课件35张PPT。10.2.1 复数的加法与减法
第十章 复 数学习目标1.能进行复数的代数形式的加、减法运算.
2.了解复数加、减运算的几何意义，能够利用“数形结合”的
思想解题.
重点：复数的代数形式的加、减法运算，复数加、减运算的几何意义.
难点：复数减法的运算法则.一、复数的加法
1. 复数的代数形式的加法运算一般地，设z1＝a+bi，z2＝c+di（a，b，c，d∈R），称z1+z2为
z1与z2的和，并规定
z1+z2＝（a+bi）+（c+di）＝（a+c）+（b+d）i.显然，两个复数的和仍然是复数.? 容易证明，复数的加法运算满足交换律与结合律，即对任意复数z1，z2，z3，有
z1+z2＝z2+z1，
（z1+z2）+z3＝z1+（z2+z3）.2. 复数加法的几何意义
【尝试与发现】
设z1＝2+2i，z2＝-1-4i，求出z1+z2，并在复平面内分别作出z1，z2，z1+z2所对应的向量，猜想并归纳复数加法的几何意义.?复数加法的几何意义的具体解释：??图（1）图（2）如何正确理解复数加法的几何意义？
（1）复数加法的几何意义，就是向量加法的平行四边形法则.
（2）它包含两个方面：一方面是利用几何意义可以把几何图形的变换转化为复数运算去处理；另一方面对于一些复数的运算也可以给予几何解释，将复数作为工具运用于几何之中.等号成立的条件：
①当|z1+z2|＝|z1|+|z2|时，z1，z2所对应的向量同向共线；
②当|z1+z2|＝||z1|-|z2||时，z1，z2所对应的向量反向共线.由复数加法的几何意义还可以得出
||z1|-|z2||≤|z1+z2|≤|z1|+|z2|.二、复数的减法1. 复数的代数形式的减法运算 在实数中，减去一个数可以看成加上这个数的相反数.例如，因为3的相反数为-3，因此8-3＝8+（-3）＝5.
在复数中是否可以用类似方法来定义两个复数的减法呢？?一般地，如果z1＝a+bi，z2＝c+di（a，b，c，d∈R），则
z1-z2＝（a+bi）-（c+di）＝（a-c）+（b-d）i.显然，两个复数的差仍然是复数.【名师点拨】
若把复数的代数形式看成关于“i”的多项式，则复数的加、减法类似于多项式的加、减法，只需“合并同类项”就可以了.【注意】
同实数中的情况类似，两个复数的差一般也不满足交换律，即一般来说，z1-z2≠z2-z1.2. 复数减法的几何意义?复数减法的几何意义的具体解释：??图（1）图（2）如何理解复数减法的几何意义？
1.复数减法的几何意义就是平面向量减法的三角形法则.
2.在确定两个复数的差所对应的向量时，应按照“首同尾连向被减”的方法确定.由复数减法的几何意义可以得出
||z1|-|z2||≤|z1-z2|≤|z1|+|z2|.等号成立的条件：
①当|z1-z2|＝|z1|+|z2|时，z1，z2所对应的向量反向共线；
②当|z1-z2|＝||z1|-|z2||时，z1，z2所对应的向量同向共线.【探索与研究】
根据z1-z2的几何意义讨论下列各式的几何意义.
（1）|z-（1+i）|＝2； （2）|z+1|+|z-1|＝2.提示：（1）复数z表示的点的轨迹是以（1，1）为圆心，半径为2的圆；
（2）数轴上表示z的点到表示-1，1的点的距离之和为2，所以复数z表示的点的轨迹是两点-1，1之间的线段.【拓展】复平面内点的轨迹
（1）|z|表示复数z对应的点到原点的距离，|z1-z2|表示复平面内两点间的距离.
（2）|z-z0|＝a（a∈R）表示以点Z0为圆心，半径为a的圆的方程.
（3）|z-z1|＝|z-z2|表示线段Z1Z2的垂直平分线的方程.【名师点拨】
因为复数相加、相减之后的结果都还是复数，所以当然可以
进行有限个复数的加减运算，也可以进行加、减法的混合运
算，下面以实例进行说明.
示例 计算（2-5i）+（3+7i）-（5+4i）.
解：根据定义有（2-5i）+（3+7i）-（5+4i）
＝（2+3-5）+（-5+7-4）i
＝-2i.【类题通法】
（1）类比实数的运算，若有括号，则先计算括号内的；若没有括号，则可从左到右依次进行计算.
（2）算式中出现的字母，先要确定其是不是实数，再确定复数的实部和虚部，最后把实部、虚部分别相加减. 常考题型一、复数的加法与减法的代数运算????◆复数加、减运算的一般方法
1.两个复数相加减，类似于多项式的加减运算，只需将两个复数的实部与虚部对应相加减即可.
2.复数的加、减混合运算，运算顺序与对括号的处理方法与实数加、减混合运算是一样的.?BB3.［2019·河南安阳高二检测］若z1＝2+i，z2＝3+ai（a∈R），z1+z2对应的点在实轴上，则a＝ .
