(共23张PPT)
9.2 用样本估计总体
9.2.1?总体取值规律的估计
第九章 统 计
1. 了解分布的意义和作用.
2.会列频率分布表，会画频率分布直方图，理解它们的特点.
3. 会用样本的频率分布估计总体分布.
4.会用随机抽样的基本方法和用样本估计总体的思想解决一些简
单的实际问题.
重点：会列频率分布的有关图表.体会样本估计总体的思想.
难点：对总体分布的理解.
一、 怎样研究总体的取值规律
对一个统计问题，在随机抽样获得观测数据的基础上，需
要根据数据分析的需要，选择适当的统计图表描述和表示
数据，获得样本的规律，并利用样本的规律估计总体的规
律，解决相应的实际问题.
二、频率分布表与频率分布直方图
三.频率分布表和频率分布直方图的优缺点
（1）频率分布表反映具体数据在各个不同区间的取值频率，但不够直观、形象，对分析数据分布的总体态势不太方便.
（2）频率分布直方图能够直观地表明数据分布的形状，一般呈中间高、两端低、左右对称的“峰”状结构.但是从直方图本身得不到具体的数据内容，也就是说，将数据表示成直方图以后，原始数据不能在图中表示出来.
常考题型
题型一. 频率分布直方图的绘制
例1.一个农技站为了考察某种麦穗长的分布情况，在一块试验田里抽取了100个麦穗，量得长度如下（单位：cm）：
6.5 6.4 6.7 5.8 5.9 5.9 5.2 4.0 5.4 4.6 5.8 5.5 6.0 6.5 5.1 6.5 5.3 5.9 5.5 5.8 6.2 5.4 5.0 5.0 6.8 6.0 5.0 5.7 6.0 5.5 6.8 6.0 6.3 5.5 5.0 6.3 5.2 6.0 7.0 6.4 6.4 5.8 5.9 5.7 6.8 6.6 6.0 6.4 5.7 7.4 6.0 5.4 6.5 6.0 6.8 5.8 6.3 6.0 6.3 5.6 5.3 6.4 5.7 6.7 6.2 5.6 6.0 6.7 6.7 6.0 5.6 6.2 6.1 5.3 6.2 6.8 6.6 4.7 5.7 5.7 5.8 5.3 7.0 6.0 6.0 5.9 5.4 6.0 5.2 6.0 6.3 5.7 6.8 6.1 4.5 5.6 6.3 6.0 5.8 6.3
根据上面的数据列出频率分布表、画出频率分布直方图，并估计长度在
［5.75，6.05）之间的麦穗在这批麦穗中所占的百分比.
【解题提示】依据步骤画出频率分布直方图；用样本中的百分比（即频
率）来估计长度在［5.75，6.05）之间的麦穗在这批麦穗中所占的百分比
（5）画频率分布直方图，如图所示.
画频率分布直方图时，如何确定组距？
为使各数据都在分组内，组距的选择应力求“取整”，如果极差不利于分组（如不能被组数整除），可将区间两端点的数据进行适当调整，如在左、右两端各增加适当范围（尽量使两端增加的量相同）.一般地，设数据的总数目为n，则当n≤50时，分5~8组比较合适；当50 1. 从某校高三学生中抽取50名参加数学竞赛，成绩（单位：分）分组及各组的频数如下：
［40，50），2；［50， 60），3；［60， 70）， 10；［70， 80）， 15；［80，90），12；［90，100］，8.
（1）列出频率分布表；
（2）画出频率分布直方图；
（3）估计成绩在［60，90）分的学生比例.
解：（1）频率分布表如下.
成绩分组 频数 频率
［40，50） 2 0.04
［50，60） 3 0.06
［60，70） 10 0.2
［70，80） 15 0.3
［80，90） 12 0.24
［90，100］ 8 0.16
合计 50 1.00
（2）频率分布直方图如图
（3）成绩在［60，90）分的学生比例，即学生成绩在［60，90）分的频率0.2+0.3+0.24＝0.74＝74%.所以估计成绩在［60，90）分的学生比例为74%.
