课件25张PPT。 5.3 概 率
5.3.1 样本空间与事件
5.3.2 事件之间的关系与运算第五章 统计与概率学习目标1.了解必然现象和随机现象，了解样本点和样本空间的概念及表示.
2.了解不可能事件、必然事件及随机事件与样本点的关系，理解概率意义及性质.
3.了解事件的包含关系，理解事件的和与积的含义及运算性质.
4.了解互斥事件与对立事件的概念，掌握互斥事件概率的加法公式，会用对立事件求概率.重点：求样本空间及样本点，互斥事件与对立事件的概率.
难点：理解事件之间的关系与运算，利用互斥事件的概率加法公式解题.1. 样本点和样本空间
我们把在相同条件下，对随机现象所进行的观察或实验称为随机试验（简称为试验）.例如，抛一枚硬币、掷一个均匀的骰子等，都可以看成随机试验.
我们把随机试验中每一种可能出现的结果，都称为样本点，把由所有样本点组成的集合称为样本空间（通常用大写希腊字母Ω表示）.2.随机事件 (1)随机事件的概念
如果随机试验的样本空间为Ω，则随机事件A是Ω的一个非空真子集.而且若试验的结果是A中的元素，则称A发生；否则，称A不发生.显然，任何一个随机事件既有可能发生，也有可能不发生.
任何一次随机试验的结果，一定是样本空间Ω中的元素，因此可以认为每次试验中Ω一定发生，从而称Ω为必然事件；又因为空集Φ不包含任何样本点，因此可以认为每次试验中Φ一定不发生，从而称Φ为不可能事件.
一般地，不可能事件、随机事件、必然事件都可简称为事件，通常用大写英文字母A，B，C，…来表示.事件一定是样本空间的子集，从而可以用表示集合的维恩图来直观表示.特别地，只含有一个样本点的事件称为基本事件.(2) 随机事件发生的概率
事件发生的可能性大小可以用该事件发生的概率（也简称为事件的概率）来衡量，概率越大，代表越有可能发生.事件A发生的概率通常用
P（A）表示.我们将不可能事件Φ发生的概率规定为0，将必然事件Ω发生的概率规定为1，即
P（Φ）＝0，P（Ω）＝1.
对于任意事件A来说，显然应该有P（Φ）≤P（A）≤P（Ω），
因此P（A）应该满足不等式
0≤P（A）≤1 .3. 事件的包含与相等
一般地，如果事件A发生时，事件B一定发生，
则称“A包含于B”（或“B包含A”），记作
A?B这一关系可用图表示.A ? B也可用充分必要的语言表述为：A发生是B发生的充分条件，B发生是A发生的必要条件 .
如果A ? B，根据定义可知，事件A发生的可能性不比事件B发生的可能性大，直观上我们就能得到P（A）≤P（B）.
如果事件A发生时，事件B一定发生；而且事件B发生时，事件A也一定发生，则称“A与B相等”，记作A＝B. 不难看出A＝B等价于A ? B且B ? A.A＝B也可用充分必要的语言表述为：A发生是B发生的充要条件.显然，当A＝B时，应该有P（A）＝P（B）.4. 事件的和（并）
给定事件A，B，由所有A中的样本点与B中的样本点组成的事件称为A与B的和（或并），记作A+B（或A∪B）.
事件A与B的和可以用如图所示的阴影部分表示.
按照定义可知，事件A+B发生时，当且仅当事件A与事件B中至少有一个发生. 不难看出，A ?（A+B）且B ?（A+B），
因此P（A）≤P（A+B）且P（B）≤P（A+B），而且，直观上可知
P（A+B）与P（A）+P（B）的大小关系为 P（A+B）≤P（A）+P（B） .5. 事件的积（交）
给定事件A，B，由A与B中的公共样本点组成的事件称为A与B的积（或
交），记作AB（或A∩B）.
事件A与B的积可以用如图所示的阴影部分表示.
图按照定义可知，事件AB发生时，当且仅当事件A与事件B都发生.
类比P（A+B）与P（A）的情况，得出P（AB）与P（A）的大小关系，以及P（AB）与P（B）的大小关系：P（AB）≤P（A），P（AB）≤P（B）.
