课件70张PPT。第七章 三角函数
7.1 任意角的概念与弧度制
7.1.1 角的推广学习目标1.理解任意角的概念，能正确区分正角、负角和零角.
2.理解象限角、轴线角、终边相同的角的概念，会判断已知角的终边所在的象限以及几个已知角是不是终边相同的角.
3.会用集合的形式表示象限角、轴线角和终边相同的角，能进行简单的角的集合之间的运算.重点：将0°~360°的角的概念推广到任意角.
难点：角的概念的推广，终边相同的角的表示.一、角的概念的推广 同时我们还知道，角可以看成是平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.1.小学和初中所学过的角
在小学和初中，我们把有公共端点的两条射线组成的图形称为角，这个公共端点称为角的顶点，这两条射线称为角的边.我们以前所学过的角，大小一般不会超过一个周角（360°）的大小.2.角的概念的推广（1）摩天轮所转过的角度大小是否会超过360°？
（2）如果甲、乙两人分别站在摩天轮的两侧观察，那么他们所看到的摩天轮旋转方向相同吗？如果不同，你能用合适的数学符号表示这种不同吗？从这个实例出发，你能将以前所学的角进行推广吗？思考：当摩天轮在持续不断地转动时，角的概念的推广：
一条射线绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形称为角，这两条射线分别称为角的始边和终边.
射线的旋转有两个相反的方向：顺时针方向和逆时针方向.
习惯上规定，按照逆时针方向旋转而成的角称为正角；
按照顺时针方向旋转而成的角称为负角；
当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，称为零角.
这样定义的角，由于是旋转生成的，所以也常称为转角.提示：
“旋转”是用运动的观点来定义角，它使得角的范围不再局限于0°~360°，研究问题变得更加方便.
旋转三要素：①未作任何旋转时的位置，
②旋转方向，
③旋转的绝对量，即旋转度数.值得注意的是，在角的定义中，当射线绕其端点按逆时针方向或按顺时针方向旋转时，旋转的绝对量可以是任意的.
因此，角的概念经过推广以后，就包括正角、负角、零角.也就是说，角的大小是任意的.
由此，我们把角的概念推广到了任意角.3.角的作图方法作图时，常用带箭头的弧来表示旋转的方向和旋转的绝对量. 图（1） 图（2）?如图（1）（2）表示的两个转角，逆时针方向旋转
形成正角.顺时针方向旋转
形成负角.注意：
1.由图确定任意角的度数时，首先看旋转方向，以确定正负；其次看旋转圈数，以确定数量.
2.画图表示角时，因为箭头的方向代表角的正负，所以箭头
不能丢掉.
3.始边与终边重合的角不一定是零角，只有终边没作任何旋转，始边与终边重合的角才是零角.4.角的加减运算的一个几何意义利用转角，可以给出角的加减运算的一个几何意义.
例如，对于60°+90°来说，如图（1）所示，射线OA逆时针方向旋转到OB所形成的角为60°，OB逆时针方向旋转到OC所形成的角为90°，则OA逆时针方向旋转到OC所形成的角为60°+90°＝150°.图（1）类似地，如图（2）所示，射线OA逆时针方向旋转到OB所形成的角为90°，OB顺时针方向旋转到OC所形成的角为-30°，则OA逆时针方向旋转到OC所形成的角为90°-30°＝60°.图（2）二、象限角1.象限角为了方便起见，通常将角放在平面直角坐标系中来讨论，并约定：角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在x轴的正半轴上.这时，
角的终边在第几象限，就把这个角称为第几象限角.
如果终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限.提示：
1.“角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合”是研究象限角的前提，也是将角置于坐标系进行研究的最简形式.
2.当角的终边在坐标轴上时，通常称此类角为轴线角.
3.在平面直角坐标系内讨论角的好处：在平面直角坐标系中，角的终边绕原点旋转360°后回到原来的位置.因此，在平面直角坐标系中讨论角可以很好地表现角的“周而复始”的变化规律.?示例：图（1） 图（2）二四??????对于集合S＝{ β|β＝α + k·360°，k∈Z }的理解应注意四点：（1）α是任意角.??? （4）若顶点和始边相同，则相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍.知识拓展
1.各象限角的集合表示????2.轴线角的集合表示???????常考题型一、角的概念的推广例1 下列说法：
①经过两个小时，时钟的时针转过的角是60°；
②钝角一定大于锐角；
③射线OA绕端点O按逆时针方向旋转一周所成的角是0°；
④小于90°的角都是锐角.
其中错误的为 （填序号）.1.辨析角的概念【解析】 ①经过两个小时，时钟的时针按顺时针方向旋转60°，因而转过的角为-60°，故①不正确.