?
4.［2019·福州高三模拟］ 已知|z|＝3，且z+3i是纯虚数，则
z＝ .
?
5.［2019·山东临沂高二检测］（1-2i）+（-2+3i）+（3-4i）+
（-4+5i）+…+（-2 018+2 019i）+（2 019-2 020i）＝ .???二、复数加法与减法的几何意义?????C?3.已知复数z1＝1+2i，z2＝-2+i，z3＝-1-2i，它们在复平面内的对应点是
一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数.?三、与复数有关的轨迹和最值问题例3 集合M＝{z||z-1|≤1，z∈C}，N＝{z||z-1-i|＝|z-2|，z∈C}，
集合P＝M∩N.
（1）指出集合P在复平面内所表示的图形；
（2）求集合P中复数模的最大值和最小值.【解题提示】根据复数的向量表示及模的几何意义可确定集合M，N在复平面内所对应的点集分别为复平面内的圆及其内部、线段的垂直平分线，集合P＝M∩N在复平面内所对应的点集是两图形的公共部分，可利用数形结合思想求解.?◆与复数有关的轨迹和最值问题的解题思路
1.|z-z0|表示复数z，z0的对应点之间的距离，在应用时，
要把绝对值符号内变为两复数差的形式.
2.|z-z0|＝r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆.
3.涉及复数模的最值问题，可从两点间距离公式的复数
表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行
求解.训练题
［2019·湖北孝感高二检测］已知z∈C，且|z+3-4i|＝1，求|z|的最大值与最小值. 解：由于|z+3-4i|＝|z-（-3+4i）|＝1，所以在复平面内，复数z对应的点Z与复数-3+4i对应的点C之间的距离等于1，故复数z对应的点Z的轨迹是以C（-3，4）为圆心，半径等于1的圆，如图所示.而|z|表示复数z对应的点Z到原点O的距离，又|OC|＝5，所以点Z到原点O的最大距离为圆心C到原点的距离加上半径长，得5+1＝6，最小距离为圆心到原点的距离减去半径长，得5-1＝4.
即|z|max＝6，|z|min＝4.??课件46张PPT。10.2.2 复数的乘法与除法
第十章 复 数学习目标1.能进行复数代数形式的乘法和除法计算.
2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的
分配律.
3.了解实系数一元二次方程在复数范围内的解集.
重点：复数代数形式的乘法和除法运算法则.
难点：复数除法的运算法则.一、复数的乘法
1. 复数的乘法法则一般地，设z1＝a+bi，z2＝c+di（a，b，c，d∈R），
称z1z2（或z1×z2）为z1与z2的积，并规定
z1z2＝（a+bi）（c+di）＝ac+adi+bci+bdi2
＝（ac-bd）+（ad+bc）i.【名师点拨】为了算出两个复数的积，只需要按照多项式
乘法的方式进行，并利用i2＝-1即可.对复数乘法的几点说明：
（1）类比多项式运算：复数的乘法运算与多项式乘法运算很类似，
可仿照多项式乘法进行，但结果要将实部、虚部分开（i2换成-1）.
（2）两个复数的积是一个确定的复数.
（3）多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立，乘法公式也适用.
（4）可以把两个复数的乘法运算扩充
到多个复数的连乘积的形式，按从左到右的顺序依次进行.2.复数乘法满足的运算律 复数的乘法运算满足交换律与结合律，且对加法
满足分配律，即对任意复数z1，z2，z3，有
z1z2＝z2z1，（z1z2）z3＝z1（z2z3），
z1（z2+z3）＝z1z2+z1z3.复数乘法运算律的证明：
设z1＝a1+b1i，z2＝a2+b2i，z3＝a3+b3i.
（1）∵ z1z2＝（a1+b1i）（a2+b2i）＝（a1a2-b1b2）+（b1a2+a1b2）i，
z2z1＝（a2+b2i）（a1+b1i）＝（a2a1-b2b1）+（b2a1+a2b1）i，
又a1a2-b1b2＝a2a1-b2b1，b1a2+a1b2＝b2a1+a2b1，
∴ z1z2＝z2z1.（2）∵ （z1z2）z3＝［（a1+b1i）（a2+b2i）］（a3+b3i）
＝［（a1a2-b1b2）+（b1a2+a1b2）i］（a3+b3i）
＝［（a1a2-b1b2）a3-（b1a2+a1b2）b3］+［（b1a2+a1b2）a3+（a1a2-b1b2）b3］i
＝（a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3）+（b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3-b1b2b3）i，
同理可证，z1（z2z3）＝（a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3）+（b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3-b1b2b3）i，
∴ （z1z2）z3＝z1（z2z3）.（3）∵ z1（z2+z3）＝（a1+b1i）［（a2+b2i）+（a3+b3i）］
＝（a1+b1i）［（a2+a3）+（b2+b3）i］
＝［a1（a2+a3）-b1（b2+b3）］+［b1（a2+a3）+
a1（b2+b3）］i
＝（a1a2+a1a3-b1b2-b1b3）+（b1a2+b1a3+a1b2+a1b3）i，
z1z2+z1z3＝（a1+b1i）（a2+b2i）+（a1+b1i）（a3+b3i）
＝（a1a2-b1b2）+（b1a2+a1b2）i+（a1a3-b1b3）+
（b1a3+a1b3）i
＝（a1a2-b1b2+a1a3-b1b3）+（b1a2+a1b2+b1a3+a1b3）i
＝（a1a2+a1a3-b1b2-b1b3）+（b1a2+b1a3+a1b2+a1b3）i，
∴ z1（z2+z3）＝z1z2+z1z3.【思考】如果z1与z2互为共轭复数，那么z1+z2，z1-z2，
z1·z2 分别是怎样的数？提示：令z1＝a+bi，则z2＝a-bi（a，b∈R），
∴ z1+z2＝（a+bi）+（a-bi）＝2a∈R.
