:
(1)900;(2)1;(3)4964;(4)14;(5)29;(6)10-2.
问题:你们现在会求x2=2,y2=3,z2=5(x>0,y>0,z>0)中的x,y,z的值了吗?
归纳:算术平方根的性质
一个正数的算术平方根是 正 数,0的算术平方根是 0 , 负 数没有算术平方根.?
归纳:被开方数越大,对应的算术平方根也越大.这个结论对所有正数都成立.
2.根据定义和乘方算式能说出一个正数的算术平方根,体会算术平方根的概念,并初步感知平方运算和求正数的算术平方根运算是互逆的.
活动
三:
开放
训练
体现
应用
【应用举例】
例1 求下列各数的算术平方根:
(1)100;(2)4964;(3)0.0001.
答案:(1)10 (2)78 (3)0.01
变式
求下列各数的算术平方根:
(1)169;(2)0.0256;(3)12425;(4)(-2)2.
答案:(1)13 (2)0.16 (3)75 (4)2
例2 (1)你能根据等式122=144说出144的算术平方根是多少吗?并用等式表示出来;
(2)下列式子表示什么意思?你能求出它们的值吗?
25,0.81,0.
解:(1)144=12.(2)它们分别表示25的算术平方根,0.81的算术平方根,0的算术平方根.它们的值分别是5,0.9,0.
通过例题让学生学会如何计算一个数的算术平方根.
【拓展提升】
例3 若x-4与4-y互为相反数,求xy的算术平方根.
[答案:4]
变式 若|m-1|+n+2=0,则m+n的值是 (A)
A.-1 B.0 C.1 D.2
通过拓展使学生理解算术平方根的非负性.
活动
四:
课堂
总结
反思
【当堂训练】
1.判断:
(1)5是25的算术平方根; ( )
(2)-6是36的算术平方根; ( )
(3)0的算术平方根是0; ( )
(4)0.01是0.1的算术平方根; ( )
(5)-5是-25的算术平方根. ( )
2.填空:
(1)算术平方根是9的数是 ;?
(2)36的算术平方根是 ;?
(3)(-5)2的算术平方根是 .?
3.课本第41页练习第1,2题.
课后作业:
课本第47页习题6.1第1,2,11题.
通过设置当堂训练,进一步巩固所学新知,同时检测学习效果,做到“堂堂清”.
【板书设计】
第1课时 算术平方根
1.算术平方根的概念
规定:0的算术平方根等于0
2.表示方法:
根号←
提纲挈领,重点突出.
【教学反思】
①[授课流程反思]
由载人航天飞行引入本节内容——算术平方根的概念及计算,激发学生的爱国情感、学习兴趣及学习的积极性.
要想让学生正确、牢固地树立起算术平方根的概念,需要由浅入深、不断深化.概念的形成过程也是思维过程,加强概念形成过程的教学,对提高学生的思维水平是很有必要的.概念教学过程中要做到:讲清概念,加强训练,逐步深化.
活动
四:
课堂
总结
反思
②[讲授效果反思]
算术平方根的非负性的性质是理解的难点.通过算术平方根的定义的讲解让学生理解算术平方根为非负数,0的算术平方根为0是一个规定.通过本节教学学生都能求得非负数的算术平方根.
③[师生互动反思]
通过师生间频繁的互动,使学生深刻理解概念,准确表述,并通过练习巩固掌握.
④[习题反思]
好题题号 ?
错题题号 ?
反思教学设计,更进一步提升教师教学能力.
学习目标：
1.了解算术平方根的概念，会用根号表示正数的算术平方根，并了解算术平方根的非负性。
2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的算术平方根。
学习重点：
算术平方根的概念。
学习难点：
根据算术平方根的概念正确求出非负数的算术平方根。
学习过程：
情境导入
请同学们欣赏本节导图，并回答问题，学校要举行金秋美术作品比赛，小欧很高兴，他想裁出一块面积为25的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？
正方形的
面积
边长
?
?
?
?
?
这个问题实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题
二、探究
1、一般地，如果一个________的平方等于a，即=a，那么这个______叫做a的_________．a的算术平方根记为，读作“根号a”，a叫做被开方数．规定：______的算术平方根是0.
