(共17张PPT)
8.1 幂的运算
第8章 整式乘法与因式分解
8.1.1 同底数幂的乘法
1. an 表示的意义是什么？其中a、n、an分别叫做什么?
an
底数
幂
指数
an = a × a × a ×… a
n个a
情境
（１）25表示什么？
（２）10×10×10×10×10 可以写成什么形式?
25 =
2×2×2×2×2
105
10×10×10×10×10 =
(乘方的意义）
(乘方的意义）
“神威１”计算机每秒可计算3.84×1012次运算.它工作１ｈ（3.6×103ｓ）共进行了多少次运算？如何简洁地把结果表示 出来呢？
3.84×1012 ×3.6×103＝3.84×3.6×1012×103＝？
1. 式子103×104的意义是什么？
103与104 的积
2.这个式子中的两个因式有何特点？
底数相同
活动：探究同底数幂的乘法
探究
103 ×104 =
22 ×23 =
a2×a3 =
3.请同学们先根据自己的理解，解答下列各题.
（10×10×10）×（10×10×10×10）
(2×2）×（2×2×2）
＝107
＝25
= a a a a a
（a a ）
×（a a a）
2个a
3个a
5个a
＝a5
思考：
请同学们观察下面各题左右两边，底数、指数有什么关系？
103 ×104 = 10（ ）
22 ×23 = 2（ ）
a2× a3 = a（ ）
7
5
5
猜想: am · an= ? (当m、n都是正整数)
分组讨论，并尝试证明你的猜想是否正确.
= 10（ ）；
= 2（ ）；
= a（ ） .
3+2
3+4
3+2
4.猜想: am · an= （当m、n都是正整数）
am · an =
m个a
n个a
= aa…a
=am+n
(m+n)个a
即
am · an = am+n（当m、n都是正整数）
（aa…a）
（aa…a）
am+n
（乘方的意义）
（乘法结合律）
（乘方的意义）
am · an = am+n (当m、n都是正整数)
同底数幂相乘：
底数 ，指数 .
不变
相加
同底数幂的乘法性质：
如 43×45=
43+5
=48
运算形式
运算方法
（同底、乘法）
（底不变、指加法）
幂的底数必须相同，
相乘时指数才能相加.
想一想：当三个或三个以上同底数幂相乘时，是否也具有这一性质呢？ 怎样用公式表示？
如 am·an·ap =
am+n+p
（m、n、p都是正整数）
例1 计算
例2 已知10a=5,10b=6，求10a+b的值.
am·an =am+n （当m、n都是正整数）反之亦成立，
即am+n = am · an .
巩固练习
1.计算：
（1）x10 · x （2）10×102×104
（3） x5 ·x ·x3 （4）y4·y3·y2·y
解：
（1）x10 ·x = x10+1= x11
（2）10×102×104 =101+2+4 =107
（3）x5 ·x ·x3 = x5+1+3 = x9
（4）y4 ·y3 ·y2 ·y= y4+3+2+1= y10
2.下面的计算对不对？如果不对，怎样改正？
（1）b5 · b5= 2b5 （ ） （2）b5 + b5 = b10 （ ）
（3）x5 ·x5 = x25 ( ) （4）y5 · y5 = 2y10 ( )
（5）c · c3 = c3 ( ) （6）m + m3 = m4 ( )
m + m3 = m + m3
b5 · b5= b10
b5 + b5 = 2b5
x5 · x5 = x10
y5 · y5 =y10
c · c3 = c4
×
×
×
×
×
×
思考题
（1） x n · xn+1
（2） （x+y）3·（x+y）4
1.计算:
解:
x n · xn+1 =
解:
（x+y）3 · （x+y）4 =
am · an = am+n
xn+(n+1)
= x2n+1
公式中的a可代表一个数、字母、式子等.
(x+y)3+4 =(x+y)7
2.填空：
（1） 8 = 2x，则 x = ；
（2） 8× 4 = 2x，则 x = ；
（3） 3×27×9 = 3x，则 x = .
3
5
6
23
23
3
25
36
22
×
=
33
32
×
×
=
am · an = am+n (当m、n都是正整数)
同底数幂相乘：
底数 ，指数 .
不变
相加
运算形式
运算方法
（同底、乘法）
（底不变、指加法）
课堂小结
再见
(共21张PPT)
8.1.2 幂的乘方与积的乘方
如果甲球的半径是乙球的n倍，那么甲球的体积是乙球的 倍.
情境引入
地球、木星、太阳可以近似地看作是球体，木星、太阳的半径分别约是地球的10倍和102倍，它们的体积分别约是地球的多少倍？
木星、太阳的体积大约是地球的103和106倍．
（根据幂的性质 ）
（ ）
根据同底数幂的乘法的性质
一个正方体的边长是102cm,则它的体积是多少?
