课件31张PPT。第八章 向量的数量积与三角恒等变换
8.2.1 两角和与差的余弦学习目标1.经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，
掌握用向量证明问题的方法，进一步体会向量法的作用.
2.能从两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式.
3.会用两角和与差的余弦公式进行简单的三角函数式的
求值、化简.
重点：应用两角和与差的余弦公式求值、化简、证明.
难点：两角差的余弦公式的推导及两角和与差的余弦
公式的综合应用.一、两角差的余弦公式?此式称为两角差的余弦公式，通常简记为Cα-β.提示：（1）在公式Cα-β中，α，β对任意角都成立.
（2）公式的结构特征：左边是两角差的余弦，右边是这两角余弦之积与正弦之积的和，口诀记忆为“余余正正，符号不同.”?（cos α，sin α）（cos β，sin β）?二、两角和的余弦公式思考：在公式Cα-β中α，β可以是任意角，由此你能
推出两角和的余弦公式吗？证明：因为α+β＝α-（-β），所以
cos（α+β）＝cos［α-（-β）］
＝cos αcos（-β）+sin αsin（-β）
＝cos αcos β-sin αsin β.?两角和的余弦公式Cα+β：公式结构特征的对比识记： 对于两角和与差的余弦公式要注意以下几点
（1）公式中的α，β都是任意角，既可以是一个角，也可以是
几个角的组合.
（2）结构特征：左边“两角和（差）的余弦”，右边是“两角的
余弦积与正弦积的差（和）”.
可记忆为：“余余正正符号相反”，“余余正正”表示展开后的两项分别为两角的余弦乘余弦、正弦乘正弦；“符号相反”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相反，即两角和的余弦展开后的两项之间用“-”，两角差的余弦展开后的两项之间用“+”.（3）有了公式Cα+β，Cα-β，我们只要知道cos α，cos β，sin α，
sin β的值，就可求得cos（α+β），cos（α-β）的值.
（4）要注意公式的正用、逆用.例如：
正用：cos（2α+β）＝cos［α+（α+β）］
＝cos αcos（α+β）-sin αsin（α+β）；
cos（2α+β）＝cos 2αcos β-sin 2αsin β.
逆用：cos（α+β）cos α+sin（α+β）sin α
＝cos［（α+β）-α］＝cos β.常考题型一、化简与求值例1 求值：（1）sin 460°·sin（-160°）+cos 560°·cos（-280°）；
（2）sin 285°.
【解题提示】（1）先利用诱导公式将角变形，使待求的式子
转化为符合两角差的余弦公式形式，逆用公式求解；
（2）利用诱导公式将角变形后再拆分成两特殊角差的形式，
用两角差的余弦公式求解.1.求值?◆含非特殊角的三角函数式求值的解法
（1）把非特殊角转化为特殊角的和或差，用公式直接求值.
（2）在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角和与差的正余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值. ??A【解题提示】 将8°转化为15°-7°，与另外两角统一，运用两角差的余弦公式展开化简.2.化简◆含非特殊角的商式化简方法
（1）观察商式中各角，找出彼此间的关系，如其中一角是另外两角
的和（差），或其中一角是另外一角与特殊角的和（差）等.
（2）运用两角和（差）的余弦公式及诱导公式，把商式转化为分子
分母有公因式的形式，然后约分，或者出现特殊角的三角函数值.
（3）最后的结果是具体数值或形式最简的表达式.
?? 二、条件求值????A 训练题D 2.给值求角◆给值求角问题的解答步骤
第一步，求角的某一个三角函数值；
第二步，确定角所在的范围；
第三步，根据角的取值范围写出所求的角. ?【注意】
若待求角的范围过大，则不能唯一确定角的值，此时就要根据三角函数值的大小进一步缩小角的范围，使三角函数值与角之间一一对应，即可得出唯一的角.?训练题??【误区警示】
本题容易因忽视角的范围和x与y的大小导致求得角的范围过大而出错.??◆选三角函数值的方法
求角应当先求角的某一个三角函数值，至于选取角的哪一个三角函数值，应根据所求角的取值范围确定，最好是角的取值范围在该函数的单调区间内，这样可以使求得的角唯一，而不需要讨论解的情况. ?三、与平面向量的综合?◆向量的数量积的计算方法
（1）利用定义求解，此时需要知道向量的模和向量的夹角；
（2）利用坐标求解，把数量积的计算归结为坐标的运算，必要时需建立直角坐标系；
（3）利用基底向量来计算，也就是用基底向量来表示未知的向量，从而未知向量的数量积的计算可归结为基底向量的数量积的计算；
（4）靠边靠角，也就是利用向量的线性运算，把未知向量转化到题设中的角或边对应的向量.训练题?A???2．应用公式需注意的两点
(1)要注意公式的正用、逆用，尤其是公式的逆用，要求能正确地找出所给式子与公式右边的异同，并积极创造条件逆用公式．
(2)注意拆角、拼角的技巧，将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式．课件42张PPT。第八章 向量的数量积与三角恒等变换
8.2.2 两角和与差的正弦、正切学习目标1.会推导出两角和与差的正弦公式、正切公式.
