课件32张PPT。11.1 空间几何体
11.1.1 空间几何体与斜二测画法第十一章 立体几何初步1.利用实物、计算机软件等观察空间图形，进一步认识空间几何体，培养空间想象能力.
2.能用斜二测画法画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等及其简单组合）的直观图.重点：用斜二测画法画空间图形的直观图.
难点：斜二测画法的理解及应用.生活中的物体都占据着空间的一部分.如果只考虑一个物体占有的空间形状和大小，而不考虑其他因素，则这个空间部分通常可抽象为一个几何体.一、空间几何体常见的空间几何体有哪些？棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等.？1.平面图形与立体图形的区别与联系：
（1）平面图形各部分都在同一平面内；立体图形各部分不都在同一平面内.
（2）立体图形中有些部分可能是平面图形，立体图形常用合适的平面图形表示出来研究问题.二、斜二测画法2.斜二测画法
一般地，用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图时，步骤如下：
（1）在平面图形上取互相垂直的x轴和y轴，作出与之对应的x′轴和y′轴，使得它们正方向的夹角为 （或135°）.
（2）平面图形中与x轴平行（或重合）的线段画成与x′轴平行（或重合）的线段，且长度 .
平面图形中与y轴平行（或重合）的线段画成与y′轴平行（或重合）的线段，且长度为原来长度的 .
（3）连接有关线段，擦去作图过程中的辅助线.45°不变一半一般地，用斜二测画法作立体图形直观图的步骤如下：
（1）在立体图形中取水平平面，在其中取互相垂直的x轴与y轴，作出水平平面上图形的直观图（保留x′轴与y′轴）.
（2）在立体图形中，过x轴与y轴的交点取z轴，并使z轴垂直于x轴与y轴.过x′轴与y′轴的交点作z轴对应的z′轴，且z′轴垂直于x′轴.
图形中与z轴平行（或重合）的线段画成与z′轴平行（或重合）的线段，且长度
.连接有关线段.
（3）擦去有关辅助线，并把被面遮挡住的线段改成虚线（或擦除）.不变注意：立体几何中的直观图，不都是用斜二测画法作出的.如水平放置的圆.正等测画法总结：
平行依旧垂改斜，横等纵半竖不变；
眼见为实遮为虚，空间观感好体现.例1一 空间几何体常考题型请画出如图所示的几何体的表面展开图.【解】展开图如图所示.（答案不唯一）解题归纳绘制多面体展开图的方法
绘制多面体的平面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型.在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其平面展开图.一个多面体可有多个平面展开图.1.变式训练下图代表的是正方体的表面展开图，将其折叠起来，变成正方体后的图形是 （ ）A B C DB2.在下图所示的四个平面图形中，哪几个是侧棱都相等的四面体的展开图 （填序号）.① ② ③ ④①②解题归纳由展开图复原几何体的方法
若是给出多面体的平面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，实质上是多面体展开的逆过程.例2二 画水平放置的平面图形的直观图【解题提示】建立斜坐标系，按照斜二测画法规则可得出点B，C，E对应的点.再在原图上作AG⊥x轴于G，作DH⊥x轴于H，在x′轴上确定H′、G′的位置，根据A′G′、D′H′与y′轴平行，长度分别为AG，DH的长度的一半可确定A′，D′的位置，连接各点，擦去辅助线，即可得直观图.按图所示的建系方法，画水平放置的正五边形ABCDE的直观图.?① ② ③ 解题归纳画水平放置的平面图形的直观图的技巧
（1）在画水平放置的平面图形的直观图时，要根据图形的特点选取适当的坐标系，以方便作图和度量.
（2）原图中既不平行于x轴，又不平行于y轴的线段，可由线段两端点向x轴、y轴作垂线段后，根据垂线段在直观图中的位置确定相应的两点，连成线段.1.变式训练如图所示，在平面直角坐标系中，已知O（0，0），A（1，3），B（3，1），C（4，6），D（2，5），试画出四边形ABCD的直观图.【解】画法：（1）先画x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°，如图①.
（2）在原图中作AE⊥x轴，垂足为E（1，0）.
（3）在x′轴上截取O′E′＝OE，作A′E′∥y′轴，截取E′A′＝1.5.
（4）同理确定点B′，C′，D′，其中B′G′＝0.5，C′H′＝3，D′F′＝2.5.
（5）连线成图（去掉辅助线）就是所要画的四边形ABCD的直观图，如图②所示.① ② 解题归纳水平放置的平面图形的直观图的画法步骤
①画轴；
②定点；
③连线成图.三 画空间几何体的直观图例3画正六棱柱（底面为正六边形的直棱柱）的直观图.【解题提示】 建立空间直角坐标系，先利用斜二测画法画底面，再由z轴的方向上的线段长度不变画出棱柱的高，最后连接各个顶点得上底面.【解】 （1）画轴：画x′轴、y′轴、z′轴，使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°.