(102)3cm3
100个104相乘,可以记作什么?
(104)100
议一议:(32)4表示什么意义?
活动1：探究幂的乘方
合作探究
计算下列各式:
从上面的计算中,你发现了什么规律?
解：(1) (62)4
(2) (a2)3
(3) (am)2
= 62·62· 62·62
=62+2+2+2
=68
= a2·a2·a2
=a2+2+2
=a6
=am·am
=am+m
(4) (am)n
=am·am· … ·am
个am
=am+m+ … +m
=amn
（幂的意义）
（同底数幂的乘法性质）
（乘法的意义）
n
个m
n
幂的乘方，底数不变，指数相乘.
幂的乘方法则：
(am)n=amn(m，n都是正整数）
例1 计算：
⑴ (104)2 ; ⑵ (am)4 (m为正整数); ⑶ － (x3)2;
⑷ (－yn)5 ; ⑸ [(x-y)2]3; ⑹ [(a3)2]5.
⑹ [(a3)2]5 ＝
＝104×2
＝108 ;
⑴(104)2
解：
⑵ (am)4
＝ am×4
＝ a4m ;
⑶ －(x3)2
＝－x3×2
＝－x6 ;
⑷ (－yn)5
＝－yn×5
＝－y5n ;
⑸ [(x－y)2]3
= (x－y)2×3
＝ (x－y)6;
(a3×2)5
＝a3×2×5
＝a30.
推广：[(am)n]p=(amn)p=amnp
(m、n、p都是正整数).
＝－(yn)5
例2 计算：
⑴x2·x4＋(x3)2；⑵(a3)3·(a4)3
解： ⑴原式＝x2+4 ＋x3×2
＝x6＋x6
＝2x6
⑵原式＝a9·a12
＝a9+12
＝a21
——①幂的乘方
——②同底数幂相乘
——③合并同类项
解：∵230＝ 23×10
比较230与320的大小.
＝(23)10
320＝32×10
＝(32)10
又∵23＝8，32＝9
而8＜9
∴230＜320
思维扩展
思考下面两道题:
(1)
(2)
这两道题有什么特点？观察底数.
底数为两个因式相乘，积的形式.
这种形式为积的乘方
活动2：探究积的乘方
我们只能根据乘方的意义及乘法交换律、结合律可以进行运算.
我们学过的幂的运算性质适用吗？
同理：
（乘方的意义）
（乘法交换律、结合律）
（同底数幂相乘的法则）
思考：积的乘方(ab)n=?
公式证明
(ab)n
= (ab)·(ab)· ··· ·(ab)
n个
(乘方的意义)
= (a·a·····a)·(b·b·····b)
(单项式的乘法法则)
n个
n个
=anbn
(乘方的意义).
(ab)n=an bn .
即
语言表述：
积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
拓展：
当三个或三个以上因式的积乘方时, 也具有这一性质． 例如， (abc)n=anbncn
(ab)n=an bn
积的乘方公式：
例3 球的体积公式是 3（r为球的半径），
已知地球半径约为6.4×103km，求地球的体积（ 取3.14）.
解：
3
3
3
3
9
12
因而，地球的体积约为1.1×1012km3.
逆用公式
即
拓展训练
（1）
解：原式=
2
2
解：原式= =
= =
2003
2003
（2）
积的乘方的运算性质：
(am)n = amn ( m,n 都是正整数 ).
(ab)n=an bn .
积的乘方公式：
积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方后，再把所得的幂相乘.
课堂小结
再见
(共11张PPT)
8.1.3 同底数幂的除法（1）
同底数幂的除法
计算杀菌剂的滴数
一种液体每升杀死含有1012 个有害细菌，为了试验某种杀菌剂的效果，科学家们进行了实验，发现 1 滴杀菌剂可以杀死109 个此种细菌,要将1升液体中的有害细菌全部杀死，需要这种杀菌剂多少滴？
情境
你是怎样计算的？
需要底数：
109×10 ( 3 ) =1012
=？
103
1012÷109
活动：探究同底数幂的除法法则及其逆用
合作探究
解 :
(1) ∵ 105×10( ) =108,
∴108 ÷105 =
(2) ∵ 10n×10( ) =10m,
∴10m ÷10n=
用逆运算与同底数幂的乘法来计算
1.计算下列各式：
（1）108 ÷105；（2）10m÷10n；（3）(–3)m÷(–3)n.
3
103 ;
m–n
10m–n ;
(3) ∵ (–3)n×(–3)( ) =(–3)m,
∴ (–3)m ÷(–3) n=
m–n
(–3)m–n ;
猜想
am÷an=
｛
am–n
2.讨论下列问题：
同底数幂相除法则中各这字母必须满足什么条件？
a ÷a =
(a≠0,m,n都是正整数,且m＞n)
m
n
a
m-n
同底数幂相除，底数_____,指数______.