②钝角α的取值范围为90°<α<180°，锐角θ的取值范围为0°<θ<90°，因此钝角一定大于锐角，故②正确.
③射线OA绕端点O按逆时针方向旋转一周所成的角是360°，故③不正确.
④锐角θ的取值范围是0°<θ<90°，小于90°的角也可以是零角或负角，故④不正确.
【答案】 ①③④训练题
［2019·江苏徐州高一月考］下列说法正确的有 .（填序号）
①零角的始边和终边重合.
②始边和终边重合的角是零角.
③如图，若射线OA为角的始边，OB为角的终边，
则∠AOB＝45°；若射线OB为角的始边，OA为角
的终边，则∠BOA＝-45°.
④绝对值最小的角是零角.① ③ ④2.角的加减及其几何意义
例2 射线OA绕端点O按逆时针方向旋转120°到达OB，再由OB顺时针旋转240°到达OC，则∠AOC＝ （ ）
A.120° B.-120° C.360° D.-360°【解析】 射线OA绕端点O按逆时针方向旋转120°到达OB所形成的角为120°，由OB顺时针旋转240°到达OC所形成的角为-240°，则OA绕端点O按顺时针方向旋转到OC所形成的∠AOC＝120°+（-240°）＝-120°.
【答案】 B训练题
1.［2019·河南省实验中学高一检测］如图（1）（2），从OA
旋转到OB，OB1，OB2时所成的角度α＝ ，β＝ ，
γ＝ .图（1） 图（2）???【点拨】
在判断角度时，应时刻抓住“旋转”二字：
①要明确旋转方向；
②要明确旋转绝对值；
③要明确射线未作任何旋转时的位置；
④注意由旋转方向来确定角的符号.2.求和并作图表示下列各角：
（1）60°+90°；（2）90°-30°；（3）-60°-45°.解：（1）60°+90°＝150°，如图①；
（2）90°-30°＝60°，如图②；
（3）-60°-45°＝-105°，如图③.?? 图① 图② 图③二、象限角、轴线角与终边相同的角
1.辨析象限角、轴线角例3 若角α的终边经过点M（0，-3），则角α （ ）
A.是第三象限角 B.是第四象限角
C.既是第三象限角，又是第四象限角 D.不属于任何一个象限【解析】∵ 点M（0，-3）在y轴负半轴上，
∴ 角α不属于任何一个象限.
【答案】D2.写与已知角终边相同角的集合，求在某个范围内与已知角终边相同的角
例4 写出与75°角终边相同的角的集合S，并把S中满足不等式360°≤β≤1 080°的元素β写出来.【解题提示】根据与角α终边相同的角的集合为{β|β＝α+k·360°，k∈Z}，写出与75°角终边相同的角的集合S，再取适当的k值，求出满足不等式360°≤β≤1 080°的元素β.◆求在某个范围内与已知角α终边相同的角的方法
首先可将这样的角表示成α+k·360°（k∈Z）的形式，然后采用解不等式或赋值法求解，确定k的值，求出符合条件的角.例5 ［2019·黑龙江大庆实验中学高一检测］已知α＝-1 120°.
（1）把α写成β+k·360°（k∈Z）的形式，其中0°≤β<360°；
（2）写出与角α终边相同的角θ的集合S，并求出S中满足
不等式-720°≤θ≤0°的元素.
【解题提示】（1）将α除以360°，得商和余数，再改写成β+k·360°（k∈Z）的形式；（2）先写出与α终边相同的角的集合，然后采用赋值法或解关于k的不等式（组）求出k，再代入求出范围内的角.??训练题
已知α＝-1 845°，在与α终边相同的角中，求满足下列条件的角：
（1）最小的正角；（2）最大的负角；
（3）［-360°，720°］范围内的角.?3.写终边在某条过原点的射线上的角的集合
例6 在平面直角坐标系中写出下列角的集合：
（1）终边在x轴的正半轴上；（2）终边在y＝x（x≥0）上.?◆写终边在某条过原点的射线上的角的集合的一般步骤
（1）数形结合，在平面直角坐标系中画出该射线.
（2）写出［0°，360°）内，终边在该射线上的角.
（3）再写出与上述角终边相同的角组成的集合.
???训练题
1.终边与坐标轴重合的角α的集合是 （ ）
A.{α|α＝k·360°，k∈Z} B.{α|α＝k·180°，k∈Z}
C.{α|α＝k·90°，k∈Z} D.{α|α＝k·180°+90°，k∈Z}
2.集合M＝{α|α＝k·90°，k∈Z}中各角的终边都在 （ ）
A.x轴正半轴上 B.y轴正半轴上
C.x轴或y轴上 D.x轴正半轴或y轴正半轴上CC3.下列说法不正确的是 .（填序号）
①第一象限角一定不是负角；
②第二象限角大于第一象限角；
③第二象限角都是钝角；
④小于90°的角是锐角.
