湘教版九年级数学下册 1．4二次函数与一元二次方程的联系同步练习题（含答案）

1.4二次函数与一元二次方程的联系同步练习题
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
一、单选题（共10题；共30分）
1.抛物线y=x2+2x+3与y轴的交点为(??? )
A.?(0，2)?????????????????????????????????B.?(2，0)?????????????????????????????????C.?(0，3)?????????????????????????????????D.?(3，0)
2.若关于x的方程x2﹣mx+n＝0没有实数解，则抛物线y＝x2﹣mx+n与x轴的交点有（?? ）
A.?2个????????????????????????????????????B.?1个????????????????????????????????????C.?0个????????????????????????????????????D.?不能确定
3.不论x为何值,函数y=ax2+bx+c(a≠0)的值恒大于0的条件是(?? )
A.?a>0,△>0??????????????????????????B.?a>0, △<0??????????????????????????C.?a<0, △<0??????????????????????????D.?a<0, △<0
4.下列表格是二次函数y=ax2+bx+c（d≠0）的自变量x与函数y的一些对应值，由此可以判断方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个根在（?? ）
x 6.17 6.18 6.19 6.20
y=ax2+bx+c ﹣0.03 ﹣0.01 0.02 0.06
A.?﹣0.01﹣0.02之间????????????B.?0.02﹣0.06之间????????????C.?6.17﹣6.18之间????????????D.?6.18﹣6.19之间
5.根据下表中的二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值，可判断该二次函数的图象与x轴（　　）

A.?只有一个交点 B.?有两个交点，且它们分别在y轴两侧
C.?有两个交点，且它们均在y轴同侧 D.?无交点
6.表是用计算器探索函数y=2x2﹣2x﹣10所得的数值，则方程2x2﹣2x﹣10=0的一个近似解为（　　）
????? x ??? ﹣2.1 ??? ﹣2.2 ?? ﹣2.3 ??? ﹣2.4
????? y ?? ﹣1.39 ??? ﹣0.76 ?? ﹣0.11 ???? 0.56
A.?x=﹣2.1??????????????????????????????B.?x=﹣2.2?????????????????????????????C.?x=﹣2.3?????????????????????????????D.?x=﹣2.4
7.若二次函数 y=ax2+bx+c(a<0) 的图象经过点（2，0），且其对称轴为直线 x=?1 ，则使函数值 y>0 成立的 x 的取值范围是（?? ）
A.?x2??????????????B.??4 ≤ x ?≤ 2 C.?x ≤ ?4 或 x ≥ 2???????????D.??48.已知抛物线y＝x2＋bx＋c的部分图象如图所示，若y＜0，则x的取值范围是(???? )
A.?－1＜x＜4?????????????????????B.?－1＜x＜3???????????????????
C.?x＜－1或x＞4??????????????????D.?x＜－1或x＞3
9.已知二次函数y=ax2﹣bx+0.5b﹣a与x轴交于A、B两点，则线段AB的最小值为（?? ）
A.?0.5?????????????????????????????????????B.?2?????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?无法确定
10.二次函数y=x2+x+c的图象与x轴的两个交点A（x1,0），B（x2,0），且x1＜x2,点P（m，n）是图象上一点，那么下列判断正确的是（　　）
A.?当n＜0时，m＜0??????B.?当n＞0时，m＞x2??????C.?当n＜0时，x1＜m＜x2??????D.?当n＞0时，m＜x1
二、填空题（共8题；共24分）
11.若函数 的图象与x轴只有一个公共点，则m=________.
12.抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=2，其函数图象与x轴有两个交点，其中一个交点的坐标为（5，0），则另一个交点坐标为________．
13.在实验中我们常常采用利用计算机在平面直角坐标系中画出抛物线y=x2和直线y=﹣x+3，利用两图象交点的横坐标来求一元二次方程x2+x﹣3=0的解，也可以在平面直角坐标系中画出抛物线y=x2﹣3和直线y=﹣x，用它们交点的横坐标来求该方程的解．所以求方程的近似解也可以利用熟悉的函数________和________的图象交点的横坐标来求得．
14.若函数y=x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3﹣b（b为常数）的图象与x轴恰好有三个交点，则常数b的值为________．
15.不等式x2+ax+b≥0（a≠0）的解集为全体实数，假设f（x）=x2+ax+b，若关于x的不等式f（x）＜c的解集为（m，m+6），则实数c的值为________
16.如图，是二次函数y=ax2+bx﹣c的部分图象，由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx=c的两个根可能是________．（精确到0.1）
17.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是过点（1，0）且平行于y轴的直线，若点P（4，0）在该抛物线上，则4a﹣2b+c的值为________
18.如图，点A，B的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线y=a（x+m）2+n的顶点在线段AB上，与x轴交于C，D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为﹣3，则点D的横坐标的最大值为________．