（2）画底面：画正六边形的直观图ABCDEF（O′为正六边形的中心）.
（3）画侧棱：分别过点A，B，C，D，E，F作z′轴的平行线，在这些平行线上分别截取AA′，BB′，CC′，DD′，EE′，FF′，使AA′＝BB′＝CC′＝DD′＝EE′＝FF′.（4）连线成图：连接A′B′，B′C′，C′D′，D′E′，E′F′，F′A′，如图①.去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，就得到正六棱柱ABCDEF-A′B′C′D′E′F′，如图②所示.① ② 解题归纳空间几何体的直观图画法
空间几何体的底面（水平放置）的直观图的画法与水平放置的平面图形的直观图的画法相同，画立体图形的直观图与画平面图形的直观图相比，只是多了一个z轴，以便画其高.
具体规则如下：
（1）已知图形中平行于x轴、y轴、z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴、z′轴的线段；
（2）已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中其长度变为原来的一半.变式训练画棱长为2的正方体的直观图.【解】（1）作水平放置的正方形的直观图ABCD，使∠BAD＝45°，AB＝2，AD＝1.
（2）过点A作z′轴，使∠BAz′＝90°，分别过点A，B，C，D，沿z′轴的正方向取AA1＝BB1＝CC1＝DD1＝2.
（3）连接A1B1，B1C1，C1D1，D1A1如图①，擦去辅助线，把被遮住的线改为虚线就是所要画的正方体的直观图，如图②所示.① ② 解题归纳画空间几何体的直观图的步骤可简记为：
①画轴；
②画底面；
③画高线，定点；
④连线成图.四 由直观图还原平面图形例4［2019·吉林省实验中学高一检测］如图，正方形O′A′B′C′的边长为a（a>0），它是一个水平放置的平面图形的直观图，则它的原图形OABC的周长是 .【解题提示】 把直观图还原成平面图形，关键是找到直观图中正方形的四个顶点在原图形中对应的点.?解题归纳把直观图还原为平面图形的方法
根据直观图中的偏斜方向确定∠x′O′y′＝45°或135°，建立斜坐标系x′O′y′，建系时要把直观图中的顶点尽量多的放到坐标轴上，然后建立平面直角坐标系xOy，按斜二测画法的规则逆反回去得出原图形的顶点，最后把顶点连接成图.变式训练［2019·吉林公主岭高二模拟］水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知B′C′＝4，A′C′＝3，且B′C′∥y′轴，则△ABC中AB边上的中线的长度
为 .?五 与直观图有关的计算问题例5??解题归纳?变式训练?D斜二测画法一般地，用斜二测画法作立体图形直观图的步骤如下：
（1）在立体图形中取水平平面，在其中取互相垂直的x轴与y轴，作出水平平面上图形的直观图（保留x′轴与y′轴）.
（2）在立体图形中，过x轴与y轴的交点取z轴，并使z轴垂直于x轴与y轴.过x′轴与y′轴的交点作z轴对应的z′轴，且z′轴垂直于x′轴.
图形中与z轴平行（或重合）的线段画成与z′轴平行（或重合）的线段，且长度
不变.连接有关线段.
（3）擦去有关辅助线，并把被面遮挡住的线段改成虚线（或擦除）.课件32张PPT。11.1 空间几何体
11.1.2 构成空间几何体的基本元素第十一章 立体几何初步1.借助长方体模型，直观认识空间几何体的基本元素，并能用运动的观点认识点、线、面、体之间的生成关系.
2.理解平面的概念及其表示.
3.借助长方体模型，理解点、线、面之间的位置关系.
4.会用数学符号表示点、线、面以及它们之间的位置关系.
5.会求点到面的距离以及两平行平面之间的距离.重点：1.从运动的观点初步认识点、线、面、体之间的生成关系和位置
关系.
2.用数学符号表示点、线、面以及它们之间的位置关系.
3.点到面的距离以及两平行平面之间的距离.
难点：1.点、线、面、体之间的生成关系和位置关系.