2.会用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行简单的三角函数的求值、化简、证明.
3.会利用辅助角公式化asin α+bcos α为一个角的三角函数的形式.
重点：两角和与差的正弦、正切公式的应用.
难点：利用两角和的正弦公式变asin α+bcos α为一个角的三角函数的
形式.Sα+β：sin（α+β）＝sin αcos β+cos αsin β；
Sα-β：sin（α-β）＝sin αcos β-cos αsin β. 两角和的正弦公式两角差的正弦公式你发现这两组公式有何结构特征？
正余余正，符号相同.一、两角和与差的正弦1.两角和与差的正弦公式及其推导根据两角和与差的余弦公式（即Cα+β与Cα-β）可以证明如下的
两角和与差的正弦公式.公式的证明：而且
sin（α-β）＝sin［α+（-β）］
＝sin αcos（-β）+cos αsin（-β）
＝sin αcos β-cos αsin β.2.辅助角公式?辅助角公式实质上就是两角和与差的余弦、正弦公式的逆用.?二、两角和与差的正切公式思考：在两角和与两角差的正弦、余弦公式的基础上，你能用tan α，tan β表示tan（α+β）和tan（α-β）吗？
其中α，β应该满足什么条件？?归纳总结：两角和的正切公式两角差的正切公式公式的结构特征：
（1）公式的右边为分式形式，其中分子为tan α，tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和.
（2）公式中左边的加减号与右边分子上的加减号相同，与分母上的加减号相反.符号变化规律可简记为“分子同，分母反”.注意：当α，β，α±β角的正切值不存在时，不能使用上述公式，但可以用诱导公式或其他方法解题. 想一想：对于两角和与差的正切公式，你能写出它的几种变形吗？提示：tan αtan β，tan α±tan β，tan（α±β）三者知二求一.常考题型一、化简与求值【解题提示】（1）利用诱导公式将角变形后再拆分成特殊角；
（2）由式子联想到两角和的正弦公式，先利用诱导公式把
sin 76°cos 74°变形，使待求的式子转化为符合两角和的正弦
公式形式，逆用公式；
（3）把1变为tan 45°逆用两角和的正切公式；
（4）根据10°与35°的和是45°变形使用两角和的正切公式.B?【解题提示】将7°转化为15°与8°的差，利用两角差的正、余弦公式展开化简，最后再把15°转化为特殊角45°与30°的差，得三角函数值.2.化简◆三角函数式的化简思路
1.一看“角”：通过看角之间的差别和联系，合理拆分或合成，再正确使用公式；
2.二看“函数名”：看函数名称之间的差异，从而确定使用的
公式，常见的有“切化弦”等；
3.三看“结构特征”：分析结构特征，找到变形方向，如：
通分、辅助角公式等. 1?二、条件求值1.给值求值◆给值求值问题的解法
在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角.具体做法如下：
（1）当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差.
（2）当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角.
（3）常见的变角技巧有2α＝（α+β）+（α-β），2β＝（α+β）-（α-β），α＝（α+β）-β，β＝（α+β）-α等. ??C2.给值求角◆给值求角问题的解答步骤
第一步，求角的某一个三角函数值；
第二步，确定角所在的范围；
第三步，根据角的取值范围写出所求的角. ?【方法技巧】
至于选取角的哪一个三角函数值，应根据所求角的取值范围确定，最好是角的取值范围在该函数的单调区间内，这样可以使得求得的角唯一，而不需要讨论解的情况. ?训练题?三、两角和与差的三角函数在三角形中的应用例5 ［2019·贵州遵义四中高一检测］在△ABC中，tan Atan B>1，
判断△ABC的形状.【解题提示】 由三角形内角和为π以及诱导公式、两角和的正切
公式进行化简，判断三个角正切值的符号即可得到三角形形状.????B 四、辅助角公式的应用例6 函数f（x）＝sin x+cos x-3的最大值为 .