?事件的和、积可以类似地推广到有限多个的情形.?7. 事件的混合运算
事件的三种运算：求两个事件的和，求两个事件的积，求一个事件的对立事件.因为事件运算的结果仍是事件，因此可以进行事件的混合运算 题型一 样本点和样本空间
例1题将一颗骰子先后抛掷两次，求（1）一共有几个样本点；（2）“出现点数之和大于7”包含几个样本点.常考题型（方法三.树形图法）：
一颗骰子先后抛掷两次的所有可能结果用树形图直接表示如图所示：
（1）由图知，共36个样本点.
（2）“点数之和大于7”包含
15个样本点（已用“√”标出）.
题型三 互斥事件与对立事件的判断
例3［2019·河北张家口校级月考］某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报”，事件C为“至多订一种报”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报也不订”.判断下列事件是否是互斥事件，如果是，判断它们是否为对立事件.
（1）A与C；（2）B与E；（3）B与D；（4）B与C；（5）C与E.【解题提示】 判断两个事件是否互斥，就是判断它们在一次试验中是否能同时发生；判断两个互斥事件是否对立，就是判断它们在一次试验中是否必有一个发生.【解】（1）由于事件C“至多订一种报”中有可能“只订甲报”，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件.
（2）事件B“至少订一种报”与事件E“一种报也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件.由于事件B与事件E必有一个发生，故B与E也是对立事件.（3）事件B“至少订一种报”中有可能“只订乙报”，即有可能“不订甲报”，即事件B发生，事件D也有可能发生，故B与D不是互斥事件.
（4）事件B“至少订一种报”中有如下可能：“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”，事件C“至多订一种报”中有如下可能：“一种报也不订”“只订甲报”“只订乙报”，由于这两个事件可能同时发生，故B与C不是互斥事件.
（5）由（4）的分析，事件E“一种报也不订”是事件C的一种可能，所以事件C与事件E有可能同时发生，故C与E不是互斥事件.【归纳总结】若事件A与事件B互为对立事件，那么A、B为互斥事件，且A∪B为必然事件，所以P（A∪B）＝P（A）+P（B）＝1，即P（A）＝1-P（B）.
应特别注意：①两个事件互斥未必对立，但对立一定互斥.②只有事件A，B互斥时，才有公式P（A∪B）＝P（A）+P（B）.③P（A）+P（B）＝1，则事件A与事件B不一定对立，因为事件A与事件B不一定互斥.例如：掷一枚均匀的骰子，记事件A为出现偶数点，事件B为出现1点或2点或3点，则P（A）+P（B）＝1.但是事件A与事件B不互斥，显然也不对立.训练题3
（1）［2019·浙江温州高一月考］从1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中任取两个数，分别有下列事件：
①恰有一个数是奇数和恰有一个数是偶数；
②至少有一个数是奇数和两个数都是奇数；
③至少有一个数是奇数和两个数都是偶数；
④至少有一个数是奇数和至少有一个数是偶数.
其中，为互斥事件的是 （ ）
A.① B.②④ C.③ D.①③
（2）［2019·广东珠海高一检测］一人在练习射击时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是 （ ）
A.至多有一次中靶 B.两次都中靶
C.两次都不中靶 D.只有一次中靶
?1.随机试验的所有基本事件构成基本事件空间，基本事件空间中作为
集合的所有非空真子集都是随机事件。
2.随机事件的运算律类似于集合的运算律，学习是要经常的进行对比才能正确地记忆它们的关系。
3.从集合的角度讲，互斥事件的交集为空集，即两个事件的基本事件没有公共部分。对立事件是特殊的互斥事件，两个互为对立事件的概率的和等于1，反过来概率和为1的两个事件如果不是互斥事件，就不是对立事件。课件17张PPT。 5.3 概 率
5.3.3 古典概型第五章 统计与概率学习目标1.理解古典概型的定义，掌握古典概型的
概率计算公式.
2.会计算一些随机事件所含的样本点的个
数及事件发生的概率.重点：利用古典概型求概率.
难点：求随机事件所含的样本点的个数及事件发生的概率 1.古典概型的概念及其计算公式
（1）基本事件
只含有一个样本点的事件称为基本事件.一次试验中只能出现一个基本事件.