2.用数学符号表示点、线、面之间的位置关系. 看作构成空间几何体的基本元素.一、空间中的点、线、面如图所示的长方体中，8个顶点可表示为
A，B，C，D，A1，B1，C1，D1；
12条棱可以表示为
AB，BC，CD，DA，AA1，BB1，CC1，DD1，A1B1，B1C1，C1D1，D1A1 ；点、线、面6个面可以表示为
ABCD，ABB1A1，BCC1B1，CDD1C1，DAA1D1，A1B1C1D1 ；
而长方体可以表示为ABCD-A1 B1C1D1.?二、空间中点与直线、直线与直线的位置关系????3.空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
如图所示的长方体中，长方形ABCD所在的平面可记作面ABC，也可以记作面ABD或面ABCD.习惯上，用小写希腊字母α，β，γ，…表示平面.因此，面ABCD可以记为α.此时，A是平面α内的点，A1不是平面α内的点，这可用符号简写为
A α，A1 α.∈???m∩α＝Bα∩β＝k?l∥α一般地，如果直线l与平面α相交于一点A，且对平面α内任意一条过点A的直线m，都有l⊥m，则称直线l与平面α垂直（或l是平面α的一条垂线，α是直线l的一个垂面），记作 ，其中点A称为垂足.α∥βl⊥α给定空间中一个平面α及一个点A，过A可以作而且只可以作平面α的一条垂线.如果记垂足为B，则称B为A在平面α内的射影（也称为投影），线段AB为平面α的 ，AB的长为点A到平面α的 .
特别地，
当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线到这个平面的距离；
当平面与平面平行时，一个平面上任意一点到另一个平面的距离称为这两平行平面之间的距离.垂线段距离例1一 平面的概念常考题型下列判断正确的是 .
①平面是无限延展的；②一个平面长3 cm，宽4 cm；③两个平面重叠在一起，比一个平面厚；④通过改变直线的位置，可以把直线放在某个平面内.【解析】 ①正确.平面是无限延展的.②不正确.平面没有大小.③不正确.平面没有厚薄.④正确.平面可以看成是直线平行移动形成的，所以直线通过改变其位置，可以放在某个平面内.
【答案】 ①④解题归纳对平面概念的深度理解
（1）平面是无限延展的、无厚薄、无大小的图形，但平面图形，如三角形、平行四边形、圆等是有大小的.
（2）可以用三角形、平行四边形、圆等平面图形表示平面，但不能说它们是平面.1.变式训练已知下列四个结论：①铺得很平的一张白纸是一个平面；②平面的形状是平行四边形；③一个平面的面积可以等于1 m2.其中正确结论的个数是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3A2.［2019·广东高一检测］如图所示，平面α，β，γ可将空间分成（ ）
A.五部分 B.六部分
C.七部分 D.八部分B解题归纳【点评】
一个平面将空间分成2部分；二个平面可以将空间分成3或4部分；三个平面可以将空间分成4，6，7或8部分.例2二 从运动观点认识几何体如图所示，请画出①②③中线段AB绕着直线l旋转一周形成的几何图形.① ② ③ 【解】如图所示：① ② ③ 解题归纳点、线、面运动形成的几何体形状的判断方法
（1）点、线、面运动形成怎样的几何图形与其运动的形式和方向有关，如果线段与旋转轴平行，那么形成圆柱面，如果与旋转轴斜交，那么形成圆锥面.
（2）在判断点、线、面按一定规律运动形成的几何体形状时，可以借助身边的实物来模拟.1.变式训练本例若改为线段AB与直线l有如图所示的关系，请画出线段AB绕直线l旋转一周形成的几何图形.【解】如图所示.解题归纳【点评】
线的运动可以形成平面或曲面，观察线段AB和直线l的位置关系及旋转的方式和方向，可以尝试画出形成的几何图形.2.变式训练如图所示，画出①②中L围绕l旋转一周形成的空间几何体.① ② 【解】（1）L绕直线l旋转一周，所得几何体是由两个底面重合的圆锥拼接而成的，如图①.
（2）L绕直线l旋转一周，所得几何体是由圆台挖去一个与其上底面同底的圆锥，再拼接一个与其下底面同底的圆锥而成的，如图②.① ② 解题归纳【规律方法】
与轴平行的线段绕轴旋转一周形成圆柱；与轴斜交的线段绕轴旋转一周形成圆锥；与轴斜但不相交的线段绕轴旋转一周形成圆台.三 长方体中基本元素之间的关系例3［2019·河南高一月考］在长方体ABCD-A′B′C′D′中，把它的12条棱延伸为直线，6个面延展为平面，那么在这12条直线与6个平面中，
（1）与直线B′C′平行的平面有哪几个？
（2）与平面BC′平行的平面有哪几个？【解题提示】观察图形，结合定义，利用运动的观点来分析图形中的线面位置关系.【解】（1）与直线B′C′平行的平面有平面ABCD，平面ADD′A′.
（2）与平面BC′平行的平面有平面AD′.解题归纳平行关系与垂直关系的判定方法
1.平行关系的判定
（1）直线与直线的平行关系：如图所示，在长方体的12条棱中，分成“长”“宽”“高”三组，其中“高”AA1，BB1，CC1，DD1相互平行；“长”AB，DC，A1B1，D1C1相互平行；“宽”AD，BC，A1D1， B1C1相互平行.
（2）直线与平面的平行关系：在长方体的12条棱及6个面中，
若棱所在的直线与某一平面不相交，则平行.