【解题提示】 运用辅助角公式统一三角函数的名称，
再根据正弦型（或余弦型）函数的性质求得最大值.??B 五、和（差）角公式与平面向量的综合问题?【解题归纳】
1.与三角函数联系比较紧密的向量运算
（1）向量的坐标运算；
（2）向量共线的坐标表示；
（3）向量模的坐标表示；
（4）向量数量积运算.
2.解决途径
（1）转化：利用向量定义、性质、坐标运算等转化为三角函数运算，结合三角恒等变换公式、辅助角公式等化简；
（2）数形结合：利用三角函数的图像和性质求解.?? C?2．应用公式需注意的三点
(1)要注意公式的正用、逆用，尤其是公式的逆用，要求能正确地找出所给式子与公式右边的异同，并积极创造条件逆用公式．
(2)注意拆角、拼角的技巧，将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式．3.和差角正切公式的应用，要注意变形式的应用
只要出现tan α±tan β，tan αtan β时，就要有灵活应用公式T(α±β)的意识，就不难想到解题思路．课件31张PPT。第八章 向量的数量积与三角恒等变换
8.2.3 倍角公式学习目标1.能由两角和的正弦、余弦和正切公式推导二倍角的正弦、余弦和正切公式.
2.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.
3.能够正确运用倍角公式进行简单的三角函数式的化简、求值和证明恒等式.
重点：二倍角的正弦、余弦、正切公式.
难点：倍角公式与以前学习的同角三角函数基本关系式、诱导
公式的综合应用.思考：你能根据前面学过的内容，写出由α的三角函数值求出sin 2α，cos 2α，tan 2α的一般公式吗？如果在两角和的正弦公式Sα+β中，令β＝α，则可得出求sin 2α的公式，
即 sin 2α＝sin（α+α）＝sin αcos α+cos αsin α＝2sin αcos α.类似地，可得
cos 2α＝cos（α+α）＝cos αcos α-sin αsin α＝cos2α-sin2α，?因此?这3个公式称为倍角公式.需要注意的是，因为sin2α+cos2α＝1，所以C2α也可改写为??【名师点拨】常考题型一、利用倍角公式化简、求值◆给角求值问题的解法
（1）直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角.
（2）若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式. ?◆利用倍角公式求值常用的解题步骤
1.寻找所给角与已知角、特殊角之间的倍、半、和、差关系；
2.根据所求值的结构，选择适当的和差角公式及倍角公式；
3.将所求的三角函数式转化为已知角的三角函数式.?CBC4.求cos 72°cos 36°的值. ?◆三角函数式的化简要求
①能求出值的应求出值；
②使三角函数种数尽量少；
③使三角函数式中的项数尽量少；
④尽量使分母不含有三角函数；
⑤尽量使被开方数不含三角函数.
◆三角函数式的化简方法
①弦切互化，异名化同名，异角化同角.
②降幂或升幂.
③一个重要结论：（sin θ±cos θ）2＝1±sin 2θ.训练题B二、条件求值?3.给值求角问题，即由给出的某些角的三角函数值，求另外一些角，关键在于“变角”，使“目的角”变成“目标角”，然后选择一个适当的三角函数，根据题设确定所求角的取值范围，然后求出角，确定角的取值范围是关键的一步.
解题时，注意利用诱导公式和同角三角函数基本关系对已知式进行转化.
?D三、倍角公式与三角函数性质的综合◆用倍角公式解决三角函数性质的方法
（1）为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为余弦型（正弦型）函数，这是解决问题的前提.
（2）解决有关三角函数的最值问题，一般需利用三角函数的有界性来解决，利用三角变换化多个三角函数为一个三角函数.如果含有二次方，一般要换元、配方，借助于二次函数解决.?B??四、倍角公式在三角形中的应用?【误区警示】
三角形中三个内角的和是π，A，B，C都要受此限制，特别是已知其中某个角后，求关于另一个角的三角函数式的最值问题.因为该角限定在某个区间上，所以求最值时必须首先考虑其取值范围，再借助于三角函数图像或二次函数获得结论，否则就容易出现错误.A 五、倍角公式与向量的综合应用?◆倍角公式解答向量问题的方法
1.平面向量的运算主要有线性运算和数量积运算，线性运算主要是求向量的和、差及数乘，如果向量以坐标形式给出，而坐标中又含有三角函数，通常都可以应用三角变换公式解决.