也就是，在等式=a (x____0)中，规定x =.
2、 试一试：你能根据等式：=144说出144的算术平方根是多少吗？并用等式表示出来．
3、 想一想：下列式子表示什么意思？你能求出它们的值吗？
4、 求下列各数的算术平方根：
（1）100；(2) ；(3) 0.0001
解：（1）因为 =100，所以100的算术平方根为10，即 =10。
(2)
(3)
课堂练习
非负数的算术平方根表示为___，225的算术平方根是____，0的算术平方根是____
的算术平方根是_____, 的算术平方根____
若是49的算术平方根，则=（ ）
A. 7 B. －7 C. 49 D.－49
若，则的算术平方根是（ ）
A. 49 B. 53 C.7 D .
若，求的值。
若是的整数部分，是的小数部分，试确定、的值。
一个自然数的算术平方根为，那么与这个自然数相邻的下一个自然数的算术平方根是_______
6.1 平方根
第2课时 用计算器求一个正数的算术平方根
课题
第2课时 用计算器求一个正数的算术平方根
授课人
教
学
目
标
知识技能
1.利用计算器求一个正数的算术平方根;
2.用估算的方法求一个正数的算术平方根.
数学思考
用估算的方法求一个正数的算术平方根,感受无限不循环的概念.
问题解决
能通过估算的方法确定无理数的大致范围、整数部分及小数部分.
情感态度
通过估算的训练,感受估算在实际生活中的意义,了解无限不循环小数的存在性.
教学
重点
利用计算器求一个正数的算术平方根.
教学
难点
用估算的方法求一个正数的算术平方根.
授课
类型
新授课
课时
教具
多媒体
教学活动
教学
步骤
师生活动
设计意图
活动
一:
创设
情境
导入
新课
【课堂引入】
你能用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形吗?你能求出大正方形的边长吗?
图6-1-3
通过学生的操作,由大正方形的面积为2及算术平方根的概念引出2的大小估计,自然过渡到本课时内容.
活动
二:
实践
探究
交流
新知
【探究1】 确定活动一中正方形的边长
1.大正方形的面积是多少?
2.你能根据算术平方根的意义由正方形的面积求得正方形的边长吗?
由图6-1-3①知道大正方形的对角线长为2,根据图形拼接知识知大正方形的面积为2.设大正方形的边长为x,由正方形的面积公式得x2=2.
由算术平方根的意义知x=2.
所以大正方形的边长是2.
【探究2】 估算2的大小
通过夹逼法确定无限不循环小数的大小:
1.如何比较1,2,2的大小关系;
2.确定1.4,2,1.5的大小关系;
3.确定1.41,2,1.42的大小关系.
如此反复确定无限不循环小数的更精确的近似值.
试用此法确定3,5,7的近似值.
1.根据正方形的面积公式求得大正方形的边长为2.
2.通过夹逼法确定无限不循环小数的大小.
活动
二:
实践
探究
交流
新知
【探究3】 利用计算器探究被开方数的小数点与算术平方根的小数点的移动规律
(1)利用计算器计算下表中的算术平方根,并将计算结果填在表格中,你发现了什么规律?你能说出其中的道理吗?
(2)用计算器计算3(精确到0.001),并利用你在(1)中发现的规律说出0.03,300,30000的近似值,你能根据3的值说出30是多少吗?
3.利用计算器探究被开方数的小数点与算术平方根的小数点的移动规律.
活动
三:
开放
训练
体现
应用
【应用举例】
例1 用计算器求下列各式的值:
(1)3136;(2)2(精确到0.001).
解:(1)依次按键 3136=,
显示:56.
∴3136=56.
(2)依次按键 2=,
显示:1.414213562.∴2≈1.414.
变式 利用计算器求第一宇宙速度和第二宇宙速度.
通过例题及变式练习让学生进一步巩固用计算器求算术平方根的近似值.
【拓展提升】
例2 小丽想用一块面积为400 cm2的正方形纸片,沿着边的方向裁出一块面积为300 cm2的长方形纸片,使它的长宽之比为3∶2.她不知能否裁得出来,正在发愁.小明见了说:“别发愁,一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片.”你同意小明的说法吗?小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗?
解:设长方形纸片的长为3x cm,宽为2x cm.
