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第十章 概率
10.1 随机事件与概率
10.1.1?有限样本空间与随机事件
1.结合具体实例，理解样本点、样本空间的含义；会表 示试验的样本空间；
2.结合实例，理解随机事件与样本点的关系，会用集合 表示随机事件；
3.了解必然事件、不可能事件的概念.
学习目标
重点：用集合表示样本空间和随机事件.
难点：样本空间、随机事件的概念.
一.随机试验
我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，随机试验具有以下特点：
（1）试验可以在相同条件下重复进行；
（2）试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；
（3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果.
二.随机试验的样本点
随机试验的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验的样本空间.
一般地，用Ω表示样本空间，用ω表示样本点.在本书中，我们只讨论Ω为有限集的情况.如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间.样本点有如下特征：
1.样本点是试验中不能再分的最简单的结果；
2.样本空间是全体样本点的集合，在书写时要注意表达形式，可用列举法写，也可用描述法写；
3.样本空间相当于集合中的全集，样本点是样本空间的元素；
4.同一个试验，由于观察目标的不同，其样本点、样本空间一般也会不同；
5. 样本点有无限多个的随机试验不在本书的范围内. ?
三.随机事件
随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示.为了叙述方便，我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，把只包含一个样本点的事件称为基本事件.随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示.在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生.
常考题型
反思感悟：列举法写出样本空间的方法很多，除了一一列举法还有树状图法、列表法等，具体问题中，要根据需要应用合适的方法列举会显得更加直观易懂、简明扼要。
题型二 抽样的有序性与无序性的样本空间
【解】记3张红色卡片为1，2，3号，2张白色卡片为4，5号.
（1）“从中一次摸出两张卡片”，无顺序，故这个试验中等可能出现的结果有10种，分别为（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）（其中（1，2）表示摸到1号、2号卡片），故共有10个样本点.
（2）“从中先后各取
一张卡片（每次取后
立即放回）”，有顺
序，故这个试验中等
可能出现的结果有25
种，如表格所示：
由表格得，共有
25个样本点.
第二张
第一张 1 2 3 4 5
1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5）
2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5）
3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5）
4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5）
5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5）
反思感悟 写试验的样本空间可分两步完成：
1.确定试验的基本结果，即样本点是什么，共有多少个；
2.选择适合的方法（用列举法还是描述法，用文字描述还是用数字、字母 表示等）用集合的形式写出样本空间. ?
解：（1）每次取一件，取后不放回地连续取两次，则样本空间为Ω1＝{（a1，a2），（a1，b1），（a2，a1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2）}.
（2）由（1）知，取出的两件产品中恰有1件次品的样本空间为Ω2＝{（a1，b1），
（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2）}.
（3）有放回地连续取两件，则样本空间为Ω3＝{（a1，a1），（a1，a2），（a1，b1），（a2，a1），（a2，a2），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2），（b1，b1）}.
（4）有放回抽取，取出的两件产品中恰好有1件次品的样本空间Ω4＝{（a1，b1），
（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2）}.
题型三 随机事件的判断
解：由实数运算性质知（1）恒成立，是必然事件；由物理知识知（6）同性电荷相互排斥是必然事件.所以（1）（6）是必然事件.不需要任何能量的“永动机”不可能出现；标准大气压下，水的温度达到50℃时不沸腾.所以（3）（5）是不可能事件.同一门炮向同一目标发射多发炮弹，可能有50%的炮弹击中目标；电话总机在60秒内可能接到至少15次传呼.所以（2）（4）是随机事件.
题型四 随机试验结果的判断
例4.做掷红、蓝两颗骰子的试验，用（x，y）表示结果，其中x表示红色骰子出现的点数，y表示蓝色骰子出现的点数.
（1）写出这个试验所有可能的结果；
（2）求这个试验共有多少种不同的结果；
（3）写出事件“出现的点数之和大于8”包含的结果；
（4）写出事件“出现的点数相同”包含的结果.
【解题提示】 可用列举法把试验的所有可能结果一一列举出来，再根据所有试验结果，寻求满足特定条件的试验结果.
【解】（1）这个试验
所有可能的结果用表
格列举为：
（2）由表格知这个
试验不同的结果共有
36种.
（3）事件“出现的
点数之和大于8”包含的结果为
（3，6），（4，5），（4，6），（5，4），（5，5），
（5，6），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）.
（4）事件“出现的点数相同”包含的结果为（1，1），
（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），（6，6）
变式训练4.先后抛掷两枚质地均匀的骰子，写出下列事件包含的样本点（1）点数之和为4的倍数；（2）点数之和大于5且小于10.
