(共19张PPT)
8.2 整式的乘法
8.2.1 单项式与单项式相乘（1）
单项式乘单项式
1.指出下列公式的名称.
同底数幂的乘法
幂的乘方
积的乘方
情境
同底数幂的除法
零指数幂性质
负整数指数幂性质
2.计算下面各题：
(1)x·2x=x·2·x=2·(___)=2__.
(2)2ab·3a=2·a·b·3·a=(_____)·(___)·b=____.
(3)3x2y·(-4xy)=___________________=_______.
xx
x2
2×3
aa
6a2b
［3×(-4)］·(x2x)·(yy)
-12x3y2
【归纳】
单项式与单项式相乘,把它们的_____、_________
的幂分别相乘,其余__________________,作为积的因式.
系数
相同字母
字母连同它的指数不变
1.现有长为x米，宽为a米的矩形，其面积为多少
平方米？
2.长为x米，宽为2a米的矩形，面积为多少平方米？
活动：探究单项式乘单项式
探究
3.长为2x米，宽为3a米的矩形，面积为多少平方米？
在这里，求矩形的面积，会遇到
这是什么运算呢？
因式都是单项式，它们相乘，单项式与单项式相乘.
借助于图示得出矩形面积结果更简单形式.
类似的可以把以下结果表达更简单些吗？
(1)
(2)
(3)
你能从这里总结出怎样进行单项式乘以单项式吗？
（1）系数相乘；
注意符号
（2）相同字母的幂相乘；
（3）只在一个单项式中出现的字母，则连同它的
指数一起作为积的一个因式.
单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式.
单项式乘以单项式法则：
计算：
下面计算是否正确？如有错误请改正.
错
错
错
对
比一比看谁做的又快又准！
单项式乘以单项式中的“一、二、三”
一个不变：单项式与单项式相乘时，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数不变，作为积的因式.
二个相乘：把各个单项式中的系数、相同字母的幂分别相乘.
小结
三个检验：单项式乘以单项式的结果是否正确，可从以下三个方面来检验：
①结果仍是单项式；
②结果中含有单项式中的所有字母；
③结果中每一个字母的指数都等于前面单项式中
同一字母的指数和.
再见
(共15张PPT)
8.2.1 单项式与单项式相乘（2）
单项式除以单项式
(2)
= ;
1.用字母表示幂的运算性质：
(3)
= ;
(4)
=
.
(1)
= ;
情境
2.计算：
(1) a20÷a10 ； (2) a2n÷an
= a10
= an
= c2
(3) (?c)4 ÷(?c)2 ；
(4) (a2)3 ·(-a3 )÷a3； (5) (x4)6 ÷(x6)2 ·(-x4 )2 .
= ?a9 ÷a3
= ?a6
=x24÷x12 ·x8
=x 24 —12+8
=x20
计算下列各题, 并说说你的理由:
(1) (x5y) ÷x2 ;
(2) (8m2n2) ÷(2m2n) ;
(3) (a4b2c)÷(3a2b)
解：(1) (x5y)6÷x2 = x30y6÷x2
把除法式子写成分数形式，
=
把幂写成乘积形式，
约分.
=
= x·x·x·y
= x3y ；
可以用类似于
分数约分的方法
来计算.
活动：探究单项式除以单项式
探究
省略分数及其运算, 上述过程相当于：
(2) (8m2n2) ÷(2m2n)
=
=(8÷2 )·m 2 ? 2·n2? 1
(8÷2 )·(m2÷m2 )·(n2÷n )
(1) (x5y) ÷x2
=(x5÷x2 )·y
=x 5 ? 2 ·y
=4n
观察、归纳
(x5y) ÷ x2 = x5 ? 2 ·y
(8m2n2) ÷ (2m2n) = (8÷2 )·m2 ? 2·n2 ? 1 ;
(a4b2c) ÷ (3a2b) = (1÷3 )·a4 ? 2·b2 ?1·c .
商式
被除式
除式
(被除式的指数)-(除式的指数
(被除式的系数)÷ (除式的系数)
商式的系数＝
(同底数幂)商的指数＝
写在商里面作因式
被除式里单独有的幂）
仔细观察一下，并分析与思考下列几点：
单项式除以单项式，其结果(商式)仍是
一个单项式;
单项式的除法法则
如何进行单项式除以单项式的运算?
单项式相除, 把系数、同底数的幂分别相除
后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字
母，则连它的指数一起作为商的一个因式.
理解
商式＝系数 ? 同底的幂 ? 被除式里单独有的幂
底数不变，
指数相减
保留在商里
作为因式
答:
月球距离地球大约 3.84×105千米, 一架飞机的速度约为 8×102 千米/时.如果乘坐此飞机飞行这么远的距离, 大约需要多少时间?
3.84×105 ÷( 8×102 )
= 0.48×103
=480(小时)
=20(天) .
如果乘坐此飞机飞行这么远的距离, 大约需要20天时间.
解:
(1) (2a6b3)÷(a3b2) ; (2) ;
(3) (3m2n3)÷(mn)2 ; (4) (2x2y)3÷(6x3y2) .