（2）古典概型
一般地，如果随机试验的样本空间所包含的样本点个数是有限的（有限性），而且每个只包含一个样本点的事件（即基本事件）发生的可能性大小都相等（等可能性），则称这样的随机试验为古典概率模型，简称为古典概型.? 3. 古典概型的判断
一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型.注意以下两种情况不是古典概型：
（1）样本点个数有限，但非等可能，如种子发芽问题.
（2）样本点个数无限，但等可能，如从区间［1，10］内任意取出一个实数. 题型一 古典概型的判断
例1判断下列试验是不是古典概型：
（1）口袋中有2个红球、2个白球，每次从中任取一球，观察颜色后放回，直到取出红球；
（2）从甲、乙、丙、丁、戊5名同学中任意抽取1名担任学生代表；
（3）射击运动员向一靶子射击5次，脱靶的次数.
【解题提示】 运用古典概型的两个特征逐个判断即可.?常考题型【解】（1）每次摸出1个球后，放回袋中，再摸1个球.显然，这是有放回抽样，依次摸出的球可以重复，且摸球可无限地进行下去，即所有可能结果有无限个，因此该试验不是古典概型.
（2）从5名同学中任意抽取1名，有5种等可能发生的结果：抽到学生甲，抽到学生乙，抽到学生丙，抽到学生丁，抽到学生戊.因此该试验是古典概型.
（3）射击的结果：脱靶0次，脱靶1次，脱靶2次，…，脱靶5次.这都是样本点，但不是等可能事件.因此该试验不是古典概型.训练题1. 题下列试验中是古典概型的是 （ ）
A.在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽
B.口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球
C.向一个圆面内随机地投一个点，观察该点落在圆内的位置
D.射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…，命中0环【解题提示】先判断试验是否为古典概型，再写出样本空间Ω及包含的样本点总数n，再求出随机事件A包含的样本点个数m，代入概率公式计算即可.【解】（1）由题意知，“从6个国家中任选2个国家”所包含的样本点有（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A3，B1），（A3，B2），（A3，B3），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3），共15个.事件“所选2个国家都是亚洲国家”所包含的样本点有（A1，A2），（A1，A3），（A2，A3），共3个，则所求事件的概率为 题型三 互斥事件与对立事件的判断
例3［2019·河北张家口校级月考］某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报”，事件C为“至多订一种报”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报也不订”.判断下列事件是否是互斥事件，如果是，判断它们是否为对立事件.
（1）A与C；（2）B与E；（3）B与D；（4）B与C；（5）C与E.【解题提示】 判断两个事件是否互斥，就是判断它们在一次试验中是否能同时发生；判断两个互斥事件是否对立，就是判断它们在一次试验中是否必有一个发生.【解】（1）由于事件C“至多订一种报”中有可能“只订甲报”，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件.
（2）事件B“至少订一种报”与事件E“一种报也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件.由于事件B与事件E必有一个发生，故B与E也是对立事件.（3）事件B“至少订一种报”中有可能“只订乙报”，即有可能“不订甲报”，即事件B发生，事件D也有可能发生，故B与D不是互斥事件.
（4）事件B“至少订一种报”中有如下可能：“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”，事件C“至多订一种报”中有如下可能：“一种报也不订”“只订甲报”“只订乙报”，由于这两个事件可能同时发生，故B与C不是互斥事件.
（5）由（4）的分析，事件E“一种报也不订”是事件C的一种可能，所以事件C与事件E有可能同时发生，故C与E不是互斥事件.【归纳总结】若事件A与事件B互为对立事件，那么A、B为互斥事件，且A∪B为必然事件，所以P（A∪B）＝P（A）+P（B）＝1，即P（A）＝1-P（B）.
应特别注意：①两个事件互斥未必对立，但对立一定互斥.②只有事件A，B互斥时，才有公式P（A∪B）＝P（A）+P（B）.③P（A）+P（B）＝1，则事件A与事件B不一定对立，因为事件A与事件B不一定互斥.例如：掷一枚均匀的骰子，记事件A为出现偶数点，事件B为出现1点或2点或3点，则P（A）+P（B）＝1.但是事件A与事件B不互斥，显然也不对立.训练题3
（1）［2019·浙江温州高一月考］从1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中任取两个数，分别有下列事件：
①恰有一个数是奇数和恰有一个数是偶数；
②至少有一个数是奇数和两个数都是奇数；
③至少有一个数是奇数和两个数都是偶数；
④至少有一个数是奇数和至少有一个数是偶数.
