课件31张PPT。11.4 空间中的垂直关系
11.4.1 直线与平面垂直第十一章 立体几何初步1.掌握线线垂直的定义，了解常见线线垂直的形式.
2.掌握线面垂直的定义、判定定理和性质定理，会证明线面垂直，能利用线面垂直得到线线垂直关系.
3.掌握面面垂直的定义、判定定理和性质定理，会证明面面垂直，能利用面面垂直得到线面垂直关系.重点：空间线、面垂直的定义、判定和性质.
难点：空间线线、线面和面面垂直的判定和性质定理的推导以及应用.1.异面直线所成的角
一般地，如果a，b是空间中的两条异面直线，过空间中任意一点，分别作与a，b平行或重合的直线a′，b′，则a′与b′所成角的大小，称为异面直线a与b所成角的大小.一、直线与直线所成的角如图中，AB与B1C1所成角的大小，等于A1B1与B1C1所成角的大小，即为 ；AB与B1D1所成角的大小，等于A1B1与B1D1所成角的大小，即为 .90°45°2.空间两直线垂直
规定空间中两条平行直线所成角的大小为 .
两条直线所成的角也称为这两条直线的夹角.
空间中两条直线l，m所成角的大小为90°时，称l与m垂直，记作 .
若a∥b且b⊥c，则一定有 .0°l⊥ma⊥c??二、直线与平面垂直的判定定理两条相交如果两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.三、直线与平面垂直的性质直线与平面垂直的性质定理（简称为线面垂直的性质定理）
如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行.过空间中一点，有且只有一条直线与已知平面垂直.如果C是平面α内一点，且AC与α不垂直，则称AC是平面α的 （相应地，直线AC称为平面α的斜线），称C为斜足.直线BC称为直线AC在平面α内的射影.
特别地，∠ACB称为直线AC与平面α所成的角.AC＝AD的充要条件是BC＝BD或∠ACB＝∠ADB.斜线段例1一 异面直线所成的角常考题型在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成角的大小.【解】（方法1）如图所示，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，A1G，C1G，则OG∥B1D，EF∥A1C1，
∴ ∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角.
∵ GA1＝GC1，O为A1C1的中点，∴ GO⊥A1C1，
∴ 异面直线DB1与EF所成的角为90°.???解题归纳求异面直线所成角的步骤
（1）作：根据定义，用平移法作出异面直线所成的角.
（2）证：证明作出的角就是要求的角.
（3）计算：寻找或作出含有此角的三角形，求解计算.
（4）结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角.?变式训练?60°解题归纳【方法点拨】
求异面直线所成角的关键是“作角”，一般需要对两条异面直线采取平移构造，即将不相交的两条直线平移转化为相交直线，再求所成角，平移过程多用到中位线、平行四边形等的平行性质.例2二 线面垂直的判定与证明问题如图，在四棱锥S-ABCD 中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB＝BC＝2，CD＝SD＝1.
证明：SD⊥平面SAB.【解题提示】取AB的中点E，结合图形结构，根据所给长度，可以联想到利用勾股定理的逆定理证得SD⊥SE，再由题目条件易得AB⊥平面SDE，从而得到SD⊥AB，进而得到结论.?解题归纳判断或证明线面垂直的方法
（1）证明直线a垂直于平面α内的任意一条直线，从而得直线a⊥平面α.
（2）如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线就和这个平面垂直，简记为“线线垂直?线面垂直”.
（3）利用常用结论：①如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面；②如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面.
（4）如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.变式训练??解题归纳【解题技巧】
垂直关系的转化是立体几何的重点，要证线面垂直，可证线线垂直；要证线线垂直，可证线面垂直.关键是在平面内找出（或作出）与已知直线垂直的直线，利用等腰（边）三角形的性质是解决线线垂直的一种常用方法.变式训练2. ［2019·安徽安庆高三期末］如图所示的多面体ABCDEF中，四边形ABCD是一个等腰梯形，四边形CDEF是一个矩形，AB∥CD，AC⊥FB，∠ABC＝60°，BC＝CD＝2，CF＝3.
求证：FC⊥平面ABCD.?解题归纳【方法技巧】
利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤：
（1）在这个平面内找两条直线，使它们和这条直线垂直.
（2）确定这个平面内的两条直线是相交的直线.
