课件26张PPT。4.2 对数与对数函数
4.2.1 对数运算
4.2.2 对数运算法则第四章 指数函数、对数函数与幂函数1.理解对数的概念，能够进行对数式与指数式的互化.
2.掌握对数的运算法则，并能正确地利用对数的运算法则进行对数的运算.
3.掌握换底公式，会用换底公式将一个对数转化成自然对数或常用对数，了解对数在简化运算中的作用.重点：理解对数的概念及其运算性质.
难点：换底公式及对数式的变形.在表达式ab＝N（a>0且a≠1，N∈（0，+∞））中，当a与N确定之后，只有唯一的b能满足这个式子，此时，幂指数b称为 ，记作b＝logaN，其中a称为对数的 ，N称为对数的 .一、对数的概念以a为底N的对数底数真数??01Nb常用对数与自然对数
以10为底的对数称为常用对数，即log10N是 .为了简便起见，常用对数的表示中，通常把底10略去不写，并把“log”写成“lg”，即把log10N简写为lg N.
以无理数e＝2.718 28…为底的对数，以e为底的对数称为 ，自然对数logeN通常简写为ln N.常用对数自然对数二、对数的运算?+-例1一 对数的概念常考题型??1.D若loga2＝m，loga5＝n，则a3m+n＝（ ）
A.11 B.13 C.30 D.40变式训练2.?例2二 对数式的化简与求值?对数式化简的常用方法和技巧
（1）对于同底数的对数式，化简的常用方法为：
①“收”，即运用对数的运算法则，将同底对数的和（差）“收”成积（商）的对数；
②“拆”，即运用对数的运算法则，将对数式“拆”成几个对数的和（差）.
（2）对常用对数的化简要创设情境，要充分利用“lg 5+lg 2＝1”来解题.
（3）对含有多重对数符号的对数，应从内向外逐层化简.
（4）当真数是形如“ ± ”的式子时，常用的方法是“先平方，后开方”或“取倒数”.解题归纳?变式训练三 换底公式的应用例3【解析】利用换底公式化简求值时应注意的问题
（1）利用换底公式的意义就在于把对数式的底数改变，把不同底数问题转化为同底数问题进行化简、计算和证明.
（2）换底公式在实际应用中究竟换成以什么为底数，要由具体已知条件确定，一般换成以10为底的常用对数.解题归纳1.［2019·四川广元高一期末］（1）若xlog32＝1，求2x+2-x的值；
（2）计算（log43+log23）×（log32+log92）. ?变式训练2.A四 有附加条件的代数式求值问题例4解决有附加条件的对数式求值问题的方法技巧
解带有附加条件的代数式的求值问题，需要对已知条件和所求式子进行化简、转化，原则上是化为同底的对数，以便利用对数的运算法则，要整体把握对数式的结构特征，灵活运用指数式与对数式的互化解题.解题归纳［2019·上海闵行区高一调研］已知log32＝m，则log3218＝ （用m表示）.1.??变式训练五 对数方程的求解例5对数方程的一般解法
解对数方程的实质是转化，通过指数式与对数式的互化、换底公式、换元等手段，将对数方程转化为代数方程进行求解.
根据目前的知识我们只能求解两种简单的对数方程：
（1）等号两边为底数相同的对数式，则真数相等，即loga f（x）＝loga g（x）?f（x）＝g（x）>0.
（2）化简后得到关于简单对数式（形如lg x）的一元二次方程，再由对数式与指数式的互化解得x.解题归纳［2019·江西景德镇高一期末］方程log3（1-2·3x）＝2x+1的解为
x＝ . ??变式训练1.对数概念
两种特殊对数：常用对数lg和自然对数ln.
对数式与指数式关系：2.对数运算性质3.对数换底公式?课件50张PPT。4.2 对数与对数函数
4.2.3 对数函数的性质与图像第四章 指数函数、对数函数与幂函数1.理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型.
2.掌握对数函数的图像和性质，并能熟练地运用对数函数的性质解决问题.重点：对数函数的图像和性质.
难点：底数a>1与0
0，且 .一、对数函数的概念a≠1二、对数函数的性质和图像y＝ logax（a>0，a≠1）的性质
（1）定义域是 ，因此函数图像一定在y轴的右边.
（2）值域是实数集 .
（3）函数图像一定过点 .
（4）当a>1时，y＝logax是 函数；
当0【答案】 A判定一个函数是对数函数的依据
（1）形如y＝logax（对数符号前面的系数是1）；
（2）底数a满足a>0，且a≠1；
（3）自变量x出现在真数的位置上，且x>0.解题归纳?B变式训练求下列各函数中x的取值范围.