（3）平面与平面的平行关系：长方体的对面互相平行.解题归纳2.垂直关系的判定
（1）直线与平面的垂直关系：在长方体的棱所在直线与各面中，若直线与平面有且只有一个公共点，则二者垂直.
（2）平面与平面的垂直关系：在长方体的各表面中，若两平面有公共点，则二者垂直.变式训练1.本例中：（1）与直线B′C′垂直的平面有哪几个？
（2）与平面BC′垂直的平面有哪几个？
（3）长方体的12条棱中，哪些可以用来表示平面A′B与平面D′C之间的距离？【解】（1）有平面AB′，平面CD′.
（2）有平面AB′，平面A′C′，平面CD′，平面AC.
（3）A′D′，B′C′，BC，AD的长均可以表示.2.长方体ABCD-A1B1C1D1中，平面ADD1A1与平面BCC1B1的距离为5.试问平面ADD1A1内任意一条直线和平面BCC1B1的位置关系？并说出这条直线和这个平面之间的距离.【解】由题意得平面ADD1A1与平面BCC1B1平行，可以推得平面ADD1A1内的所有直线都与平面BCC1B1没有公共点，故平面ADD1A1内任意一条直线和平面BCC1B1是平行的.这条直线和这个平面之间的距离是5.3. 观察如图所示的正方体ABCD-A′B′C′D′，然后填空.（1）点A 直线AB；
（2）直线AB 平面ABCD；
（3）直线AB 平面AA′D′D；
（4）平面AD′ 平面BC′；
（5）平面AD′ 平面A′C′；
（6）点B 平面A′B′C′D′.??????解题归纳【方法技巧】
线、面是由点构成的集合，注意符号间的联系与区别.点与线、面是元素与集合的关系；线与面可以看成元素与集合的关系，也可以看成集合与集合的关系；面与面是集合与集合的关系.空间中的点、线、面?课件33张PPT。11.1 空间几何体
11.1.3 多面体与棱柱
11.1.4 棱锥与棱台第十一章 立体几何初步1.认识多面体、棱柱、棱锥、棱台的结构特征.
2.能运用结构特征描述现实生活中简单物体的结构.
3.了解多面体表面积的概念，知道棱柱、棱锥、棱台表面积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题.重点：概括多面体、棱柱、棱锥、棱台的结构特征.
难点：特殊棱柱、棱锥、棱台的结构特征的辨析及有关计算问题.一般地，由若干个平面多边形所围成的封闭几何体称为多面体.
围成多面体的各个多边形称为多面体的 ，相邻两个面的公共边称为多面体的 ，棱与棱的公共点称为多面体的 .一、多面体一个多面体中，连接同一面上两个顶点的线段，如果不是多面体的棱，就称其为多面体的 ；连接不在同一面上两个顶点的线段称为多面体的 .面棱顶点面对角线体对角线一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形（包含它的内部），称为这个几何体的一个截面.
多面体所有面的面积之和称为多面体的 （或全面积）.有两个面互相平行，且该多面体的顶点都在这两个面上，其余各面都是平行四边形，这样的多面体称为棱柱.
棱柱的两个互相平行的面称为棱柱的 （底面水平放置时，分别称为上底面、下底面），其他各面称为棱柱的 ，两个侧面的公共边称为棱柱的 .二、棱柱表面积底面侧面侧棱过棱柱一个底面上的任意一个顶点，作另一个底面的垂线所得到的线段（或它的长度）称为棱柱的 .
棱柱所有侧面的面积之和称为棱柱的 .
如果棱柱的侧棱垂直于底面，则可知棱柱所有的侧面都是长方形，这样的棱柱称为直棱柱（不是直棱柱的棱柱称为斜棱柱）.特别地，底面是正多边形的直棱柱称为正棱柱.
棱柱可以按底面的形状分类，例如底面是三角形、四边形、五边形的棱柱，可分别称为三棱柱、四棱柱、五棱柱.高侧面积底面是平行四边形的棱柱也称为 .
侧棱与底面垂直的平行六面体称为直平行六面体.
底面是矩形的直平行六面体就是以前我们学过的长方体，而棱长都相等的长方体就是正方体.
在平行六面体中，相对的面都是 的.
棱柱可以用底面上的顶点来表示.图（1）所示的棱柱可表示为棱柱ABC-A′B′C′，图（2）所示的棱柱可表示为棱柱AC1.互相平行（1） （2）平行六面体如果一个多面体有一个面是多边形，且其余各面都是有一个公共顶点的三角形，则称这个多面体为棱锥.
棱锥中，是多边形的那个面称为棱锥的 ，有公共顶点的各三角形称为棱锥的 ，各侧面的公共顶点称为棱锥的 ，相邻两侧面的公共边称为棱锥的 .