三、解答题（共8题；共66分）
19.结合二次函数的学习，求不等式x2+5x﹣6＞0的解集．




20.二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，求S△ABC的面积．



21.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与 y轴交于点C（0，3），求二次函数的顶点坐标．






22.如图，已知二次函数y=﹣ x2+bx﹣6的图象与x轴交于一点A（2，0），与y轴交于点B，对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求△ABC的面积．

23.已知抛物线y=3ax2+2bx+c，
（Ⅰ）若a=b=1，c=﹣1，求该抛物线与x轴公共点的坐标；
（Ⅱ）若a=b=1，且当﹣1＜x＜1时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，求c的取值范围；
（Ⅲ）若a+b+c=0，且x1=0时，对应的y1＞0；x2=1时，对应的y2＞0，试判断当0＜x＜1时，抛物线与x轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由．






24.已知抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示．（1）求b、c的值．
（2）若抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），顶点为P点，求三角形ABP的面积．


25.如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）和B（3，0）两点，交y轴于点E（0，﹣3）．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）若直线y=x+b与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点F，连接DE，求△DEF的面积．




26.已知函数y=mx2+（2m+1）x+2（m为实数）．
（1）请探究该函数图象与x轴的公共点个数的情况（要求说明理由）；
（2）在图中给出的平面直角坐标系中分别画出m=﹣1和m=1的函数图象，并根据图象直接写出它们的交点坐标；（3）探究：对任意实数m，函数的图象是否一定过（2）中的点，并说明理由．

