课件24张PPT。8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系
8.4.1 平 面
学习目标1.了解平面及平面的表示法.
2.会用平面的基本性质证明点共线、线共点、点线共面三个典型问题.
3.熟悉符号语言、文字语言和图形语言之间的转换.重点：平面的基本性质.
难点：符号语言、文字语言、图形语言之间的转换.(1)平面的概念
①平面是最基本的几何概念，对它加以描述而不定义.无限延展一、平面(2)平面的画法平行四边形(3)平面的表示方法
①用希腊字母表示，如平面α，平面β，平面γ.
②用表示平面的平行四边形的四个顶点的大写字母表示，如平面ABCD.
③用表示平面的平行四边形的相对的两个顶点表示，如平面AC，平面BD.45°2虚线三、平面的基本性质1.证明点线共面问题常考题型例1 如图，l1∩l2＝A， l3∩l2＝B，l1∩l3＝C，求证直线l1，l2，l3在同一平面内.
【证明】方法一（纳入法）：
因为l1∩l2＝A，所以l1和l2在同一平面α内.
因为l2∩l3＝B，所以B∈ l2.
又因为l2 α，所以B∈α.同理可证C∈α.
因为B∈l3，C∈l3，所以l3?α.
所以直线l1，l2，l3在同一平面内.
方法二（重合法）：
因为l1∩l2＝A，所以l1，l2确定一个平面α.
因为l2∩l3＝B，所以l2，l3确定一个平面β.
因为A∈l2，l2?α，所以A∈α.
因为A∈l2，l2?β，所以A∈β.
同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.
因为不共线的三个点A，B，C既在平面α内，
又在平面β内，
所以平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内.◆证明线线共面的常用方法
（1）纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内.
（2）重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线在另一个平面内，再证明两个平面重合.训练题A1.［2018·重庆高一检测］下列命题正确的是（ ）
A.两条相交直线确定一个平面
B.三点确定一个平面
C.四边形确定一个平面
D.经过一条直线和一个点确定一个平面训练题D【名师点拨】
证明共面问题的主要依据：
①如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内（公理1）；
②过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面（公理2）.例 ［2019·山东临沂高一检测］已知点A，B，C在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如图所示.
求证：P，Q，R三点共线.2.证明三点共线问题证明：（方法一）因为AB∩α＝P，所以P∈AB，P∈α.
因为AB 平面ABC，所以P∈平面ABC.
所以点P在平面ABC与平面α的交线上.
同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上.
所以P，Q，R三点共线.
（方法二）因为AP∩AR＝A，所以直线AP与直线AR确定平面APR.
因为AB∩α＝P，AC∩α＝R，所以平面APR∩平面α＝PR.
因为B∈平面APR，C∈平面APR，所以BC?平面APR.
因为Q∈BC，所以Q∈平面APR.
又Q∈α，所以Q∈PR.所以P，Q，R三点共线.◆证明多点共线的策略
证明多点共线通常利用公理3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在这两个平面的交线上；也可先由其中的两点确定一条直线，然后证明其他点也在这条直线上.1.［2019·山东潍坊高一检测］如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设A1C∩平面ABC1D1＝E.
求证：B，E，D1三点共线.
训练题证明：如图，连接A1B，BD1，CD1，
因为A1C∩平面ABC1D1 ＝E，
所以E∈A1C，E∈平面ABC1D1.
因为A1C?平面A1BCD1，
所以E∈平面A1BCD1.
因为平面A1BCD1∩平面ABC1D1＝BD1，所以E∈BD1，
所以B，E，D1三点共线. 2.［2019·山东临沂高一检测］已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.
求证：（1）D，B，F，E四点共面；
（2）若A1C交平面DBFE于点R，则P，Q，R三点共线.训练题证明：如图.
（1）因为EF是△D1B1C1的中位线，所以EF∥B1D1.
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD.
所以EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面.
（2）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
设平面A1ACC1为平面α，平面BDEF为平面β.
因为Q∈A1C1，所以Q∈α.
又Q∈ EF，所以Q∈β.所以Q是α与β的公共点，
同理P是α与β的公共点.所以α∩β＝PQ.