z1-z2＝（a+bi）-（a-bi）＝2bi，
当b≠0时，z1-z2为纯虚数；当b＝0时，z1-z2＝0.
z1·z2＝（a+bi）（a-bi）＝a2+b2∈R.?3.共轭复数的积4.复数的乘方 n个相同的复数z相乘时，仍称为z的n次方（或n次幂），并记作zn，即可以验证，当m，n均为正整数时，
zmzn＝zm+n，（zm）n＝zmn，（z1z2）n＝zn1zn2. 以前我们所学过的和平方公式、平方差公式等，对于复数来说也是成立的，即
（z1+z2）2＝z21+2z1z2+z22，
z21-z22＝（z1+z2）（z1-z2）.【思考】i的幂有何特点？?二、复数的除法1.复数除法的定义??2.复数的除法法则????3.非零复数的0次幂与负整数次幂三、实系数一元二次方程在复数范围内的解集【尝试与发现】
我们已经知道，虚数单位i是方程x2＝-1的一个解，还有其他复数是这个方程的解吗？如果实数a>0，那么方程x2＝-a在复数范围内的解集是什么？??示例 在复数范围内求方程x2+2x+3＝0的解集.??仍满足一元二次方程根与系数之间的关系！ 当a，b，c都是实数且a≠0时，关于x的方程ax2+bx+c＝0称为
实系数一元二次方程，这个方程在复数范围内总是有解的，而且
（1）当Δ＝b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当Δ＝b2-4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；
（3）当Δ＝b2-4ac<0时，方程有两个互为共轭的虚数根. 常考题型一、复数的乘法与除法运算【解题提示】计算复数的除法可以利用复数除法的定义，也可以利用复数除法的运算法则.◆复数的乘、除运算的一般方法
复数的乘法与多项式的乘法是类似的，但必须在所得的结果
中把i2换成-1，两个复数的积仍然是一个复数，即
（a+bi）（c+di）＝ac+bci+adi+bdi2＝（ac-bd）+（bc+ad）i.3. 复数乘法的运算律
交换律：z1·z2＝z2·z1；
结合律：（z1·z2）·z3＝z1·（z2·z3）；
分配律：z1·（z2+z3）＝z1·z2+z1·z3.CAD??1二、复系数方程??◆复系数方程的解法
1.待定系数法：设出复数的代数形式，代入原方程中，利用复数相等的充要条件，列方程（组）求解.
2.仿照解实系数方程的一般步骤，利用复数的运算法则求解.?三、共轭复数的有关运算【解题提示】利用复数的乘除运算法则求解或构造ω求解.【点评】方法2通过构造ω，使运算得到了简化. ??DC四、实系数一元二次方程在复数范围内的解集例4 在复数范围内求解下列方程：
（1）3x2+x+2＝0；
（2）x2+ax+4＝0（a∈R）.?◆在复数范围内求实系数一元二次方程的解的方法
实系数一元二次方程ax2+bx+c＝0 （a，b，c是实数，
且a≠0）的根与根的判别式Δ＝b2-4ac 有如下关系：
①当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；
②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；
③当Δ<0时，方程无实数根，但有两个互为共轭的虚数根.
上述结论反过来也成立.??D71. 复数的乘法运算法则 复数的乘法与多项式的乘法是类似的，但必须在所得的结果中把i2换成-1，两个复数的积仍然是一个复数，即
（a+bi）（c+di）＝ac+bci+adi+ bdi2＝（ac-bd）+（bc+ad）i.2.乘法满足的运算律对于任意复数z1，z2，z3∈C，复数的乘法满足：
交换律：z1·z2＝z2·z1.
结合律：（z1·z2）·z3＝z1·（z2·z3）.
分配律：z1（z2+z3）＝z1·z2+z1·z3.3. 复数的除法运算法则分子与分母都乘分母的共轭复数（1）ax2+bx+c＝0 （a，b，c是实数，且a≠0）的根的判别式：Δ＝b2-4ac.
①当Δ>0 时，方程有两个不相等的实数根；
②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；
③当Δ<0 时，方程无实数根，但有两个互为共轭的虚数根.
上述结论反过来也成立.4.实系数一元二次方程在复数范围内的解集