答案
一、单选题
1. C 2. C 3. B 4. D 5. B 6. C 7. D 8. B 9. C 10.C
二、填空题
11. 或0 12.（﹣1，0） 13. y=；y=x2﹣3 14. -6 15. 9 16. x1=0.8，x2=3.2合理即可
17. 0 18. 8
三、解答题
19.解：设y=x2+5x﹣6，函数图象如图所示：
由函数图象可知不等式x2+5x﹣6＞0的解集为x＞1或x＜﹣6。
20.解：当y=0时，x2﹣2x﹣3=0， ∴（x+1）（x﹣3）=0，
解得：x1=﹣1，x2=3，∴AB=3﹣（﹣1）=4，
当x=0时，y=﹣3，∴CO=3，∴S△ABC= ×3×4=6．
21.解：把A（1，0），B（3，0），C（0，3）代入y=ax2+bx+c中得：
， 解得： ，
∴二次函数的解析式为：y=x2﹣4x+3，
y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，顶点坐标为（2，﹣1）
22.解：将A（2，0）代入函数y=﹣ x2+bx﹣6，
得：0=﹣2+2b﹣6，解得：b=4，
∴二次函数解析式为y=﹣ x2+4x﹣6．
当x=0时，y=﹣6，∴B（0，﹣6），
抛物线对称轴为x=﹣ =4，∴C（4，0），∴S△ABC= AC?OB= ×（4﹣2）×6=6
23.解：（Ⅰ）当a=b=1，c=﹣1时，抛物线为y=3x2+2x﹣1，
方程3x2+2x﹣1=0的两个根为x1=﹣1， ．
∴该抛物线与x轴公共点的坐标是（﹣1，0）和（ ，0）；
（Ⅱ）当a=b=1时，抛物线为y=3x2+2x+c，且与x轴有公共点．
对于方程3x2+2x+c=0，判别式△=4﹣12c≥0，有c≤ ．
①当 时，由方程3x2+2x+ =0，解得x1=x2=﹣ ．
此时抛物线为y=3x2+2x+ 与x轴只有一个公共点（﹣ ，0）；
②当 时，x1=﹣1时，y1=3﹣2+c=1+c；x2=1时，y2=3+2+c=5+c．
由已知﹣1＜x＜1时，该抛物线与x轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为 ，
应有 即 ，解得﹣5＜c≤﹣1．综上， 或﹣5＜c≤﹣1．（6分）
（Ⅲ）对于二次函数y=3ax2+2bx+c，
由已知x1=0时，y1=c＞0；x2=1时，y2=3a+2b+c＞0，
又∵a+b+c=0，∴3a+2b+c=（a+b+c）+2a+b=2a+b．∴2a+b＞0．
∵b=﹣a﹣c，∴2a﹣a﹣c＞0，即a﹣c＞0．∴a＞c＞0．（7分）
∵关于x的一元二次方程3ax2+2bx+c=0的判别式△=4b2﹣12ac=4（a+c）2﹣12ac=4[（a﹣c）2+ac]＞0，
∴抛物线y=3ax2+2bx+c与x轴有两个公共点，顶点在x轴下方．
又该抛物线的对称轴 ，由a+b+c=0，c＞0，2a+b＞0，得﹣2a＜b＜﹣a，
∴ ．
又由已知x1=0时，y1＞0；x2=1时，y2＞0，观察图象，
可知在0＜x＜1范围内，该抛物线与x轴有两个公共点．
24.（1）解：观察函数图象可知：点（0，3）、（1，0）在抛物线上，
将点（0，3）、（1，0）代入y=﹣x2+bx+c中，
得： ，解得： ，∴b的值为﹣2，c的值为3．
（2）解：由（1）可知，抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，
∴抛物线的顶点P的坐标为（﹣1，4）．
令y=0，则有﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=﹣3，x2=1，
∵A在B的左侧，∴A（﹣3，0），B（1，0）．
∴S△ABP= ?（x2﹣x1）?yp= ×[1﹣（﹣3）]×4=8．
25.（1）解：设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），
把E（0，﹣3）代入得a?1?（﹣3）=﹣3，解得a=1，
所以抛物线解析式为y=（x+1）（x﹣3），即y=x2﹣2x﹣3
（2）解：把A（﹣1，0）代入y=x+b得﹣1+b=0，解得b=1，
∴直线AD的解析式为y=x+1，
当x=0时，y=x+1=1，则F（0，1），
解方程组 得 或 ，则D（4，5），
∴△DEF的面积= ×4×4=8
26.（1）解：当m=0时，y=x+2，此直线与x轴交于（﹣2，0）；
当m≠0时，△=（2m+1）2﹣8m=（2m﹣1）2≥0，
∴此抛物线在m= 时，与x轴只有一个公共点；在m≠ 时，与x轴有2个交点
（2）解：当m=﹣1时，抛物线解析式为y=﹣x2﹣x+2，
当m=1时，抛物线解析式为y=x2+3x+2，
函数图象如下：
由函数图象知，两抛物线的交点为（﹣2，0）和（0，2）
（3）解：对任意实数m，函数的图象一定过（﹣2，0）和（0，2,理由如下：
在函数y=mx2+（2m+1）x+2中，
无论m为何值，当x=0时，y的值均为2，即横过点（0，2），
∵y=mx2+（2m+1）x+2=（x+2）（mx+1），
∴当x=﹣2时，y的值均为0，即函数图象横过（﹣2，0），
故无论m为何值，函数的图象（﹣2，0）和（0，2）两点