因为A1 C∩β＝R，所以R∈β，R∈A1C，所以R∈α，所以R∈PQ.
故P，Q，R三点共线.例 ［2019·江西吉安高一检测］已知三个平面α，β，γ两两相交，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，若直线a，b不平行，
求证：a，b，c三条直线必过同一点.3.证明三线共点问题 证明：∵ α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴ a?γ，b?γ.
∵ 直线a与直线b不平行，∴ a，b必相交.
如图，设a∩b＝P，则P∈a，P∈b.
∵ a?β，b?α，∴ P∈β，P∈α.
又∵ α∩β＝c，∴ P∈c，即交线c经过点P，
∴ a，b，c三条直线相交于同一点.◆证明三线共点的方法
证明三线共点问题可把其中一条直线作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上；还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证这两点重合，从而得到三线共点.
1.解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言.文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚.
2.在处理点线共面、三点共线及三线共点问题时初步体会三个公理的作用，突出先部分再整体的思想.规律与方法课件26张PPT。8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系学习目标1.掌握空间中直线与直线的位置关系.
2.理解异面直线的概念.
3.理解直线与平面位置关系的定义.
4.理解平面与平面位置关系的定义.重点：空间两条直线的位置关系；直线与平面，平面与平面的位置关系.
难点：对异面直线的理解，直线与平面，平面与平面位置关系中文字语言、图形语言和符号语言的转化.一、空间中点与直线、平面的位置关系
空间中点与直线的位置关系有两种：
点在直线上和点在直线外.如图，点A在直线AB上，在直线A′B′外.
空间中点与平面的位置关系也有两种：
点在平面内和点在平面外.如图，点A在平面ABCD内，在平面A′B′C′D′外.
二、空间中直线与直线的位置关系
1.异面直线
(1)定义：不同在 平面内的两条直线.
(2)异面直线的画法(衬托平面法)
如图(1)(2)所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托.任何一个(3)判断两直线为异面直线的方法
①定义法；②两直线既不平行也不相交.平行异面相交平行②从是否共面的角度来分：相交异面2.空间两条直线的三种位置关系
①从是否有公共点的角度来分：三、直线与平面的位置关系平面α与平面β的位置关系α∥βα∩β＝l无数个点(共线)四、两个平面的位置关系一、两直线位置关系的判定例 如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：
①直线A1B与直线D1C的位置关系是_______；
②直线A1B与直线B1C的位置关系是_______；
③直线D1D与直线D1C的位置关系是_______；
④直线AB与直线B1C的位置关系是_________.常考题型【解析】两直线的位置关系主要依据定义判断.
由题图知直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线“平行”，所以①应该填“平行”；点A1，B，B1在平面A1BB1内，而点C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C “异面”，同理可得直线AB与直线B1C “异面”，所以②④都应该填“异面”；直线D1D与直线D1C相交于点D1，所以③应该填“相交”.【答案】①平行 ②异面 ③相交 ④异面◆判定异面直线的方法
（1）定义法：由定义判断出两直线不同在任何一个平面内.
（2）重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.（如图所示）.训练题AD1.［2019·广州高一检测］（1）若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（ ）
A.l至少与l1，l2中的一条相交 B.l与l1，l2都相交
C.l至多与l1，l2中的一条相交 D.l与l1，l2都不相交
（2）若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是（ ）
A.异面或平行 B.异面或相交
C.异面 D.相交、平行或异面D2.［2019·安徽蚌埠高一检测］空间中有三条线段AB，BC，CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是（ ）
A.平行
B.异面
C.相交或平行
D.平行或异面或相交二 直线与平面的位置关系例［2019·河南郑州高一检测］下列说法中正确的个数是（ ）
①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；
②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行；
③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；
④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点.
A.0 B.1 C.2 D.3【解析】如图，借助长方体模型来判断说法是否正确，
说法①不正确，相交时也符合；说法②不正确，图中，A′B与平面DCC′D′平行，但它与CD不平行；说法③不正确，另一条直线有可能在平面内，如AB∥CD，AB与平面DCC′D′平行，但直线CD在平面DCC′D′内；说法④正确，l与平面α平行，则l与平面α无公共点，l与平面α内所有直线都没有公共点.【答案】B◆判断直线与平面之间位置关系的依据
1.要正确理解直线与平面的三种位置关系的定义：
（1）在直线和平面的三种位置关系中，一种位置关系的反面是另外两种位置关系；
（2）直线与平面相交——有且只有一个公共点，“有且只有”包含两层含义，即“有”表示存在，“只有”表示唯一.
