3.1.1空间向量及其加减运算(共37张PPT)

(共37张PPT)
复习平面向量
（1）什么是平面向量的定义？
（2）平面向量如何表示？
（3）什么是相等的向量？
（1）既有大小又有方向的量叫向量;
（2）向量有两种表示方法:
①几何表示法:用有向线段表示;
②字母表示法:用字母 等或者用有向线段的起点与终点字母AB表示．
（3）长度相等且方向相同的向量.
解答
平面向量的加减运算
看下面建筑
这个建筑钢架中有很多向量，但他们有些并不在同一平面内——这就是我们今天要学习的空间向量.
1. 空间向量
在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量（space vetor ）.
向量的大小叫做向量的长度或模 (modulus).
2. 空间向量的表示
（1）我们规定，长度为0的向量叫做零向量（zero vector），记为0.当有向线段的起点A与终点B重合时，AB=0;
（2）模为1的向量称为单位向量（unit vector）;
（3）两个向量不能比较大小，因为决定向量的两个因素是大小和方向，其中方向不能比较大小.
3. 相反向量
与向量 a 长度相等而方向相反的向量,称为 a 的相反向量，记为 – a .
4. 相等向量（equal vetor）
方向相同且模相等的向量称为相等向量.
（1）空间的一个平移就是一个向量;
（2）向量一般用有向线段表示,同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 ;
（3）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示.
结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用同一平面内的两条有向线段表示.
1. 空间向量的加减运算
由于任意两个空间向量都能平移到同一空间，所以空间向量的加减运算与平面向量的加减运算相同.
加法: OB=OA+AB=a+b，
减法：CA=OA-OC=a-b.
2. 空间向量的加法运算律
（1）加法交换律
a + b = b + a
（2）加法结合律
(a + b) + c = a + (b + c)
你能证明下列性质吗？
证明加法交换律:
因为 OA = CB = a
AB = OC = b
所以 a + b = b + a
证明加法结合律:
因为 OC=OB+BC=(OA+AB)+BC=(a+b)+c
OC=OA+AC=OA+(AB+BC)=a+(b+c)
所以 (a + b) + c = a + (b + c)
1. 空间向量的运算就是平面向量运算的推广;
2. 两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立;
3. 空间向量的加法运算可以推广至若干个向量相加.
3.对空间向量的加减法的说明
4.扩展
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：
（2）首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：
已知平行六面体ABCD-A’B’C’D’，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量:
解答
(2)设M是线段CC’的中点，则
(4)设G是线段AC’靠近点A的三等分点，则
G
1.空间向量的概念.
在空间，具有大小和方向的量.
2.空间向量的加减运算.
空间向量的加减运算应用三角形法则和平行四边形法则.
3.空间向量的加法符合交换律，结合律.
4.平面向量与空间向量.
空间任意两个向量都可平移到同一个平面内，成为同一平面内的向量.
因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们.
解析:
3.（2018年广东卷）,D是△ABC的边AB上的中点,则向量CD=_____.
A
1.选择
平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为AC和BD的交点，若 =a， =b， =c，则下列式子中与 相等的是（ ）
解答
故该题选 A
2.解答题
（1）在空间四边形ABCD中,点M、G分别是BC、CD边的中点,化简
解答
（2）已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，求满足下列各式的x的值.