(共45张PPT)
7.3?三角函数的性质与图像
7.3.1?正弦函数的性质的图像
第七章 三角函数
重点：正弦函数的性质（单调性、值域），五点法作函数图像..
难点：对周期函数概念的理解，正弦函数性质的综合应用.
一、正弦函数的性质——定义域与值域
二、正弦函数的性质——奇偶性
三、周期函数
四、正弦函数的性质——单调性
五、正弦函数的性质——零点
六、正弦函数的图像
七、“五点法”作正弦函数的图像
八、正弦函数y＝sin x的对称性
常考题型
常考题型
1-1
1-2
2-1
2-2
2-3
4-1
4-2
4-3
4-4
4-4
4-5
6-1
6-2
2.判断与正弦函数相关的复合函数图像的对称性
6-3
3.利用正弦函数的图像解决交点个数问题
6-4
4.借助正弦函数的图像，求复合函数的单调区间
?四个知识点：
1.正弦函数的性质——定义域与值域、奇偶性、周期性、单调性、零点；2.正弦函数的图像；3. “五点法”作正弦函数的图像；4.正弦函数y＝sin x的对称性
(共34张PPT)
7.3.2?正弦型性质与图像
第七章 三角函数
重点：函数y＝Asin（ωx+φ）的性质及图像的应用.
难点：用整体思想探究函数y＝Asin（ωx+φ）的性质及参数A，φ，ω对图像的影响.
1.了解正弦型函数y＝Asin（ωx+φ）的定义域、值域、周期.
2.了解y＝Asin（ωx+φ）中的参数A，ω，φ对函数图像变化的影响.
3.能正确使用“五点法”“图像变换法”作出y＝Asin（ωx+φ）的图像，并熟悉其变换过程.
4.了解y＝Asin（ωx+φ）的实际意义以及它们的物理意义.
一、函数 y ＝ Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的周期
二、如何得到函数 y ＝ Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的图象？
三、与函数y＝Asin（ωx+φ），A>0，ω>0相关的各参数的物理意义
常考题型
1-1
求函数y＝Asin（ωx+φ）的值域与最值问题时，要在x取值范围的基础之上，把ωx+φ看成整体，通过正弦函数的最值情况来求解.
当A>0时，sin（ωx+φ）最大时y＝
Asin（ωx+φ）就最大，sin（ωx+φ）最小时y＝Asin（ωx+φ）就最小.
当A<0时，sin（ωx+φ）最大时y＝
Asin（ωx+φ）就最小，sin（ωx+φ）最小时y＝Asin（ωx+φ）就最大.
1-2
1-3
1-3
2-1
“五点法”画函数y＝Asin（ωx+φ）的图象
画y＝Asin（ωx+φ）的图象时，将ωx+φ看成整体，要把握好五个关键点，其一般步骤如下.
①列表：分别令ωx+φ＝0， ，π， ，2π，计算出对应的x的值，即为五个点的横坐标，相应的函数值即为五个点的纵坐标.
②描点.
③连线. ?
2-2
2-3
3-1
4-1
?三个知识点：
1.函数 y ＝ Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的周期；
2.函数 y ＝ Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的图象；
3.与函数y＝Asin（ωx+φ），A>0，ω>0相关的各参数的物理意义.
?四种题型：
1.正弦型函数y＝Asin（ωx+φ）的性质的应用（值域与最值问题、周期性问题、单调性问题）
2. “五点法”作函数 y ＝ Asin（ωx+φ）的图象；
3.三角函数的图象变换；4.由图象求解析式.
(共69张PPT)
第七章 三角函数
7.3.3 余弦函数的性质与图像
学习目标
一、余弦函数的定义与性质
1.余弦函数的定义
2.余弦函数的性质
周期函数，最小正周期为2π
偶函数
定义域
值域
最值
周期性
单调性
奇偶性
零点
二、余弦函数的图像
如图所示.
正弦函数与余弦函数的图像形状完全相同，只是位置不同.
常考题型
一、余弦函数的性质——定义域、值域
1.利用余弦函数的值域求参数
例1 ［2019·江西宜春第三中学期中］若cos x＝2m-1，
且x∈R，则m的取值范围是 （ ）
A.（-∞，1］ B.［0，+∞）
C.［-1，0］ D.［0，1］
【解题提示】（1）（2）利用整体代换法；（3）利用二次函数的性质求解；（4）先分离常数或反解出cos x，再利用-1≤cos x≤1求解.
二、余弦函数的性质——周期性
2、求余弦型函数的周期
例4 求下列函数的最小正周期：y＝cos 2x.