棱锥可以按底面的形状分类，例如底面是三角形、四边形、五边形的棱锥，可分别称为三棱锥、四棱锥、五棱锥.三、棱锥底面侧面顶点侧棱棱锥可以用顶点与底面各顶点的字母来表示.
如图所示的是一个四棱锥，
这个四棱锥可以记作棱锥P-ABCD或棱锥P-AC.
过棱锥的顶点作棱锥底面的垂线，所得到的线段（或它的长度）称为棱锥的高.棱锥所有侧面的面积之和称为棱锥的侧面积.
如果棱锥的底面是正多边形，且棱锥的顶点与底面中心的连线垂直于底面，则称这个棱锥为 .
正棱锥的侧面都全等，而且都是等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高也都相等，称为棱锥的 .正棱锥斜高一般地，用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，所得截面与底面间的多面体称为棱台.
原棱锥的底面与截面分别称为棱台的 与 ，其余各面称为棱台的 ，相邻两侧面的公共边称为棱台的 .
棱台可用上底面与下底面的顶点表示.
如图所示的棱台ABCD-A1B1C1D1.四、棱台下底面上底面侧面侧棱同棱柱一样，过棱台一个底面上的任意一个顶点，作另一个底面的垂线所得到的线段（或它的长度）称为棱台的 .
棱台所有侧面的面积之和称为棱台的侧面积.
棱台可以按底面的形状分类：三棱台、四棱台…….
由正棱锥截得的棱台称为正棱台.
正棱台上、下底面都是正多边形，两者中心的连线是棱台的高；而且，正棱台的侧面都全等，且都是等腰梯形，这些等腰梯形的高也都相等，称为棱台的 .高斜高例1一 棱柱、棱锥、棱台的概念常考题型下列关于棱锥、棱台的说法正确的是 .
（1）用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；
（2）棱台的侧面一定不会是平行四边形；
（3）棱锥的侧面只能是三角形；
（4）棱台的各侧棱延长后必交于一点；
（5）棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.【解析】（1）错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台；
（2）正确，棱台的侧面一定是梯形，而不会是平行四边形；
（3）正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形；
（4）正确，棱台是由平行于棱锥底面的平面截得的，故棱台的各侧棱延长后必交于一点；
（5）错误，如图所示的四棱锥被平面PBD
截成的两部分都是棱锥.
【答案】（2）（3）（4）解题归纳棱柱、棱锥、棱台的判断方法
判断一个几何体是何种几何体，一定要紧扣棱柱、棱锥、棱台的结构特征，注意概念中的特殊字眼，切不可马虎大意，如棱柱的概念中的“相邻”，棱锥的概念中的“公共顶点”，棱台的概念中的“棱锥”“平行”等.1.变式训练下列关于棱柱的说法中，正确说法的个数是（ ）
①四棱柱是平行六面体；
②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱；
③有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱；
④底面是正多边形的棱柱是正棱柱.
A.1 B.2 C.3 D.4A2.关于有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体，下面说法正确的是（ ）
A.该多面体是棱柱 B.该多面体是棱锥
C.该多面体是棱台 D.该多面体一定不是棱柱、棱锥D例2二 几种常见四棱柱的关系【解析】 直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故A错；直平行六面体的底面不一定是矩形，故B错；C正确；底面是正方形的四棱柱不一定是直四棱柱，故D错.
【答案】 C下列说法正确的是 （ ）
A.直四棱柱是直平行六面体
B.直平行六面体是长方体
C.六个面都是矩形的四棱柱是长方体
D.底面是正方形的四棱柱是正四棱柱解题归纳几种常见的四棱柱之间的关系变式训练一个棱柱是正四棱柱的条件是（ ）
A.底面是正方形，有两个面是矩形的四棱柱
B.底面是正方形，两个侧面垂直于底面的四棱柱
C.底面是菱形，且有个顶点处的两条棱互相垂直的四棱柱
D.底面是正方形，每个侧面都是全等的矩形的四棱柱D三 几何体的计算问题例3?【解题提示】 （思路1）用“补形法”，将棱台还原为棱锥，结合平面几何知识求解.
（思路2）依题意，作出棱台的对角面，化为平面几何中的计算问题求解.??解题归纳“补形法”解台体中的计算问题
与台体有关的计算问题，常利用“补形法”将台体还原为锥体，并结合相似三角形的性质求解.利用了化归与转化的思想.
正棱台中的直角梯形的应用
已知正棱台如图（以正四棱台为例），O1，O分别为上、下底面中心，作O1E1⊥B1C1于E1，OE⊥BC于E，则E1E为斜高.
（1）斜高、侧棱构成直角梯形，如图中梯形E1ECC1.
（2）斜高、高构成直角梯形，如图中梯形O1E1EO.