解：从图中容易看出样本点与所描点一一对应，
共36种情况.（1）记“点数之和为4的倍数”的事件为A，
从图中可以看出，事件A包含的样本点共有9个，即
（1，3），（2，2），（2，6），（3，1），（3，5），（4，4），
（5，3），（6，2），（6，6）.
（2）记“点数之和大于5且小于10”的事件为B，从图中
可以看出，事件B包含的样本点共有20个，即
（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）
（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），
（6，1），（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），
（6，2），（3，6），（4，5），（5，4），（6，3）.
1．随机试验所得出的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验的样本空间.由样本空间的真子集构成的结果叫随机事件。
2．随机事件是在一次随机试验中可能发生也可能不发生的事件。要熟悉把一个随机事件拆分成基本事件 。
3．要列举一个随机事件包含的基本事件，需要首先列举出基本事件构成的样本空间，列举的方法可以是一一列举，也可以是树状图或表格。.
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第十章 概率
10.1 随机事件与概率 ?
10.1.2?事件的关系和运算 ?
1.了解随机事件的包含、互斥、对立的含义，会判断
两个随机事件是否互斥、对立.
2.了解随机事件的并事件、交事件的含义，能进行随
机事件的并、交运算.
学习目标
重点：包含、互斥、对立、并事件、交事件的含义.
难点：判断事件的关系、进行事件的运算.
二.事件的并（也叫和）
一般地，事件A与事件B至少有一个发生，
这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，
或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与
事件B的并事件（或和事件），记作A∪B（或A+B）.
可以用图中的阴影区域表示这个并事件.
三.事件的交（也叫积）
一般地，事件A与事件B同时发生，
这样的一个事件中的样本点既在事
件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件（或积事件），记作A∩B（或AB）.可以用图中的阴影区域表示这个交事件.
事件的关系或运算以及相应的符号表示如下
事件的关系或运算 含义 符号表示
包含 A发生导致B发生
并事件（和事件） A与B至少一个发生 A∪B或A+B
交事件（积事件） A与B同时发生 A∩B或AB
互斥（互不相容） A与B不能同时发生
互为对立 A与B有且仅有一个发生
常考题型
题型一 事件的有关概念及运算
反思感悟：事件与事件之间的关系或运算有包含、交、并和补（对立事件）四种，具体问题中要会使用符号表示实际意义下的事件的关系与运算，要特别注意交集为空集的两个事件是互斥事件，这两个事件的并集不一定是必然事件。
题型二 互斥事件与对立事件的判断
【解】（1）由于事件C“至多订一种报”中有可能“只订甲报”，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件.
（2）事件B“至少订一种报”与事件E“一种报也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件.由于一次试验中事件B和事件E必有一个发生，故B与E也是对立事件.
（3）事件B“至少订一种报”有可能“只订乙报”， “不订甲报”，即事件B发生，事件D也有可能发生，故B与D不是互斥事件.
（4）事件B“至少订一种报”中有如下可能：“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”.事件C“至多订一种报”中有如下可能：“一种报也不订”“只订甲报”“只订乙报”.由于这两个事件可能同时发生，故B与C不是互斥事件.
（5）由（4）的分析，事件E“一种报也不订”是事件C的一种可能，所以事件C与事件E有可能同时发生，故C与E不是互斥事件.
反思感悟 对立事件是特殊的互斥事件，只有当互斥事件的并集是必然事件时，这两个事件才是对立事件。两个事件的对立是相互的，即A是B的对立事件，反过来B也是A的对立事件。要注意理解好至多至少事件的对立事件。
题型三 易错易混问题------忽略试验的顺序而致误
解：（1）从左到右记这三个位置为1，2，3，则这个试验的所有可能结果构成样本空间Ω＝{（1，2），（1，3），（2，1），（2，3），（3，1），（3，2）}，其中第1个数表示甲坐的位置号，第2个数表示乙坐的位置号.
（2）由（1）知这个试验的所有可能结果总数是6.
（3）事件“甲、乙相邻”包含4个可能结果：（1，2），（2，1），（2，3），（3，2）.事件“甲在乙的左边（不一定相邻）”包含3个可能结果：（1，2），（1，3），（2，3）.
1．两个事件的关系或运算有包含关系，事件的并、事件的交和对立事件。其中对立事件相当于集合运算中的补集.
2. 两个事件互斥就是它们的交集为空集，当着两个事件的并为必然事件时，这两个事件就是相互对立事件.
3.有多个事件进行运算时，要先求括号内的运算，再求括号外的运算，没有括号时运算要按照从左到右的顺序逐一进行.
