(共20张PPT)
8.4因式分解
8.4.1提公因式法（1）
议一议
你能尝试把 化成几个整式的乘积的形式吗？与同伴交流一下吧！
=a(a+1)(a-1)
议一议：由 得到________ 的变形是什么运算？由_______ 得到
的变形与这种运算有什么不同？你能再举几个类似的例子吗？
把一个多项式分化为几个整式的乘积的形式，叫做分解因式，也叫做将这个多项式分解因式.
想一想：分解因式与整式乘法有什么关系?
二者是互逆的过程
2x2-x = x（2x-1）
因式分解
乘法运算
问题1：
在一次智力抢答中，主持人提出：
①
②
③
话音刚落，一学生刷地站起来，抢答道：
第①题等于1100，第②题等于999000，第③题等于31.4，
其回答速度之快，令人瞠目结舌，同学们，你想如此快地
给出回答吗？
问题2：
一幢房子侧面的形状由一个长方形和三角形组成，若把它设计成一个新的长方形，面积保持不变，且底边长仍为a，则高度应为多少？
一般地，一个多项式中每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式。
如果一个多项式的各项含有公因式，那么可把该公因式提取出来进行因式分解。这种分解因式的方法叫做提取公因式法。
应提取的公因式为:________
议一议：
多项式 有公因式吗？是什么？
公因式的确定方法：
应提取的多项式各项的公因式应是：各项系数的最大公因数（当系数是整数时）与各项都含有的相同字母的最低次幂的积。
练一练：
多项式 公因式
因式分解结果
应提取的公因式是：各项系数的最大公因数（当系数是整数时）与各项都含有的相同字母的最低次幂的积。
例1：确定下列多项式的公因式，并分解因式
提取公因式法的一般步骤：
（1）确定应提取的公因式；
（2）多项式除以公因式，所得的商作为
另一个因式；
（3）把多项式写成这两个因式的积的形式.
练一练：分解因式
练一练：分解因式
练一练
把2a(b+c)-3(b+c)分解因式
动脑想一想？公因式是什么？
(b+c)
=(b+c)(2a-3)
解：2a(b+c)-3(b+c)
如何验证结果正确呢？
括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变号；
括号前面是“-”号，括到括号里的各项都变号。
添括号法则：
练习 :
1 - 2x = + ( )
(2) -x - 2 = - ( )
(3) -x2 - 2x +1 = - ( )
1-2x
x +2
x2 + 2x -1
例2：分解因式
括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变号；
括号前面是“-”号，括到括号里的各项都变号。
添括号法则：
下面的分解因式对吗？如果不对，应怎样改正？
再见
(共15张PPT)
8.4.1 提公因式法（2）
议一议
你能尝试把 化成几个整式的乘积的形式吗？与同伴交流一下吧！
=a(a+1)(a-1)
做一做计算下列各式
(1) 3x(x-1)=___________
(2) m(a+b+c)=_________________
(3) (m+4)(m-4)=_______________
(4) = _______________
(5) a(a+1)(a-1)=__________
跟据上面的算式填空
=
=
=
=
=
3x(x-1)
m(a+b+c)
(m+4)(m-4)
a(a+1)(a-1)
议一议：由 得到________ 的变形是什么运算？由_______ 得到
的变形与这种运算有什么不同？你能再举几个类似的例子吗？
把一个多项式分化为几个整式的乘积的形式，叫做分解因式，也叫做将这个多项式分解因式.
想一想：分解因式与整式乘法有什么关系?
二者是互逆的过程
2x2-x = x（2x-1）
因式分解
乘法运算
公因式：一个多项式各项都含有的相同因式,叫做这个多项式的公因式．
3、填空
3x+6=3( ) 7x2-21=7x( )
24x3+12x2 -28x=4x( )
-8a3b2+12ab3c-ab=-ab( )
1、下面算式等于？
（a+b)c= ac+bc=
2、去括号
3(x+2)= 7x(x-3)=
4x(6x2+3x-7)=
- ab(8a2b-12b2c+1)=
ac+bc
（a+b）c
x+2
x-3
6x2+3x-7
8a2b-12b2c+1
3x+6
7x2-21
24x3+12x2-28x
-8a3b2+12ab3c-ab
提公因式法：把一个多项式中的公因式提出来，从而将多项式化成几个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式法．
把下列各式分解因式：
(1)-4kx-8ky
(2)-4x+2x2
(3)-8m2 n-2mn
=-4k(x+2y)
=-2x(2-x)
=-2mn(4m+1)
把下列各式分解因式：
(1)ma+mb
(2)5y3-20y2
(3)a2x2y-axy2
(4)8m2n+2mn
例 将下列多项式进行因式分解：
（1）x2-x； （2）10x+5y.
解：（1）x2-x=x（x-1）；
（2）10x+5y=2(2x+y) .