（3）高、侧棱构成直角梯形，如图中梯形O1OCC1.变式训练??解题归纳正棱锥中的直角三角形的应用
已知正棱锥如图（以正四棱锥为例），其高为PO，底面为正方形，作PE⊥CD于E，则PE为斜高.
（1）斜高、侧棱构成直角三角形，如图中Rt△PEC.
（2）斜高、高构成直角三角形，如图中Rt△POE.
（3）侧棱、高构成直角三角形，如图中Rt△POC.四 柱、锥、台体的表面积的计算例4如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的表面积为 .【解题提示】 判断几何体的形状，利用棱锥的侧面积转化求解即可.?解题归纳棱柱、棱锥、棱台的表面积的求解方法
棱锥及棱台的表面积计算常借助斜高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长等构成的直角三角形（或梯形）求解.变式训练??2.［2019·上海市大同中学高二期末］一个高为1的正三棱锥的底面正三角形的边长为6，则此三棱锥的侧面积为 .?一、多面体由若干个平面多边形所围成的封闭几何体称为多面体.二、棱柱有两个面互相平行，且该多面体的顶点都在这两个面上，其余各面都是平行四边形，这样的多面体称为棱柱.棱柱的分类：三、棱锥如果一个多面体有一个面是多边形，且其余各面都是有一个公共顶点的三角形，则称这个多面体为棱锥.四、棱台一般地，用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，所得截面与底面间的多面体称为棱台.五、棱柱、棱锥、棱台的结构特征比较课件36张PPT。11.1 空间几何体
11.1.5 旋转体第十一章 立体几何初步1.会用旋转的方法定义圆柱、圆锥、圆台、球，理解相关概念，了解用集合的观点定义球.
2.会作旋转体的轴截面，并利用轴截面解决问题.
3.会构造与球的截面圆相关的直角三角形，了解球面距离，知道球的表面积计算公式.
4.了解组合体的概念，培养通过分解、组合或割补等方法处理不规则几何体的能力.重点：对旋转体概念的再认识.
难点：球面距离的概念和应用，应用旋转体的轴截面解决问题，组合体的分解与合成.圆柱可看成以 所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体.一、圆柱、圆锥、圆台矩形的一边圆锥可看成以 所在直线为旋转轴，将直角三角形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体.圆台可看成以 所在直线为旋转轴，将直角梯形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体.直角三角形一直角边直角梯形垂直于底边的腰圆柱、圆锥、圆台的形成方式构成的几何体都是旋转体，其中，旋转轴称为旋转体的 ，在轴上的边（或它的长度）称为旋转体的 ，垂直于轴的边旋转而成的圆面称为旋转体的 ，不垂直于轴的边旋转而成的曲面称为旋转体的 .而且，无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都称为 .
在旋转体中，通过轴的平面所得到的截面通常简称为 .轴高底面侧面母线轴截面圆柱、圆锥、圆台的轴截面分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形.旋转体侧面的面积称为旋转体的侧面积，侧面积与底面积之和称为旋转体的
（或全面积）.
圆柱的侧面展开图是一个 ，圆锥的侧面展开图是一个 ，所以，如果知道它们的底面半径以及母线长，就可以算出它们的侧面积与表面积.
圆台来说，侧面展开图如图所示，其面积可看成两个扇形的面积之差.矩形表面积扇形球面可以看成一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的 ；球面围成的几何体，称为球.
形成球面的半圆的圆心称为球的球心，连接球面上一点和球心的线段称为球的半径，连接球面上两点且通过球心的线段称为球的直径.
一个球可以用表示它的球心的字母来表示，如图中的球可表示为球O.
二、球曲面平面α截球面所得到的交线是以O′为圆心，以 为半径的一个圆.
球的截面是一个圆面（圆及其内部）.
球面被经过球心的平面截得的圆称为球的大圆，被不经过球心的平面截得的圆称为球的小圆.
如果球的半径为R，那么球的表面积为 .??例1一 旋转体的结构特征常考题型下列叙述中正确的个数是（ ）
①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆锥；
②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆台；
③用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台.
A.0 B.1 C.2 D.3【解题提示】 紧扣旋转体的定义逐一判断.
【解析】 ①错误，应以直角三角形的一条直角边所在直线为轴.②错误，应以直角梯形的垂直于底边的腰所在直线为轴.③错误，应是用一个平行于圆锥底面的平面截圆锥.
【答案】 A解题归纳判断简单旋转体结构特征的方法
（1）明确旋转体由哪个平面图形旋转而成.
（2）明确旋转轴是哪条直线.1.变式训练判断下列各命题是否正确.如果不正确，请说明理由.
①一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；
②圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形；
③到定点的距离等于定长的点的集合是球.【解】①不正确.理由：直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示.
②正确.