根据边长与面积的关系,得3x·2x=300,
6x2=300,
x2=50,
x=50.
通过拓展提升,及时反馈学生的学习情况,以便查漏补缺,进一步提升教学效果.
活动
三:
开放
训练
体现
应用
因此长方形纸片的长为350 cm.
因为50>49,所以50>7,
故350>21,即长方形纸片的长应该大于21 cm.
因为400=20,所以正方形纸片的边长只有20 cm.
这样,长方形纸片的长将大于正方形纸片的边长.
因此,不同意小明的说法,小丽不能用这块正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片.
活动
四:
课堂
总结
反思
【当堂训练】
课本第44页练习第1,2题.
课后作业:
课本第47页习题6.1第5,6,7,12题.
通过练习进一步巩固用计算器求无理数的大小及无限不循环小数的大小比较.
【板书设计】
第2课时 用计算器求一个正数的算术平方根
一、无限不循环小数的大小比较
二、利用计算器求一个正数的算术平方根
例1
(1)此正数为完全平方数
(2)此正数不是完全平方数
三、探究被开方数小数点与算术平方根小数点的移动规律
提纲挈领,重点突出.
【教学反思】
①[授课流程反思]
本节从用拼接正方形的方法探究无限不循环小数的大小开始,运用了夹逼的方法确定无限不循环小数的大致范围,进而运用计算器探究被开方数小数点与算术平方根的小数点的移动规律,在此过程中渗透着由特殊到一般的思想方法.
②[讲授效果反思]
通过本节教学学生基本掌握了用计算器求一个数的算术平方根,通过夹逼法确定无限不循环小数的大致范围及被开方数小数点与算术平方根小数点之间的变化规律.
反思教学设计,更进一步提升教师教学能力.
活动
四:
课堂
总结
反思
③[师生互动反思]
④[习题反思]
好题题号 ?
错题题号 ?
一、学习目标
1. 会求一个非负数的算术平方根的近似值，会用计算器求一个非负数的算术平方根.
2.理解被开方数扩大（或缩小）与它的算术平方根扩大（或缩小）的规律.
3.会对的大小的估算.
二、知识探究
1.温故知新，引入新课：（1）你能用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形吗？有哪几种拼法呢，动手操作一下，尝试着画出拼接后图形（拼接线用虚线表示）
（2）你是怎样求出所拼得的大正方形的边长的？小正方形的对角线长是多少？
2.知识探究（1）：问题1： 在哪两个相邻的整数之间？更精确的近似值是__________,它是有理数吗？
问题2：仿照无限循环小数的定义，尝试给无限不循环小数下个定义；
与课本对照，找出自己的定义中有无问题，写出确切的无限不循环小数定义：
______________________________________________________________________________.
问题3：至少写出三个象这样的无限不循环小数____________________________.
知识探究（2）：问题1：用计算器求一个非负数的算术平方根的按键顺序是：_____________________________________________________________________________.
问题2：教科书71页“探究”中发现了什么规律？
_____________________________________________________________________________.
三、典型例题
例1（见教科书70页例2）；
例2（见教科书71页例3）
四、强化训练
教科书72页习题1、2
五、知识拓展
1．比较大小： 17， .
2．已知在两个连续整数和之间，即，那么=______,=________.
3．已知， （1）则，；
（2）若，那么=_____________.
4．(1)写出大于小于的所有整数；
（2）写出绝对值小于的所有整数.
5.（1）若是的整数部分，是的小数部分，试确定，的值；
（2）若的小数部分为a，的小数部分为b，求a+b的值．
六、当堂测评（时间约5分钟）
1.比较大小：,.
2．已知 则：，.
3．请你观察思考下列计算过程．
由此猜想：
4.估算的值( )
A.在5和6之间 B.在5和6之间 C.在5和6之间 D.在5和6之间
5.若的整数部分为a,小数部分为b,求a，b的值.
6．五块同样大小的正方形钢板的面积是320m2，求每块钢板的边长.
总结：常见的无限不循环小数的近似值：
，，， ，
课后反思：在本节课学习过程中，你认为自己最大的收获是什么？哪些知识还有疑惑呢？
6.1 平方根
第3课时 平方根
课题
第3课时 平方根
授课人
教
学
目
标
知识技能
1.理解平方根的概念,会求一个非负数的平方根;
2.能运用平方根进行计算求值.