题型二 频率分布直方图的相关计算
频率分布直方图的性质
（1）每个小长方形的面积表示样本数据落在该组内的频率.
（2）所有小长方形的面积和等于1. 常用该结论求解频率分布直方图中的小长方形的高.
（3）利用一组的频数和频率，可以求样本量.
【注意】频率分布直方图中的纵轴不是频率，而是频率/组距.
2.
［2019·河北邢台二中高一质检］某电子商务公司对10 000名网络购
物者2018年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都
在区间［0.3，0.9］内，其频率分布直方图如图所示.
（1）直方图中的a＝ ；
（2）在这些购物者中，消费金额在区间［0.5，0.9］内的人数为
；
【解析】 （1）由0.1×1.5+0.1×2.5+0.1a+0.1×
2.0+0.1×0.8+0.1×0.2＝1，解得a＝3.
（2）区间［0.3，0.5）内的频率为
0.1×1.5+0.1×2.5＝0.4，
故［0.5，0.9］内的频率为1-0.4＝0.6.
因此，消费金额在区间［0.5，0.9］内的购物者的人数为0.6×10 000＝6 000.
答案：（1）3 （2）6 000
题型三 统计图的应用
例3.某公司为了改善职工的出行条件，随机抽取100名职工，调查了他们的居住地与公司间的距离d（单位：km）.由所得数据绘制的频率分布直方图如图所示，
则样本中职工居住地与公司间的距离
不超过4 km的人数为 .
【解析】不超过4 km的频率为（0.1+0.14）×2＝0.48，
故样本中职工居住地与公司间的距离不超过4 km的人
数有0.48×100＝48. 【答案】 48
【易错提示】
解与频率分布直方图有关的问题时，一定要看清楚横轴、纵轴所表示的量.如没有特殊要求，纵轴都是频率/组距，而频率就是所求范围内小长方形的面积.
解决与频率分布直方图有关问题的关系式
（1）频率/组距×组距＝频率.
（2）频数/样本容量＝频率，此关系式的变形为
频数/频率＝样本量，
样本量×频率＝频数.
3. ［2019·湖北孝感联考协作体高三检测］
中小学生的视力状况受到社会的广泛关注，
某市有关部门从全市6万名高一学生中随机
抽取了400名，对他们的视力状况进行一
次调查统计，将得到的有关数据绘制成频
率分布直方图，如图所示.从左至右五个
小组的频率之比依次是5∶7∶12∶10∶6，
则全市高一学生视力在［3.95，4.25）范围
内的学生约有 人.
1.总体取值规律的估计，是把样本抽样后，使用频率分布表和频率分布直方图进行估计的.
2.制作频率分布表和频率分布直方图时，首先要求出极差，再利用极差求出和组数求出组距，最后统计出各组的频数，进而列出频率分布表，画出频率分布直方图.
3.通过频率分布表能观察出各段上的频数分布多和少；通过频率分布直方图能求出各组的频率，还能估计总体中各组的频数.
(共25张PPT)
9.2 用样本估计总体
9.2.2?总体百分位数的估计
9.2.3 总体集中趋势的估计
9.2.4 总体离散程度的估计
第九章 统 计
1.了解百分位数的概念.能用样本估计百分位数.理解百分位数的统计意义.
2.理解样本数据基本数字特征的意义和作用，对样本数据中提取的基本 数字特征（如众数、中位数、平均数）作出合理解释.
3.理解样本数据的方差与标准差的意义和作用，会计算样本数据的方差 与标准差.能从样本数据中计算出方差和标准差，并给出合理的解释.
重点：用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征.计算样本数据
的方差与标准差.
难点：分层抽样中的百分位数和方差、标准差.
一、百分位数
一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有（100-p）%的数据大于或等于这个值.
计算一组n个数据的第p百分位数的步骤：
第1步，按从小到大排列原始数据.第2步，计算i＝n×p%.
第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第（i+1）项数据的平均数.特别的，中位数就是第50百分位数. 常用的分位数还有第25百分位数，第75百分位数.这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，称为四分位数.