（1）y＝logx-1（x+2）；（2）y＝log1-2x（3x+2）.例2【解】?变式训练例2二 对数型函数的图像及应用
(1)图像过定点问题?【解析】令3x-2＝1，得x＝1，这时对于任意的a>1或0【答案】B定点问题的处理方法
由于对数函数y＝logax（a>0，a≠1，x>0）的图像恒过定点（1，0），因此讨论与对数函数有关的函数图像过定点的问题，只需令真数为1，解出相应的x，y，即可求得定点的坐标.解题归纳若函数y＝loga（x+b）+c （a>0，且a≠1）的图象过定点（3，2），则实数b，c的值分别为 .-2,2变式训练(2)图像的识别问题［2019·山东潍坊高一期末］函数y＝logax（a>0，且a≠1）与函数y＝
（a-1）x2-2x-1在同一坐标系中的图象可能是（ ）例3A. B. C. D.?【方法规律】
判定同一坐标系中，两个函数图像的正确选项时，要逐一推敲选项，先立足于一个图像得出参数的范围，然后判断另一个图像是否有等值，没有等值的舍去.如果用此法只能淘汰两个选项，必须再选一个特值验证选项.如本题中选特值x＝0，则易用淘汰法.解题归纳［2019·山东泰安高一期末］已知函数f（x）＝ax，g（x）＝logax（a>0，且a≠1），若f（3）·g（3）<0，那么f（x）与g（x）在同一坐标系内的图象可能是（ ）CA. B. C. D.变式训练(3)图像的作法作出函数y＝|log2（x+1）|+2的图像.例4【解】 第一步：作出函数y＝log2x的图像，如图（1）.
第二步：将函数y＝log2x的图像沿x轴向左平移1个单位长度，得到函数y＝log2（x+1）的图像，如图（2）.第三步：将函数y＝log2（x+1）的图像在x轴下方的部分作关于x轴的对称变换，得到函数y＝|log2（x+1）|的图像，如图（3）.
第四步：将函数y＝|log2（x+1）|的图像沿y轴向上平移2个单位长度，即得到所求的函数图像，如图（4）.有关对数函数图像间的变换规律
（1）一般地，函数y＝f（x+a）+b（a，b为实数）的图像是由函数y＝
f（x）的图像沿x轴向左（a>0）或向右（a<0）平移|a|个单位长度，再沿y轴向上（b>0）或向下（b<0）平移|b|个单位长度得到的.
（2）含有绝对值的函数的图像是一种对称变换，一般地，y＝f（|x-a|）的图像是关于直线x＝a对称的轴对称图形；函数y＝|f（x）|的图像与y＝
f（x）的图像在f（x）≥0的部分相同，在f（x）<0的部分关于x轴对称.解题归纳为了得到函数y＝lg（x+3）-1的图像，只需把函数y＝lg x的图像上所有的点 （ ）
A.向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B.向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C.向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D.向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度C变式训练(4)图像的应用例5对数型函数图像的考查题型及解题技巧
（1）对有关对数型函数图像的识别问题，主要依据底数确定图像的升降、图像位置、图像所过的定点及图像与坐标轴的交点等求解.
（2）对有关对数型函数的作图问题，一般是从基本初等函数的图像入手，通过平移、伸缩、对称变换得到所要求的函数图像.特别地，当底数与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.
（3）与对数型函数有关的方程或不等式问题常常结合对数函数的图像来解决，即数形结合法.应用时要准确地画出图像，把方程的根、不等式的解集等问题转化为函数图像之间的关系问题.解题归纳?4变式训练三 对数函数的单调性及其应用
(1)对数值比较大小例6【解】比较对数值大小的常用方法
（1）底数相同、真数不同时，用对数函数的单调性来比较.
（2）底数不同、真数相同时，用对数函数的图像与底数的关系来比较，也可用换底公式转化为底数相同的对数来比较.
（3）当底数和真数都不同时，则寻求中间值作为媒介进行比较.
（4）对于多个对数的大小比较，应先根据每个对数的结构特征以及它们与“0”和“±1”的大小情况进行分组，再比较各组对数值的大小.
