课件36张PPT。6.2 向量基本定理与向量的坐标
6.2.1 向量基本定理第六章 平面向量初步1.理解共线向量基本定理及其应用.
2.了解平面向量基本定理及其含义.重点：1.共线向量基本定理；2.平面向量基本定理.
难点：平面向量基本定理的应用.一、共线向量基本定理如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得 .b＝λaλ＝μ在共线向量基本定理中：
（1）b＝λa时，通常称为b能用a表示.
（2）其中的“唯一”指的是，如果还有b＝μa，则有 .由λa＝μa可知（λ-μ）a＝0，如果λ-μ≠0，则a＝0，与已知矛盾，所以λ-μ＝0，即λ＝μ.?二、平面向量基本定理如果平面内两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在唯一的实数对（x，y），使得 .c＝xa+yb如果c＝xa+yb＝ua+vb，
那么x＝u且y＝v.当a与b不共线时，xa+yb≠0的充要条件是x与y中至少有一个不为0.平面内不共线的两个向量a与b组成的集合{a，b}，常称为该平面上向量的一组基底，此时如果c＝xa+yb，则称xa+yb为c在基底{a，b}下的分解式.例1一 共线向量基本定理
<1>判定向量共线常考题型?【解题提示】 关键看向量a，b是否存在倍数关系.?判定向量共线的方法
分别将要判断的向量表示出来，并观察能否找到实数λ，使b＝λa，若能找到，则a，b共线，若不能找到，则a，b不共线.解题归纳［2019·山东日照高一检测］下列各组向量：
①a＝2e1，b＝-2e1；
②a＝e1-e2，b＝-2e1+2e2；
③a＝4e1- e2，b＝e1- e2；
④a＝e1+e2，b＝2e1-2e2.
若e1，e2不共线，则其中a，b共线的有 （填序号）.①②③变式训练［2019·江苏宿迁高一检测］下列命题中正确的是 （填序号）.
①-5（6a）＝-30a；
②7（a+b）+6b＝7a+13b；
③若a＝m-n，b＝3（m-n），则a，b共线；
④若（a-5b）+（a+5b）＝2a，则a，b共线.2.变式训练①②③例2<2>利用基本定理求参数［2019·湖北省黄梅一中高一检测］已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma-3b与a+（2-m）b共线，则实数m的值为 .【解题提示】 利用共线向量的性质列出方程（组），由此求出m的值.?【答案】 -1或3利用基本定理求参数的方法
若向量a，b（a≠0）共线，则由基本定理可得，存在一个实数λ，使得向量b能用非零向量a来表示，即若b与a（a≠0）是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b＝λa，再利用对应系数相等这一条件，列出方程组，从而求解.解题归纳已知e1，e2是两个不共线的向量，且a＝e1+me2与b＝-3e1-e2共线，则m
＝ .
（2）已知e1和e2不共线，a＝λe1+e2，b＝4e1+2e2，并且a，b共线，则λ的值是 .2变式训练1.???2.?<3>利用共线向量基本定理解决几何问题例3????解题归纳?解题归纳1.变式训练?3???解题归纳二 平面向量基本定理
<1>基底的判断例4如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是 .
①λe1+μe2（λ，μ∈R）可以表示平面α内的所有向量；
②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1+μe2的实数对（λ，μ）有无穷多个；
③若向量λ1e1+μ1e2与λ2e1+μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1+μ1e2＝λ（λ2e1+μ2e2）；
④若存在实数λ，μ使得λe1+μe2＝0，则λ＝μ＝0.【解析】 由平面向量基本定理可知，①④是正确的；
对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的；
对于③，当λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个.
【答案】 ②③【注意】
1.基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量a，b组成的集合{a，b}都可以作为基底.
2.基底给定时，分解形式唯一，即x，y是被c，a，b唯一确定的数值.
3.平面内的任意向量c都可在给出的基底下进行分解，同一非零向量在不同基底下的分解式不同.
4.若{a，b}是同一平面内所有向量的一组基底，则当c与a共线时，y＝0；当c与b共线时，x＝0；当c＝0时， x＝y＝0.解题归纳变式训练?④<2>用基底表示向量例5??用基底表示向量的方法
平面内任何一个向量都可以用一组基底进行表示，转化时一定要看清转化的目标，要充分利用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，同时结合数乘向量的定义，牢记转化方向，把未知向量逐步往基底方向进行组合或分解.具体表示方法有两种：
1.利用向量的线性运算法则对所求向量不断转化，直至能用基底表示为止；
2.列向量方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解.解题归纳1.变式训练［2019·安徽滁州高一期末］已知向量a，b不共线，设向量m＝2a-3b，n＝4a-2b，
p＝3a+2b，若用基底{m，n}表示p，则p＝ .?变式训练?2.?a+b2a+c<3>利用平面向量基本定理求参数例6???变式训练???共线向量基本定理?如果平面内两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在唯一的实数对（x，y），使得c＝xa+yb.