1.计算：
( x3y2 )
÷( x2y )
巩固练习
(3) ( )÷(2x3y3 ) = ;
2.计算填空:
(1) (60x3y5) ÷(?12xy3) = ;
(2) (8x6y4z) ÷( ) =?4x2y2 ;
(4) 若 (ax3my12)÷(3x3y2n)=4x6y8 ,
则 a = , m = ,n = ;
?5x2y2
?2x4y2z
12
3
2
单项式相除, 把系数、同底数的幂分别相除
后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连它的指数一起作为商的一个因式.
同底数幂相除是单项式除法的特例.
小结
再见
(共10张PPT)
8.2.2 单项式与多项式相乘（1）
单项式乘多项式
怎样计算单项 2x 与多项式 的积？
一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
利用乘法对加法的分配律能算吗？
情境
三家连锁店以相同的价格m(单位：元／瓶）销售某种商品，它们在一个月内的销售量（单位：瓶）分别是a,b,c．你能用不同的方法计算它们在这个月内销售这种商品的总收入吗？
活动：探究单项式乘多项式
探究
解法(一):先求三家连锁店的总销量,再求总收入,即总收入(单位:元)为:
m(a+b+c) ①
解法(二):先分别求三家连锁店的收入,再求它们的和,即总收入(单位:元)为
ma+mb+mc ②
由于①和②表示同一个量,所以
m(a+b+c)=ma+mb+mc
你能根据分配律得到这个等式吗?
乘法分配律: (a+b)c=ac+bc
单项式与多项式相乘的方法:
由乘法公式可知:m(a+b+c)=
ma+mb+mc
单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加.
1.单项式乘多项式的结果是多项式，积的项数与原
多项式的项数相同.
3.不要出现漏乘现象，运算要有顺序.
注意
2.单项式分别与多项式的每一项相时，要注意积的
各项符号的确定：同号相乘得正，异号相乘得负.
例 计算:
(1) (-4x2)·(3x + 1),
(2)( ab2 -2ab)· ab
(3) a(a2+a)-a2(a-2)
（1）(－ 3x)(2x － 3y)=6x2 － 9xy ( )
(2) 5x(2x2 － 3x+1)=10x3 － 15x2 ( )
(3) am(am－a2+1)=a2m－a2m+am=am ( )
(4) (-2x)?(ax+b-3)=-2ax2-2bx-6x ( )
×
×
×
×
注意：各项符号的确定！
防止漏项哦！
下面的计算对不对？如果不对，怎样改正？
单项式乘以多项式的三点注意
1.要按顺序相乘，不要漏项或增项.
2.单项式系数为负数时，要注意每一项乘积的符
号，相乘时,每一项都包括它前面的符号.
3.积是一个多项式，其项数与原多项式的项数相同.
小结
再见
(共16张PPT)
8.2.2 单项式与多项式相乘（2）
多项式除以单项式
完成下列各题：
(1)因为(____)c=ac+bc,所以(ac+bc)÷c=____.
(2)因为(______)b=ab2+3ab,所(ab2+3ab)÷b=______.
(3)由于(_____)xy=xy－xy2,所以(xy－xy2)÷xy= _____.
a+b
a+b
ab+3a
ab+3a
1－y
1－y
情境
由前面解题我们不难得出：
(ac+bc)÷c=____=ac÷__+bc ÷__.
(ab2+3ab)÷b=______=a2b÷__+3ab÷__.
(xy－xy2)÷xy= _____=xy÷___－xy2÷___.
a+b
ab+3a
b
1－y
xy
xy
c
c
b
活动：探究多项式除以单项式
活动：探究多项式除以单项式
探究
由此，你能归纳出多项式除以单项式的法则吗？
【归纳】多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项分别除以单项式,再把所得的商相加.
【点拨】多项式除以单项式的运算是转化为单项式除以单项式来计算的,所以计算中要特别注意每项的符号.
【思考】
多项式中的某一项与除式完全相同时，相除后的结果是多少？
提示：相除的结果是1而不是0.
例 计算：
(1) (28a3－14a2+7a)÷7a.
(2) (36x4y3－24x3y2+3x2y2)÷(－6x2y).
(3)［(2x+y)2－y(y+4x)－8x］÷2x.
解:(1)(28a3－14a2+7a)÷7a
=28a3÷7a－14a2÷7a+7a÷7a
=4a2－2a+1
(2)(36x4y3－24x3y2+3x2y2)÷(－6x2y)
=(36x4y3)÷(－6x2y)－(24x3y2)÷(－6x2y)+(3x2y2)÷
(－6x2y)
=－6x2y2+4xy－
特别提醒：不要漏掉(1)中的最后一项.
(3)［(2x+y)2－y(y+4x)－8x］÷2x
=(4x2+4xy+y2－y2－4xy－8x)÷2x
=(4x2－8x)÷2x
=4x2÷2x－8x÷2x
=2x－4
【互动探究】如何检验多项式除以单项式的结果是否正确？
提示：可以利用乘除是互逆运算，检验计算结果是否正确.
多项式除以单项式中的“三点注意”
1.被除式有几项,则商就有几项，不可丢项.