2. 要有画图的意识，运用空间想象能力全方位、多角度地去考虑问题.训练题1.［2019·天津高一检测］给出下列四个说法：
①直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α；
②若直线a在平面α外，则a∥α；
③若直线a∥b，直线b?α，则a∥α；
④若a∥b，b?α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线，其中正确的个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4 A训练题B2.［2019·河北衡水高一检测］若a，b是异面直线，a∥α，则b与α的关系是（ ）
A.b∥α或b?α B.b与α相交或b?α或b∥α
C.b与α相交或b∥α D.b与α相交或b?α◆判断直线与平面之间位置关系的方法
（1）判断直线在平面内，需找到直线上两点在平面内，根据公理1知直线在平面内.
（2）判断直线与平面相交，根据定义只需判定直线与平面有且只有一个公共点.
（3）判断直线与平面平行，可根据定义判断直线与平面没有公共点，也可以排除直线与平面相交及直线在平面内两种情况，从而判断直线与平面平行.三 平面与平面的位置关系例 ［2019·山东临沂高一检测］一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面（ ）
A.一定平行 B.一定相交 C.平行或相交 D.一定重合【解析】在正方体ABCD-A1B1C1D1中举例说明.如图所示，在平面A1B1C1D1内与A1B1平行的无数条直线平行于平面ABCD，平面A1B1C1D1∥平面ABCD，在平面ABB1A1内，与AB平行的无数条直线平行于平面ABCD，平面ABB1A1∩平面ABCD＝AB.所以两平面平行或相交.C◆面面位置关系的两种判定方法
（1）定义法：仔细分析题目条件，将自然语言转化为图形语言，通过图形借助定义确定两平面的位置关系.
（2）借助几何模型判断：线、面之间的位置关系在长方体（或正方体）中都能体现，所以对于位置关系的判断要注意利用这一熟悉的图形找到反例或对应的关系.训练题CC1.［2019·安徽合肥高一检测］如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是（ ）
A.平行 B.相交 C.平行或相交 D.不能确定2.过平面外两点作该平面的平行平面，可以作（ ）
A.0个 B.1个 C.0个或1个 D.1个或2个 四 直线、平面的位置关系的综合应用例 ［2019·河南鹤壁高一期末］下列说法中正确的个数是（ ）
（1）平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面有2条或3条交线；
（2）如果平面α外有两点A，B到平面α的距离相等，则直线AB∥α；
（3）直线a不平行于平面α，则a不平行于α内任何一条直线.
A.0 B.1 C.2 D.3【解析】（1）平面α与平面β，γ都相交，
当α过平面β与γ的交线时，这三个平面有1条交线，
当β∥γ时，α与β和γ各有1条交线，共有2条交线.
当β∩γ＝b，α∩β＝a，α∩γ＝c时，有3条交线，
则这三个平面有1条或2条或3条交线，故（1）错误.
（2）如果平面α外有两点A，B到平面α的距离相等，
如图所示：若平面α外有两点A，B到平面α的距离相等，
则直线AB和平面α可能平行或可能相交，故（2）错误.
（3）直线a不平行于平面α，则a可能在平面内，此时a与α内任何一条直线相交或平行，故（3）错误.【答案】A【名师点拨】
线、面之间的位置关系在长方体（或正方体）中都能体现，所以对于位置关系的判断要注意利用这一熟悉的图形找到反例或对应的关系.训练题B?1.弄清直线与平面各种位置关系的特征，利用其定义作出判断，要有画图意识，并借助于空间想象能力进行细致的分析.
2.长方体是一个特殊的图形，当点、线、面关系比较复杂时，可以寻找长方体作为载体，将它们置于其中，立体几何中的直线与平面的位置关系都可以在这个模型中得到反映.因而人们给它以“百宝箱”之称.