4.［2019·江苏镇江中学高一期中］若角α与β的终边相同，则角α-β的终边 （ ）
A.在x轴的正半轴上 B.在x轴的负半轴上
C.在y轴的负半轴上 D.在y轴的正半轴上①②③④A5.判定给定角是第几象限角或终边在第几象限
例8 已知角的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与x轴的正半轴重合，作出下列各角，指出它们是第几象限角，并指出在［0°，360°）的范围内与其终边相同的角.
（1）405°；（2）-45°；（3）495°；（4）-520°.【解题提示】【解】作出各角的终边如图所示. 由图可知：（1）405°角是第一象限角；
（2）-45°角是第四象限角；
（3）495°角是第二象限角；
（4）-520°角是第三象限角.（1）405°＝45°+360°，所以在［0°，360°）的范围内，
与405°角终边相同的角是45°角.
（2）-45°＝315°-360°，所以在［0°，360°）的范围内，
与-45°角终边相同的角是315°角.
（3）495°＝135°+360°，所以在［0°，360°）的范围内，
与495°角终边相同的角是135°角.
（4）-520°＝200°-2×360°，所以在［0°，360°）的范围内，与-520°角终边相同的角是200°角.
?◆判定给定角α是第几象限角或终边在第几象限的方法
根据终边相同的角的概念，将α写成β+k·360°，k∈Z，0°≤β<360°的形式，观察角β的终边所在的象限即可.
β在第几象限，此角就是第几象限角.也即，将α除以360°，求出其在［0°，360°）内的余数，再根据这个余数来确定角所在的象限.训练题
1.［2019·山东省实验中学高一检测］已知α＝-1 910°，把α写成β+k·360°（k∈Z，0°≤β<360°）的形式，指出它是第几象限角.??? 三、终边对称的两角之间的关系
例9 若α与β的终边关于y轴对称，则α+β的终边一定
落在 .??训练题
1.已知θ为小于180°的正角，这个角的4倍与这个角的终边关于x轴对称，那么θ＝ .
?
2.［2018·江苏常州高一检测］已知角α和角β的终边关于直线y＝x对称，且β＝-60°，则α＝ .
? 72°或144° k·360°+150°（k∈Z）四、写终边在某条过原点的直线上的角的集合?????【锦囊妙记】
终边相同的角常用的三个结论
1.终边相同的角之间相差360°的整数倍.
2.终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍，即若α
与β的终边在同一条直线上，则α-β＝k·180°，k∈Z.
3.终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍，即若α与β的终边垂直，则α-β＝±90°+k·360°，k∈Z.◆写终边在某条过原点的直线上的角的集合的一般步骤
（1）数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线（射线）.
（2）写出［0°，360°）内所有终边在该直线（射线）上的角.
（3）再分别写出与上述角终边相同的角组成的集合.
（4）对上述集合求并集，并化简集合，得结论.【说明】
终边在过原点的直线上的角β都可表示为180°的整数倍加上
［0°，180°）范围内终边在该直线上的角α，即：终边在过
该直线上的角β的集合可以记为
{β|β＝α+k·180°，k∈Z }.
??训练题
写出终边落在如图所示的直线上的角的集合.图（1） 图（2） 图（3） 图（4）?????? 解：由于终边落在直线上的角都是180°的整数倍加上相应的角（0°到180°范围内），因此相对应的角的集合为：
（1）{α|α＝90°+k·180°，k∈Z}.
（2）{α|α＝45°+k·180°，k∈Z}.
（3）{α|α＝135°+k·180°，k∈Z}.（4）{α|α＝45°+k·180°，k∈Z}∪{α|α＝135°+k·180°，k∈Z}＝{α|α＝45°+2k·90°，k∈Z}∪{α|α＝45°+（2k+1）·90°，k∈Z}＝{α|α＝45°+k·90°，k∈Z}.?五、判定倍角、分角、补角终边所在位置????A??例12 已知角α是第二象限角，则180°-α是第几象限【解】 由角α是第二象限角，可得
90°+k·360°<α<180°+k·360°，k∈Z，
所以180°-（90°+k·360°）>180°-α>180°-（180°+k·360°），k∈Z，
即90°-k·360°>180°-α>-k·360°，k∈Z.
