课件36张PPT。6.1 平面向量及其线性运算
6.1.1 向量的概念第六章 平面向量初步学习目标1.通过位移、速度和力这些物理量的分析，了解向量的实际背景.
2.理解向量、相等向量、共线向量、零向量的概念及向量的表示.
3.理解向量的几何意义.
重点：向量的有关概念及向量的几何表示.
难点：对向量的概念及平行向量的理解.一、 位移与向量
1.位移如何正确理解位移？
位移是由方向和距离唯一确定的，只要方向相同， 距离相等，就说两位移相等，位移只与质点的起点和终点的位置有关，与其实际运动的路线无关.我们知道，位移是既有大小，又有方向的量. 一般地，像位移这样既有大小，又有方向的量称为向量(也称为矢量).
向量的大小也称为向量的模（或长度）. 而把那些只有大小，没有方向的量，如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等，称为标量.2.向量的概念 提示：看一个量是否为向量，就要看它是否同时具备了大小和方向两个要素.数量是一个代数量，只有大小没有方向，可用正数、负数、零表示，可以比较大小；向量（矢量）既有大小又有方向，不能比较大小.向量与数量有什么区别？3.向量的表示 我们知道，位移可以用带箭头的线段（即有向线段）来直观地表示. 类似地，我们也用有向线段来直观地表示向量，其中有向线段的长度表示向量的大小，有向线段箭头所指的方向表示向量的方向.而且，通常将有向线段不带箭头的端点称为向量的始点（或起点），带箭头的端点称为向量的终点.有向线段始点和终点的相对位置确定向量的大小与方向.?? 有向线段与向量的区别与联系
（1）区别：向量只有大小和方向两个要素，而有向线段有起点、大小和方向三个要素.在空间中，有向线段是固定的线段，而向量是可以自由平移的.
（2）联系：有向线段是向量的表示，并不是说向量就是有向线段.每一条有向线段对应着一个向量，但每一个向量对应着无数条有向线段.4.零向量与单位向量?模不为0的向量通常称为非零向量.?【注意】零向量、单位向量都是只限制长度，不确定方向，零向量的方向是任意的，两个单位向量的方向不一定相同.二、 向量的相等与平行
1.相等向量?【提示】当用有向线段表示向量时，起点可以任意选取.同向且等长的有向线段都表示同一向量，或者说向量可以在平面内平行移动，这样可以为研究问题带来很大方便.?2.共线（平行）向量?平行向量与平行直线的关系
平行向量和平行直线是有区别的，平行直线不包括重合的情况，而平行向量是可以重合的.
换句话说，向量平行，向量所在直线不一定平行，还有可能是同一条直线.思考：向量平行具有传递性吗？
由于零向量与任意向量平行，所以向量的平行不具有传递性.?一、向量的概念常考题型【答案】 5◆理解概念的本质
1.向量和数量
数量：只有大小，没有方向，可以比较大小；
向量：具有两要素——方向和长度，大小是代数特征，方向是几何特征，因为方向不能比较大小，所以向量不能像实数那样比较大小.
2.零向量：零向量的核心是长度是0，方向没有限制；规定零向量与任一向量共线.
3.单位向量：方向没有限制，但长度都是一个单位长度.
4.共线向量：方向相同或相反，长度没有限制.
5.相等向量：方向相同且长度相等.训练题1.已知以下物理量：①位移；②路程；③功；④速率；⑤密度；⑥加速度；⑦力；⑧角度.其中不是向量的是 .
2.［2019·广东东莞检测］下列说法中错误的是 （ ）
A.零向量与任一向量平行
B.方向相反的两个非零向量不一定共线
C.零向量的长度为0
D.方向相反的两个非零向量必不相等②③④⑤⑧B4.下列说法正确的是 （ ）
A.两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同
B.长度相等的向量叫做相等向量
C.共线向量是在一条直线上的向量
D.向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反CA二、相等向量与共线向量
1.相等向量寻找相等向量的方法
先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是
同向共线.【注意】
（1）零向量与零向量相等.
（2）任意两个相等的非零向量都可用同一条有向线段表示，并且
与有向线段的起点无关，所以向量是自由向量，只有大小和方向
两个要素.物理中的力有三个要素，在数学中不考虑起点（力的作
用点）.训练题训练题图2-1-4【方法技巧】寻找共线向量的方法
先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，
再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已
知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量.如何区分相等向量与共线向量
（1）相等向量必须满足长度相等且方向相同，缺一不可，在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等.