数学思考
在学习、思考、比较中体会平方根的含义.
问题解决
由一个正数有两个互为相反数的平方根让学生树立分类讨论的思想方法去解决相关问题.
情感态度
树立分类讨论的辩证唯物主义观点,从而全面看问题.
教学
重点
求一个非负数的平方根.
教学
难点
利用平方根进行计算求值.
授课
类型
新授课
课时
教具
多媒体
教学活动
教学
步骤
师生活动
设计意图
活动
一:
创设
情境
导入
新课
【课堂引入】
1.一般地,如果一个 正数x 的平方等于a,即x2=a,那么这个 正数x 叫做a的算术平方根.?
规定:0的算术平方根是0.
2.填空:(1)32= 9 ,(-3)2= 9 ;(2)0.82= 0.64 ,(-0.8)2= 0.64 .?
3.平方等于4的数有几个?分别是什么?这些数之间有什么关系?平方为9,16的数呢?
由复习算术平方根开始,逐渐引入平方根的概念,自然流畅.由填空引起学生的认知冲突,从而引出平方根的概念.
活动
二:
实践
探究
交流
新知
【探究1】 平方根的概念
定义:一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的 平方根 或 二次方根 .这就是说,如果x2=a,那么x叫做a的 平方根 .正数a的平方根可以用符号“±a”表示,读作“正、负根号a”.?
【探究2】 平方根的性质
观察:
(1)观察以上内容你有什么发现?
(2)1,4,9,14的平方根分别是什么?
(3)0的平方根是多少?
(4)-1,-4,-9,-14的平方根是什么?
(5)观察、交流、讨论、归纳平方根的性质.
正数有两个平方根,它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根.
【探究3】 平方根与算术平方根的区别
引导学生归纳平方根与算术平方根的区别和联系.
1.归纳平方根的概念.
2.由特殊到一般归纳平方根的性质.
活动
二:
实践
探究
交流
新知
联系:
1.包含关系:平方根包含算术平方根,算术平方根是平方根的一种.
2.只有非负数才有平方根和算术平方根.
3.0的平方根是0,算术平方根也是0.
区别:
1.个数不同:一个正数有两个平方根,但只有一个算术平方根.
2.表示方法不同:非负数a的平方根表示为±a,而算术平方根表示为a.
牢记下列各式的意义(其中a≥0):
a?表示a的算术平方根;
-a?表示a的算术平方根的相反数;
±a?表示a的平方根;
x2=0?x=±0.
3.教师引导,由学生归纳平方根与算术平方根的区别和联系.
活动
三:
开放
训练
体现
应用
【应用举例】
例1 求下列各数的平方根:
(1)100;(2)916;(3)0.25.
解:(1)因为(±10)2=100,所以100的平方根是±10.
(2)因为±342=916,所以916的平方根是±34.
(3)因为(±0.5)2=0.25,所以0.25的平方根是±0.5.
变式
1.(-5)2的平方根是 5和-5 ,平方根等于±7的数是 49 .?
2.若5x+4的平方根为±3,则x= 1 .?
3.一个数的算术平方根等于它本身,这个数是 0和1 .?
4.求下列各式的值:
(1)36;(2)-0.81;(3)±499.
解:(1)因为62=36,所以36=6.
(2)因为0.92=0.81,所以-0.81=-0.9.
(3)因为732=499,所以±499=±73.
1.通过例题让学生掌握利用平方与开平方互为逆运算求平方根的方法.
2.通过变式练习进一步巩固平方根的概念.
活动
三:
开放
训练
体现
应用
【拓展提升】
例2 求下列各式中x的值:
(1)4x2-614=0;(2)3(x+2)2=27.
解:(1)移项,得4x2=254,系数化为1,得x2=2516.
因为±542=2516,所以x=±54.
(2)两边同除以3,得(x+2)2=9.
因为(±3)2=9,所以x+2=3或x+2=-3,
解得x=1或x=-5.
拓展提升进一步巩固学生对平方根概念的理解.
活动
四:
课堂
总结
反思
【当堂训练】
课本第46页练习.