把下列各式分解因式：
(1)-24x3+28x2-12x
(2)-4a3b3+6a2b-2ab
(3)-20x2y2-15xy2+25y3
解：(1) a2b-2ab2 +ab=ab(a-2b+1)
(2) 3x3–3x2–9x=3x(x2-x-3)
(3)4a4b-8a2b2+16ab4 =4ab(a3-2ab+4b2)
解： (1)-24x3+28x2-12x=-4x(6x2–7x+3)
(2)-4a3b3+6a2b-2ab=-2ab(2a2b2–3a+1)
(3)-20x2y2-15xy2+25y3 = -5y2(4x2+3x-5y)
把下列各式分解因式：
(1)a2b-2ab2 +ab
(2)3x3–3x2–9x
(3)4a4b-8a2b2+16ab4
1. 公因式：一个多项式各项都含有的相同因式,叫做这个多项式项的公因式．
2. 提公因式法：把一个多项式中的公因式提出来， 从而将多项式化成几个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式法．
3. 四种类型多项式的分解因式．
1. 方法规律：
一个多项式各项的公因式必须由三部分组成：
(1) 各项整数系数的最大公约数；
(2) 各项相同的字母；
(3) 相同因式的指数取最低．
3. 方法技巧：
(1) 用提公因式法分解因式的一 般步骤：
a.确定公因式
b.把公因式提到括号外面后，用原多项
式除以公因式所得商作为另一个因式．
(2) 为了检验分解因式的结果是否正确，
可以用整式乘法运算来检验．
2. 解题方法：
(1) 用提公因式法分解因式后，剩下因式不能再有公
因式；
(2) 公因式提出后，剩下公因式求法：用公因式去除多项
式各项，所得商即为另一个因式．
再见
(共23张PPT)
8.4.2 公式法（1）
比一比，看谁心算速度最快：
看谁算得又快又对！
想一想:
以前学过哪些乘法公式？
1、什么叫因式分解？我们已学过什么因式分解的方法？
课前复习
2、因式分解与整式乘法有什么关系？
把下列多项式因式分解：
如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。这种分解因式的方法叫做运用公式法.
关键词： 公式 反 某些
因式分解的完全平方公式
因式分解的平方差公式
平方差公式
：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。这个公式就是平方差公式.
（一）公式： a2-b2=(a+b)(a-b)
1、左边是二项式，每项都是平方的形式，两项的符号相反；
2、右边是两个多项式的积，一个因式是两数的和，另一个因式是这两数的差．
（二）结构特点：
1、公式左边是三项式，其中首末两项都为正，且这两项可化为两个数的平方，中间一项可正可负，还是这两个数的乘积的2倍；
完全平方公式
（一）公式：
2、右边是两个数的平方和（或差）的平方。
3、用完全平方式分解因式时，要根据第二项的符号来选择运用哪一个完全平方公式．
（三）语言：两数的平方和，加上（或减去）这两数的积的2倍，等于这两个数和（或差）的平方。
0.81x2=( )2
25a4=( )2
100p4q2=( )2
5a2
10p2q
0.9x
1.填空：
例1：把下列各式分解因式
a? + 2 a b + b? = ( a + b)2
a? - 2 a b + b? = ( a - b)2
a? - b? = ( a + b) ( a - b )
例2：把下列各式分解因式
（2）(x2＋y2)2-4x2y2
3.把下列各式分解因式
3.根据多项式乘法，我们还可以得出一个公式：
这个等式，从左边到右边是整式乘法运算，从右边到左边是因式分解。你能利用这个公式把下列各式分解因式吗？
再见
(共20张PPT)
8.4.2 公式法（2）
13.5cm
6.5cm
π.13.5
2
π.6.5
2
你能不用计算器快速算出吗？
π
13.5
2
.
π
.
6.5
2
-
(若π取3）
3×13.5 - 3×6.5
2
2
=420！
两者面积之差为（列出算式）：
=3×（13.52 － 6.52 ）
=3 ×20 ×7
=3 ×(13.5＋6.5) (13.5 － 6.5)
)
)(
(
b
a
b
a
-
+
=
2
2
b
a
-
比一比：
)
)(
(
2
2
b
a
b
a
b
a
-
+
=
-
整式乘法
因式分解
平方差公式：
说一说：
（１）公式左边：
（是一个将要被分解因式的多项式）
★被分解的多项式含有两项，且这两项异号，并且能写成（ ）２－（ ）２的形式。
(2) 公式右边:
（是分解因式的结果）
★分解的结果是两个底数的和乘以两个底数的差的形式。
)
)(
(
2
2
b
a
b
a
b
a
-
+
=
-
▲
▲
▲
现在我们把完全平方公式反过来，可得：
两数的平方和，加上 这两数的积的2倍，等于这两数和 的平方．
完全平方公式：
（或者减去）
（或者差）
两数的平方和，加上（或者减去）这两数的积的2倍，等于这两数和（或者差）的平方．
形如 的多项式称为完全平方式.
利用平方差公式和完全平方公式分解因式的方法，叫做公式法。
平方差公式法：适用于平方差形式的多项式
完全平方公式法：适用于完全平方式
1：把下列各式分解因式.
2. 把下列各式分解因式:
若多项式中有公因式，应先提取公因式，然后再进一步分解因式。
=(4x+y) (4x －y)
=(2x + y) (2x － y)
3
1
3
1
=(2k+5mn) (2k－5mn)
把下列各式分解因式：
= (a+8) (a －8)
（1）a2－82
1
（2）16x2 －y2
2
(3) － y2 + 4x2
9
1
3
(4) 4k2 －25m2n2
4
请补上一项，使下列多项式成为完全平方式．
参照对象：
)
)(
(
2
2
b
a
b
a
b
a
-
+
=
-
20102－20092 =
（2mn）2 - ( 3xy)2 =
(x+z)2 －（y+z)2 =
结论：
公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解。
2. 分解因式:
结论：
公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成完全平方的形式，就能用完全平方公式因式分解。
拓展：
用你学过的方法分解因式：
4x3-9xy2
结论：
多项式的因式分解要分解到不能再分解为止。
方法：
先考虑能否用提取公因式法，再考虑能否用公式分解因式。
x3-6x2y+9xy2
1. 用简便方法计算：
2.把多项式因式分解：
5a2 - 20b2
3. 将 再加上一项，使它成为
完全平方式，你有几种方法？
一天,小明在纸上写了一个算式为 4x2 +8x+11,并对小刚说:“无论x取何值,这个代数式的值都是正值,你不信试一试?”
再见