不变
相减
这就是说，同底数幂相除，底数不变，指数相减.
一般地，设m、n为正整数，m>n， ，有
am÷an=
=am-n
例 计算：
(1) a7÷a4 ; (2) (-x)6÷(-x)3;
(3) (xy)4÷(xy) ; (4) b2m+2÷b2 .
= a7–4
= a3 ;
(1) a7÷a4
解：
(2) (-x)6÷(-x)3
= (-x)6–3
= (-x)3
(3) (xy)4÷(xy)
=(xy)4–1
(4) b2m+2÷b2
= b2m+2 – 2
= -x3 ;
=(xy)3
=x3y3
= b2m .
注意
?
最后结果中幂的形式应是最简的.
① 幂的指数、底数都应是最简的；
③ 幂的底数是积的形式时，要再用一次(ab)n=an an.
② 底数中系数不能为负；
幂的意义:
a·a· … ·a
n个a
an
=
同底数幂的乘法运算法则：
am · an =am+n
同底幂的除法运算法则:
am÷an=am–n
课堂小结
不要把 的指数误认为是0.
（1）运用法则的关键是看底数是否相同；
（2）因为零不能作除数，所以底数不能为0；
（3）注意单个字母的指数为1，如
同底数幂除法注意事项：
再见
(共16张PPT)
8.1.3 同底数幂的除法（2）
零次幂、负整数次幂及科学记数法
(1)同底数幂相除法则中各这字母必须满足什么条件？
a ÷a =
(a≠0，m，n都是正整数，且m＞n)
m
n
a
m-n
同底数幂相除，底数_____,指数______.
不变
相减
情境
(3)要使 和 也成立，应当规
定 和 分别等于多少呢？
(2)要使 也能成立，你认为应当规定 等 于多少？
呢？
1.根据除法运算中,一个数除以它本身商为1,得
33÷33=1 ;
108÷108=1 ;
an÷an=1 (a≠0).
那么，你能上节课学的同底数幂的除法来计算吗？你发现了什么？
活动1：探究零次幂、负整数次幂
探究
若按同底数幂的除法性质,得
33÷33= ;
108÷108= ;
an÷an= (a≠0)
于是约定：a0=1 (a≠0)
语言表述：任何一个不等于零的数的零指数幂等于1.
33-3=30
108-8=100
an-n=a0
结论：30=1, 100=1, a0=1 (a≠0)
2.根据同底数幂相乘，除法运算及分数约分，得：
根据同底数幂的除法运算,得：
32÷35=32-5=3-3；104÷108=104-8=10-4；am÷an=am-n=a-p
于是约定：
语言叙述:任何一个不等于零的数的-p（p为正整数）
指数幂,等于这个数的p指数幂的倒数.
结论：
零指数幂、负指数幂
为使“同底数幂的运算法则am÷an=am–n通行无阻：
∴ 规定 a0 =1；
am–m
am÷am=
（a≠0, m、n都是正整数）
=
a0，
1=
当p是正整数时，
=a0÷a p
=a0–p
=a–p
∴ 规定 ：
归纳：
3.用科学记数法表示下列各数：
(1)0.001； (2)0.0000896；
(3)0.0000001； (4)0.0000004176.
活动2：探究用科学记数法表示绝对值小于1的数
解析:用科学记数法表示小于1的正数时，方法是把小数点向右移到整数部分只有一位为止，这时小数点移动的位数即为a×10-n中n的值．
解：(1)0.001=1×10-3 (2)0.0000896=8.96×10-5
(3)0.0000001=10-7 (4)0.0000004176=4.176×10-7
归纳：
例 随着微电子制造技术的不断进步，半导体材料的精加工尺寸大幅度缩小，目前已经能够在350平方毫米的芯片上集成5亿个元件，问1个这样的元件大约占多少平方毫米？
解析：因为350平方毫米的芯片上集成5亿个元件，说明5亿个元件所占的面积为350平方毫米，要计算1个元件所占的面积，可用350除以5亿．
用科学记数法表示实际生活中的数量时，注意不能漏掉单位．
解：350÷(5×108)＝350÷5×10－8
＝70×10-8
＝7×10-7(平方毫米)．
所以1个这样的元件大约占7×10-7平方毫米．
解析：可借助幂的运算性质进行计算．
规定: a = 1 , (a≠0)
0
a =
(a≠ 0 ,p是正整数)
任何不等于零的数的零次幂都等于1.
任何不等于零的数的-p(p是正整数)次幂，等于这个数的p次幂的倒数.
小结
再见