平均数、中位数和众数的意义
1.平均数 平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数。
2.中位数 将一组数据从小到大(或从大到小)排列，中间的数称为这组数据的中位数。如果是奇数个数据，中间的数就为这组数据的中位数，如果是偶数个数据，中间两个数的平均数为这组数据的中位数。
3.众数 一组数据中出现次数最多的数值叫众数，有时在一组数中有几个。
平均数、中位数、众数的特征
1.平均数的大小与一组数据里的每个数均有关系，其中任何数据的变动都会相应引起平均数的变动。2.总数着眼于对各数据出现频率的考察，其大小只与这组数据的部分数据有关。3.中位数仅与数据的排列有关，部分数据的变动对中位数可能没有影响。
平均数、中位数、众数的联系
众数、中位数及平均数都是描述一组数据的集中趋势的量，其中以平均数最为重要，其应用也最为广泛。
二 .平均数、中位数和众数
三、方差与标准差
标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小.显然，在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的.但在解决实际问题中，一般多采用标准差.
常考题型
题型一 总体百分位数的估计
例1下表为12名毕业生的起始月薪
：
根据表中所给的数据计算第85百分位数.
毕业生 起始月薪 ? 毕业生 起始月薪
1 2 850 7 2 890
2 2 950 8 3 130
3 3 050 9 2 940
4 2 880 10 3 325
5 2 755 11 2 920
6 2 710 12 2 880
【解题提示】如果计算出来的i＝n×p%是整数，那么 百分位数就是，把这组数据由小到大排列后的第i个数与后边相邻数的平均数；如果i不是整数，i后边相邻的整数是j，那么 百分位数就是把这组数据由小到大排列后的第j个数。
p%
p%
1.某车间12名工人一天生产某产品（单位：kg）的数量分别为13.8，13，13.5，15.7，13.6，14.8，14，14.6，15，15.2，15.8，15.4 ，则所给数据的第25，50，75百分位数分别是 .
题型二 众数、中位数、平均数的计算
2. ［2019·甘肃兰州一中高一月考］已知一组数据按从小到大排列为
-1，0，4，x，6，15，且这组数据的中位数是5，那么数据的众数是 ，平均数是 .
题型三 方差、标准差的计算及应用
例3.甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质量，从中分别抽取6件测量数据为（单位：cm）：
甲：99，100，98，100，100，103；
乙：99，100，102，99，100，100.
（1）分别计算两组数据的平均数及方差；
（2）根据计算说明哪台机床加工零件的质量更稳定.
3.［2019·广东深圳高一期末］若样本x1，x2，x3，…，xn的平均数为7，方差为6，则对于3x1+1，3x2+1，3x3+1，…，3xn+1，下列结论正确的是 （ ）
A.平均数是21，方差是6 B.平均数是7，方差是54
C.平均数是22，方差是6 D.平均数是22，方差是54
4.［2019·天津南开中学高一月考］某校高二年级在一次数学选拔赛
中，由于甲、乙两人的竞赛成绩相同，从而决定根据平时在相同条件下进行的六次测试确定出最佳人选，这六次测试的成绩数据如：
求两人六次测试成绩的平均数以及方差，并且分析成绩的稳定性，从中选出一位参加数学竞赛.
甲 127 138 130 137 135 131
乙 133 129 138 134 128 136
5.某市教育部门采用分层随机抽样从甲、乙、丙三个学校选取了
100名学生的某次考试数学成绩（单位：分），并制成如下表格：
试估计这次考试数学成绩的平均数与方差.
? 学生数 平均分 方差
甲 40 98 10
乙 30 92 12
丙 30 95 15
1.百分位数是把中位数推广了的一个很有用处的统计量，计算
百分位数与计算中位数很类似，它可能是数据中的某个数，
也可能是数据中某相邻两个数字的平均数.
2.中位数、平均数和众数是反映一组数据特征的统计量，平均数
反映了这组数据的平均水平，众数是重复次数最多的那个数.
3.方差和标准差是反映数据离散程度的统计量，方差或标准差
越大，这组数据的离散程度越大；反之离散程度越小.