（2）平行向量的方向相同或相反，与几何中的平行不同，两个平行向量的位置关系既可以是在同一条直线上，也可以是在平行直线上.
（3）共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量.例4 在下列说法中，正确的是 .（填序号）
①两个有公共起点且共线的向量，其终点必相同；
②模为0的向量与任意非零向量平行；
③向量就是有向线段；
④两个有公共终点的向量一定是共线向量.【解析】 ①错误，因为向量的方向和长度未知，所以向量的终点
也未必相同；
②正确，模为0的向量是零向量，而零向量与任意向量平行；
③错误，有向线段是向量的几何表示；
④错误，这两个向量的起点没有确定，故无法判断它们是否共线.
故正确的是②.
【答案】 ②训练题
1.［2019·湖北荆州中学高一月考］下列结论正确的是 .（填序号）
①若a，b都是单位向量，则a＝b；
②物理学中作用力与反作用力是一对共线向量；
③方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量；
④直角坐标平面上的x轴，y轴都是向量.②③三、向量的模CC四 向量在平面几何中的应用◆利用向量关系证明或判断线段平行或相等的方法
（1）利用向量相等，可以用来证明线段的相等或直线与直线平行，但证直线与直线平行时需说明两向量所在的直线无公共点.
（2）用向量平行或共线证明（判断）直线平行，但证明直线平行时，除说明向量平行或共线外还需说明向量所在的两直线无公共点.训练题课件30张PPT。6.1.2 向量的加法第六章 平面向量初步学习目标1.理解向量加法的概念.
2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，会作两个向量的和向量.
3.理解向量的加法交换律和结合律，并能运用它们进行向量的计算重点：向量加法的运算（三角形法则、平行四边形法则）.
难点：对向量加法法则的理解.一、向量加法的三角形法则??记忆口诀：首尾顺次相接，首指向尾为和向量.??【注意】
1.根据向量加法的运算法则可知，两个向量的和还是向量.
2.用三角形法则求两个向量的和必须使两个向量“首尾相连”，即前一个向量的终点与后一个向量的始点重合，其和向量是第一个向量的始点指向第二个向量的终点的向量.?同向共线异向共线?二、向量和的三角不等式???三、向量加法的平行四边形法则 一般地，向量的加法也满足类似的法则，这就是说，当两个向量不共线时，可以通过作平行四边形的方法来得到它们的和：记忆口诀：共起点，共点
对角线为和.?这种求两向量和的作图方法也常称为向量加法的平行四边形法则.【提示】 （1）平行四边形法则的应用前提是两个向量是从同一点出发的不共线向量.
（2）由于向量是可以平移的.因此，当两个向量不共线时，三角形法则和平行四边形法则的实质是一样的，把平行四边形法则的图形取一部分，就是三角形法则的图形.
（3）当两个向量共线时，平行四边形法则便不再适用. （4）向量求和的三角形法则和平行四边形法则就是向量加法的几何意义.?向量加法的三角形法则与平行四边形法则有什么不同？
（1）两个法则的使用条件不同.
三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则
只适用于两个不共线的向量求和.
（2）当两个向量不共线时，两个法则是一致的.
（3）在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”；在使用
平行四边形法则时，应注意两向量的起点相同.四、向量加法满足的运算律 同数的加法满足交换律与结合律类似，向量的加法也满足交换律与结合律，即满足：?说明：（1）由向量加法的平行四边形法则不难看出，向量的加法
运算满足交换律.
（2）对于向量加法的结合律，可通过下图来说明.???五、多个向量相加 另外，为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的始点为始点，最后一个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和，如下图所示. 求两个向量的和向量时，选择不同的始点求和，作出的向量
和都相等.证明如下：??一 向量加法的运算常考题型?◆准确理解向量加法的三角形法则和平行四边形法则（1）两个法则的使用条件不同.三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和.（3）在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”；在使用平行四边形法则时应注意范围的限制.?训练题 B A二、向量加法与平面几何的应用??【答案】 D训练题?C三、 向量加法的实际应用?【解题提示】 解答本题首先要正确画出方位图，再根据图形借助向量求解.?【类题通法】
求解向量加法实际应用题的步骤
（1）表示：用向量表示实际问题中既有大小又有方向的量；
（2）运算：利用平行四边形法则或三角形法则求向量的和，
并用直角三角形等知识解决问题；
（3）作答：根据题意作答.训练题?D如何利用向量加法的三角形法则与平行四边形法则求作两个向量的和？
（1）三角形法则的使用：如图所示.