③不正确.理由：到定点的距离等于定长的点的集合是球面.解题归纳【点评】
圆柱、圆锥、圆台和球都是由一个平面图形绕其特定边（弦）所在直线旋转而成的几何体，必须准确认识各旋转体对旋转轴的具体要求.只有理解了各旋转体的形成过程，才能明确由此产生的母线、轴、底面等概念，进而判断与这些概念有关的命题的正误.2.给出下列说法：①圆柱的底面是圆面；②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③圆台任意两条母线的延长线，可能相交，也可能不相交；④夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体.其中正确的是 （填序号）.①②例2二 简单组合体的结构特征如图所示，已知梯形ABCD中，AD∥BC，且AD【解】 如图所示，旋转所得的几何体是由一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分形成的几何体.解题归纳简单组合体的判断方法
对于不规则平面图形绕轴旋转的问题，首先要将原平面图形分割，一般分割成矩形、梯形、三角形或圆（半圆或四分之一圆）等基本图形，然后结合圆柱、圆台、圆锥、球的形成过程进行分析.变式训练描述如图所示的几何体的结构特征.【解】题图①所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组合体；题图②所示的几何体是由一个圆台挖去一个圆锥得到的几何体；题图③所示的几何体是在一个圆柱中挖去一个三棱柱后得到的几何体.① ② ③三 旋转体中的计算问题例3一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2，求圆台的高.?解题归纳旋转体中基本量的计算方法
求解圆柱、圆锥、圆台中的基本量时，我们一般是作出旋转体的轴截面，通过构造直角三角形或直角梯形求解.变式训练1.圆台的两底面面积分别为π，49π，平行于底面的截面面积的2倍等于两底面面积之和，求圆台的高被截面分成的两部分的比.【解】画出圆台的轴截面，如图所示.延长梯形两腰交于点V，O2，O1，O分别是圆台上底面、截面和下底面的圆心.?解题归纳【解题提示】
画出圆台的轴截面，将空间问题转化为平面问题，利用相似三角形的性质求解.
?【点评】
圆台的轴截面是等腰梯形，延长两腰交于一点，则得到一个等腰三角形，平行于圆台底面的截面问题，可以借助相似三角形的相似比计算求解.变式训练2.用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截去的圆锥的母线长为3 cm，圆台的母线长为9 cm，求截得的圆台上、下底面半径的比.?解题归纳【点评】
圆锥的平行于底面的截面也是一个圆.有关截面圆半径的计算可以借助圆锥的轴截面利用相似三角形的相似比求解.四 圆柱、圆锥、圆台的表面积例4如图所示，已知直角梯形ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，AB＝5 cm，BC＝16 cm，AD＝4 cm.求以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积.?解题归纳圆柱、圆锥、圆台的表面积的求解步骤
（1）得到空间几何体的平面展开图.
（2）依次求出各个平面图形的面积.
（3）将各平面图形的面积相加.变式训练［2019·宁夏银川一中高一期末］轴截面是等边三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的（ ）
A.4倍 B.3倍 C. 倍 D.2倍?五 球的截面面积及表面积计算例5［2019·北京海淀区模拟］已知过球面上三点A，B，C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC＝BC＝6，AB＝4，则球面面积为 （ ）
A.42π B.48π C.54π D.60π【解题提示】 设出球的半径、截面圆的半径，通过已知条件求出球的半径，再代入公式计算球面面积.?解题归纳?变式训练设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A.3πa2 B.6πa2 C.12πa2 D.24πa2B一、圆柱、圆锥、圆台（1）S圆柱＝2πr（r+l）（r是底面半径，l是母线长）；
（2）S圆锥＝πr（r+l）（r是底面半径，l是母线长）；
（3）S圆台＝π（r′2+r2+r′l+rl）（r′，r分别是上、下底面半径，l是母线长）.二、圆柱、圆锥、圆台的表面积公式三、球?课件50张PPT。11.1 空间几何体
11.1.6 祖暅原理与几何体的体积第十一章 立体几何初步1.理解棱柱、棱锥和棱台的体积公式的推导方法，了解“祖暅”原理，将空间问题转化为平面问题.
2.知道柱、锥、台和球的体积公式，能用公式解决简单的实际问题.重点：棱柱、棱锥和棱台的体积公式的推导方法，“祖暅原理”的思想方法.
难点：对祖暅原理的理解和棱柱、棱锥、棱台和球的体积公式的应用.幂势既同，则积不容异.一、祖暅原理一定相等夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面所截，两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积 ，如图所示.?Sh二、体积公式???例1一 多面体的体积的计算常考题型如图所示，三棱台ABC-A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱锥A1-ABC、三棱锥B-A1B1C、三棱锥C-A1B1C1的体积之比.【解题提示】 ??????解题归纳多面体体积计算的常用方法
（1）计算柱体体积的关键：确定柱体的底面积和高.