所以180°-α为第一象限角.【锦囊妙记】
α与180°-α的终边关于y轴对称，类似地，α与-α的终边关于x轴对称，α与180°+α的终边关于原点对称，利用这些关系，可以由α的终边所在的象限直接看出相应角的终边所在的象限.训练题
1.［2019·江西上饶高一检测］若α是第四象限角，则180°-α的终边一定在 （ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.［2019·江苏马塘高级中学高一测试］已知α是第三象限角，则-α是第（ ）象限角.
A.四 B.三 C.二 D.一CC六、求终边落在某区域的角的集合例13 如图所示，已知α的终边在图中阴影部分
所表示的区域内（包括边界），则角α的集合
为 .???【解析】如图所示，按逆时针方向找到区域的起始边界OA和终止边界OB，OA，OB对应的［0°，360°］范围内的角分别为45°，150°，∴ 最简区间为{α|45°≤α≤150°}.
∴ 终边落在该区域的角α的集合为{α| 45°+ k·360°≤α≤150°+k·360°，k∈Z }.【答案】 {α| 45°+ k·360°≤α≤150°+k·360°，k∈Z }训练题
1.［2019·江苏南京市大厂高级中学高三检测］如图所示，终边落在阴影部分内（含边界）的角α的集合是 （ ）
A.{α|-45°≤α≤120°}
B.{α|120°≤α≤315°}
C.{α|-45°+k·360°≤α≤120°+k·360°，k∈Z}
D.{α|120°+k·360°≤α≤315°+k·360°，k∈Z}C2.如图所示，写出终边在图中阴影部分内（包括边界）的角的集合，并判断-950°12′角是不是该集合中的角.?3.已知角α的终边在如图所示的阴影部分所
表示的范围内，求角α的取值范围.解：当角α的终边落在阴影的上半部分时，
α∈{α|k·360°+30°<α≤k·360°+150°，k∈Z}，
当角α的终边落在阴影的下半部分时，
α∈{α|k·360°-150°<α≤k·360°-30°，k∈Z}.
由此可知满足题意的角α的取值范围为
{α|k·180°+30°<α≤k·180°+150°，k∈Z}.1.角的概念推广后，角的大小可以任意取值. 把角放在直角坐标系中进行研究，对于一个给定的角，都有唯一的一条终边与之对应，并使得角具有代数和几何双重意义.
2.终边相同的角有无数个，在0°～360°范围内与已知角β终边相同的角有且只有一个. 用β除以360°，若所得的商为k，余数为α（α必须是正数），则α即为所找的角.
3．求终边相同的特定范围内的角时，可以根据数形结合试算得解，从而能够避免列不等式计算的麻烦。课件38张PPT。第七章 三角函数
7.1.2?弧度制及其与角度制的换算
学习目标 1.了解弧度制，体会引入弧度制的必要性.
2.理解1弧度的角及弧度的定义.
3.掌握角度与弧度的换算公式，能进行角度与弧度的换算，
并熟记几个特殊角的弧度数.
4.掌握弧度制中的弧长公式和扇形面积公式.重点：了解弧度制，并能进行弧度与角度的换算.
难点：弧度的概念.一、度量两种角的制度（弧度制与角度制）?二、弧度制与角度制的换算（1）正角的弧度数是一个正数；
（2）负角的弧度数是一个负数；
（3）零角的弧度数是0.?180°＝π rad.??注意：?巧记：数形结合记忆弧度数
结合直角坐标平面记忆各终边的角的弧度数如下：三、扇形的弧长与面积公式?????常考题型一、弧度制??【答案】①③④训练题
1.在大小不同的圆中，1 rad的圆心角所对的 （ ）
A.弦长相等 B.弧长相等
C.弦长等于所在圆的半径 D.弧长等于所在圆的半径
2.［2019·贵州安顺高一期末］下列说法中错误的是????.
①弧度制下，角的集合与实数集R之间建立了一一对应的关系；
②1弧度是长度为半径长的弧；
③1弧度是长度等于半径长的圆弧所对圆心角的大小；
④用弧度作角的单位仅能表示正角.D②④二、角度与弧度的互化???C??三、象限角、轴线角、终边相同的角的弧度制表示?? D?4.用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的正半轴，终边落在阴影部分内的角的集合（不包括边界，如图所示）. 图（1） 图（2） 图（3）四、弧长与扇形面积公式???【答案】（1）A （2）D◆应用弧度制解决问题的方法
（1）利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.
（2）求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题.
（3）在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.??C五、与弧度有关的实际应用题例5 如图所示，已知∠AOB＝1 rad，点A1，A2，…在OA上，点B1，B2，…在OB上，其中的每一个实线段和虚线段长均为1个单位，一个动点M从O点出发，沿着实线段和以O为圆心的圆弧匀速运动，速度为1单位/秒，则质点M到达点A10处所需要的时间为 秒.?B??