解：令u＝2x，则y＝cos 2x＝cos u是周期函数，且最小正周期为2π，
∴ cos（u+2π）＝cos u，
即cos（2x+2π）＝cos［2（x+π）］＝cos 2x.
∴ y＝cos 2x的最小正周期为π.
三、余弦函数的性质——奇偶性
◆函数奇偶性的判断方法
判断三角函数的奇偶性，首先要观察定义域是否关于原点对称，在定义域关于原点对称的前提下，再根据
f（-x）与f（x）的关系确定奇偶性.函数解析式能化简的要化简，必须进行恒等变形.
四、余弦函数的性质——单调性
1.利用余弦函数的单调性，比较余弦值的大小
◆利用单调性比较大小的方法
单调性是对一个函数的某个区间而言的，一般按如下情况进行比较：
1.比较同名的三角函数值的大小，将所给的角运用诱导公式转化到同一单调区间，在同一单调区间上运用单调性比较大小，若比较复杂，先化简；
2.比较不同名的三角函数值的大小，应先化为同名的三角函数值，再进行比较.
>
<
2.利用余弦函数的单调性，求复合函数的单调区间
【答案】 （1）D （2）A
◆利用余弦函数的单调性，求复合函数的单调区间的方法
1.形如y＝acos x+b（a≠0）的函数的单调区间
当a>0时，其单调性同y＝cos x的单调性一致；
当a<0时，其单调性同y＝cos x的单调性恰好相反.
2.形如y＝Acos （ωx+φ）（ω>0）的函数的单调区间
当A>0时，由2kπ≤ωx+φ≤π+2kπ（k∈Z），解得函数的减区间；
由-π+2kπ≤ωx+φ≤2kπ（k∈Z），解得函数的增区间.
当A<0时，由2kπ≤ωx+φ≤π+2kπ（k∈Z），解得函数的增区间；
由-π+2kπ ≤ωx +φ≤2kπ（k∈Z），解得函数的减区间.
若ω<0，则先利用诱导公式化为ω>0的情形.
3.复合函数的单调性
按照同增异减进行求解.和对数有关的函数，因为要保证真数大于零，所以必须先求函数的定义域.
3.已知复合函数的单调性，利用余弦函数的单调性，求参数
五、余弦函数的图像
1.五点法作余弦型函数的图像
例8 用“五点法”作函数y＝2cos x+1，x∈［0，2π］的简图.
x 0 π 2π
cos x 1 0 -1 0 1
y 3 1 -1 1 3
描点，连线，得函数y＝2cos x+1，x∈［0，2π］的简图，如图所示.
解：按五个关键点列表：
x 0 π 2π
-1 -1
2.图像的变换
【答案】C
训练题
［浙江卷］把函数y＝cos 2x+1的图像上所有点的横坐标
伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单
位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是 （ ）
A B
C D
A
3.借助余弦函数的图像，求复合函数的定义域（解三角不等式）
【解题提示】将被开方数不小于0转化为三角函数不等式，利用余弦函数图像求解.
B
4. 与余弦函数有关的函数图像的判断问题
例11 ［2019·甘肃武威高一检测］函数y＝xcos x+sin x的图像 大致为 （ ）
A B C D
【解析】 函数y＝xcos x+sin x在x＝π时为负，排除A；易知函数为奇函数，图像关于原点对称，排除B；再比较C，D，不难发现当x取接近于0的正数时，y>0，排除C.
【答案】 D
◆函数图像的辨析方法
若所给函数不是基本初等函数，没有现成的图像可供参考，则此时应对函数的定义域、奇偶性等性质进行综合分析，排除一些选项，然后通过取特殊值或研究函数值随自变量x的变化趋势来求解.
训练题
［2019·海南海口高一检测］函数y＝x2cos x的部分
图像是 （ ）
A B C D
A
5.借助余弦函数的图像，解与方程相关的问题
例12 ［2011·陕西卷］方程|x|＝cos x在（-∞，+∞）内（ ）
A.没有根 B.有且仅有一个根
C.有且仅有两个根 D.有无穷多个根
【解析】在同一直角坐标系中作出函数y＝|x|和y＝cos x的图像，如图所示.
训练题
A
【点拨】
研究方程根的个数问题时，如果无法解出方程，
一般转化为研究两函数的图像的交点个数问题.
六、余弦函数的对称性
分析：本题主要考查余弦函数图像的对称性，解本题时可用对称图形的面积相等来解决.