课后作业:
课本第47页习题6.1第3,4,8,9题.
通过设置当堂训练,进一步巩固所学新知,同时检测学习效果,做到“堂堂清”.
【板书设计】
第3课时 平方根
一、平方根的概念
二、平方根的性质
正数:
负数:
0:
三、平方根的应用
提纲挈领,重点突出.
【教学反思】
①[授课流程反思]
由复习算术平方根及平方的知识引入平方根的概念及性质,在原有的知识基础上建立新的知识生长点,从而更好地理解旧知识,建立新知识.
②[讲授效果反思]
通过本节教学,学生对平方根的概念有了较为全面的理解,能对平方根的性质进行全面的回答,但到具体解题过程中,还是会犯各种
反思教学设计,更进一步提升教师教学能力.
活动
四:
课堂
总结
反思
各样的错误.新知识的掌握不是一朝一夕就能顺利完成的,需要学生勤加练习,在练习的过程中逐渐掌握相关的知识.
③[师生互动反思]
④[习题反思]
好题题号 ?
错题题号 ?
学习目标：
了解平方根的概念，会用根号表示数的平方根
了解开方与乘方互为逆运算
会用平方求百以内整数的平方根
我的学习我做主：
学习过程：
一、复习回顾：
想一想：（相信你能行）
（1）9的算术平方根是____。
(2）平方等于9的数是_____ .平方等于0.64的数是____
(3)一对互为相反数的平方有什么关系？
总结：由以上问题可知平方得一个正数的数有 个，并且 。
探究一、
仔细阅读教材44页练习下“思考”——46页例5之前所有内容。标注重点，完成教材中的表格。并思考并回答下列问题：
1.举例说明平方根的概念。并与算术平方根概念区别。
2.什么叫开平方？通过图6.1—2知道平方与开平方互为逆运算。
3.正数的平方根有什么特点？负数有平方根吗？0有平方根吗？
自主小结：
1、一般地, 如果一个数的平方等于，即 ，那么这个数就叫做的 ，记为 ，读作 。例如 和 是9的平方根，也就是说 是9的平方根。
2、求一个数的 的运算，叫做开平方； 与开平方互为逆运算；
探究二、
1、例：求出下列各数的平方根：
（1）100； （2）； （3）0.25； （4）0; (5)11; (6)
2、根据上面的计算,思考回答：
（1）正数有几个平方根？ 他们有什么关系？
（2）0 的平方根是多少？
（3）负数有平方根吗？
3、归纳：
探究三、
1、例： 你能说出下列各式表示的意思吗？你能求出它们的值吗？
（1） ；(2) ； (3)
2、有意义吗？何时才有意义？为什么？
3、议一议：平方根与算术平方根有什么异同？
探究四：
1、求下列各数中的值：
① ② ③ ④
选作内容
2、已知︱a－2︱＋=0，求的平方根.
3、一个正数的两个平方根分别是2和，求a和x的值。
【课堂小结】：本节课你有什么收获？
【课后反思】本节课我最大的收获是
我还存在的疑惑是
我对导学案的建议是
自我检测：
A级 1.如果x的平方等于a，那么x就是a的 ，所以a的平方根是
2.非负数a的平方根表示为 3.因为没有什么数的平方会等于 ，所以负数没有平方根，因此被开方数一定是 或者
4．即 的平方根是
5．9的算术平方根是（ ）
A．-3 B．3 C．±3 D．81
6．64的平方根是（ ）
A．±8 B．±4 C．±2 D．±
7. 4的平方的倒数的算术平方根是（ ）
A．4 B． C．- D．
8．计算：
（1）-= （2）= （3） = （4）±=
B级
9．求下列各数的平方根．
（1）100； （2）0； （3）； （4）1； （5）1； （6）0．09
10．的平方根是_______；9的平方根是_______．
11．一个自然数的算术平方根是x，则它后面一个数的算术平方根是（ ）
A．x+1 B．x2+1 C．+1 D．
12．若2m-4与3m-1是同一个数的平方根，则m的值是（ ）
A．-3 B．1 C．-3或1 D．-1
13．利用平方根来解下列方程．
（1）（2x-1）2-169=0； （2）4（3x+1）2-1=0；