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第十章 概率
10.1 随机事件与概率 ?
10.1. 3?古典概型
?
1. 结合具体实例，理解古典概型，能计算古典概 型中随机事件的概率.
2.理解古典概型的两个基本特征和计算公式，能利用 古典概型解决简单的实际问题.
学习目标
重点：古典概型的概念与计算.
难点：古典概型的应用.
我们将具有（1）有限性（2）等可能性两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型. ?
（1）有限性：样本空间的样本点只有有限个；
（2）等可能性：每个样本点发生的可能性相等.
一 古典概型
知识梳理
三.求解古典概型问题的一般思路：
（1）明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号（字母 、数字、数组等）表示试验的可能结果（借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有的可能结果）；
（2）根据实际问题情境判断样本点的等可能性；
（3）计算样本点总个数及事件A包含的样本点个数，求出事件A的概率. ?
常考题型
题型一 古典概型的判断
【解】（1）每次摸出1个球后，仍放回袋中，再摸1个球.显然，这是有放回抽样，依次摸出的球可以重复，且摸球可无限地进行下去，即所有可能结果有无限个，因此该试验不是古典概型.
（2）从5名同学中任意抽取1名，有5种等可能发生的结果：抽到学生甲，抽到学生乙，抽到学生丙，抽到学生丁，抽到学生戊.因此该试验是古典概型.
（3）射击的结果：脱靶0次，脱靶1次，脱靶2次，…，脱靶5次.这都是样本点，但不是等可能事件.因此该试验不是古典概型.
反思感悟：如何确认一个随机试验是古典概型？
首先确定样本点的个数为有限个，这往往容易判断；其次确定每个样本点是等可能发生的，这时要注意一些表达等可能性的词语，如“随机抽取”，“完全相同” “质地均匀”“任选”等。
题型二 古典概型的概率计算公式
【解】（1）由题意知，“从6个国家中任选2个国家”所包含的样本点有（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），
（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A3，B1），
（A3，B2），（A3，B3），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3），
共15个.事件“所选2个国家都是亚洲国家”所包含的样本点有
（A1，A2），（A1，A3），（A2，A3），共3个.
题型三 古典概型中的骰子问题
【解】 在抛掷两粒均匀的骰子的试验中，每粒骰子均可出现1点，2点，…，6点.两粒骰子出现的点数可以用有序实数对（x，y）来表示，它与直角坐标系内的一个点对应，则所有的样本点如下图所示，共36个.
反思感悟：古典概型中的样本点比较多时，直接一 一
列举很麻烦，此时就考虑用树状图法或者表格法列举，
把样本点全部列举完毕后，再求样本点总数与事件A所
含有的样本点个数，最后套用古典概型的概率公式。
题型四 有放回和不放回抽样中的古典概型
例4.从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次.
（1）求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；
（2）如果将“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”，则取出的两件产品中恰有一件次品的概率是多少？
【解题提示】已知从两件正品和一件次品中任取两件产品，分不放回和有放回两种情况，分别计算恰有一件次品的概率.根据不同抽样方式，先列出样本空间中的样本点，再进行计算.
反思感悟：抽样问题中，有放回与不放回的概率是不同的，因为样本空间中基本事件个数是不同的，事件A所含的基本事件个数可能也是不同的，为此要注意利用列举法不容易出错。列举法列举时为避免重复或遗漏，要按照字典排序法列举。
解：（1）根据题意，设“两次之和为偶数”为事件A，抽取一张后不放回，
再抽取一张，其结果如下表，共30种.
两次之和为偶数即两次取得都是偶数或都是奇数，两次都是偶数有
（2，4），（2，6），（4，2），（4，6），（6，2），（6，4），
共6种，两次都是奇数有（1，3），（1，5），（3，1），（3，5），
（5，1），（5，3），共6种，故P（A）＝
? （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） （1，6）
（2，1） ? （2，3） （2，4） （2，5） （2，6）
（3，1） （3，2） ? （3，4） （3，5） （3，6）
（4，1） （4，2） （4，3） ? （4，5） （4，6）
（5，1） （5，2） （5，3） （5，4） ? （5，6）
（6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） ?
（2）根据题意，设“两个号码至少有一个为偶数”为事件B，抽取一张后放回，
再抽取一张，共有如下表所示的36种结果.两次都为奇数的情况有（1，1），
（1，3），（1，5），（3，1），（3，3），（3，5），（5，1），（5，3），
（5，5），共9种，则两个号码中至少有一个为偶数的情况有36-9＝27（种），
故P（B）＝
（1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） （1，6）
（2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5） （2，6）
（3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） （3，6）
（4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） （4，6）
（5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6）
（6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，6）
1．古典概型必须是有限个和等可能的基本事件.