2.向量运算结果转化为三角形式后，在研究其最值、单调性、对称轴或对称中心等问题时，都可以借助于两角和与差的三角函数或倍角公式，将多个三角函数名称化为一个三角函数，进而利用三角函数性质获得结果. ?训练题?课件55张PPT。第八章 向量的数量积与三角恒等变换
8.2.4 三角恒等变换的应用学习目标1.掌握倍角公式、两角和与差的三角公式的综合应用.
2.掌握半角的正弦、余弦、正切公式及其应用.
3.掌握积化和差、和差化积公式及其应用.
4.了解万能公式及其应用.
重点：倍角公式、两角和与差的三角公式、半角公式、积化
和差与和差化积公式.
难点：半角公式正负号的选择、积化和差与和差化积公式
以及万能公式的识记.一、半角公式及其推导????一般地，①②③可以变形为??一般称这3个公式为半角公式.?【名师点拨】?拓展：半角正切公式的有理表达式：这两个公式不用判断符号，更好用！二、积化和差、和差化积公式及其推导???1.积化和差公式???归纳总结?④⑤⑥⑦的左边是积的形式，右边是和或差的形式，
因此被称为积化和差公式.??这四个公式左边是和或差的形式，右边
是积的形式，因此被称为和差化积公式.记忆口诀：
正和正在先，正差正后迁，
余和全是余，余差反了天.?2. 和差化积公式三、万能公式及其推导?常考题型 一、应用三角恒等变换化简或求值【解题提示】半角公式中都是用倍角的余弦表示半角的三个三角 函数，所以应当先用平方关系式求cos α，再代入公式计算得结果.CB A?2.积化和差公式的应用
例2 求值：
（1）sin 20°cos 70°+sin 10°sin 50°；
（2）sin 20°sin 40°sin 60°sin 80°.
【解题提示】在利用积化和差与和差化积公式求值时，尽量出现特殊角，同时注意互余角、互补角的三角函数间的关系.?训练题
1.求sin220°+cos250°+sin 20°·cos 50°的值.??【名师点拨】
积化和差公式的功能可以把三角函数的一种形式（积的形式）转化为另一种形式（和差的形式），这种转化可以将角度化为特殊角求值或化简，将函数式变形以研究其性质，它们在三角式的变换中有很重要的作用.???训练题
1.求下列各式的值：
（1）sin 54°-sin 18°＝ .
（2）cos 146°+cos 94°+2cos 47°cos 73°＝ .???二、利用三角恒等变换证明三角恒等式1. 非条件恒等式例4 求证：cos2α-cos2β＝-sin（α+β）·sin（α-β）.◆证明三角恒等式的一般步骤
（1）先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异；
（2）本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”
“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的.
①对非条件恒等式
证明非条件恒等式要根据等式两边的特征，化繁为简，左右
归一，通过三角恒等变换，将等式的两边化异为同.
②对条件恒等式
条件恒等式的证明要认真观察，比较已知条件与求证等式
之间的联系，选择适当的途径，常用代入法、消元法、两头
凑法.2. 条件恒等式【解题技法】
证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简、左右归一或变更论证.对恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一，变更论证等方法.常用定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法.三、三角恒等变换在三角形中的应用?◆已知三角恒等式判断三角形形状的方法
将已知恒等式进行合理变形，然后考虑以下几种形状：
1.直角三角形：有一个角是直角或两个角互余，或者一个角的
正弦值为1，余弦值为0.
2.等腰三角形：有两个角相等（正三角形：三个角都相等或者
一角是60°，其他两角相等）.
3.钝角三角形：有一个角的余弦值为负值.训练题?BA 四、三角恒等变换在函数图像和性质中的应用例7 已知f（x）＝cos2（x+θ）-2cos θcos xcos（x+θ）+cos2θ，
求f（x）的最大值、最小值和最小正周期.?◆应用三角恒等变换的知识和方法研究三角函数的图象和性质的问题主要考虑以下四点
1.是否可以把所给三角函数式中的三角函数名称统一.如 “切化弦”“余变正”；
2.是否可以把所给三角函数式中的角形式统一；如半角化单角，倍角化单角等；
3.是否可以把所给结构形式化简为结构一致的形式，如升幂、降幂等；
4.是否可以把所给的三角函数值暂时变为相应的三角函数，以便套用相关公式.B训练题ACC五、三角恒等变换与平面向量的综合应用??训练题?B???函数g（x）的图象如图所示.???2.积化和差公式3.和差化积公式?记忆口诀：
正和正在先，正差正后迁，
余和全是余，余差反了天.?5.6.7.8.