其中，为互斥事件的是 （ ）
A.① B.②④ C.③ D.①③
（2）［2019·广东珠海高一检测］一人在练习射击时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是 （ ）
A.至多有一次中靶 B.两次都中靶
C.两次都不中靶 D.只有一次中靶
?1.随机试验的所有基本事件构成基本事件空间，基本事件空间中作为
集合的所有非空真子集都是随机事件。
2.随机事件的运算律类似于集合的运算律，学习是要经常的进行对比才能正确地记忆它们的关系。
3.从集合的角度讲，互斥事件的交集为空集，即两个事件的基本事件没有公共部分。对立事件是特殊的互斥事件，两个互为对立事件的概率的和等于1，反过来概率和为1的两个事件如果不是互斥事件，就不是对立事件。课件19张PPT。 5.3 概 率
5.3.4 频率与概率第五章 统计与概率学习目标1.在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性.
2.理解概率的意义，利用概率知识正确理解现实生活中的实际问题.
3.理解概率的意义以及频率与概率的区别.重点：利用频率估计概率.
难点：正确理解概率的意义以及频率与概率的区别 1. 用频率估计概率2. 用频率估计互斥事件与对立事件的概率 3.如何理解概率意义上的“可能性”？
（1）概率意义上的“可能性”是大量随机现象的客观规律，与我们日常所说的“可能”“估计”是不同的，也就是说，单独一次试验结果的不肯定性与多次试验累积结果的有规律性，才是概率意义上的“可能性”.
（2）概率是根据大量的随机试验得到的一个相应的期望值，它说明一个事件发生的可能性的大小，并未说明一个事件一定发生或一定不发生. 题型一 频率与概率的关系
【例1】题下列关于概率和频率的叙述中正确的有 .（把符合条件的所有答案的序号填在横线上）
①随机事件的频率就是概率；
②随机事件的概率是一个确定的数值，而频率不是一个固定的数值；
③频率是客观存在的，与试验次数无关；
④概率是随机的，在试验前不能确定；
⑤概率可以看作频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性大小，而频率在大量重复试验的前提下可近似地看作这个事件的概率.常考题型【解析】 随机事件的频率是概率的近似值，频率不是概率，故①错误；随机事件的频率不是一个固定的数值，而概率是一个确定的数值，故②正确；频率是随机的，它与试验条件、次数等有关，而概率是确定的值，与试验次数无关，故③④错误；由频率与概率的关系可知⑤正确.
【答案】 ②⑤训练题1.下列说法：
①频率是反映事件发生的频繁程度，概率是反映事件发生的可能性大小；
②百分率能表示频率，但不能表示概率；
③频率是不能脱离试验次数n的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；
④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值.
其中正确的是 .【归纳总结】在随机事件的大量重复试验中，往往呈现几乎必然的规律，这个规律就是大数定律.通俗地说，这个定理就是，在试验条件不变的情况下，重复试验多次，随机事件的频率近似于它的概率.偶然中包含着某种必然. 题型三 频率与概率的综合问题训练题3［2017·北京卷］某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：［20，30），［30，40），…，［80，90］，并整理得到如图5-3-7所示的频率分布直方图：（1）从总体的400名学生中随机抽取一人，
估计其分数小于70的概率；
（2）已知样本中分数小于40的学生有5人，
试估计总体中分数在区间［40，50）内的人数；
（3）已知样本中有一半男生的分数不小于70，
且样本中分数不小于70的男女生人数相等.
试估计总体中男生和女生人数的比例.【归纳总结】根据频率与概率的关系，概率的有关计算就可以转化为
频率的计算，有关事件的频率值就可以看作是概率值。解：（1）根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为（0.02+0.04）×10＝0.6，
所以样本中分数小于70的频率为1-0.6＝0.4，
所以从总体的400名学生中随机抽取一人，其分数小于70的概率估计为0.4.
（2）根据题意，样本中分数不小于50的频率为（0.01+0.02+0.04+0.02）×10＝0.9，
分数在区间［40，50）内的人数为100-100×0.9-5＝5，
所以总体中分数在区间［40，50）内的人数估计为400× ＝20.
