课件74张PPT。第八章 向量的数量积与三角恒等变换
8.1.1 向量的数量积的概念
8.1.2 向量的数量积的运算律1.掌握平面向量数量积的几何意义.
2.掌握平面向量数量积的性质及运算律.
重点：平面向量数量积的定义及应用.
难点：平面向量数量积运算律的理解及应用.一、两个向量的夹角????π?点拨：向量a，b的夹角〈a，b〉与a，b位置关系的对应二、向量数量积的定义1.定义
一般地，当a与b都是非零向量时，称|a||b|cos〈a，b〉为向量a与b的数量积（也称为内积），记作a·b，即
a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.
由定义可知，两个非零向量a与b的数量积是一个实数，这与向量的加法、减法以及数乘向量的结果仍是一个向量不同.?观察两个非零向量a与b的数量积的定义可知，a·b的符号由cos〈a，b〉决定，从而也就是由〈a，b〉的大小决定.例如，右图中，
a·b>0，a·c＝0，a·d<0.这就是说，两个非零向量的数量积既可以是正数，也可以是零，还可以是负数.?????三、向量的投影与向量数量积的几何意义?????图（1）??图（3）图（2）2.向量投影的数量
一般地，如果a，b都是非零向量，则称|a|cos〈a，b〉为向量a在向量b上的投影的数量.
投影的数量与投影的长度有关，但是投影的数量既可能是非负数，也可能是负数.|a|cos〈a，b〉的符号由cos〈a，b〉确定，
取决于〈a，b〉的取值范围！3.向量数量积的几何意义
因为a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝（|a|cos〈a，b〉）|b|，
所以两个非零向量a，b的数量积a·b，等于a在向量b上的
投影的数量与b的模的乘积.特别地，当e为单位向量时，因为|e|＝1，所以
a·e＝|a|cos〈a，e〉，
即任意向量与单位向量的数量积，等于这个向量在单位
向量e上的投影的数量.?四、向量数量积的运算律 我们已经知道，很多运算都满足一定的运算律.
例如，向量的加法满足交换律，数乘向量对加法满足分配律，即对任意向量a，b以及实数λ，有
a+b＝b+a，
λ（a+b）＝λa+λb.
根据向量数量积的定义，探讨向量数量积的运算满足哪些运算律，并说明理由.?证明：当a，b是两个非零向量时，
因为〈a，b〉＝〈b，a〉，
所以根据a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，
b·a＝|b||a|cos〈b，a〉
可知a·b＝b·a，
即向量的数量积满足交换律.?证明：当a，b都是非零向量且λ≠0时，
（1）如果λ>0，则|λa|＝λ|a|，且λa的方向与a的方向
相同，从而〈λa，b〉＝〈a，b〉，
因此（λa）·b＝|λa||b|cos〈λa，b〉
＝λ|a||b|cos〈a，b〉
＝λ（a·b）；（2）如果λ<0，则|λa|＝-λ|a|，且λa的方向与a的方向
相反，从而〈λa，b〉＝π-〈a，b〉，
因此（λa）·b＝|λa||b|cos〈λa，b〉
＝-λ|a||b|cos（π-〈a，b〉）
＝λ|a||b|cos〈a，b〉＝λ（a·b）.当a，b中至少有一个是零向量或λ＝0时，显然也有
（λa）·b＝λ（a·b）.当然，用同样的方法可以得到a·（λb）＝λ（a·b）.思考：向量的数量积满足结合律（a·b）·c＝a·（b·c）吗？提示：不满足.
因为（a·b）·c表示一个与c共线的向量，
a·（b·c）表示一个与a共线的向量，
而c与a不一定共线，
所以（a·b）·c ＝ a·（b·c）不一定成立.?当a，b，c中至少有一个是零向量时，分配律显然成立.
因此下面只要说明a，b，c都不是零向量的情形即可.?????向量数量积的常用结论:???一 平面向量数量积的计算常考题型例1 已知|a|＝6，|b|＝5，当：
（1）a∥b；
（2）a⊥b；
（3）a与b的夹角为60°时，
分别求a与b的数量积.1.向量数量积的基本计算???C????C???二、向量的夹角问题??B?????2.已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，求k为何值时，向量e1+ke2与ke1+e2的夹角为锐角.【解】因为e1+ke2与ke1+e2的夹角为锐角，所以（e1+ke2）·
（ke1+e2）＝ke21+ke22+（k2+1）e1·e2＝2k>0，
所以k>0.但当k＝1时，e1+ke2＝ke1+e2，它们的夹角为0°，
不符合题意，舍去.综上，k的取值范围为k>0且k≠1.??三、向量的模的问题??1.模的计算??C? D?2.模的最值???◆模的最值的转化方法
求向量模的最值时，一般需要将模平方，转化为基向量的数量积，研究数量积在共线同向或共线反向时的取值.亦可结合图形，直观分析取得最值的位置.?????四、向量的投影例7 ［2019·福建龙岩高一检测］已知向量a，b，其中|a|＝1，|a-2b|＝4，|a+2b|＝2，则a在b上的投影的数量为（ ）
A.-1 B.1 C.-2 D.2【答案】 A????B???????B?D??六、数量积与平面几何问题?