平面向量基本定理中，当a与b不共线时，“唯一的实数对”指的是c用a，b表示时，表达式唯一，即如果c＝xa+yb＝ua+vb，那么x＝u且y＝v.?平面向量基本定理特别地，当a与b不共线时，因为0＝0a+0b，所以对于xa+yb来说，当x≠0或y≠0时，必定有xa+yb≠0.也就是说，当a与b不共线时，xa+yb≠0的充要条件是x与y中至少有一个不为0.
平面内不共线的两个向量a与b组成的集合{a，b}，常称为该平面上向量的一组基底，此时如果c＝xa+yb，则称xa+yb为c在基底{a，b}下的分解式.?平面向量基本定理课件27张PPT。6.2 向量基本定理与向量的坐标表示6.2.2 直线上向量的坐标及其运算
6.2.3 平面向量的坐标及其运算第六章 平面向量初步1.掌握直线上向量的坐标表示及平面向量的坐标表示.
2.理解向量加法、减法、数乘的坐标运算法则，能熟练进行向量的坐标运算.
3.能借助向量的坐标，用已知向量表示其他向量.
4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件，能用向量共线的坐标表示解决一些简单问题.重点：平面向量的坐标表示及其坐标的应用.
难点：向量共线的坐标表示的应用.一、 直线上向量的坐标及其运算??2 直线上向量的运算与坐标的关系
假设直线上两个向量a，b的坐标分别为x1，x2，即a＝x1e，b＝x2e.
当a＝b时，有x1e＝x2e，由e是单位向量可知x1＝x2；反之，结论也成立[1].这就是说，直线上两个向量相等的充要条件是它们的坐标相等.另外，因为
a+b＝x1e+x2e＝（x1+x2）e，
所以a+b的坐标是x1+x2，这就是说，直线上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和.
类似地，可以得出，如果u，v是两个实数，那么ua+vb的坐标为ux1+vx2，ua-vb的坐标为 ux1-vx2 .二、平面向量的正交分解及坐标表示把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得a＝xi+yj.
这样，平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定，我们把有序数对 叫做向量a的坐标，记作a＝（x，y），这就是向量的坐标表示.（x，y）a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），
a+b＝ ，a-b＝ .
即两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）. （x1+x2，y1+y2）三、平面向量的坐标运算λa＝ .
即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.?（x1-x2，y1-y2）（λx1，λy1）（x2-x1，y2-y1）?四、平面向量共线的坐标表示x1y2-x2 y1＝0常考题型一 直线上向量的坐标及运算方法规律①已知两点的坐标，可直接套用数轴上两点之间的距离公式及中点坐标公式.②数轴上任意向量的坐标可用终点坐标减去起点坐标求得，其绝对值为两点间的距离.变式训练?例2二 平面向量的坐标运算??解题归纳平面向量的坐标运算技巧
在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的直角坐标运算法则进行计算（直角坐标运算法则即两个向量的和与差的坐标，等于两个向量相应坐标的和与差，数乘向量的积的坐标等于数乘向量相应坐标的积）.1.［2019·河北省张家口市桥东区高一月考］若向量a＝（1，2），b＝（-2，1），c＝（3，-4），则a+2b+c＝ （ ）
A.（0，0） B.（-3，4） C.（3，-4） D.（-5，-4）A变式训练A??C3.利用平面向量坐标运算解决有关问题的基本思路
（1）向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算，另外解题过程中要注意方程思想的运用.
（2）利用向量的坐标运算解题，主要根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程（组）进行求解.
（3）利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出相应系数.解题归纳三 向量平行的坐标表示及其应用例3???解题归纳变式训练?A变式训练2.［2018·上海市闵行区期末］已知向量a＝（1，2），b＝（2，k），
c＝（8，7）.（1）当k为何值时，a//（b+c）；
（2）当k＝1时，求满足条件c＝ma+nb的实数m，n的值.?向量共线求参数的方法
已知两向量共线求参数的问题中，参数一般设置在两个位置：一是在向量坐标中含有；二是相关向量用已知两个向量的含参关系式表示.解题时应根据题目特点选择向量共线的坐标表示的两种形式，建立方程求解.解题归纳?1.数轴上向量的坐标表示数轴上的一维坐标表示这个点为终点原点为起点的向量的坐标。
数轴上两点表示的向量的坐标，是终点坐标减去起点坐标，这是一个实数，其符号确定了这个向量的方向.。正实数表示向量与数轴的方向相同，负实数表示向量的方向与数轴的方向相反，0表示零向量，起点与终点重合。?2.平面向量的坐标运算??3.向量平行的坐标表示?