（3）由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为（0.02+0.04）×10×100＝60，
所以样本中分数不小于70的男生人数为60× ＝30，
所以样本中的男生人数为30×2＝60，
女生人数为100-60＝40，
所以样本中男生和女生人数的比例为60∶40＝3∶2，
所以根据分层抽样原理，估计总体中男生和女生人数的比例为3∶2. 题型四 概率的应用
【例4】［2019·上海崇明区模拟］为了估计水库中鱼的尾数，可以使用以下的方法：先从水库中捕出一定数量的鱼，例如2 000尾，给每尾鱼做上记号，不影响其存活，然后放回水库.经过适当的时间，让其和水库中的其他鱼充分混合，再从水库中捕出一定数量的鱼，例如500尾，查看其中带记号的鱼，假设有40尾，根据上述数据，估计水库中鱼的尾数为 .【解题提示】求2 000尾鱼占水库中所有鱼的百分比
--→求带记号的鱼在500尾鱼中占的百分比
--→ 根据二者的关系列等式
--→求解，估计水库中鱼的尾数 【归纳总结】
（1）频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，利用此公式可求出它们的频率.频率本身是随机变量，当n很大时，频率总是在一个稳定值附近左右摆动，这个稳定值就是概率.
（2）解此类题目的步骤是：先利用频率的计算公式依次计算频率，然后用频率估计概率.训练题4.［2019·江西九江校级月考］某水产试验厂施行某种鱼的人工孵化，10000个鱼卵能孵化出7645尾鱼苗.根据概率的统计定义解答下列问题：
（1）求这种鱼卵的孵化概率（孵化率）.
（2）30000个鱼卵大约能孵化出多少尾鱼苗？
（3）要孵化出5000尾鱼苗，大概需准备多少个鱼卵？（精确到百位）1.频率是通过随机试验测量出来的结果，它的值是不稳定的；概率是通过很多次随机试验总结归纳出来的，是可以代替概率的稳定值。
2.在统计的应用中，通常用频率值来估计概率的值，因此常常用频率值作为概率值使用。
3.在古典概型中概率是用互斥事件的概率公式理论计算的结果，统计中的很多问题一般都不是古典概型，因此其概率值都是用频率值代替使用。课件14张PPT。 5.3 概 率
5.3.5 随机事件的独立性第五章 统计与概率学习目标1. 理解事件相互独立的概念，会判断两个事件是否相互独立.
2.掌握相互独立事件的积的概率公式.
3.能综合利用相互独立事件的积的概率解决实际问题.重点：事件相互独立的概念，相互独立事件的积的概率公式.
难点：相互独立事件的积的概率公式的应用. 1.相互独立事件与互斥事件2. 相互独立事件的性质?4.常见相关事件的概率求法：若A，B相互独立，则 题型一 相互独立事件的判断
【例1】判断下列各对事件是否为相互独立事件.
（1）甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；
（2）容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；
（3）掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”.常考题型【解题提示】 （1）利用相互独立概念的直观解释进行判断.
（2）计算概率判断两事件是否相互独立.
（3）利用事件的独立性定义判断.训练题1. ［2019·湖北武汉华中师大第一附中高二期中］分别抛掷2枚质地均匀的硬币，设“第1枚为正面”为事件A，“第2枚为正面”为事件B，“2枚结果相同”为事件C，有下列三个命题：
①事件A与事件B相互独立；②事件B与事件C相互独立；
③事件C与事件A相互独立.
以上命题中，正确的个数是 （ ）
A.0 B.1 C.2 D.3 题型三 独立事件概率的实际应用1.判断两个事件是否为相互独立事件，定义是用用概率乘法公式，实际问题中，我们往往根据问题的背景意义进行判断，一个事件的发生与否，对另一个事件发生的概率没有影响，这两个事件就是相互独立事件。
2.已知两个事件是相互独立的，那么这两个事件都发生的概率满足概率的乘法公式，否则就不满足概率的乘法公式，因此用概率的乘法公式时，要首先判断两个事件是否为相互独立事件。
3.如果两个事件是相互独立的，那么这两个事件都不发生、一个发生另一个不发生都是相互独立的。两个或多个事件的至多、至少问题，可以拆分成互斥事件或对立事件概率问题，然后联合使用概率的乘法公式与加法公式求解事件的概率。