（2）三棱柱、三棱台可以分割成三个三棱锥，分割后可求锥体的体积和柱体或台体的体积关系，割补法在立体几何中是一种重要的方法.
（3） 求台体体积的关键是求出上、下底面的面积和台体的高.要注意充分利用棱台内的直角梯形或圆台的轴截面寻求相关量之间的关系.1.变式训练??2.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，求D1到截面C1BD的距离.?解题归纳【方法技巧】
三棱锥的任意一个面都可以作为底面，此面所对的顶点到该面的距离即为高，因此可用体积相等这一关系求得点到平面的距离.例2二 简单组合体的结构特征设圆台的高为3，如图，在轴截面中母线AA1与底面直径AB的夹角为60°，轴截面中的一条对角线垂直于腰，求圆台的体积.【解题提示】 要求圆台的体积需求上、下底面的半径，由题目条件可在轴截面中构造直角三角形求解.?变式训练??三 组合体的表面积和体积的计算
<1>组合体的表面积例3如图所示（单位：cm），四边形ABCD是直角梯形，求图中阴影部分绕AB所在直线旋转一周所成几何体的表面积.?解题归纳名师点拨
有的组合体的表面积并不是简单几何体的表面积的直接求和，原因是其接合部分并不裸露在表面.变式训练???<2>组合体的体积例4???解题归纳体积计算的常用方法
1.分割法：求一个几何体的体积可以将这个几何体分割成几个柱、锥、台体等简单几何体，分别求出体积后再求和.
2.补形法：将所给几何体补成一个简单几何体，再用公式计算.
常见的补形方法有：
（1）将正四面体补成正方体.
（2）将对棱长相等的三棱锥补成长方体.
（3）将三条侧棱两两垂直的三棱锥补成长方体或正方体.
3.等积变换法：利用三棱锥的“等积性”，即体积计算时可以以任意一个面作为三棱锥的底面.在求三棱锥体积时，可选择容易计算的方式.变式训练梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内过点C作l⊥CB，以l为轴将梯形ABCD旋转一周，求旋转体的体积V.??解题归纳【易错提醒】
一个几何体挖去一部分，体积减小，但表面积不一定减少.求解时需要认真分析，准确计算.四 球的体积与表面积的计算例5两个球的半径之差为1，表面积之差为28π，则它们的体积之和为 .?解题归纳球的体积与表面积计算的关键
球的表面积与体积都是关于球半径的函数，所以在解答这类问题时，设法求出球的半径是解题的关键.变式训练??五 与球有关的组合体的体积和表面积例6［2019·宁夏育才中学高一期末］如图为某组合体的直观图，它的中间为圆柱，左右两端均为半球，若图中r＝1，l＝3，则该组合体的表面积
为 .【解析】 该组合体的表面积为4πr2+2πrl＝4π× 12+ 2π×1×3＝10π.
【答案】 10π解题归纳求与球有关的组合体的表面积或体积的方法
弄清组合体的结构特征和相关数据，再结合相关公式计算其表面积或体积.变式训练如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得
到一几何体，若∠BAC＝30°，则此几何体的体积为 .?六 球与几何体的切、接问题
<1>球与正（长）方体的切、接问题例7有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体的各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点.求这三个球的表面积之比.【解题提示】 作出三个几何体的截面图，分别求出三个球的半径，利用球的表面积公式计算.?① ②?解题归纳?变式训练［2019·江苏七市高三调研］设P，A，B，C为球O表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，且PA＝2 m，PB＝3 m，PC＝4 m，则球O的表面积为 m2.?<2>球与其他多面体的切、接问题例8??变式训练??2. ［2019·陕西咸阳二模］所有棱长均为2 的正四棱锥外接球的表面积为（ ）
A.4π B.6π C.8π D.12π???<3>球与旋转体的切、接问题例9球的一个内接圆锥满足球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半且圆锥的高大于球的半径，该圆锥的体积和该球体积的比值为 .?解题归纳解决与球相关的切、接问题的关键
解决此类问题的关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，从而把空间问题转化为平面问题.变式训练1. ［2019·天津十二重点中学高三联考］已知圆柱的高和底面半径均为2，则该圆柱的外接球的表面积为 .?2.如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面积和球的表面积之比为（ ）
A.4∶3 B.3∶1 C.3∶2 D.9∶4?七 与球有关的最值问题例10???解题归纳与球有关的最值问题的解法
（1）函数法.通过建立相关函数式，将所求的最值问题转化为函数的最值问题求解.
（2）几何法.由图形的特殊位置确定最值，如垂直关系、特殊点等.变式训练????一、祖暅原理幂势既同，则积不容异.二、体积公式?柱体、锥体、台体的体积公式关系