2.各项系数相除时,应包含前面的符号.当除式的系数为负数时，商式的各项符号与被除多项式各项的符号相反.
3.商的次数小于或等于被除式的次数.
小结
1.计算(3x2－x)÷(-x)的正确结果是( )
A.3x B.3x-1
C.-3x+1 D.-3x-1
【解析】选C.
(3x2－x)÷(-x)=3x2÷(-x)-x÷(-x)=-3x+1.
训练
2. 5x3y2与一个多项式的积为20x5y2-
15x3y4+70(x2y3)2,则这个多项式为( )
A.4x2-3y2 B.4x2y-3xy2
C.4x2-3y2+14xy4 D.4x2-3y2+7xy3
【解析】选C.依题意得
［20x5y2-15x3y4+70(x2y3)2］÷5x3y2 =4x2-3y2+14xy4.
3.计算：(-9x2+3x)÷(-3x)=____.
【解析】原式=(-9x2)÷(-3x)+3x÷(-3x)=3x-1.
答案：3x-1
4.一个长方形的面积为a3-2ab+a，宽为a，则长方形的长为____.
【解析】因为(a3-2ab+a)÷a=a2-2b+1，所以长方形的长为a2-2b+1.
答案：a2-2b+1
5.先化简，再求值：［(xy+2)(xy-2)-2(x2y2-2)］÷xy，其中x=1，y=-2.
【解析】［(xy+2)(xy-2)-2(x2y2-2)］÷xy
=［(xy)2-22-2x2y2+4］÷xy
=(x2y2-4-2x2y2+4)÷xy
=(-x2y2)÷xy=-xy.
当x=1，y=-2 时，原式=-1×(-2)=2.
再见
(共17张PPT)
8.2.3 多项式与多项式乘法
(1)(-3x3y)(-5x4y2z4)=_______;
(2)-3ab2(-4a+3ab-2)
=________________
15x7y3z4
12a2b2
-9a2b3
+6ab2
问题 一块长方形的菜地, 长为 a,宽为m。现将它的长增加b,宽增加n,求扩大后的菜地的面积。
n
b
m
a
问题 一块长方形的菜地, 长为 a,宽为m。现将它的长增加b,宽增加n,求扩大后的菜地的面积。
n
b
m
a
(a+b)(m+n)
算法一：扩大后菜地的长是a+b，宽是m+n，所以它的面积是
问题 一块长方形的菜地, 长为 a,宽为m。现将它的长增加b,宽增加n,求扩大后的菜地的面积。
n
b
m
a
(a+b)(m+n)
算法一：扩大后菜地的长是a+b，宽是m+n，所以它的面积是
你还有其它的算法吗？
问题 一块长方形的菜地, 长为 a,宽为m。现将它的长增加b,宽增加n,求扩大后的菜地的面积。
m
a
am
n
an
b
bm
bn
am
an
bm
bn
+
+
+
算法二：先算4块小矩形的面积，再求总面积。扩大后菜地的面积是
问题 一块长方形的菜地, 长为 a,宽为m。现将它的长增加b,宽增加n,求扩大后的菜地的面积。
b
m
a
n
算法三：如图所示，分别求出图中两个长方形的面积，再求总面积。扩大后菜地的面积为 ：
（a+b）m
（a+b）m
（a+b）n
（a+b）n
+
问题 一块长方形的菜地, 长为 a,宽为m。现将它的长增加b,宽增加n,求扩大后的菜地的面积。
n
m
a
b
算法四：如图所示，分别求出图中两个长方形的面积，再求总面积。扩大后菜地的面积为 ：
a(m+n)
b(m+n)
a(m+n)
b(m+n)
+
观察这几个式子：
(a+b)(m+n)
am+an+bm+bn
（a+b）m+（a+b）n
a（m+n）+b（m+n）
你能说出它们有何关系吗？
可以发现：
(a+b)(m+n)
am+an+bm+bn
（a+b）m+（a+b）n
a（m+n）+b（m+n）
由此你能得到什么启发？
=
=
=
1
2
3
4
(a+b)(m+n)
=
am
1
2
3
4
+an
+bm
+bn
多项式的乘法法则
多项式与多项式相乘, 先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项, 再把所得的积相加.
(1) (x+2y)(5a–3b) ;
(2) (–2x – 3)(x – 4) ;
计算:
计算：
(1) (2n+6)(n–3);
(2) (3x–y)(3x+y);
(3) (2x+5) .
2
计算：
(2) (3x-5)(2x+3)-(2x-1)(x+1)
(1) (3a–2)(a–1) +(a+1)(a+2);
提示：
1.运用多项式的乘法法则时，必须做到不重不漏.
2.多项式与多项式相乘，仍得多项式.
3.注意确定积中的每一项的符号，多项式中每一项都包含它前面的符号，“同号得正，异号得负”.
4.多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项要合并同类项.
比一比，看谁算得快又准：
(1) (2a–3b)(a+5b) ;
(2) (xy–z)(2xy+z) ;
(3) (x–1)(x2+x+1) ;
(4) (2a+b)2;
(5) (3a–2)(a–1)–(a+1)(a+2) ;
再见