（3）根据判定定理得出结论.三 线线垂直的判定与证明问题例3如图，已知四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，△PAD是等腰三角形，点M，N分别是AB，PC的中点.
求证：MN⊥CD.【解题提示】 要证明MN⊥CD，可先证明MN⊥平面PCD，只需在平面PCD内找到两条相交直线，使它们都与MN垂直即可.?解题归纳判断或证明线线垂直的方法
（1）两直线垂直的定义，判断两直线所成的角为90°.
（2）线面垂直的概念，a⊥α，b?α?a⊥b.
（3）平面几何性质（如菱形的对角线互相垂直，等腰三角形底边上的中线垂直于底边等）.变式训练如图所示，平面α∩β＝CD，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，则CD与AB的位置关系是 .CD⊥AB一、直线与直线所成的角1.异面直线所成的角
一般地，如果a，b是空间中的两条异面直线，过空间中任意一点，分别作与a，b平行或重合的直线a′，b′，则a′与b′所成角的大小，称为异面直线a与b所成角的大小.2.空间两直线垂直
空间中两条直线l，m所成角的大小为90°时，称l与m垂直，记作l⊥m.?二、直线与平面垂直的判定与性质直线与平面垂直的性质定理（简称为线面垂直的性质定理）
如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行.课件34张PPT。11.4 空间中的垂直关系
11.4.2 平面与平面垂直第十一章 立体几何初步1.理解二面角、二面角的平面角的概念.
2.理解两个平面垂直的定义.
3.理解平面与平面垂直的判定定理.
4.能运用定理证明一些平面与平面垂直的问题.
5.理解平面与平面垂直的性质定理，并能够证明.
6.能运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题.重点：通过直观感知、操作确认，概括出面面垂直的判定定理、性质定理.
难点：面面垂直判定定理的应用及二面角的求法，性质定理的证明.1.二面角定义
一般地，平面内的一条直线把一个平面分成两部分，其中的每一部分都称为一个半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角， 这条直线称为二面角的 ，这两个半平面称为二面角的 .一、二面角棱面2.二面角的平面角
如图所示，在二面角α-l-β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角.二面角的大小用它的平面角的大小来度量，即二面角大小等于它的平面角大小.特别地，平面角是直角的二面角称为 .直二面角一般地，两个平面相交时，它们所成角的大小，指的是它们所形成的4个二面角中，不大于90°的角的大小.?二、平面与平面垂直?例1一 求二面角的大小常考题型??解题归纳【点评】
二面角的平面角的两边分别在二面角的两个面内，且两边与二面角的棱垂直，垂足为棱上同一个点，因此这个角所在的平面与棱垂直.变式训练?D例2二 面面垂直的判定与证明问题如图，AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B两点的任意一点，PA⊥平面ABC.
（1）求证：平面PBC⊥平面PAC.
（2）若AE⊥PC，E为垂足，F为PB上任意一点.
求证：平面AEF⊥平面PBC.?解题归纳?变式训练1.如图所示，已知ABCD是平行四边形，且PA＝PC，PD＝PB.
求证：平面PAC⊥平面ABCD.?变式训练??三 翻折与探索性问题
<1>翻折问题中的垂直关系例3???解题归纳解决折叠问题的方法
（1）解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量，一般情况下，折线同侧的量不变，抓住不变量是解决问题的突破口.
（2）综合折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形.
【方法技巧】
不论是翻折还是展开，均要注意平面图形与立体图形中各个对应元素的相应变化，元素间的大小与位置关系，哪些不变，哪些变化.变式训练?① ②?<2>垂直关系中的探索性问题例4如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.
（1）求证：AD⊥PB.
（2）若E为BC的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？证明你的结论.??解题归纳【点评】
垂直关系中的探索性问题一般是探索某点在什么位置满足垂直关系，解题时要充分借助图形特征，利用重要的判定定理与性质定理，先大胆猜想，再仔细论证.
探索性问题的两种主要类型
一是结论型：从承认结论入手，探索出命题成立的条件.
二是存在型：先假定“存在”，若经推理无矛盾，则“存在”成立；若推出矛盾，则结论为“不存在”.变式训练????一、二面角1.二面角定义
一般地，平面内的一条直线把一个平面分成两部分，其中的每一部分都称为一个半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，2.二面角的平面角
在二面角α-l-β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角.二面角的大小用它的平面角的大小来度量，即二面角大小等于它的平面角大小.二、平面与平面垂直??