（5）当底数与1的大小关系不明确时，要对底数分情况讨论.解题归纳?B变式训练(2)对数不等式例7［2019·山东师范大学附属中学高一期末］设0loga（a2x-2ax-2），使f（x）<0的x的取值范围是 （ ）
A.（-∞，0） B.（loga3，+∞）
C.（-∞，loga3） D.（0，+∞）【解析】 由题意，令t＝ax，有t>0，则y＝loga（t2-2t-2），若使f（x）<0，即loga（t2- 2t-2）<0.因为01，解得t>3或t<-1.又因为t>0，故t>3，即ax>3.又因为0【答案】 C对数不等式的三种类型及解法
（1）形如logax>logab的不等式，借助函数y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，那么需分a>1与0（2）形如logax>b的不等式，应先将b化为以a为底的对数的形式，再借助函数y＝logax的单调性求解.
（3）形如logax>logbx的不等式，利用换底公式化为同底的对数进行求解或利用图象求解. ?解题归纳［2019·内蒙古包头高一期中］函数y＝logax在［2，+∞）上恒有|y|>1，求实数a的取值. ??变式训练四 对数型复合函数问题
(1)对数型复合函数的单调性问题例8【解题提示】设g（x）＝x2+6x-7，求得函数g（x）在（-∞，-7）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，再根据复合函数的单调性的判定方法，即可得到答案.［2019·湖北黄冈高一期末］函数f（x）＝log0.6（x2+6x-7）的单调递减区间是（ ）
A.（-∞，-7） B.（-∞，-3） C.（-3，+∞） D.（1，+∞）【解析】 由题意，令x2+6x-7>0，得x<-7或x>1，即函数的定义域为（-∞，-7）∪（1，+∞）.
设g（x）＝x2+6x-7，可得函数g（x）在（-∞，-7）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增.
又由函数y＝log0.6 x在（0，+∞）上单调递减，
根据复合函数的单调性，可得函数f（x）在（1，+∞）上单调递减.故选D.
【答案】 D解决对数型复合函数单调性问题的思路
（1）对数型复合函数一般可分为两类：
一类是外层函数为对数（型）函数，即y＝loga f（x）型；另一类是内层函数为对数函数，即y＝f（logax）型.
①对于y＝loga f（x）型的函数的单调性，有以下结论：函数y＝loga f（x）的单调性与函数u＝f（x）（f（x）>0）的单调性在a>1时相同，在0②研究y＝f（logax）型复合函数的单调性，一般用换元法，即令t＝logax，则只需研究t＝logax及y＝f （t）的单调性即可.
（2）研究对数型复合函数的单调性，一定要注意先研究函数的定义域，也就是要坚持“定义域优先”的原则.解题归纳?变式训练(2)对数型复合函数的值域与最值问题例9【解题提示】（1）根据两个式子，代入得关于a，b的方程组，解方程组即可求得a，b的值.（2）利用换元法，转化为二次函数形式，根据x的取值范围即可求得最大值.设函数f（x）＝log2（ax-bx），且f（1）＝1，f（2）＝log212.
（1）求a，b的值；
（2）当x∈［1，3］时，求f（x）的最大值.?1.B变式训练［2019·甘肃庆阳高三月考］已知函数f（x）＝log4（ax2+2x+3）.
（1）若f（1）＝1，求f（x）的单调区间.
（2）是否存在实数a，使f（x）的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.2.【解】（1）∵ f（x）＝log4（ax2+2x+3）且f（1）＝1，
∴ log4（a·12+2×1+3）＝1，即a+5＝4，解得a＝-1.
∴ 函数f（x）＝log4（-x2+2x+3）.
∵ -x2+2x+3>0，∴ -1令t＝-x2+2x+3＝-（x-1）2+4，
当x∈（-1，1）时，t为关于x的增函数；当x∈（1，3）时，t为关于x的减函数.
∴ 函数f（x）＝log4（-x2+2x+3）的单调增区间为（-1，1），单调减区间为（1，3）.?(3)对数型复合函数的奇偶性问题例10【解题提示】在判断函数的奇偶性时，首先要求出函数的定义域，当定义域关于原点对称时，再判断f（-x）与f（x）之间的关系，从而得出函数f（x）的奇偶性.?解题归纳用转化方法判断复合函数的奇偶性
函数logaf（x）如果满足f（-x）与f（x）互为倒数，则logaf（x）必是奇函数；如果满足f（-x）＝f（x），则logaf（x）必为偶函数.1.C变式训练?2.1.对数函数的概念
判断对数函数的标准
（1）形如y＝logax（对数符号前面的系数是1）；
（2）底数a满足a>0，且a≠1；
（3）自变量x出现在真数的位置上，且x>0.2.对数函数的图像与性质