解：由题图可以看出，直线y＝2与y＝2cos x（0≤x≤2π）围成的封闭图形的面积S＝S2+S3+S5，图形S1与S2，S3与S4分别是两组对称图形，
∴ S1＝S2，S3＝S4.
∴ S＝S2+S3+S5＝S1+S4+S5＝S矩形OABC.
∵ |OA|＝2，|OC|＝2π，∴ S矩形OABC＝2×2π＝4π.
即封闭图形的面积为4π.
1.余弦函数的图像
图像常用作法：平移法、“五点法”
2.余弦函数的性质
函数
性质 y＝cos x
定义域
值域 余弦曲线夹在两条平行线y＝1和y＝-1之间，故值域是［-1，1］
最值
周期性 周期函数，最小正周期为2π
单调性
奇偶性 偶函数，图像关于y轴对称
图像的对称性
(共27张PPT)
7.3.4?正切函数的性质与图像
第七章 三角函数
重点：正切函数的图象及其主要性质（包括周期性、单调性、 奇偶性、最值或值域）.
难点：对正切函数周期性的理解.
一、正切函数的性质
（2）奇偶性
正切函数是 函数.
(4)值域
正切函数的值域是 .
奇
二、正切函数的图象
例1
一 正切函数的图象及应用
常考题型
画出函数y＝|tan x|的图象，根据图象判断其奇偶性、周期性，并求出函数的单调区间及不等式y≥1的解集.
训练题
1.
2.
例2
二 定义域、周期性
求下列函数的最小正周期：
①y＝- ；②y＝ .
②y＝ ＝
其图象如图所示.
由图象知y＝ 的最小正周期为π.
训练题
1.
2.
D
三 奇偶性与对称性
例3
训练题
1.
2.
例4
四 正、余弦函数的值域与最值
<1>单调性及应用
训练题
<2>求最值和值域
例5
求正切函数的值域（或最值）的方法
求含有正切函数的复合函数的值域（或最值）的基本方法是换元法，换元后转化为以前所学过的函数值域问题，或利用正切函数的单调性来求解.
训练题
1.正切函数的图象
2.正切函数的性质
函数 y＝tan x
定义域
值域 R
周期性 周期函数，最小正周期为π
奇偶性 奇函数，图象关于原点对称
单调性 在每一个开区间 （k∈Z）上都是增函数
对称性 图象是中心对称图形，对称中心的坐标为 （k∈Z）.
(共15张PPT)
7.3.5 已知三角函数值求角
第七章 三角函数
重点：正切函数的性质、已知三角函数值求角.
难点：正切函数性质的应用及对符号arcsin y，arccos y，arctan y的理解.
1.能利用正切线探究正切函数的性质， 掌握正切函数的性质（定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性等）.
2.能画出y＝tan x的图像，借助图像理解正切函数的性质.
3.掌握已知三角函数值求角的方法，会由已知的三角函数值求角，了解符号arcsin y，arccos y，arctan y的含义.
常考题型
已知三角函数值求角的方法
已知角x的一个三角函数值，求角x，所得的角不一定只有一个，角的个数要根据角的取值范围来确定，这个范围应该会在题目中给定.如果在这个范围内符合要求的角不止一个，且当角的终边不在坐标轴上时，可以按照以下步骤来解决：
（1）由已知三角函数值的符号确定角的终边所在的象限.
（2）若函数值为正数，先求出对应锐角α；若函数值为负数，先求出与其绝对值对应的锐角α.
（3）根据角的终边所在象限，由诱导公式得出［0，2π）内的角，如果适合已知条件的角是第二象限的角，则它等于π-α；如果适合已知条件的角是第三或第四象限的角，则它等于π+α或2π-α.
（4）如果要在整个实数集上求适合条件的角的集合，则利用终边相同的角的表达式来写出.
1-1
求与三角函数有关的函数定义域的基本方法
求与三角函数有关的函数的定义域的基本方法是“数形结合法”，也就是在求这类函数的定义域时，往往需要解有关的三角函数不等式，而解三角函数不等式问题时常借助三角函数曲线或单位圆等图形的直观形象.
利用正弦曲线求解sin x≥a或sin x≤a（|a|<1）的步骤
1.作出正弦函数在一个周期内的图像（选取的一个周期不一定是［0，2π］，应根据不等式来确定）；
2.作直线y＝a与其图像相交；
3.确定一个周期内x的取值范围；
4.根据正弦函数周期性确定最终的范围.
2-1
2-1
1-3
?三种题型：
1.已知正弦函数值求角 ；
2.已知余弦函数值求角 ；
3.已知正切函数值求角 .