记忆口诀：首尾相连连首尾.（2）平行四边形法则的使用：如图所示，在平面内任取一点，以此点为起点分别作两个向量等于已知向量，以它们为邻边作平行四边形，共起点的对角线对应的向量即两个向量的和.
记忆口诀：公共起点对角线.?课件31张PPT。6.1.3 向量的减法第六章 平面向量初步学习目标1.理解相反向量、差向量的概念.
2.掌握向量减法的三角形法则.重点：向量减法的运算法则.
难点：对向量形式的三角不等式的理解.一、向量的减法
1.向量减法的三角形法则???????记忆口诀：共起点，连终点，指向被减.?2.相反向量???【点拨】向量减法的第二种定义方法是在定义相反向量的基础上，通过向量加法定义向量减法，用向量加法的平行四边形法则给出其几何意义.两种定义方法的实质是一样的，但相对于其几何表示来看，第二种定义方法更直观、更易理解.但第一种定义方法在实际学习中应用更广泛.??????一、向量的减法运算常考题型?◆向量加减法化简的两种形式
（1）首尾相连且为和；
（2）起点相同且为差.
做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用.训练题BDB二、用已知向量表示其他向量训练题?B?三、向量的加减运算及模的综合应用??训练题?2四、利用向量解决平面几何问题???用向量解决平面几何问题的基本步骤
（1）表示：建立平面几何与向量的联系，用向量表示几何图形中的相关量，将平面几何问题转化为向量问题.
（2）运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，对相关向量进行运算，建立向量关系.
（3）还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念求解几何问题.? D训练题等边???1.怎样理解向量减法的几何意义？
（1）相反向量：大小相等，方向相反的两个向量互为相反向量.?图（1） 图（2）（3）三角形法则：使两向量的起点移到同一点，这时连接两个向量的终点并指向被减向量的向量即为两个向量的差向量.课件39张PPT。6.1.4 数乘向量
6.1.5向量的线性运算第六章 平面向量初步学习目标1.掌握数乘向量的定义运算及其几何意义.
2.理解两个向量共线的含义.
3.了解向量线性运算的性质及其几何意义.
重点：1.数乘向量的定义及其几何意义.
2.共线向量的含义及其简单应用.
难点：共线向量的含义及应用.一、数乘向量的定义??????二、两向量共线的条件????三、向量数乘的运算律?你能解释上述运算律的几何意义吗？?四、向量的线性运算 不难看出，向量的减法也能与向量的加法、数乘向量进行混合运算.向量的加法、减法、数乘向量以及它们的混合运算，统称为向量的线性运算.???一、数乘向量常考题型?解：作法如图所示.??D（1）（2）（3）二、向量的线性运算??◆向量线性运算的方法
向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”
“提取公因式”，但这里的“同类项”及“公因式”都是指向量，
实数看成是向量的系数.向量也可以通过列方程来解，即把所求
向量当成未知量，利用解代数方程的方法求解.???训练题BC?????三、向量共线条件的应用
1.向量共线的判定??◆解决向量共线的判定问题的基本方法
向量共线的判定一般是用向量共线的条件，即a是一个非零
向量，若存在实数λ，使b＝λa，则向量b与向量a共线.?训练题A 2.证明三点共线【名师点拨】
证明三点共线问题，可以用向量共线来解决，但向量共线与三点共线既有联系又有区别，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.训练题四、由向量的线性运算求参数BD五、图形中向量的线性表示用已知向量表示未知向量的方法
用图形中的已知向量表示所求向量，应结合已知和所求，联想相关的法则和几何图形的有关定理、性质，如三角形的中位线、相似三角形对应边成比例等，将所求向量反复分解，直到全部可以用已知向量表示即可，其实质是向量的线性运算的反复应用.训练题B?①②④??1.怎样进行向量的数乘运算？?向量的线性运算，总规定要先计算数乘向量，再按从左
往右的顺序进行计算，若有括号，要先算括号内各项.2.如何判定两向量共线？3.如何进行向量的线性运算？