◆利用向量判断三角形、四边形的形状的思路
判断三角形或四边形的形状时，一般是由边长和角的关系来进行判断，充分利用向量的数量积公式寻求图形的边角关系，向量数量积为零意味着垂直关系成立，向量相等意味着线段平行且向量的模相等.D????2.利用数量积证明或求范围
例10 如图所示，在四边形ABCD中，AB＝CD，但不平行，点M，N分别是AD，BC的中点，MN与BA，CD的延长线分别交于点P，Q，求证：∠APM＝∠DQM.◆利用向量数量积解决平面几何问题的步骤
（1）用向量表示几何关系；
（2）进行向量运算；
（3）还原为几何结论.?DA ◆解决与数量积最值（范围）有关问题的基本方法
先进行数量积的有关运算，将数量积的最值（范围）转化为函数的最值（范围）问题，利用求函数最值（范围）的基本方法求出相关的最大值或最小值（或范围）.1.两个向量的夹角??2.向量的数量积????3.向量的投影?（2）向量投影的数量：一般地，如果a，b都是非零向量，则称|a|cos〈a，b〉为向量a在向量b上的投影的数量.注意：投影的数量与投影的长度有关，但是投影的数量既可能是非负数，也可能是负数.课件46张PPT。第八章 向量的数量积与三角恒等变换
8.1.3 向量数量积的坐标运算1.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的坐标运算.
2.能运用数量积的坐标表达式表示两个向量的夹角，会用数量积
判断两个向量的垂直关系.
3.体验用数量积的坐标运算解决某些简单的几何问题.
重点：向量数量积的坐标运算与度量公式.
难点：灵活运用向量数量积的坐标运算与度量公式解决有关问题.?一、向量的坐标与向量的数量积1.向量数量积的坐标运算?特别提醒：
公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉与a·b＝x1x2+y1y2都是用来求两
向量的数量积的，没有本质区别，可相互推导.
若已知两向量的模与夹角，则用公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解；
若已知两向量的坐标，则用公式a·b＝x1x2+y1y2求解.2.向量的长度（模）的坐标运算?利用向量的数量积，同样可以方便地得出平面直角坐标系中两点之间的距离公式.?3.向量的夹角的坐标运算????二、用向量的坐标表示两个向量垂直的条件?一、平面向量数量积的坐标运算常考题型例1 已知向量a＝（1，2），b＝（3，4），
求a·b，（a-b）·（2a+3b）.【解】方法一：因为a＝（1，2），b＝（3，4），
所以a·b＝（1，2）·（3，4）＝1×3+2×4＝11，
（a-b）·（2a+3b）＝2a2+a·b-3b2＝2|a|2+a·b-3|b|2
＝2（12+22）+11-3（32+42）＝-54.1.已知向量的坐标求数量积方法二：因为a＝（1，2），b＝（3，4），
所以a·b＝11，
因为a-b＝（1，2）-（3，4）＝（-2，-2），
2a+3b＝2（1，2）+3（3，4）
＝（2×1+3×3，2×2+3×4）＝（11，16），
所以（a-b）·（2a+3b）＝（-2，-2）·（11，16）
＝-2×11+（-2）×16＝-54.◆数量积运算的途径及注意点
（1）进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质.解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算.
（2）对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，并写出相应点的坐标即可求解.训练题
［2019·江西赣州南康区高三月考］已知向量a＝（1，3），
b＝（3，-2），则向量2a·b＝（ ）
A.12 B.-3 C.3 D.-6D?【解题提示】以A为原点建立平面直角坐标系，可以得到各点的坐标，然后表示出相应向量的坐标，再对向量进行坐标运算求解.??D????A?C?二、向量的模的问题??? D C 三、向量的夹角问题1.求两向量的夹角或夹角的余弦值
例5 在平面直角坐标系xOy中，O是原点（如图所示），已知点A（16，12），B（-5，15），试求∠OAB.????B?D ??B???四、向量垂直问题?【答案】 A?AB3.［2019·四川雅安中学高一月考］已知a＝（3，2），b＝（-1，2）.
（1）求3a+b；
（2）若a⊥（a+λb），求λ的值.【解】（1）∵ a＝（3，2），b＝（-1，2），
∴ 3a+b＝（9，6）+（-1，2）＝（8，8）.
（2）∵ a⊥（a+λb），∴ a·（a+λb）＝0，
即（3，2）·（3-λ，2+2λ）＝9-3λ+4+4λ＝13+λ＝0，
解得λ＝-13.五、向量数量积的坐标运算的综合应用??B???【名师点拨】由于向量与平面解析几何都具有数与形相结合的特性，因此在向量与解析几何的交汇处设计试题已逐渐成为高考命题的一个亮点，平面向量与解析几何的结合通常涉及夹角、平行、垂直、共线等问题，目标是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算.?B???【名师点拨】
与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点问题.解此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识.???1.向量数量积的坐标运算?2.向量的长度（模）的坐标运算?3.向量的夹角的坐标运算??4.用向量的坐标表示两个向量平行与垂直的条件?