2.求古典概型的概率，必须首先列举出样本空间中所有的基
本事件，再求出事件A所包含的基本事件个数，最后用古
典概型的概率公式计算概率.
3.要注意抽样问题中有放回抽样和不放回抽样两种，解题时
要注意根据不同的抽样找出不同的样本空间.
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第十章 概率
10.1 随机事件与概率
10.1. 4?概率的基本性质
通过具体实例，理解概率的基本性质，
掌握概率的运算法则.
2.能够利用概率的性质求较复杂事件的概率.
学习目标
重点：概率的基本性质.
难点：概率基本性质的应用.
二.互斥事件的概率加法公式
一般地，因为事件A与事件B互斥，即A与B不含有相同的样本点，所以n（A∪B）＝n（A）+n（B），这等价于P（A∪B）＝P（A）+P（B），即两个互斥事件的和事件的概率等于这两个事件概率之和.所以我们有互斥事件的概率加法公式：
性质3 如果事件A与事件B互斥，那么
P（A∪B）＝P（A）+P（B）.
概率加法公式的推广
互斥事件的概率加法公式可以推广到多个事件的情况.如果事件A1，A2，…，Am两两互斥，那么事件A1∪A2∪…∪Am发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和，即
P（A1∪A2∪…∪Am）＝P（A1）+P（A2）+…+P（Am）.
性质6 设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有
P（A∪B）＝P（A）+P（B）-P（A∩B）.
显然，性质3是性质6的特殊情况.即性质3仅仅是对互斥事件而言，而性质6是对任意两个事件都成立的概率计算公式。这一性质可类比集合中集合的个数公式进行记忆，即对于任意两个集合A、B,我们有
n（A∪B）＝n（A）+n（B）-n（A∩B）.
题型一 互斥事件的概率加法公式
常考题型
例1.向三个相邻的军火库投一枚炸弹，炸中第一军火库的概率为0.025，炸中第二、三军火库的概率均为0.1，只要炸中一个，另两个也会发生爆炸，军火库爆炸的概率为 .
【解析】 设A，B，C分别表示炸弹炸中第一、第二、第三军火库这三个事件，D表示军火库爆炸，则
P（A）＝0.025，P（B）＝0.1，P（C）＝0.1，其中A，B，C互斥，故P（D）＝P（A∪B∪C）＝P（A）+P（B）+P（C）
＝0.025+0.1+0.1＝0.225. 【答案】 0.225
反思感悟：已知两个或几个互斥事件的概率，求这些事件和事件的
概率，只需直接利用概率的加法公式。如果两个互斥事件的概率未知，
需要首先求出这两个互斥事件的概率，然后再利用概率加法公式求和事
件的概率。
题型二 复杂事件的概率计算
反思感悟：“正难则反”是解决问题的一种很好的方法，当所求的概率直接求解比较麻烦时，则首先考虑求其对立事件的概率，再转化为所求.应用对立事件的概率公式时，一定要分清事情和其对立事件是什么.对立事件的概率公式常用于“至多”“至少”型概率问题的求解.
题型三 概率一般加法公式的应用
反思感悟：当事件A与B不互斥时，求事件A∪B的概率需应用概率的一般加法公式，因此判断两事件是否为互斥事件是解题的关键.在应用概率加法公式时，一定要注意其前提是涉及的事件是互斥事件.实际上，对于任意事件A，B，有P（A∪B）≤P（A）+P（B），只有当事件A，B互斥时，等号才成立.当A，B不互斥时，要应用概率的一般加法公式.
变式训练4.题某公司三个分厂的职工情况为：第一分厂有男职工
4 000人，女职工1 600人；第二分厂有男职工3 000人，女职工1 400人；
第三分厂有男职工800人，女职工500人.如果从该公司职工中随机抽选1
人，求该职工为女职工或第三分厂职工的概率.
1．互斥事件满足事件的概率加法公式，即
（A∪B）=P（A）+P（B）。
2．在应用概率加法公式时，一定要注意
P（A∪B）≤P（A）+P（B），只有当事件A，B互斥
时，等号才成立.当A，B不互斥时，要把A∪B拆分成
互斥事件，再用互斥事件的概率加法公式求解。
3．两个事件无论互斥与否，其和事件的概率都满足一般
的概率加法公式。此时要求和事件的概率要首先求这两
个事件同时发生的概率。
